【解析】北京市密云區(qū)2020屆高三上學期期末考試數(shù)學試題

1、北京京市密云區(qū)2019-2020第一學期期末試題高三數(shù)學試卷4分，共40分.在每小題列出的四個選項中2,則 AUB ()C. x| 2 x 3 D.一、選擇題：本大題共10小題，每小題 選出符合題目要求的一項.1 .若集合 A x|1 x 3, B x| 2 xA. x|1 x 2B. x|1 x 2x| 2 x 3【答案】C【分析】根據(jù)集合的并運算，即可容易求得.x 2,【詳解】因為A x|1 x 3, B x| 2故可得 AUB x| 2 x 3.故選：C.【點睛】本題考查集合并集的求解，屬基礎題 222 .雙曲線1的離心率是()7D ,7D.a 2,b V3,43A. 5B.42【答案】

2、D【分析】由方程求得a,b,即可由離心率計算公式求得結(jié)果22【詳解】因為雙曲線的方程是1,故可得43故離心率e 一 10.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，屬基礎題3 .若函數(shù)yf(x)滿足：對任意正整數(shù) x,都有f(x 1) f(x) 2,且函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點M (1,1),則在下列選項中，函數(shù) f(x)通過的點的坐標是()A. (4,6)B. (4,7)C. (4,8)D. (4,9)【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)經(jīng)過的點，以及f (x 1) f (x) 2,即可容易遞推得到結(jié)果.【詳解】因為f x過點1,1 ,且f(x 1) f(x) 2,故可得 f2 f1 23, f3

3、f 2 2 5, f 4 f 3 27,故f x過點4,7 .故選：B【點睛】本題考查函數(shù)值的求解，屬基礎題4 .若函數(shù)f (x)=Asin( x )( A 0,0)的相鄰兩個極小值點之間的距離為，最大值與最小值之差為2,且f(x)為奇函數(shù)，則函數(shù) y f (j)的值是()A. 2B. 1C. 0D.【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可容易求得函數(shù)解+析式，再求函數(shù)值即可.2【詳解】因為f x相鄰兩個極小值點之間的距離為，故可得T ，則 2 ;又因為最大值與最小值之差為2,故可得2A 2,則A 1;又因為f x是奇函數(shù)，故可得 k ,k N ；故 f - sin 2 k si

4、n k 10.22故選：C.- 7 -【點睛】本題考查由正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)求解+析式，屬綜合基礎題5. x 2k ，k Z ”是 sin x 6,A.充分不必要條件C.充分必要條件【答案】A【分析】解正弦方程，結(jié)合題意即可容易判斷1【詳斛】因為sinx -,故可得x 2則 x 2k-,k Z”是 Sinx6故選：A.【點睛】本題考查命題之間的關系，”的（）2B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件5_2k 或 x 2k ,k Z,66-”的充分不必要條件.2涉及三角方程的求解，屬綜合基礎題6.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是 （0,）上的增函數(shù)是（）A. v X1B. y log- | x|C

5、. y 2x 2 xD.y x2y 2x 2 x【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)解+析式，求得函數(shù)單調(diào)性和奇偶性即可容易判斷A錯誤;1【詳解】對丫2 ,其定義域為 0,不關于原點對稱，故其不是偶函數(shù)，故y x對y log 1 | x |,其在（0,）是減函數(shù)，故b錯誤； 2對y 2x 2 x,其是偶函數(shù)，且在 0,上為增函數(shù)，故C正確；對y 2x 2 x,其是奇函數(shù)，故 D錯誤.故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，涉及指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，哥函數(shù)的性質(zhì),屬綜合基礎題7 .如圖所示，四個邊長為 1的正方形拼成一個大正方形，AB是其中一個小正方形的一條邊，uuu uurP（i 1,2,3,

6、4,5,6,7）是小正方形其余的頂點，則集合 x|x AB AP,i 1,2,3,4,5,6,7中元素的個數(shù)為（）AP7P4BPi產(chǎn)5AA. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運算，即可容易判斷.uur uuu【詳解】根據(jù)數(shù)量積的定義，元素的個數(shù)取決于APi在向量AB方向的投影的結(jié)果的個數(shù)結(jié)合已知條件，由圖可知：uLtruuuruuur uuir uuur uuir uur uuuAP5與AP2，AP6與AR，AP7與AP4,AP在向量ab方向的投影相同，uur uuur故集合x|x AB AP,i 1,2,3,4,5,6,7中有 3個元素.故選：A.【點睛】本題考查

7、數(shù)量積的定義，屬基礎題 .8 .階段測試后，甲、乙、丙、丁、戊五位同學排成一排按序走上領獎臺領獎，其中甲和乙都在丙的前面走，則不同的排序方法種數(shù)共有（）A. 20B. 40C. 60D. 80【答案】B先求出甲乙丙順序確定時的所有方法，再考慮甲乙內(nèi)部的排列即可【詳解】根據(jù)題意，若甲乙丙順序確定，則所有排法有A 2再考慮甲和乙的順序，則所有排法有-3 a2 40種.A故選：B.【點睛】本題考查部分元素定序問題的排列，屬基礎題.x2,x 0,9 .已知函數(shù)f(x)右存在實數(shù)Xo,使得f( Xo)f(Xo)成立，則實數(shù)a的取值ax 1,x 0.范圍是 ()A. (,2B. (,1C. 2,0)D.

8、1,0)【分析】將問題轉(zhuǎn)化為方程有根的問題，進而根據(jù)二次方程根的分布即可求解【詳解】根據(jù)題意，不妨設 x0 0 ,則問題轉(zhuǎn)化為方程 x2 axo 1 0有正根,則只需n a2 4 0且a 0,解得a (, 2.故選：A.【點睛】本題考查一元二次方程根的分布問題，屬中檔題；其中問題的轉(zhuǎn)化是關鍵一 r尸 r 尸 r10.設非零向量a,b的夾角為，定義運算“*； ab a b sin .卜列命題r r i r r右a* b 0 ,則a b ; uuur uuurrr設ABC 中，ABa, ACb,則 2Sabc a*b ；rrrr rr rr., 一a*bca* ba * c （c為任息非互向重）；

9、r若arr rb1 ,貝U a* bmax其中正確命題的編號是()A.B.C.D.【分析】根據(jù)新運算的定義，對選項進行逐一分析即可求得r r【詳解】a* b 0,r.a bsin0,解得0或180,故a b,則正確;r由a* b的定義可知，其結(jié)果表不以r r a,b為一組鄰邊的平行四邊形的面積,r 一 ，故2Sabc a *b，則正確; r _不妨取c 1,0r ,b0,1 ,a1,1.r . r r. r而 a * b a* c-22 ,顯然不相等，故錯誤;1,一,r則a*bsin0,1 ,故正確.故選：D.【點睛】本題考查向量新定義問題，屬中檔題、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30

10、分.11.復數(shù)z1對應1 i點在第,象限，復數(shù)z的實部是(1).四(2).根據(jù)復數(shù)的運算法則化簡復數(shù)【詳解】因為z故其對應的點為12,11位于42故答案為：四;2【點睛】本題考查復數(shù)的運算以及12.拋物線x24y的焦點坐標z ,再求對坐標【答案】(1). 0, 1(2). y 1- 17 -【分析】p .p根據(jù)拋物線x22 py的焦點坐標為0,-,準線萬程為y 上，可得本題答案.2 2【詳解】因為拋物線的標準方程為x24y ,得p 2 ,所以其焦點左邊為（0, 1）,準線方程為y 1.故答案為：0, 1 ; y 1【點睛】本題主要考查拋物線的焦點坐標和準線方程，屬于基礎題3 一13 .若數(shù)列a

11、n是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且 a4 a2, a3 4,則公比q ,其前n項和Sn =.【答案】（1）. 2（2）. 2n 1【分析】根據(jù)等比數(shù)列的基本量求得公比和前n項和即可.【詳解】因為an是等比數(shù)列，且各項均為正數(shù)，故 q 0；33 32又 a4 aqaq , a3 a1q4,故可得闞 1,q 2.2n 1.a 1 qn Sn1 q故答案為：2; 2n 1.【點睛】本題考查等比數(shù)列的基本量求解，涉及前n項和的求解，屬基礎題14 .在ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，且a 5, c 10, B 則b 3A .【答案】(1). 5.3(2).一6根據(jù)余弦定理求得b;再根據(jù)正弦定理求

12、得 A即可.【詳解】因為a 5, c 10, B 3故可得 b Ja2 c2 2accosB J75 5J3 ；根據(jù)正弦定理可得sinAasinB又因為b a則B A,故可得A故答案為：5由；鼠【點睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，屬基礎題15.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為 【答案】2【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體，再利用棱錐的體積公式即可求得【詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體如下所示：1 _1_則容易知Sabcd-1 223, Vpabcd -3 22.2 3故答案為：2.【點睛】本題考查由三視圖還原幾何體，以及棱錐體積的計算，屬基礎題16.密云某商場舉辦春節(jié)優(yōu)惠酬賓贈券活

13、動，購買百元以上單件商品可以使用優(yōu)惠券一張，并且每天購物只能用一張優(yōu)惠券.一名顧客得到三張優(yōu)惠券，三張優(yōu)惠券的具體優(yōu)惠方式如下：優(yōu)惠券1：若標價超過50元，則付款時減免標價的 10%;優(yōu)惠券2：若標價超過100元，則付款時減免 20元；優(yōu)惠券3：若標價超過100元，則超過100元的部分減免18%.如果顧客需要先用掉優(yōu)惠券1,并且使用優(yōu)惠券1比使用優(yōu)惠券2、優(yōu)惠券3減免的都多，那么你建議他購買的商品的標價可以是 元.【答案】201【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的值域即可容易求得【詳解】設標價為X , X 則當x 50時，優(yōu)惠金額y 10當X 100時，優(yōu)惠券2的優(yōu)惠金額y 20,優(yōu)惠券3的優(yōu)

14、惠金額y -9 X 100 . 50故當標價在 50,100之間，只能用優(yōu)惠券 1,故不滿足題意；xx9當標價超過100時，若滿足題意， 20,且二 -9 x 100 ,1010 50解得 200 x 225.則答案不唯一，只需在區(qū)間200,225內(nèi)任取一個元素即可.本題中選取標價為201.故答案為：201.【點睛】本題考查實際問題中函數(shù)模型的應用，屬中檔題 三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過 程.17 .已知角 的終邊與以原點為圓心的單位圓交于點P ,角 的終邊與角的終邊關于直線y x對稱.(I)若 為第三象限角，點 P的縱坐標為 -,5(i)求 si

15、n ,cos 和 tan 的值；(ii)求 sin(花)的值.6(n)求函數(shù)f ( ) cos2cos 的最小值.sin3. tan54.(ii)3n 4(n)93108(I) (i)根據(jù)三角函數(shù)的定義,以及同角三角函數(shù)關系,即可容易求得;(ii)由角度終邊的對稱性，求得sin ,cos ,再用正弦的和角公式即可求得;(H)利用余弦的倍角公式，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關于cos的二次函數(shù)，求其值域即可I)因為角的終邊與單位圓交于點所以sin所以cos4一,又因為5,1 sin2為第三象限角,因此tansin4cos3(ii)因為角的終邊與角的終邊關于直線yx對稱,所以sincossin(花6)sin花co

16、s6cos花sin 一63 310(n)f(cos 2cos 2cos2cosZ cos4)2由cos1,1所以當cos14時，f()有最小值【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)關系,誘導公式，以及二次型三角函數(shù)的最值，屬綜合基礎題.18 .甲、乙兩位運動員一起參加賽前培訓.現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次測試成績中 隨機抽取8次，記錄如下：甲：8281797895889384乙：8685798684848591(I )請你運用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)；(n)若用甲8次成績中高于85分的頻率估計概率，對甲同學在今后的3次測試成績進行預測，記這3次成績中高于85分的次數(shù)為 ，求 的分布列及

17、數(shù)學期望 E ；(出)現(xiàn)要從中選派一人參加正式比賽，依據(jù)所抽取的兩組數(shù)據(jù)分析，你認為選派哪位選手參加較為合適？并說明理由.9【答案】(I)是葉圖見解+析(n)分布列見解+析，一.(出)派乙比較合適，理由見解8+析【分析】(I )根據(jù)莖葉圖的繪制方法，結(jié)合數(shù)據(jù)繪制即可；(n)先計算高于85分的概率，再求得 的取值，由二項分布的概率求解即可求得其分布列；(出)求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，據(jù)此判斷即可【詳解】(I)作出莖葉圖如下：r 甲乙_8t 979r L£4, 886, 6,5,5,4,43.591 3(II)記 甲同學在一次數(shù)學競賽中成績高于85分”為事件A, P(A) 3.8隨機變

18、量的可能取值為0, 1, 2, 3,且己B(3,3).83 k 53k所以 P kC3 , k 0,1, 2,3.88所以變量的分布列為0123P12551222551213551227512八 125 / 225 135 o 2701 23 -512512512512(m)派乙參賽比較合適.理由如下:881-7888579+81+82+8484 285 288+93+95869185,78857985812858285284 857993859585235.5,85848522 85285286 8591285 9.5因為說明乙的成績較穩(wěn)定，更容易發(fā)揮隊員水平,所以派乙參賽比較合適.【點睛】

19、本題考查莖葉圖的繪制，以及平均數(shù)和方差的計算，以及二項分布的分布列求解,屬綜合中檔題.19.如圖，在四棱錐中，底面 ABCD為直角梯形， AD/BC, BAD PAD 90,PA AB BC 1, AD 2, BP 五,E為線段PD的中點.(I)求直線 AE與平面PCD所成角的余弦值；(n)求二面角 B PC D的大??；AF 一 . 一(出)若F在段AP上，且直線BF與平面PCD相交，求的取值范圍AP【答案】(I) 105L (n) 5- (m) 0,1 U 1,115622【分析】以A為坐標原點，建立空間直角坐標系：(I)求得直線的方向向量和平面的法向量，通過向量的夾角求得線面角的夾角;(n

20、)求出平面PBC,PCD的法向量，利用向量法求二面角的大??；(出)設出F點坐標，根據(jù)BF的方向向量和法向量不垂直，即可求得范圍【詳解】(I)因為 BAD PAD 900，所以 AB AD, AP AD ；又因為PA AB 1 , bp 板,所以 ap2+ab2=pb2，因此AP AB .以A為原點建立空間直角坐標系，如圖所示 .則 A 0,0,0 , B 1,0,0 , C 1,101D 0,2,0 , P 0,0,1 , E 0,1,一2所以 AE0,1,2 ,uuu CD110uuurPD02 1 .設平面PCD的法向量x,y, zr uuum CD 0由 r uuu得:m PD 02y0

21、, 0.設直線AE與平面則有sin所以cos即：直線1,1,2PCD所成角為 ，uur r cso： AE, mr uuirm AEuurm AE2 30-15 610515AE與平面PCD所成角的余弦值為10515r(n)同理可得：平面 BPC的法向量n1,0,1 ，r r 貝U有 cos . m,n1 232 .62因為二面角B PC D 平面角為鈍角, 所以二面角B PC D的大小為.6uur uuu(出)設 af ap 01 ,uur由 AP 0,0,1 得：F 0, 0, uur則 BF 1,0,又因為直線BF與平面PCD相交uur r所以BF m 0.即：1120,解得：AF1所以

22、占的取值范圍是 0 UAP2【點睛】本題考查利用向量法求線面綜合中檔題.20.已知函數(shù) f(x) sin x ln x . .,、，冗 冗(i)求曲線y f (x)在點m(_, f()處的切線方程； 22(n)證明：函數(shù) f (x)在區(qū)間(1,3)上存在唯一的極大值點；(出)證明：函數(shù) f(x)有且僅有一個零點.一 , 、2冗【答案】(I) y= -x ln - (n)證明見解+析(出)證明見解+析冗2【分析】(D求導，從而解得切線的切率，根據(jù)點斜式即可求得結(jié)果;(n)根據(jù)f x的單調(diào)性，即可容易求證；(出)根據(jù)f x的正負，判斷函數(shù) f x的單調(diào)性，即可容易證明- 21 -【詳解】(I)因為

23、f (x) sinx ln x,x 0 ,所以 f '(x) cosx冗 2k fg *. l-j-.、冗冗又因為 f(-) 1+ln , 22一 .、一一冗 2 冗所以切線方程為y (1 ln ) -(x -),2 冗 2口口21 一九y= - x ln .冗 21, 一(n)證明：因為 y cosx和y 在1,3上單調(diào)遞減,x所以f'(x)在1,3上單調(diào)遞減, 且 f'(1) cos1 1 0.又 f '(3)c 121cos3 - cos一冗一333所以在1,3內(nèi)有且僅有一個實數(shù) xo,使得f'(Xo)=0, 并且當 1 x x0 時，f'

24、(x) f'(x0) 0,當 Xo x 3時，f'(x) f'(Xo) 0,所以f(x)在區(qū)間1,3上有唯一的極大值點 Xo.(出)證明：當 x e時，ln x 1, sinx 1,此時 f (x) sin x In x 0.當1 w x w e時，In x 0 , sin x 0,此時 f (x) sin x In x 0.當0 x 1時，1因為f'(x) cosx 0,所以f(x)在0,1內(nèi)單倜遞增. x1 1因為 f (-)1 sin - 0 , f (1) sin1 0,ee所以f (x)在0,1上有且僅有一個零點.綜上所述，函數(shù)f(x)有且僅有一個零點

25、.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值點個數(shù)和零點個數(shù)，以及用導數(shù)的幾何意義求切線的斜率.2 221.已知橢圓M :* 1 (a b 0)的長軸長為4,離心率為1 .直線11,12交于點a2 b22-3A(1-),傾斜角互補，且直線11,12與橢圓M的交點分別為B,C (點B在點C的右側(cè)).2(I)求橢圓M的方程；(n)證明：直線 BC的斜率為定值；(出)在橢圓上是否存在一點D,恰好使得四邊形 ABCD為平行四邊形，若存在，分別指出此時點B,C和D的坐標；若不存在，簡述理由.223【答案】(I) 人 上 1 (n)證明見解+ 析(出)存在，B(2,0), C( 1,),D( 2,0)432B,

26、C兩(i)根據(jù)長軸長和離心率即可容易求得a,b, c ,則橢圓方程可得;(n)由A點在橢圓上，結(jié)合li,l2的斜率互為相反數(shù)，結(jié)合韋達定理，即可容易求得點的坐標，即可求證斜率為定值;(出)根據(jù)題意，即可容易求得對應點的坐標【詳解】(I)根據(jù)題意得2a4,12, b2解得2, .3, 1.所以橢圓M2的方程為土42 y_3(H)易知點3、-一A(1-)在橢圓M2上.設直線11: y32 k(x 1),即 ykx ky kx k_ 223x 4y3, 212.消去y得(3 4k2)x24k(3 2k)x4k212k設 B(xi, %),則 XiXa2_4k 12k 34k2所以X14k2 12k

27、33 4k2因為直線ll和12的傾斜角互補,所以直線12 ： ykx設C(X2,y2),同理可得x24k2 12k 33 4k2所以.yy2描 kKbcX1X23(kx2 k 2)X1X2k(XX2 2)X1X22 一二2 一二4k2 12k 3 4k2 12k 3k( 3 4k23 4k22) i4k2 12k 3 4k2 12k 32 'Z 2Z 23 4k3 4k即直線BC的斜率為定值 -.2 3(出)存在B(2,0), C( 1-), D( 2,0)符合已知條件，2且使得四邊形 ABCD為平行四邊形.【點睛】本題考查橢圓方程的求解，以及橢圓中定值問題的證明，屬綜合中檔題22.設

28、數(shù)組 G，a2,L ,a2n1) , n 2 ,aiN (i 1,2,L,2n1),數(shù) ai稱為數(shù)組 G 的兀素.對于數(shù)組 G ,規(guī)定：數(shù)組G中所有元素的和為 S(G) a1 a2, L a2n 1；變換f, f將數(shù)組G變換成數(shù)組f (G) aaa2，L ,9尸,其中x表示 不超過x的最大整數(shù)；若數(shù)組M (b1, b2, L ,&J ,則當且僅當ai bi (i 1,2,L ,2n 1)時，G M .如果對數(shù)組G中任意2n個元素，存在一種分法，可將其分為兩組，每組n個元素，使得兩組所有元素的和相等，則稱數(shù)組G具有性質(zhì)P.(I)已知數(shù)組 A (1,1,1,1,1), B (1,4,7,1

29、0,13)，計算 f(A) , f(B),并寫出數(shù)組 A, B 是否具有性質(zhì)P ;(n)已知數(shù)組 G具有性質(zhì)P ,證明：f(G)也具有性質(zhì)P ；(出)證明：數(shù)組 G具有性質(zhì)P的充要條件是a = a2=L =a2n 1 .【答案】(I)數(shù)組 A是具有性質(zhì)P,數(shù)組B不具有性質(zhì)P. (n)證明見解+析(出)證明見 解+析【分析】(I)根據(jù)題意，即可容易得f A ,f B ,則可判斷；(n)對 明逸山，a2n 1都為奇數(shù)和都為偶數(shù)，結(jié)合性質(zhì)P的定義，即可證明;(出)從充分性和必要性上，結(jié)合(n)中所求，即可證明【詳解】(I) f(A) (1,1,1,1,1), f(B) (1,2,4,5,7);數(shù)組A

30、是具有性質(zhì)P,數(shù)組B不具有性質(zhì)P .(n)證明：當元素 a1，a2,L ,02n 1均為奇數(shù)時，因為 U U, i 1,2,L ,2n 1,所以 f(G)(a_J,a_J,L ,a2n 1 1) 22222a； 1 a； 1a,1對f(G)中任意2n個元素，不妨設為 一,二一 ,L，上一. 222因為數(shù)組G具有f質(zhì)P ,所以對于ai1，ai2,L同加，存在一種分法：將其分為兩組，每組n個素，使得各組內(nèi)所有元素之和相等.如果用a替換上述分法中的aik (k 1,2,L ,2n), 2就可以得到對于 巴,主,L ,三的一種分法： 222將其分為兩組，每組 n個元素，顯然各組內(nèi)所有元素之和相等.所以此時f(G)也具有性質(zhì)P .當元素a1,a2,L ,a2n 1均為偶數(shù)時，因為 二 生) 生，i 1,2,L,2n 1,所以f(G)(色，曳,L ,皿). 22222 22a aa；對f(G)中任意2n個元素，不妨設為 上，上,l ,q, 2 22因為