量子試題及習(xí)題

1、"cksn"u."wu；0fa.m.d":”ge.：P.o.tno”.：.on： cayoutt.“:-一 ：-"dhe. J.“.：丘"：”；：£"：壬03；":三量子力學(xué)習(xí)題第一章緒論1.1由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)F與溫度T成反比，即mT=b(常量)；并近似計(jì)算b的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。1.2在0K附近，鈉的價(jià)電子能量約為3eV,求其德布羅意波長(zhǎng)。1.3氦原子的動(dòng)能是E=3kT/2( k為玻耳茲曼常數(shù))，求T=1K時(shí)，氦原子的 德布羅意波長(zhǎng)。1.4利用玻爾一索末菲

2、的量子化條件，求：(1) 一維諧振子的能量；(2) 在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的電子軌道的可能半徑。已知外磁場(chǎng)H=10特斯拉，玻爾磁子Mb=9X10-24焦耳/特斯拉，試計(jì)算動(dòng)能 的量子化間隔AE,并與T=4K及T=100K的熱運(yùn)動(dòng)能量相比較。1.5兩個(gè)光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)。如果兩光子的能量相 等，問要實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，光子的波長(zhǎng)最大是多少？第二章波函數(shù)和薛定諤方程2.1由下列兩定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度：(1)屮 1=ekr/r, 屮 2=e-lkr/r.從所得結(jié)果說明'-；1表示向外傳播的球面波，'-2表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))傳播的球 面波。2.2 一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)x ：

3、 0U(x) = <0,0 蘭 x 蘭ax>a中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。2.3求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。2.4 一粒子在一維勢(shì)阱U(x)U0,0,x >ax乞a中運(yùn)動(dòng)，求束縛態(tài)(0<E<U0)的能級(jí)所滿足的方程。2.5對(duì)于一維無限深勢(shì)阱(0<x<a)中的定態(tài)' n(x)，求x、x和厶x，并與經(jīng)典-to;.:- ”_:,np":;”G:;.:"ol:_-":;:":"I":":;- ":""":":

4、：:-":?-": p.th.”“：一：-"：".dh：.-p.r.一：-"一力學(xué)結(jié)果比較2.6粒子在勢(shì)場(chǎng)V(x)十V。,0 ： x ： a0,中運(yùn)動(dòng),求存在束縛態(tài)(EvO)的條件(',m.a, Vo關(guān)系)以及能級(jí)方程。2.7求二維各向同性諧振子V= 2 k(x2+y2)的能級(jí)，并討論各能級(jí)的簡(jiǎn)并度2.8粒子束以動(dòng)能E=-2k2. 2m從左方入射，遇勢(shì)壘V(x)，0,x _0求反射系數(shù)、透射系數(shù)E<V0及E>V0情形分別討論2mR2 d22.9質(zhì)量為m的粒子只能沿圓環(huán)(半徑R)運(yùn)動(dòng)，能量算符為旋轉(zhuǎn)角。求能級(jí)(En)及歸一化本

5、征波函數(shù)'n()，討論各能級(jí)的簡(jiǎn)并度第三章基本原理(x)二3.1一維諧振子處在基態(tài)，求:(1)勢(shì)能的平均值動(dòng)能的平均值2；動(dòng)量的幾率分布函數(shù)3.2設(shè)t=0時(shí)，粒子的狀態(tài)為' (x)=Asin2kx+ 2 coskx，求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能3.3在一維無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)阱的寬度為a，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)(x)=Ax(a-x)"cksn"u."wu；0fa.m.d":”ge.：描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子能量的幾率分布和能量的平均值。3.4證明：如歸一化的波函數(shù)'(x)是實(shí)函數(shù)，貝U <x px>=i &

6、#39; /2 ； 如 =- (r)(與0，®無關(guān)),則 <r & >= 32 。3.5計(jì)算對(duì)易式x, Ly，pz, Lx，并寫出類似的下標(biāo)輪換式(X； y, y-；乙z)x)。3.6證明算符關(guān)系r L L r = 2rp L L p = 2i p3.7設(shè)F為非厄米算符(FF)，證明F可以表示成A+iB的形式，A、B為厄 米算符。求A、B與F、F+之關(guān)系。13.8 一維諧振子(V1= 2 kx2)處于基態(tài)。設(shè)勢(shì)場(chǎng)突然變成 V2=kx2，即彈性力增 大一倍。求粒子在V2場(chǎng)中的能級(jí)以及此粒子在新勢(shì)場(chǎng)的基態(tài)中出現(xiàn)的幾率。3.9有線性算符L、M、K，L, M=1，K=LM

7、。K的本征函數(shù)、本征值記為 宀、n (n=1,2,.)。證明：如函數(shù)Mr及U-n存在，則它們也是K的本征函數(shù)， 本征值為(n 1)。亠2 - 3.10證明：如H=P/2m+V(r)，則對(duì)于任何束縛態(tài)< P >=0。_ 23.11粒子在均勻電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，已知 H= p /2m-q ；x。設(shè)t=0時(shí)x =0， px =po， 求x(t)，瓦述)。3.12粒子在均勻磁場(chǎng)B=(0, 0, B)中運(yùn)動(dòng)，已知H= p /2m - Lz，=qB/2mc 設(shè) t=0 時(shí)< p >=(p°, 0, 0)，求 t>0 時(shí)< p >。3.13粒子在勢(shì)場(chǎng)V(r )中運(yùn)

8、動(dòng)，V與粒子質(zhì)量m無關(guān)。證明：如m增大，則 束縛態(tài)能級(jí)下降。第四章中心力場(chǎng)“.：丘"：”；:：£"：壬03；":三4.1nlmJe =sin證明氫原子中電子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是Jer=JeK,4.2由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的(1)求一圓周電流的磁矩。："-：“”；：；：” -：；：；：2.：.："-：.："：一-；._：_“：.；：""：'：."：；：:：。：.：；"：“'：.-：.：.；："：0；："

9、;；：；. 0"；：.："".；：；：“".：.：；："：h.”“：一：-"：".dh：.-p.r.一：-"一（2）證明氫原子磁矩為e'M =M(SI)e'(C G S2七原子磁矩與角動(dòng)量之比為L(zhǎng)z(SI)(C G S這個(gè)比值，稱為回轉(zhuǎn)磁比率4.3設(shè)氫原子處于狀態(tài)1J 3'-（r,二）=2只21（）丫10（）一于 R21（r）Y1（）,求氫原子能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。4.4利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估計(jì)氫原子的基態(tài)能量4.5對(duì)于類氫離子的基態(tài)*1

10、00，求概然半徑（最可幾半徑）及r, r4.6對(duì)于類氫離子的'-'nlm態(tài)，證明<T>= - 2 <V>= - En。4.7對(duì)于類氫離子的基態(tài)100，計(jì)算厶X, 巾x，驗(yàn)證不確定關(guān)系4.8x px 2單價(jià)原子中價(jià)電子（最外層電子）所受原子實(shí)（原子核及內(nèi)層電子）的庫侖作用勢(shì)可以近似表示成V(r)=-e22 e a°0 ： ： ： 1試求價(jià)電子能級(jí)。與氫原子能級(jí)比較,列出主量子數(shù)n的修正數(shù)公式。提示:將V（r）中第二項(xiàng)與離心勢(shì)合并，記成1（11） 2/2 卄2，計(jì)算（l _l）之值,.第五章表象理論5.1H?對(duì)易證明 < k n>=0設(shè)

11、'-；/；是厄米算符H?的本征態(tài)矢，相應(yīng)于不同的本征值。算符F?與 . hemp；' n. no”.ntde .I5.2質(zhì)量為"的粒子在勢(shì)場(chǎng) V（x）中作一維運(yùn)動(dòng)，設(shè)能級(jí)是離散的。證明能量表象中求和規(guī)則瓦（En-EQne%|k2J（為實(shí)數(shù)）。5.35.4設(shè)J為角動(dòng)量,n為常矢量，證明J,-J =i5.5對(duì)于角動(dòng)量J的jm態(tài)222（J , Jz共同本征態(tài)），計(jì)算Jx、Jy、Jx、Jy等平均值，以及厶Jx、厶Jy。5.6設(shè)n （單位矢量）與z軸的夾角為二，對(duì)于角動(dòng)量J的jm態(tài)，計(jì)算<Jn>（即n J的平均值）5.7，Lz共同本征態(tài)矢。在1=1子空間中，取基矢為

12、11, 10,1-1,建立L2，Lz表象。試寫出Lx及Ly的矩陣表示（3階），并求其本征值及本征態(tài)矢（取Ji=1)x，*5.8x，第六章6.1對(duì)于諧振子相干態(tài)微擾理論(a=j.,:為實(shí)數(shù)），計(jì)算n，E，厶 E，如果類氫原子的核不是點(diǎn)電荷，而是半徑為r0,電荷均勻分布的小球,對(duì)于一維諧振子的能量本征態(tài) n，利用升、降算符計(jì)算T、V、.lx、：p0計(jì)算這種效應(yīng)對(duì)類氫原子基態(tài)能量的一級(jí)修正6.2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I、電偶極矩為D的空間轉(zhuǎn)子在均勻電場(chǎng)；中，如果電場(chǎng)較小,用微擾法求轉(zhuǎn)子基態(tài)能量的二級(jí)修正6.3設(shè)一體系未受微擾作用時(shí)只有兩個(gè)能級(jí)E01及E02,現(xiàn)在受到微擾的作用。微擾矩陣元為H 12=H '

13、;1=a, H 11=H '2=b;a, b都是實(shí)數(shù)。用微擾公式求能量至二級(jí)修正值6.4 一電荷為e的線性諧振子受恒定弱電場(chǎng)；作用，設(shè)電場(chǎng)沿正x方向:（1）用微擾法求能量至二級(jí)修正;_"-:：.：""：.：."：b：:：。：.：；"：“'：.-：.：.；.："：0；："；：；. "f："".；：；：'.”".：.：；："；：".三邁二：；：；0：三二；：。：；0三 '：.：；.二;：；.；.："：.：；"：；:：.

14、；：-："-：“”；：；：”C：；：；：2：.：."C：.："：-.n -v._.:"cksn"u."wu；0fa.m.d":”ge.： P.:h.”“：一：-"：".一：-"一(2)求能量的準(zhǔn)確值，并和(1)所得結(jié)果比較6.5設(shè)在t=0時(shí)，氫原子處于基態(tài)，以后由于受到單色光的照射而電離。設(shè)單色光的電場(chǎng)可以近似地表示為；sin t，；及均為常量；電離后電子的波函數(shù)近似地以平面波表示。求這單色光的最小頻率和在時(shí)刻t躍遷到電離態(tài)的幾率“.口：丘"：”；：£"：壬03；&

15、quot;:三0,6.6基態(tài)氫原子處于平行板電場(chǎng)中，若電場(chǎng)是均勻的且隨時(shí)間按指數(shù)下降,t<0;t _0 0求經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間后氫原子處在2p態(tài)的幾率6.7計(jì)算氫原子由第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的自發(fā)發(fā)射幾率。6.8求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則6.9粒子(質(zhì)量)在無限深勢(shì)阱0<x<a中運(yùn)動(dòng)，處于能量本征態(tài) "(x)。后受到微擾作用,H'=x,(a)求躍遷選擇定律(屮己屮n, n'n=?)；(b)利用定態(tài)微擾論，求能級(jí)En的一級(jí)修正6.10用變分法求氫原子(V=-e2/r)或三維各向同性諧振子(V= 2丄厲2)的基態(tài)能量近似值(二者選一)(a)取試探波函數(shù)為'

16、 (-, r)=Aexp(- r);(b)取試探波函數(shù)為-(, r)=Bexp(-6.11質(zhì)量為的粒子在勢(shì)場(chǎng)V(x)=kx4 (k>0)中作一維運(yùn)動(dòng)。試用變分法求基態(tài)能量近似值。建議取試探波函數(shù)' (, r)=Aexp(- - 2r2)6.12某量子力學(xué)體系處于基態(tài) r(x)。t>0后受到微擾作用,H' x；t)=F(x)e_t/，試證明:F n1/(En -曰)22/ 2第七章自旋7.1(Sz)7.2求在自旋態(tài)中,Sy的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系:長(zhǎng)時(shí)間后(r)該體系處于激發(fā)態(tài)'- n(x)的幾率為(Sx 2 ©Sy 2 = ?7.32'J0丿的本征值和

17、所屬的本征函數(shù)。7.4求自旋角動(dòng)量在(cos，cos：，cos )方向的投影£ 二 Seos：SycoscosOsaxw"：:.*d"：ngddt”u；j.g；gfg "ras.p.dupp yg"“pacnfpv:vcud：i:.x4gSKdr"amvigove”-”畑ww.g r-”D.*:*me“wg.*-Sfcru-rcen.wm"i*-h；g*:”*hac.：:*.o:：y：.畑.；：".”*.“"：2*."：uv.g”.*0=”=* .”:ms"d：;：Y.wnt"

18、;oner;:s："：y"一=“5：曲：*.“.i*i.o“-；*ot”:e：u“rf；rw;.:dp.'：*y:a“ds：.“.“.“c-o;a."uyizymu-fefausWdWFg:.-”:.*-:*：,的本征值和所屬的本征函數(shù)。在這些本征態(tài)中，測(cè)量S?z有哪些可能值?這些可能值各以多大的幾率出現(xiàn)？Sz的平均值是多少?7.5設(shè)氫原子的狀態(tài)是1尹20110R2i(r)Yo(Y )o(1)求軌道角動(dòng)量z分量Lz和自旋角動(dòng)量z分量S?z的平均值;(2)求總磁矩M?二(SI)的z分量的平均值(用玻爾磁子表示)7.6求電子的總角動(dòng)量算符J2，Jz的共同本征函

19、數(shù)。7.7在Sz表象中，證明2九0e7.8對(duì)于電子的L，S，J ,證明(取一 =1)(2S L 1)2(匚 J)(匚 J -1) - J7.9電子的總磁矩算符是2mec(L 2S)對(duì)于電子角動(dòng)量的I j j態(tài)(mj=j)計(jì)算碼的平均值(結(jié)果用量子數(shù)j表示出來)第八章多粒子體系8.1 一體系由三個(gè)全同的玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有 兩個(gè)可能的單粒子態(tài)。問體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)？它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波 函數(shù)構(gòu)成？丄8.2設(shè)兩電子在彈性輳力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，每個(gè)電子的勢(shì)能是U(r)= 2丄厲2。如果電子之間的庫侖能和U(r)相比可以忽略，求當(dāng)一個(gè)電子處在基態(tài)，另一個(gè)電子處 于沿x方向的第一

20、激發(fā)態(tài)時(shí)，兩電子組成體系的波函數(shù)。8.3某體系由兩個(gè)全同粒子組成，單粒子自旋量子數(shù)為s。求體系總自旋態(tài)中對(duì)稱態(tài)與反對(duì)稱態(tài)的數(shù)目。8.4某體系由三個(gè)粒子組成，單粒子狀態(tài)為',.,寫出體系波函數(shù)的 可能類型(忽略粒子間相互作用)。(a)全同玻色子；(b)全同費(fèi)密子；(c)不同粒子。量子力學(xué)考試題(共五題，每題20分)1、扼要說明：(a) 束縛定態(tài)的主要性質(zhì)。(b) 單價(jià)原子自發(fā)能級(jí)躍遷過程的選擇定則及其理論根據(jù)。A AAA A A A2、設(shè)力學(xué)量算符(厄米算符)F，G不對(duì)易，令K = i ( FG-GF )， 試證明：(a) K的本征值是實(shí)數(shù)。(b) 對(duì)于F的任何本征態(tài)，K的平均值為0。(

21、C)在任何態(tài)中F2 +G2 > K3、自旋/2的定域電子(不考慮“軌道”運(yùn)動(dòng))受到磁場(chǎng)作用，已 知其能量算符為H? n y ：SH = ' Sz + v Sx( ，v >0, ? v )(a) 求能級(jí)的精確值。(b) 視v Sx項(xiàng)為微擾，用微擾論公式求能級(jí)。4、質(zhì)量為m的粒子在無限深勢(shì)阱(0<x<a)中運(yùn)動(dòng)，處于基態(tài)。寫 出能級(jí)和波函數(shù)，并計(jì)算平均值x，pZ，云5、某物理體系由兩個(gè)粒子組成，粒子間相互作用微弱，可以忽略。WE：；"壬.:：.”""；：'：."："：'-：'n.：”"

22、;：'：:"：.-n：.w”：.；：-：:：'；：n；：”'.："”：”：."".：；I:-%':三二門:.:0p.o.t h.p：. . no”.ntde .I d.e.pl.已知單粒子“軌道”態(tài)只有3種:(r).(r),（r ）,試分別就=02V+ v."ub'.以下兩種情況，求體系的可能（獨(dú)立）狀態(tài)數(shù)目（i ）無自旋全同粒子。（ii ）自旋/2的全同粒子（例如電子）量子力學(xué)考試評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1、（a），（b）各 10分(a)能量有確定值力學(xué)量（不顯含t)的可能測(cè)值及概率不隨時(shí)間改變(b)(n I m ms

23、)(n' Im) m選擇定則：=ims2、(a)(a)根據(jù)：電矩m矩陣元6分（b） 7分K是厄米算符，-er n' I(c) 7 分-0所以其本征值必為實(shí)數(shù)。(b)KN)(c), - ,-，- 2 2(F+i G)( F -iG )=F +G -KA.(F+i G)( F-i?；=(F-i2<F +G2-K > A 0，即卩 F +G3、(a),(b)各10分Sx-1-co令E=0,=.2-VE1(1+ 2)1/2(1+2 2 )_"i：.：""：'：."i.：b.：。-：0n.C：；"：i"：e.

24、-n：e.：.；0：-d.:O；：in；：；o. 0"；：p：.：e""g.；：t：；：'n”f.：.：；："：d：”三三:三三:-：；0：三二:：。：；0三 '：-：."；.二；。：o：o.；.："：c：.：；.：.t:：0：.；：；-.“”；：；：”C：；：；：2.："C：.："：-.n -._:. (b) Hp.t"cksn"u."wu；0fa.m.d":”ge.：一：-"一一：-"：".h.”“：dh：.：“.-P.：.ElSz +本征值為Sx =H o+H+ 2：.-.Ei（o）SzSxE2（o）相當(dāng)本征函數(shù)（Sz表象）（o）（o）=0則H之矩陣元（Sz表象）為H 11=0H 22 =0 ,1221221E1 = E1(0)+ H 11 + E1(0)-E(0)+0-12E2= E2(0)+