2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末測試卷02(理)(測試范圍：必修5、選修2-1)(教師版)

1、期末測試卷02 （理）（本卷滿分150分，考試時間120分鐘）測試范圍：必修5、選修2-1 （人教A版）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符 合題目要求的.1 .如圖所示，空間四邊形OA8C中，OA = a , OB = b 9 OC = c,點(diǎn)、M在OA上,且麗=2蘇，N為3c 中點(diǎn)，則而223【答案】B1 _ ?1- - 2-2 - 1 -【f析】MN = ON-OM=-(OB+OC)-OA = -(b + c)-a = a + -b + -c.B.23233222 .等差數(shù)列勺中,a4 + «10+«I6=30

2、,則48-244的值為()。A、-20B、-10C、10D、20【答案】B【解析】在等差數(shù)列/中，。4+.0+%6=30，3%)=30. 3o = lO,又- % 14 = 4d -= 一4)=一I。,故選 B1 oWITIU3 .已知拋物線/的焦點(diǎn)與雙曲線+ ? =的一個焦點(diǎn)重合'則該雙曲線的漸近線方程為（），y = ±x 2C、y = ±2xD、y = ±4x【答案】C【解析】拋物線八一島的焦點(diǎn)（。,-回蛤個焦點(diǎn)為（。,-防則<0,焦點(diǎn)在y軸上，且百=。+ 4 = 5,則。=一1,雙曲線的方程為二一=1， 4其漸近線方程為y = ±2x

3、,故選C。4 .已知數(shù)列明的各項均為負(fù)數(shù)，其前項和為S”，且滿足2s“=-“；+%,則Ss=（）。A、-28B、-21C、-15D、-10【答案】C【解析】由25“ = 一+ cin »可得2S”+ = -a：+ + ”“+，兩式相減得：2（S“+i - S"）= 一（碌一片）+ （%+）,即 2“”+1 = -（“3 -）+（%+/%），：。（%+1 + %）（。+1 - %+1）=°，由已知/<0，4=-1,數(shù)列%為等差數(shù)列，公差為-1，2Sn = -a： +an ,令 =1 得 25j = +”,即 2% = 一”： +“ ,，q = -1 或可=0（

4、舍去）.165 .已知418c三邊a、。、c上的高分別為一、二1、1 ,貝UcosA=（）。 22A、V3Tc、D、B、V2V在T【答案】c【解析】設(shè)A43c而枳為S, rt = 45, b = 2725 . c = 2S ,則8sA竺互"Z幽LJL故選C2x2V2Sx2546 .數(shù)列/是公差不為零的等差數(shù)列，且%、小、2是等比數(shù)列出?相鄰的三項，若3=4,則=( )o3A、3.（二尸44 B、3.：嚴(yán)c、4(2尸44 d、4.(-r*J【答案】B【解析】設(shè)數(shù)列%的公差為d,由題意可得詔=%2,即4 =(% - 34).(%+4J),解得小=12，的=/一3，/=9",，巴

5、=d ,即等比數(shù)列2的公比為依 334,4 1，d=&.Q）-2=3.（）,故選 b。7 .設(shè)拋物線C： y2=2px(>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,點(diǎn)A為拋物線C上一點(diǎn)，以尸為圓心，£4為半 徑的圓交/于8、。兩點(diǎn)，若NBFD=120°, A48。的面積為26，則=()。A、1B、及C、2/. /BDF = /DBF = 30°, I BD 1= 2 島，AyD、4【答案】A【解析】V ABED = 120 IfiFM DFUAF=2p,又：.BFDFAF=2p .：.A到準(zhǔn)線/的距離d T AF1= 2p ,S、BD = X dx I BD 1=

6、x 2/? x 2y/3p = 2、口p- = 2-x/3，解儲 =1 故i生Ao228 .如圖所示，平行六而體ABC。-AqGA的各棱長均相等，NHW=NOA4=NA1AB = 60°,直線Agn 平面480 = E,則異而直線。逐與AO所成角的余弦值為()0A、B、【答案】D【解析】設(shè)施=Z、AD=b. = 且棱長均為1，則lZl=lBl=l'=l，連接 AC、4G，ACCBD = O,連 A0,則 E一定在 A0 上，又 A4£Z?PAG£41相似，.IAOI _IAEI_1。£1* ICjl-lEqrifl- 21 ，AE = gAG，又

7、 NMO=NOA4=44? = 6(r, ，"1=14。1=14。1=1. A I AXO1= , IA£I= = ,又 AG=4 + + c，- AE = -AC1,233一一.一 一一 - 2- 2fJj ED1=EA + A。1=AC + AA + A。1= ( + /? +c) + /? + c = Hb4c , 3l：2+-iab.c-ia.c,又IADJ=L異面直線AE與A。所成角與與4A所成角相同，設(shè)為。，+一則 cosG =2xlxl故選D。26二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分,在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全 部選對的得5分，

8、部分選對的得3分，有選錯的得。分.9 .已知向量4 = (2,4, X), B = (2, y,2),若 l“l(fā)=6, a Lb ,則 x+y = ( )oA、-3B、-2C、1D、2【答案】AC【解析】|»=，4+16+=6, ，x = ±4,又= 4 + 4y + 2x = 0,當(dāng) x = -4 時 y = l,則工 + 丁 = -3 ,當(dāng) x=4 時 y = -3,則 x + y = l,故選 AC。10 .設(shè)3y為實(shí)數(shù)，若4/ + /+冷，=1,則關(guān)于2x + y的說法正確的是()。A、無最小值n HIM-、12 J10B、最小值為一-C、無最大值D、最大值為釁【答

9、案】BD【解析】4x2 + y2 +xy = 1 r /. 4a2 + y2 + 4xy- 3xy = 1 , /. (2x+y)2 -1 = 3xy = - 2x y< - -(二)尸， 222(2x + y)2 -1 & -(2x + y)1 H|J (2x + y)2 < ， HI- - - J - <2x + y< 二'型，8555“i”僅當(dāng)2x = y時取等號，.2% +)，最小值為一爭，最大值為爭，故BD,JJA 411 .在A43c中，已知tan=sinC ,則下列論斷正確的是（）。2A、tanA cotB = lB、1 <sin A

10、 + sinB<C> sin2 A + cos2 B = 1D、cos2 A + cos2 B = sin2 C【答案】BD【解析】；tan=sinC：.2,A + Bsin2A + B cos2= 2sin .-cos*整理得 cos(A +3) = 0,，A + B = 9(r,2 *. tanA cotB = tanA tanA 不一定等 f 1 » A 不正確，sin A + sin 8 = sin A + cos A =及 sin( A + 45°), 45° v A + 45° < 135°, < sin(

11、A + 45°)<1 , 2，l<sinA + sin8W&,.止正確，3 sin? A+8s2 4 = 2sin2 A = 1 不一定成立，故 C 不正確，: cos2 A+cos2 B = cos2 A+sin2 A = 1,又: sin2 C = sin2 90° = 1， /. cos2 A+cos2B = sin2C AD 正確，故選BD。2212 .己知6、K是雙曲線二一二二1（。0,力o）的左、右焦點(diǎn)，過居作雙曲線一條漸近線的垂線，垂 cC b一足為點(diǎn)A,交另一條漸近線于點(diǎn)8,且則該雙曲線的離心率為（）。A、亞2B、V2C、四D、亞【答案】

12、AC119【解析】U)W| A4=±乃8時，設(shè)NEOA = a,則Z4O3=2a,設(shè)。=1,由題意可知 OA =。= 1，OF2 =c = e, AF2 = b , BF2 = 3b ,則 A3 = 4/7, tana = = Z? > tan2a = = 4/?, aa八，、332 tan a2h 4f代入得 tan2a =5 = = 4/?,1-tana 1 一*則 lan/F0B = tan7T-(a + P)J = -tan(a + 0) = lana ,則 tan(a + p)= laliatanP =-tana ,I-tana tanp代入得“+ ”=八,即3 =

13、2/一1,解得 =&,則= /+/ =6, -b 2b故選AC,三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13 .已知正方體ABCD - A|8|G。中，乖 =J而，若病=大病+ y（AB + AD）,則x =, y =（本小題每空2.5分）【答案】1-4【解析】.溟=；而，玄=麗 + ；（福 + 而）=四 + ；（荏+詬），A a = 1 , y = ；。14 .三國魏人劉徽，自撰海島算經(jīng)，專論測高望遠(yuǎn).其中有一題：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前 后相去千步，令后表與前表相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合。從后表卻 行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦

14、與表末參合。問島高及去表各幾何？譯文如下：要測量海島上一 座山峰A的高度八，立兩根高均為3丈的標(biāo)桿和。E，前后標(biāo)桿相距1000步，使后標(biāo)桿桿腳O與前標(biāo) 桿桿腳8與山峰腳，在同一直線上，從前標(biāo)桿桿腳3退行123步到尸，人眼著地觀測到島峰，A、C、/ 三點(diǎn)共線，從后標(biāo)桿桿腳。退行127步到G,人眼著地觀測到島峰，A、E、G三點(diǎn)也共線，問島峰的高 度A=步。(古制：1步=6尺，1里= 180丈= 1800尺=300步)【答案】1255【解析】如圖，由題意3c =。石=5步，設(shè) = 步，8/= 123 步，0G = 127 步，BC BF ur 123/2 4127?上=，HF =步，Injy： HG

15、 =步,AH HF55由題意得 - (族一8月)=1000步，- - - -4 = 1000. /? = 125515 .設(shè)拋物線C： / = 2工(>0)的焦點(diǎn)為尸，過尸的直線/(斜率存在)與拋物線。相交于尸、。兩點(diǎn), 線段PQ的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，若點(diǎn)M(5,0),且IPQI=8,則的值為【答案】2【料h】F(y,0) t設(shè)宜汽/方程x = ?.v +，代入=2px得)一2沖一/尸=0. 22設(shè)尸(, X)、。(，乃)，則)'1 + >2 = 2mp， M e=一，I PQ1=玉 +占 + = "My1+ y2) + 2/7 = 2"F + 2

16、= 8 ,即 nr p + = 4 .設(shè)線PQ中點(diǎn)為項鳳，比)，則先=?，Ao = niy0 + y = nrp + y ,線段尸。的垂直平分線的方程為y-mp = -m(x-m2p-),令,，=0,得 x = J +”=5 ,洪立 / + = 4 和 ?! +4=5 得 =2。2216 .已知數(shù)列4、化滿足q =1, %7 = 2%+ 1,與=!。設(shè)數(shù)列化的前項和為7；(2+ 1)(2+ 3)若存在機(jī)使得7；對任意的 £N.都成立，則正整數(shù)桁的最小值為°【答案】5【解析】. 6HBi = 2an + 1 > /. %川 +1 = 2(an +1), 乂 < 4

17、 = 1 , q +1 = 2 w 0 ,工數(shù)列4+1是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，勺+ 1 = 2、又C 二)，-(2+ 1)(2+ 3) 2 2 + 1 2+ 3則T =n + 6+ 15-二5 5 72/ + 1 2n + 32 3 2 + 3 6n + 96 + 9 2，J+5 + 3 .3=5= 1 + 5> 1，n 2+52n" +5n又7；>0, .7；u>7；l, neN+,即數(shù)列7；是遞增數(shù)列，Hui時7；取最小值為白， A J要使對任意的nwN+都成立，只需秀二由此得m>4,四、解答題：本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

18、演算步驟.17.(本小題滿分10分)在 A43C 中，內(nèi)角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c,已知 2cos? 4 + (cos5 - JJsin3)cosC = 1。 2(1)求角C的值；(2)若c = 2,且AA8C的面積為求a、b.【解析】在 A48C中，A + B + C = tc，由 2cos2 4 + (cos8-V5sin3)cosC = l 得：，正整數(shù)成的最小值為5.2cos A + cos B cos C - V5 sin B cos C = 0 ,2分!/>iJ -cos(B + C) + cos B cosC-VJsin -cosC= 0 ,3分展開得：sin

19、 4 sin C- sin 8 cosc = 0 ,4分sinBwO, BPtaiiC = V3, VCe(0,兀)，C = -：6分3(2)三角形而積為,或a/?=4，8 分由余弦定理得4 = (“ + )2-2"-"，"+ = 4，故。=2。10分18.(本小題滿分12分) 22已知橢圓C：二+工=1(。>人>0)過點(diǎn)4(2,0)、8(0,1)兩點(diǎn)， cr lr求橢圓C的方程及離心率： 設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓。上，直線Q4與y軸交于點(diǎn)M,直線與工軸交于點(diǎn)N,求證：四 邊形A5NM的而積為定值。2【解析】(1)由題意得，4 = 2、匕=1, 橢

20、圓C的方程為1 +/=1，243分4分6分9分=2 ,12分*. C = y/3 f ,圖心率G =上-: a 2設(shè)戶(而,光)，(/<0, %<0),則x：+4y；=4,又42,0)、5(0,1),直線QA的方程為)，=-。-2), /-2令 x = 0 f-l yM =包，/ I BM 1= 1 yM = 1 + 包，%2,d2，直線P8的方程為丫 =匚1+1,令),=0得X'=- 而先TZ.I/WI=2-a;v=2 + -,；.四邊形 A3NM的面積S = 1|AVI.I8W |=_lx(2 +一)x(l + 二-)22%-1而-2一 X： + 4y： + 4%九 一

21、 4% - 8yo + 4 _ 27)%2% - 4兒 + 42(與、0 一 瓦 - 2yo + 2) /九一玉)- 2y() + 2，從而四邊形的而枳為定值。19.(本小題滿分12分)JTJT在 A43C中 a、b、c 為角 A、B、C 所對的邊，cos2A-cos28 = 2cos J-A).cos J +A) , 66求角3的值：若。=相且力4。，求a的取值范圍?！窘馕觥?1)在A43C中，A + B + C = ti.兀兀cos2A-cos2B = 2cos 第- A) . cos 第 + A)h、/r11 -2si1/A -(2cos2 B -1) = 2(cos A + -sin

22、A) (cos A-sin A) 22222-2sin2兀 3/- 兀故 a c = 2 sin A -sin C = 2sin A-sin(- -A) = sin A cos A = J3 sin( A 一 一)， 3226 /l-2cos2 B =cos2 A-sin2 A2 232-2siif A-2cos2 B = -2sin2 A2則 cos2 B = L cosB = ± ,，8 =。或 U ； 4233(2)Vb = y/3<a ,= 由正弦定理得 = 2sinA, c = 2sinC,38分 7 / 兀 / 4 2 k 71兀 71：b<a , ：.-&l

23、t;A< ，-< A-<-3366 2c12分-c = >/3sin(A-)e,V3) 026220.(本小題滿分12分)如圖1，點(diǎn)。、上分別是正A45C的邊AC、3C的中點(diǎn)，點(diǎn)。是。石的中點(diǎn)，將AC。石沿。石折起，使得平而。£)石，平而43石£),得到四棱錐C-A3EO,如圖2。(1)試在四棱錐C A5EO的棱3。上確定一點(diǎn)尸，使得“7/平面ACO：(2)在(1)的條件下，求直線。下與平面AC。所成角的正弦值。圖1圖21 1【解析】(1)點(diǎn)尸在棱8C上，CT = 1cB時，O尸平面AC。，4在棱A3上取一點(diǎn)G, AG = -AB.連接下G、OG .

24、如圖,1分4在A43c中，CF = LcB、AG =、AB, ：ACHFG,2 分44由題意可知 AGOD, AG = -AB = OD . 4.四邊形AOOG為平行四邊形，.AOOG,3分V AD/OG . AC/FG, ADCAC = A, OGCFG=G,二平面 GOF 平而 ACO,又OFu平面GOF,故平而ACO；4分取棱AB的中點(diǎn)H,連接OC,則OH工DE, OCLDE.:平面CDEL平而AB。，平而CDEQ平而ABED= DE，又 *. OCu 平面 CDE, OC1DE. ：. OC1 平面 ABED，5 分以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OH、OE、OC為x、y、z、軸如圖建系，設(shè) A5=4

25、,則 4/一2,0)、8(力,2,0)、C(0,0，V3). 0(0,-1,0),A AD = (-V3,l,0) , CD = (0,-h-V3), 設(shè)平面AC。的法向量為G = a，y, z).一""二二°，取 x = l,貝 Ijy = &、Z =1，：=（1，后一1），8 分-y-y/3z = 0設(shè)點(diǎn)尸區(qū)，X，4）, 麗=（后2,-退）.CF = -CB, 4CF = （xP 撲 zV5） =萍=（苧,"苧,.Q 1 3品、9Q 3 3"-F（TTb df=（vtb設(shè)直線DFlj平面AC。所成角的平而角為0，Q , 甘一 .I

26、而 G & 2VH0則 sin 0 =1 cos < DF , >1=11=DFn55io分直線OF。平面ACO所成角的正弦值為名粵 J J12分21.（本小題滿分12分）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列%的前項和為5“，且冊+1 = 2向°（1）求數(shù)列4的通項公式an ：-一的前項和為7；，求7；（mj4+】【解析】 +1 = 2折，（ + D2 = 4S”，即S” =殳-：魚+ 當(dāng) =1 時，1=、+ 丁 + 1 ,即（6一1）2=0,解得 =1,當(dāng)2時，卬=SI+ 2味 + 1 = a： + 2% - a一§ 分化簡得 23 + %_1）=端= （an + 4-i ）（4 - 41），又?jǐn)?shù)列“各項均為正數(shù)，/+1工0，（列4是首項為1、為2的等差數(shù)列，勺=1 + （-1»2 = 2-1；設(shè) 2=（一1）