第三章.邏輯函數(shù)與邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)ppt

1、第三章邏輯代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)邏輯代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)3.1 邏輯代數(shù)及運(yùn)算規(guī)則邏輯代數(shù)及運(yùn)算規(guī)則數(shù)字電路要研究的是電路的輸入輸出之間的數(shù)字電路要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關(guān)系，所以數(shù)字電路又稱邏輯關(guān)系，所以數(shù)字電路又稱邏輯電路邏輯電路，相應(yīng)的，相應(yīng)的研究工具是研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）。在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)的變量只能取兩個(gè)在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)的變量只能取兩個(gè)值（值（二值變量二值變量），即），即0和和1，中間值沒有意義。，中間值沒有意義。0和和1表示兩個(gè)對(duì)立的邏輯狀態(tài)。表示兩個(gè)對(duì)立的邏輯狀態(tài)。例如：電位的低高（例如：電位的低高（0表示低電位，表示低電位，1表示表示

2、高電位）、開關(guān)的開合等。高電位）、開關(guān)的開合等。3.1.1 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算規(guī)則邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算規(guī)則加運(yùn)算規(guī)則加運(yùn)算規(guī)則:0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1乘運(yùn)算規(guī)則乘運(yùn)算規(guī)則:00=0 01=0 10=0 11=1非運(yùn)算規(guī)則非運(yùn)算規(guī)則:1001 AA 0,1,00 AAAAAAAA1, 11,0 AAAAAAAA3.1.2 邏輯代數(shù)的運(yùn)算規(guī)律邏輯代數(shù)的運(yùn)算規(guī)律一、交換律一、交換律二、結(jié)合律二、結(jié)合律三、分配律三、分配律A+B=B+AA B=B AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA (B C)=(A B) CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(

3、A+C)求證求證: （分配律第（分配律第2條）條） A+BC=(A+B)(A+C)證明證明:右邊右邊 =(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC ; 分配律分配律=A +A(B+C)+BC ; 結(jié)合律結(jié)合律 , AA=A=A(1+B+C)+BC ; 結(jié)合律結(jié)合律=A 1+BC ; 1+B+C=1=A+BC ; A 1=1=左邊左邊四、吸收規(guī)則四、吸收規(guī)則1.原變量的吸收：原變量的吸收： A+AB=A證明：證明：A+AB=A(1+B)=A1=A利用運(yùn)算規(guī)則可以對(duì)邏輯式進(jìn)行化簡(jiǎn)。利用運(yùn)算規(guī)則可以對(duì)邏輯式進(jìn)行化簡(jiǎn)。例如：例如：CDAB)FE(DABCDAB 被吸收被吸收吸收是指吸收多余（吸收是指

4、吸收多余（冗余冗余）項(xiàng)，多余（）項(xiàng)，多余（冗冗余余）因子被取消、去掉）因子被取消、去掉 被消化了。被消化了。長(zhǎng)中含短，長(zhǎng)中含短，留下短。留下短。2.反變量的吸收：反變量的吸收：BABAA 證明：證明：BAABABAA BA)AA(BA 例如：例如：DEBCADCBCAA 被吸收被吸收長(zhǎng)中含反，長(zhǎng)中含反，去掉反。去掉反。3.混合變量的吸收：混合變量的吸收：CAABBCCAAB 證明：證明：BC)AA(CAABBCCAAB CAABBCAABCCAAB 例如：例如：CAABBCCAABBCDBCCAABBCDCAAB 1吸收吸收正負(fù)相對(duì)，正負(fù)相對(duì)，余全完。余全完。五、反演定理五、反演定理BABAB

5、ABA ABAB0001111010110110010111110000BA ABBA 可以用列真值表的方法證明：可以用列真值表的方法證明：德德 摩根摩根 (De Morgan)定理：定理：反演定理內(nèi)容：反演定理內(nèi)容：將函數(shù)式將函數(shù)式 F 中所有的中所有的 + 變量與常數(shù)均取反變量與常數(shù)均取反 （求反運(yùn)算）（求反運(yùn)算）互補(bǔ)運(yùn)算互補(bǔ)運(yùn)算1.運(yùn)算順序：先括號(hào)運(yùn)算順序：先括號(hào) 再乘法再乘法 后加法。后加法。2.不是一個(gè)變量上的反號(hào)不動(dòng)。不是一個(gè)變量上的反號(hào)不動(dòng)。注意注意:用處：用處：實(shí)現(xiàn)互補(bǔ)運(yùn)算（求反運(yùn)算）。實(shí)現(xiàn)互補(bǔ)運(yùn)算（求反運(yùn)算）。新表達(dá)式：新表達(dá)式：F顯然：顯然：FF (變換時(shí)，原函數(shù)運(yùn)算的先后

6、順序不變變換時(shí)，原函數(shù)運(yùn)算的先后順序不變)例例1：1)()(1 DCBAF01 DCBAF與或式與或式注意括號(hào)注意括號(hào)注意注意括號(hào)括號(hào)01 DCBAFDBDACBCAF 1)(EDCBA )(EDCBA 例例2：EDCBAF2 EDCBAF 2與或式與或式反號(hào)不動(dòng)反號(hào)不動(dòng)反號(hào)不動(dòng)反號(hào)不動(dòng)EDCBAF 2EDACABAF 23.2 邏輯函數(shù)的表示法邏輯函數(shù)的表示法四種表示方法四種表示方法邏輯代數(shù)式邏輯代數(shù)式 (邏輯表示式邏輯表示式, 邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式)11&1ABY 邏輯電路圖邏輯電路圖:卡諾圖卡諾圖n2n個(gè)輸入變量個(gè)輸入變量 種組合種組合。真值表：真值表：將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不

7、同組合將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不同組合與所對(duì)應(yīng)的輸出變量值用列表的方式與所對(duì)應(yīng)的輸出變量值用列表的方式一一對(duì)應(yīng)列出的表格。一一對(duì)應(yīng)列出的表格。BABAF 將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)地列將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)地列出。出。 n個(gè)變量可以有個(gè)變量可以有2n個(gè)輸入狀態(tài)。個(gè)輸入狀態(tài)。A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 3.2.1 真值表真值表列真值表的方法：列真值表的方法：一一般按二進(jìn)制的順序，般按二進(jìn)制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一輸出與輸入狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)，列出所有一對(duì)應(yīng)，列出所有可

8、能的狀態(tài)?？赡艿臓顟B(tài)。例如：例如：3.2.2 邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式邏輯代數(shù)式：邏輯代數(shù)式：把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫成與、或、非等邏輯運(yùn)算的組合系寫成與、或、非等邏輯運(yùn)算的組合式。也稱為邏輯函數(shù)式，式。也稱為邏輯函數(shù)式，通常采用通常采用“與或與或”的形式。的形式。例：例：ABCCBACBACBACBAF 下面介紹兩個(gè)重要概念下面介紹兩個(gè)重要概念最小項(xiàng)和邏輯相鄰最小項(xiàng)和邏輯相鄰。以三變量的邏輯函數(shù)為例：以三變量的邏輯函數(shù)為例：A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 C

9、BACBACBABCACBACBACABABC變量賦值為變量賦值為1時(shí)用該變量表示；變量賦值為時(shí)用該變量表示；變量賦值為0時(shí)用該變量的反來表示。時(shí)用該變量的反來表示?？梢娸斎胱兞康目梢娸斎胱兞康陌朔N狀態(tài)分別唯八種狀態(tài)分別唯一地對(duì)應(yīng)著八個(gè)一地對(duì)應(yīng)著八個(gè)最小項(xiàng)。最小項(xiàng)。(1) 若表達(dá)式中的乘積若表達(dá)式中的乘積包含了所有變量的包含了所有變量的原變量或反變量，原變量或反變量，則這一項(xiàng)稱為最小則這一項(xiàng)稱為最小項(xiàng)。項(xiàng)。最小項(xiàng)的特點(diǎn)：最小項(xiàng)的特點(diǎn)：A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBACBACBA

10、BCACBACBACABABC(2) 當(dāng)輸入變量的賦值當(dāng)輸入變量的賦值使某一個(gè)最小項(xiàng)等使某一個(gè)最小項(xiàng)等于于1時(shí)，其他的最時(shí)，其他的最小項(xiàng)均等于小項(xiàng)均等于0。之所以稱之為最小項(xiàng)，是因?yàn)樵擁?xiàng)已包含了所之所以稱之為最小項(xiàng)，是因?yàn)樵擁?xiàng)已包含了所有的輸入變量，不可能再分解。有的輸入變量，不可能再分解。A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBACBACBABCACBACBACABABC例如：例如：對(duì)于三變量的對(duì)于三變量的邏輯函數(shù)，如果某邏輯函數(shù)，如果某一項(xiàng)的變量數(shù)少于一項(xiàng)的變量數(shù)少于3個(gè)，則該項(xiàng)可繼

11、續(xù)個(gè)，則該項(xiàng)可繼續(xù)分解；若變量數(shù)等分解；若變量數(shù)等于于3個(gè)，則該項(xiàng)不能個(gè)，則該項(xiàng)不能繼續(xù)分解。繼續(xù)分解。不不能能分分解解CBACBACABCBAABCCCBBAA )(根據(jù)最小項(xiàng)的特點(diǎn)，從真值表可直接用最小項(xiàng)根據(jù)最小項(xiàng)的特點(diǎn)，從真值表可直接用最小項(xiàng)寫出邏輯函數(shù)式。寫出邏輯函數(shù)式。A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBACBACBABCACBACBACABABC例如：例如：由左圖所示三由左圖所示三變量邏輯函數(shù)的真值變量邏輯函數(shù)的真值表，可寫出其邏輯函表，可寫出其邏輯函數(shù)式：數(shù)式：ABCC

12、ABCBAF 驗(yàn)證：驗(yàn)證：將八種輸入狀態(tài)將八種輸入狀態(tài)代入該表示式，均滿代入該表示式，均滿足真值表中所列出的足真值表中所列出的對(duì)應(yīng)的輸出狀態(tài)。對(duì)應(yīng)的輸出狀態(tài)。邏輯相鄰：邏輯相鄰：若兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量以原、反區(qū)若兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量以原、反區(qū)別，其他變量均相同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)邏輯別，其他變量均相同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)邏輯相鄰。相鄰。 邏邏輯輯相相鄰鄰；與與例例：BCACBAA B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBACBACBABCACBACBACABABC不不是是邏邏輯輯相相鄰鄰。與

13、與CBACBAABCCBACBACBACBAF 邏輯相鄰邏輯相鄰CBCBACBA 邏輯相鄰的項(xiàng)可以邏輯相鄰的項(xiàng)可以合并，消去一個(gè)因子合并，消去一個(gè)因子3.2.3 卡諾圖卡諾圖卡諾圖的構(gòu)成：卡諾圖的構(gòu)成：將將n個(gè)輸入變量的全部最小項(xiàng)用個(gè)輸入變量的全部最小項(xiàng)用小方塊陣列圖表示，并且將邏輯相鄰的最小小方塊陣列圖表示，并且將邏輯相鄰的最小項(xiàng)放在相鄰的幾何位置上，所得到的陣列圖項(xiàng)放在相鄰的幾何位置上，所得到的陣列圖就是就是n變量的卡諾圖。變量的卡諾圖。下面舉例說明卡諾圖的畫法。下面舉例說明卡諾圖的畫法。最小項(xiàng)最小項(xiàng)：輸入變量的每一種組合。輸入變量的每一種組合。 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0

14、 1 1 1 0AB01010111輸出變量輸出變量Y的值的值輸入變量輸入變量例例1：二輸入變量卡諾圖二輸入變量卡諾圖卡諾圖的每一個(gè)方塊（最小項(xiàng)）代表一種輸入組卡諾圖的每一個(gè)方塊（最小項(xiàng)）代表一種輸入組合，并且把對(duì)應(yīng)的輸入組合注明在陣列圖的上方合，并且把對(duì)應(yīng)的輸入組合注明在陣列圖的上方和左方。和左方。邏輯相鄰：邏輯相鄰：相鄰單相鄰單元輸入變量的取值元輸入變量的取值只能有一位不同。只能有一位不同。0100011110 ABC00000111輸入變量輸入變量輸出變量輸出變量Y的值的值A(chǔ) B C Y0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11

15、 1 1 1例例2：三輸入變量卡諾圖三輸入變量卡諾圖注意：注意：00與與10邏輯相鄰。邏輯相鄰。ABCD000111100001110110100 01110 011110四變量卡諾圖四變量卡諾圖編號(hào)為編號(hào)為0010單單元對(duì)應(yīng)于最元對(duì)應(yīng)于最小項(xiàng)：小項(xiàng)：DCBAABCD=0100時(shí)函時(shí)函數(shù)取值數(shù)取值函數(shù)取函數(shù)取0、1均可，稱為均可，稱為無所謂狀態(tài)無所謂狀態(tài)。只有一只有一項(xiàng)不同項(xiàng)不同例例3：四輸入變量卡諾圖四輸入變量卡諾圖有時(shí)為了方便，用二進(jìn)制對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制表示單有時(shí)為了方便，用二進(jìn)制對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制表示單元格的編號(hào)。單元格的值用函數(shù)式表示。元格的編號(hào)。單元格的值用函數(shù)式表示。ABC0001111001

16、0 1 3 2 4 5 7 7 6 F( A , B , C )= ( 1 , 2 , 4 , 7 )1,2,4,7單元取單元取1，其它取，其它取0 A B C 編號(hào)編號(hào) 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2 0 1 1 3 1 0 0 4 1 0 1 5 1 1 0 6 1 1 1 70 1 3 2 4 5 7 7 6 12 1 13 3 1 15 5 14 8 9 1 11 1 10 ABCD0001111000011110四變量卡諾圖單元格的編號(hào)四變量卡諾圖單元格的編號(hào):202123221819171628293130262725241213151410119845762310

17、五變量卡諾圖單元格的編號(hào)五變量卡諾圖單元格的編號(hào):3.2.4 邏輯圖邏輯圖把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏輯符號(hào)和連線表示把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏輯符號(hào)和連線表示出來，就構(gòu)成了邏輯圖。出來，就構(gòu)成了邏輯圖。&AB&CD 1FF=AB+CD3.2.5 邏輯函數(shù)四種表示方式的相互轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)四種表示方式的相互轉(zhuǎn)換一、邏輯電路圖一、邏輯電路圖邏輯代數(shù)式邏輯代數(shù)式BABY=A B+ABA BA1&AB&11 二、真值表二、真值表卡諾圖卡諾圖 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0二變量卡諾圖二變量卡諾圖真值表真值表AB10101110三、真值表、卡諾圖三、真值表、卡

18、諾圖邏輯代數(shù)式邏輯代數(shù)式方法：方法：將真值表或卡諾圖中為將真值表或卡諾圖中為1的的項(xiàng)相加，寫成項(xiàng)相加，寫成 “與或式與或式”。 真值表真值表 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0AB0 1010111AB此邏輯代數(shù)式并非是最簡(jiǎn)單的形式，實(shí)際上此真此邏輯代數(shù)式并非是最簡(jiǎn)單的形式，實(shí)際上此真值表是與非門的真值表，其邏輯代數(shù)式為值表是與非門的真值表，其邏輯代數(shù)式為Y=AB因此，有一個(gè)化簡(jiǎn)問題。因此，有一個(gè)化簡(jiǎn)問題。ABABBABABAY 3.3 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)與或式最簡(jiǎn)與或式乘積項(xiàng)的乘積項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)最少。項(xiàng)數(shù)最少。每個(gè)乘積項(xiàng)中每個(gè)乘積項(xiàng)中變量個(gè)數(shù)最少。變量個(gè)數(shù)最少

19、。3.3.1 利用邏輯代數(shù)的基本公式利用邏輯代數(shù)的基本公式例例1：ABAC)BC(A)BCB(AABCBA)CC(ABCBAABCCABCBAF 反變量吸收反變量吸收提出提出AB=1提出提出A例例2：CBBCBAABF )(CBBCBAAB ）（反演反演CBAABCCCBAAB )()(配項(xiàng)配項(xiàng)CBBCAABCCBACBAAB 被吸收被吸收被吸收被吸收CBBBCAAB )(CBCAAB 結(jié)論：結(jié)論：異或門可以用異或門可以用4個(gè)個(gè)與非門實(shí)現(xiàn)。與非門實(shí)現(xiàn)。例例3: 證明證明BABBAABABABAY BABBAA 右右邊邊; AB=A+BBABBAA )BA(B)BA(A BBABBAAA 0AB

20、BA0 ABBA 右右邊邊 AA; ; 展開展開BABA; 異或門可以用異或門可以用4個(gè)與非門實(shí)現(xiàn)：個(gè)與非門實(shí)現(xiàn)：&ABYBABBAABABABAY 例例4：化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)邏輯代數(shù)式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)邏輯代數(shù)式ABCCABCBABCACBAY ABCCABCBABCACBAY )CC(ABCBA)CC(BA ABCBABA CBAB)AA( CBAB ACB 例例5：將將Y化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)邏輯代數(shù)式?；?jiǎn)為最簡(jiǎn)邏輯代數(shù)式。 ;利用反演定理利用反演定理;利用公式利用公式A+AB=A+B；A=ACDBABAY)( CD)BA(BAY CDBABA)( CDBABA CDBA 3.3.2 利用卡諾圖化簡(jiǎn)利用卡

21、諾圖化簡(jiǎn)ABC00011110010010001 11ABCBCABCBCAABC 該方框中邏輯函數(shù)的取值與變量該方框中邏輯函數(shù)的取值與變量A無關(guān)，當(dāng)無關(guān)，當(dāng)B=1、C=1時(shí)取時(shí)取“1”。ABC00011110010010001 11ABBCF=AB+BC卡諾圖適用于輸入變量為卡諾圖適用于輸入變量為3、4個(gè)的邏輯代數(shù)式的個(gè)的邏輯代數(shù)式的化簡(jiǎn)；化簡(jiǎn)過程比公式法簡(jiǎn)單直觀?；?jiǎn)；化簡(jiǎn)過程比公式法簡(jiǎn)單直觀。利用卡諾圖化簡(jiǎn)的規(guī)則利用卡諾圖化簡(jiǎn)的規(guī)則1. 相鄰單元的個(gè)數(shù)是相鄰單元的個(gè)數(shù)是2n個(gè)，并組成矩形時(shí)，可以個(gè)，并組成矩形時(shí)，可以合并。合并。ABCD0001 111000010000001 1001

22、11 10111 101110ADAB0000010 0011 10 00100 00CD00011110000111104. 每一個(gè)組合中的公因子構(gòu)成一個(gè)每一個(gè)組合中的公因子構(gòu)成一個(gè)“與與”項(xiàng)，然項(xiàng)，然后將所有后將所有“與與”項(xiàng)相加，得最簡(jiǎn)項(xiàng)相加，得最簡(jiǎn)“與或與或”表示式。表示式。2. 先找面積盡量大的組合進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用吸收規(guī)則，先找面積盡量大的組合進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用吸收規(guī)則， 2n個(gè)相鄰單元合并，可吸收掉個(gè)相鄰單元合并，可吸收掉n個(gè)變量。個(gè)變量。3. 各最小項(xiàng)可以重復(fù)使用。但每一次新的組合，至各最小項(xiàng)可以重復(fù)使用。但每一次新的組合，至少包含一個(gè)未使用過的項(xiàng)，直到所有為少包含一個(gè)未使用過的項(xiàng)，直到所有為1的項(xiàng)都的項(xiàng)都被使用后化簡(jiǎn)工作方算完成。被使用后化簡(jiǎn)工作方算完成。5. 注意利用無所謂狀態(tài)，可以使結(jié)果大大簡(jiǎn)化。注意利用無所謂狀態(tài)，可以使結(jié)果