第三章.邏輯函數(shù)與邏輯函數(shù)化簡ppt

1、第三章邏輯代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡邏輯代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡3.1 邏輯代數(shù)及運算規(guī)則邏輯代數(shù)及運算規(guī)則數(shù)字電路要研究的是電路的輸入輸出之間的數(shù)字電路要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關(guān)系，所以數(shù)字電路又稱邏輯關(guān)系，所以數(shù)字電路又稱邏輯電路邏輯電路，相應(yīng)的，相應(yīng)的研究工具是研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）。在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)的變量只能取兩個在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)的變量只能取兩個值（值（二值變量二值變量），即），即0和和1，中間值沒有意義。，中間值沒有意義。0和和1表示兩個對立的邏輯狀態(tài)。表示兩個對立的邏輯狀態(tài)。例如：電位的低高（例如：電位的低高（0表示低電位，表示低電位，1表示表示

2、高電位）、開關(guān)的開合等。高電位）、開關(guān)的開合等。3.1.1 邏輯代數(shù)的基本運算規(guī)則邏輯代數(shù)的基本運算規(guī)則加運算規(guī)則加運算規(guī)則:0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1乘運算規(guī)則乘運算規(guī)則:00=0 01=0 10=0 11=1非運算規(guī)則非運算規(guī)則:1001 AA 0,1,00 AAAAAAAA1, 11,0 AAAAAAAA3.1.2 邏輯代數(shù)的運算規(guī)律邏輯代數(shù)的運算規(guī)律一、交換律一、交換律二、結(jié)合律二、結(jié)合律三、分配律三、分配律A+B=B+AA B=B AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA (B C)=(A B) CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(

3、A+C)求證求證: （分配律第（分配律第2條）條） A+BC=(A+B)(A+C)證明證明:右邊右邊 =(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC ; 分配律分配律=A +A(B+C)+BC ; 結(jié)合律結(jié)合律 , AA=A=A(1+B+C)+BC ; 結(jié)合律結(jié)合律=A 1+BC ; 1+B+C=1=A+BC ; A 1=1=左邊左邊四、吸收規(guī)則四、吸收規(guī)則1.原變量的吸收：原變量的吸收： A+AB=A證明：證明：A+AB=A(1+B)=A1=A利用運算規(guī)則可以對邏輯式進行化簡。利用運算規(guī)則可以對邏輯式進行化簡。例如：例如：CDAB)FE(DABCDAB 被吸收被吸收吸收是指吸收多余（吸收是指

4、吸收多余（冗余冗余）項，多余（）項，多余（冗冗余余）因子被取消、去掉）因子被取消、去掉 被消化了。被消化了。長中含短，長中含短，留下短。留下短。2.反變量的吸收：反變量的吸收：BABAA 證明：證明：BAABABAA BA)AA(BA 例如：例如：DEBCADCBCAA 被吸收被吸收長中含反，長中含反，去掉反。去掉反。3.混合變量的吸收：混合變量的吸收：CAABBCCAAB 證明：證明：BC)AA(CAABBCCAAB CAABBCAABCCAAB 例如：例如：CAABBCCAABBCDBCCAABBCDCAAB 1吸收吸收正負相對，正負相對，余全完。余全完。五、反演定理五、反演定理BABAB

5、ABA ABAB0001111010110110010111110000BA ABBA 可以用列真值表的方法證明：可以用列真值表的方法證明：德德 摩根摩根 (De Morgan)定理：定理：反演定理內(nèi)容：反演定理內(nèi)容：將函數(shù)式將函數(shù)式 F 中所有的中所有的 + 變量與常數(shù)均取反變量與常數(shù)均取反 （求反運算）（求反運算）互補運算互補運算1.運算順序：先括號運算順序：先括號 再乘法再乘法 后加法。后加法。2.不是一個變量上的反號不動。不是一個變量上的反號不動。注意注意:用處：用處：實現(xiàn)互補運算（求反運算）。實現(xiàn)互補運算（求反運算）。新表達式：新表達式：F顯然：顯然：FF (變換時，原函數(shù)運算的先后

6、順序不變變換時，原函數(shù)運算的先后順序不變)例例1：1)()(1 DCBAF01 DCBAF與或式與或式注意括號注意括號注意注意括號括號01 DCBAFDBDACBCAF 1)(EDCBA )(EDCBA 例例2：EDCBAF2 EDCBAF 2與或式與或式反號不動反號不動反號不動反號不動EDCBAF 2EDACABAF 23.2 邏輯函數(shù)的表示法邏輯函數(shù)的表示法四種表示方法四種表示方法邏輯代數(shù)式邏輯代數(shù)式 (邏輯表示式邏輯表示式, 邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式)11&1ABY 邏輯電路圖邏輯電路圖:卡諾圖卡諾圖n2n個輸入變量個輸入變量 種組合種組合。真值表：真值表：將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不

7、同組合將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不同組合與所對應(yīng)的輸出變量值用列表的方式與所對應(yīng)的輸出變量值用列表的方式一一對應(yīng)列出的表格。一一對應(yīng)列出的表格。BABAF 將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對應(yīng)地列將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對應(yīng)地列出。出。 n個變量可以有個變量可以有2n個輸入狀態(tài)。個輸入狀態(tài)。A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 3.2.1 真值表真值表列真值表的方法：列真值表的方法：一一般按二進制的順序，般按二進制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一輸出與輸入狀態(tài)一一對應(yīng)，列出所有一對應(yīng)，列出所有可

8、能的狀態(tài)?？赡艿臓顟B(tài)。例如：例如：3.2.2 邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式邏輯代數(shù)式：邏輯代數(shù)式：把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫成與、或、非等邏輯運算的組合系寫成與、或、非等邏輯運算的組合式。也稱為邏輯函數(shù)式，式。也稱為邏輯函數(shù)式，通常采用通常采用“與或與或”的形式。的形式。例：例：ABCCBACBACBACBAF 下面介紹兩個重要概念下面介紹兩個重要概念最小項和邏輯相鄰最小項和邏輯相鄰。以三變量的邏輯函數(shù)為例：以三變量的邏輯函數(shù)為例：A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 C

9、BACBACBABCACBACBACABABC變量賦值為變量賦值為1時用該變量表示；變量賦值為時用該變量表示；變量賦值為0時用該變量的反來表示。時用該變量的反來表示。可見輸入變量的可見輸入變量的八種狀態(tài)分別唯八種狀態(tài)分別唯一地對應(yīng)著八個一地對應(yīng)著八個最小項。最小項。(1) 若表達式中的乘積若表達式中的乘積包含了所有變量的包含了所有變量的原變量或反變量，原變量或反變量，則這一項稱為最小則這一項稱為最小項。項。最小項的特點：最小項的特點：A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBACBACBA

10、BCACBACBACABABC(2) 當輸入變量的賦值當輸入變量的賦值使某一個最小項等使某一個最小項等于于1時，其他的最時，其他的最小項均等于小項均等于0。之所以稱之為最小項，是因為該項已包含了所之所以稱之為最小項，是因為該項已包含了所有的輸入變量，不可能再分解。有的輸入變量，不可能再分解。A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBACBACBABCACBACBACABABC例如：例如：對于三變量的對于三變量的邏輯函數(shù)，如果某邏輯函數(shù)，如果某一項的變量數(shù)少于一項的變量數(shù)少于3個，則該項可繼

11、續(xù)個，則該項可繼續(xù)分解；若變量數(shù)等分解；若變量數(shù)等于于3個，則該項不能個，則該項不能繼續(xù)分解。繼續(xù)分解。不不能能分分解解CBACBACABCBAABCCCBBAA )(根據(jù)最小項的特點，從真值表可直接用最小項根據(jù)最小項的特點，從真值表可直接用最小項寫出邏輯函數(shù)式。寫出邏輯函數(shù)式。A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBACBACBABCACBACBACABABC例如：例如：由左圖所示三由左圖所示三變量邏輯函數(shù)的真值變量邏輯函數(shù)的真值表，可寫出其邏輯函表，可寫出其邏輯函數(shù)式：數(shù)式：ABCC

12、ABCBAF 驗證：驗證：將八種輸入狀態(tài)將八種輸入狀態(tài)代入該表示式，均滿代入該表示式，均滿足真值表中所列出的足真值表中所列出的對應(yīng)的輸出狀態(tài)。對應(yīng)的輸出狀態(tài)。邏輯相鄰：邏輯相鄰：若兩個最小項只有一個變量以原、反區(qū)若兩個最小項只有一個變量以原、反區(qū)別，其他變量均相同，則稱這兩個最小項邏輯別，其他變量均相同，則稱這兩個最小項邏輯相鄰。相鄰。 邏邏輯輯相相鄰鄰；與與例例：BCACBAA B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBACBACBABCACBACBACABABC不不是是邏邏輯輯相相鄰鄰。與

13、與CBACBAABCCBACBACBACBAF 邏輯相鄰邏輯相鄰CBCBACBA 邏輯相鄰的項可以邏輯相鄰的項可以合并，消去一個因子合并，消去一個因子3.2.3 卡諾圖卡諾圖卡諾圖的構(gòu)成：卡諾圖的構(gòu)成：將將n個輸入變量的全部最小項用個輸入變量的全部最小項用小方塊陣列圖表示，并且將邏輯相鄰的最小小方塊陣列圖表示，并且將邏輯相鄰的最小項放在相鄰的幾何位置上，所得到的陣列圖項放在相鄰的幾何位置上，所得到的陣列圖就是就是n變量的卡諾圖。變量的卡諾圖。下面舉例說明卡諾圖的畫法。下面舉例說明卡諾圖的畫法。最小項最小項：輸入變量的每一種組合。輸入變量的每一種組合。 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0

14、 1 1 1 0AB01010111輸出變量輸出變量Y的值的值輸入變量輸入變量例例1：二輸入變量卡諾圖二輸入變量卡諾圖卡諾圖的每一個方塊（最小項）代表一種輸入組卡諾圖的每一個方塊（最小項）代表一種輸入組合，并且把對應(yīng)的輸入組合注明在陣列圖的上方合，并且把對應(yīng)的輸入組合注明在陣列圖的上方和左方。和左方。邏輯相鄰：邏輯相鄰：相鄰單相鄰單元輸入變量的取值元輸入變量的取值只能有一位不同。只能有一位不同。0100011110 ABC00000111輸入變量輸入變量輸出變量輸出變量Y的值的值A(chǔ) B C Y0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11

15、 1 1 1例例2：三輸入變量卡諾圖三輸入變量卡諾圖注意：注意：00與與10邏輯相鄰。邏輯相鄰。ABCD000111100001110110100 01110 011110四變量卡諾圖四變量卡諾圖編號為編號為0010單單元對應(yīng)于最元對應(yīng)于最小項：小項：DCBAABCD=0100時函時函數(shù)取值數(shù)取值函數(shù)取函數(shù)取0、1均可，稱為均可，稱為無所謂狀態(tài)無所謂狀態(tài)。只有一只有一項不同項不同例例3：四輸入變量卡諾圖四輸入變量卡諾圖有時為了方便，用二進制對應(yīng)的十進制表示單有時為了方便，用二進制對應(yīng)的十進制表示單元格的編號。單元格的值用函數(shù)式表示。元格的編號。單元格的值用函數(shù)式表示。ABC0001111001

16、0 1 3 2 4 5 7 7 6 F( A , B , C )= ( 1 , 2 , 4 , 7 )1,2,4,7單元取單元取1，其它取，其它取0 A B C 編號編號 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2 0 1 1 3 1 0 0 4 1 0 1 5 1 1 0 6 1 1 1 70 1 3 2 4 5 7 7 6 12 1 13 3 1 15 5 14 8 9 1 11 1 10 ABCD0001111000011110四變量卡諾圖單元格的編號四變量卡諾圖單元格的編號:202123221819171628293130262725241213151410119845762310

17、五變量卡諾圖單元格的編號五變量卡諾圖單元格的編號:3.2.4 邏輯圖邏輯圖把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏輯符號和連線表示把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏輯符號和連線表示出來，就構(gòu)成了邏輯圖。出來，就構(gòu)成了邏輯圖。&AB&CD 1FF=AB+CD3.2.5 邏輯函數(shù)四種表示方式的相互轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)四種表示方式的相互轉(zhuǎn)換一、邏輯電路圖一、邏輯電路圖邏輯代數(shù)式邏輯代數(shù)式BABY=A B+ABA BA1&AB&11 二、真值表二、真值表卡諾圖卡諾圖 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0二變量卡諾圖二變量卡諾圖真值表真值表AB10101110三、真值表、卡諾圖三、真值表、卡

18、諾圖邏輯代數(shù)式邏輯代數(shù)式方法：方法：將真值表或卡諾圖中為將真值表或卡諾圖中為1的的項相加，寫成項相加，寫成 “與或式與或式”。 真值表真值表 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0AB0 1010111AB此邏輯代數(shù)式并非是最簡單的形式，實際上此真此邏輯代數(shù)式并非是最簡單的形式，實際上此真值表是與非門的真值表，其邏輯代數(shù)式為值表是與非門的真值表，其邏輯代數(shù)式為Y=AB因此，有一個化簡問題。因此，有一個化簡問題。ABABBABABAY 3.3 邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的化簡最簡與或式最簡與或式乘積項的乘積項的項數(shù)最少。項數(shù)最少。每個乘積項中每個乘積項中變量個數(shù)最少。變量個數(shù)最少

19、。3.3.1 利用邏輯代數(shù)的基本公式利用邏輯代數(shù)的基本公式例例1：ABAC)BC(A)BCB(AABCBA)CC(ABCBAABCCABCBAF 反變量吸收反變量吸收提出提出AB=1提出提出A例例2：CBBCBAABF )(CBBCBAAB ）（反演反演CBAABCCCBAAB )()(配項配項CBBCAABCCBACBAAB 被吸收被吸收被吸收被吸收CBBBCAAB )(CBCAAB 結(jié)論：結(jié)論：異或門可以用異或門可以用4個個與非門實現(xiàn)。與非門實現(xiàn)。例例3: 證明證明BABBAABABABAY BABBAA 右右邊邊; AB=A+BBABBAA )BA(B)BA(A BBABBAAA 0AB

20、BA0 ABBA 右右邊邊 AA; ; 展開展開BABA; 異或門可以用異或門可以用4個與非門實現(xiàn)：個與非門實現(xiàn)：&ABYBABBAABABABAY 例例4：化簡為最簡邏輯代數(shù)式化簡為最簡邏輯代數(shù)式ABCCABCBABCACBAY ABCCABCBABCACBAY )CC(ABCBA)CC(BA ABCBABA CBAB)AA( CBAB ACB 例例5：將將Y化簡為最簡邏輯代數(shù)式?；啚樽詈嗊壿嫶鷶?shù)式。 ;利用反演定理利用反演定理;利用公式利用公式A+AB=A+B；A=ACDBABAY)( CD)BA(BAY CDBABA)( CDBABA CDBA 3.3.2 利用卡諾圖化簡利用卡

21、諾圖化簡ABC00011110010010001 11ABCBCABCBCAABC 該方框中邏輯函數(shù)的取值與變量該方框中邏輯函數(shù)的取值與變量A無關(guān)，當無關(guān)，當B=1、C=1時取時取“1”。ABC00011110010010001 11ABBCF=AB+BC卡諾圖適用于輸入變量為卡諾圖適用于輸入變量為3、4個的邏輯代數(shù)式的個的邏輯代數(shù)式的化簡；化簡過程比公式法簡單直觀?；?；化簡過程比公式法簡單直觀。利用卡諾圖化簡的規(guī)則利用卡諾圖化簡的規(guī)則1. 相鄰單元的個數(shù)是相鄰單元的個數(shù)是2n個，并組成矩形時，可以個，并組成矩形時，可以合并。合并。ABCD0001 111000010000001 1001

22、11 10111 101110ADAB0000010 0011 10 00100 00CD00011110000111104. 每一個組合中的公因子構(gòu)成一個每一個組合中的公因子構(gòu)成一個“與與”項，然項，然后將所有后將所有“與與”項相加，得最簡項相加，得最簡“與或與或”表示式。表示式。2. 先找面積盡量大的組合進行化簡，利用吸收規(guī)則，先找面積盡量大的組合進行化簡，利用吸收規(guī)則， 2n個相鄰單元合并，可吸收掉個相鄰單元合并，可吸收掉n個變量。個變量。3. 各最小項可以重復使用。但每一次新的組合，至各最小項可以重復使用。但每一次新的組合，至少包含一個未使用過的項，直到所有為少包含一個未使用過的項，直到所有為1的項都的項都被使用后化簡工作方算完成。被使用后化簡工作方算完成。5. 注意利用無所謂狀態(tài)，可以使結(jié)果大大簡化。注意利用無所謂狀態(tài)，可以使結(jié)果