拉普拉斯變換(自動(dòng)控制原理)

1、拉普拉斯變換 -補(bǔ)充內(nèi)容一、什么叫做拉普拉斯變換 古典的求解微分方程的方法，求解過程比較繁瑣，而且只能處理一些比較簡(jiǎn)單（一階或二階的微分方程）。 而對(duì)我們以后要面對(duì)的自動(dòng)控制系統(tǒng)將包含很多環(huán)節(jié)，它們之間的變化互相制約著。如果還要通過古典法求解微分方程來分析自動(dòng)控制系統(tǒng)，那將是一個(gè)是分困難和不切實(shí)際的。 拉普拉斯變換為我們提供了一種簡(jiǎn)單的求解微分方程的方法，是我們進(jìn)行系統(tǒng)分析的一個(gè)很好數(shù)學(xué)的工具。 拉普拉斯變換是將一個(gè)時(shí)域函數(shù)f(t)變換成一個(gè)復(fù)數(shù)域的函數(shù)F(s)f(t)LF(s) 簡(jiǎn)記：像函數(shù)原函數(shù)這里像函數(shù)的具體形式取決于原函數(shù)的具體形式，也就是說原函數(shù)和像函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。0st-dtf(

2、t)eF(s) 定義： 假如已知F(s）又可以通過拉斯反變換求出原函數(shù)，即：dsesFjtfst)(21)(F(s)Lf(t) -1簡(jiǎn)記：到此大家可能會(huì)問：為什么要進(jìn)行拉普拉斯變換？是不是將問題復(fù)雜化了？ 大家在初等數(shù)學(xué)中都學(xué)過自然對(duì)數(shù)。；例如的數(shù)值要計(jì)算cba 其中a，b，c代表的已知的數(shù)值，當(dāng)然我們可以直接用乘除法進(jìn)行計(jì)算，但當(dāng)這些數(shù)的數(shù)值較大，則乘除運(yùn)算還是相當(dāng)麻煩的。 為簡(jiǎn)化計(jì)算起見，可以對(duì)上式去自然對(duì)數(shù)，這樣一來就可將原來的計(jì)算此結(jié)果的乘除運(yùn)算變化為代數(shù)運(yùn)算cbacbalglglglg 要計(jì)算此結(jié)果可以先查對(duì)數(shù)表，進(jìn)行計(jì)算，然后再查反對(duì)數(shù)表即可得到運(yùn)算結(jié)果 拉普拉斯變換的作用和對(duì)數(shù)計(jì)

3、算有著相同的功效，不過拉斯變換不象對(duì)數(shù)那樣只是一個(gè)數(shù)與數(shù)之間的變換，而是函數(shù)與函數(shù)之間的變換。利用拉斯變換可以把解微分方程中遇到的微分、積分的運(yùn)算簡(jiǎn)化為關(guān)于s的代數(shù)運(yùn)算，因此簡(jiǎn)化了解微分方程的求解過程。 和對(duì)數(shù)運(yùn)算一樣，在拉普拉斯變化的運(yùn)算中也有現(xiàn)成的變換表可查，不需要運(yùn)用定義去進(jìn)行復(fù)雜的積分運(yùn)算二、拉斯變換主要運(yùn)算定理 拉斯變換之所以好用，就是因?yàn)樗哂幸恍┛梢约右岳玫幕拘再|(zhì)，下面的幾條主要運(yùn)算定理就是闡明拉斯變換的性質(zhì)，只有掌握了這些的定理才能發(fā)揮拉斯變換的作用。 下面就簡(jiǎn)述一下它的幾個(gè)主要定理1、疊加定理 疊加定理告訴我們，如果)()()(21sftftf那么：)()()(21sfL

4、tfLtfL)()( )()( )()(2211sFsfLsFtfLsFtfL)()()(21sFsFsF即：證明：按定義)()( )()( )()( )()()(2100212010sFsFdttfedttfedttftfeetftfLsFstststst)()()()()()()()(22112211sFsFsFsFtftftftfnnnn推廣2、微分定理微分定理是拉普拉斯變換的核心定理，為什么利用拉斯變換可以將微分、積分的運(yùn)算簡(jiǎn)化為一般的代數(shù)運(yùn)算？它的依據(jù)就是微分定理微分定理告訴我們?nèi)绻篺(0)- sF(s)L )()( dtdfsFtfL則下面我們進(jìn)行證明證明：依據(jù)拉斯變換的定義，有

5、0dtedtdfdtdfLst上式利用分部積分法進(jìn)行積分，現(xiàn)令dtdtdfdveust )( tfvdtsedust)0()()()0()()(000000fssFdtetfsfdtsetftfedtdtduvuvdtedtdfdtdfLstststst微分定理得以證明那我們?cè)儆懻摱A導(dǎo)數(shù) 的拉斯變化，即：22dtfd?22dtfdL我們可以將運(yùn)用微分定理將 看成 的導(dǎo)數(shù)來使用微分定理22dtfddtdf) 0 () 0 ()() 0 ()0 ()(2022fsfsFsffssFsdtdfdtdfsLdtdfdtdLdtfdLt依次類推，求三階導(dǎo) 的拉斯變化22dtfd33dtfd) 0 ()

6、 0 () 0 ()() 0 ()0 () 0 ()(222022222233ff sfssFsffsfsFssdtfddtfdsLdtfddtdLdtfdLt 推廣之) 0 () 0 ()() 1(1nnnnnffssFsdtfdL當(dāng)在零初始條件下0)0()0()0()1(nfff以上各階導(dǎo)數(shù)的拉斯變換為：)()()(222sFsdtfdLsFsdtfdLssFdtdfLnnn也就是說，對(duì)原函數(shù)每進(jìn)行一次微分后的拉斯變換就相當(dāng)于它像函數(shù)用s來乘一次。這里將微分運(yùn)算簡(jiǎn)化為乘以s，這就是拉斯變換的奧妙之處3、積分定理積分定理告訴我們，如果0)()0( )0()( )(L )()( tdttffs

7、fssFtfsFtfL其中則證明：根據(jù)拉斯變換的定義 將f(t)看成是 的導(dǎo)函數(shù)dttf )()()(dttftf根據(jù)微分定理0)()()(tdttfdttfsLtfLsfssFdttfL)0()()(所以定理得以證明在此基礎(chǔ)上加以推廣，求二次積分 拉斯變換，同理將 看成為 的導(dǎo)函數(shù)2)( dttfdttf )(2)( dttf)()(2dttfdttf022)0()()(tdtfdttfsLdttfL0220)()()()(ttdttfdttfsLsdttfssF LsdttfsdttfssFdttfLtt022022)()()()(所以在零初始條件下0)()(020ttdttfdttfnn

8、ssFdttfLssFdttfLssFdttfL)()()()()()(22也就是說，原函數(shù)每積分一次的拉斯變換，即相當(dāng)于它的像函數(shù)用s來除一次4、位移定理)()(sFtfeLt位移定理告訴我們)()( sFtfL如果則證明： 根據(jù)拉斯變換的定義L)( )( )()(0)(0sFdttfedtetfetfeLtssttt又上式可見：上式只是在F(s)中的s由（s-a）代替即可，這個(gè)性質(zhì)表明一個(gè)原函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù) 等于其象函數(shù)作位移ate5、延時(shí)定理（第二位移定理）f(t)f(t-z)z若)()( sFtfL0)(),(tfttf時(shí)，當(dāng)有函數(shù)則根據(jù)卡斯變換定義，有 )()( )( )()( )(

9、)(00)(00sFedueufedueufdtetfdetfdtetftfLssususststst令t-z=u6、初值定理和終值定理1）初值定理 此定理表明，原函數(shù)在t=0時(shí)情形與像函數(shù)在s時(shí)的情形有著密切的關(guān)系，既有：)(lim)0()(lim)(lim0ssFfssFtfsst或證明：根據(jù)拉斯變換的微分定理)0()( )0()(fssFftfsLdtdfL上式中的f(0)是一個(gè)常數(shù)，與s無關(guān)，因此)0()(limlimfssFdtdfLss從另一個(gè)角度看，又有00limlimdtdtdfedtdfLstss固有0)0()(limfssFs)(lim)0(ssFfs所以此性質(zhì)表明函數(shù)f(

10、t)在t=0時(shí)函數(shù)的值可以通過f(t)的像函數(shù)F(s)乘以s取s的極限值而獲得它，建立原函數(shù)f(t)在坐標(biāo)原點(diǎn)的值與像函數(shù)sF(s)在s的值之間的關(guān)系。2）終值定理次定理表明，原函數(shù)f(t)在t時(shí)的情形與像函數(shù)F(s)在s0時(shí)的情形有著密切的關(guān)系，即)(lim)()(lim)(lim00ssFfssFtfsst或根據(jù)拉斯變換的微分定理)0()(limlim00fssFdtdfLss上式中f(0)是一常數(shù)，與s無關(guān))0()(limlim00fssFdtdfLss從另一個(gè)角度看，又有)0()(lim )( lim limlim0000000ftftfdtdtdfdtdtdfedtdtdfedtdfLtstsstss)0()(lim)0()(lim 0fssFftfst所以)(lim)(0ssFfs這個(gè)性質(zhì)表明函數(shù)f(t)在t時(shí)的函數(shù)值（即穩(wěn)態(tài)值），可以通過f(t)的