小學數(shù)學論文：小學圖形與幾何“立體化”教學的研究

1、貼近思維細化過程重視拓展小學圖形與幾何“立體化”教學的研究 內容摘要圖形與幾何一直是小學生較難深入理解的學習內容。課改后的教學走入了情境式、 體驗式的新局面，但也走入了形式主義的誤區(qū)。筆者研究了教學中的細節(jié)，深入分析 了原因，提出了對策：處理好學生的生活經驗起點、心理認知起點和教材邏輯起點之 間的關系，搭好“空間觀念”的框架。細化觀察、操作、作圖的過程，砌實“空間觀 念”的墻。重視核心知識點、運動變化、文化熏陶三種主題拓展，蓋好“空間觀念” 的頂。貼近兒童思維，細化體驗過程，重視主題拓展，細致的，結構化的培養(yǎng)學生空 間觀念的過程就是幾何的“立體化”教學。關鍵詞 立體化空間觀念圖形與幾何是小學數(shù)

2、學的四大教學內容z。筆者多次領銜教研組以主題教研活 動的方式研究該內容，曾舉行“圖形與幾何”板塊的學段銜接、長方體、正方體的 單元整體解讀等教研活動。本人也先后執(zhí)教了面積和面積單位、長方形的面積 （課題研討課）、長方體的認識（省農遠工程錄像課）、長方體正方體的單元復習和 整理（市級公開課）、平行四邊形的面積（省級賽課）5節(jié)公開課。經歷了一節(jié)節(jié) 觀摩課、一次次教研活動、一遍遍磨課過程后，我覺得目前的幾何教學已經走岀了以 往重結果，輕過程的誤區(qū)，進入了情境式、體驗式學習的階段。我對本校25位數(shù)學教 師進行了問卷調查，結果如下：在幾何教學中，選擇經常使用生活情境的老師占96%；只要教材上安排操作，課

3、 堂教學屮就動手操作的老師占80%。選擇多媒體演示的老師則占100%。較z過去，現(xiàn)在的教學形式多樣，教學手段豐富，但一些現(xiàn)象還是使我困惑：鏡頭一：在第一次試教長方體的認識吋，我興沖沖地讓孩子們從家里帶一個 長方體物體來，通過生活屮的物體引入體現(xiàn)教學和生活情境相結合。我想要引導學生 從點線面的順序研究長方體，當我問學生我們研究一個立體圖形從它的哪個方面開始 研究？學生的冋答出乎意料地一致：“面?！笨晌乙氖屈c、線、面的順序，我只好征 求孩子們的意見，說我們從點開始，好不好？ ”孩子們勉強地答應了。課后，教研 組老師點評：這是為情境而情境。鏡頭二：在教學長方形的面積一課時，張老師依據教材，給學生提

4、供學具袋, 其中有格子圖和面積單位，讓學生動手鋪后填表找出長方形的面積計算公式。課后我 們?yōu)殚L方形的面積需不需要鋪格子圖或面積單位而爭論起來。低段老師認為三年級學 生年紀小，不操作難以理解長方形的面積為什么是長乘寬。高段老師認為應該改鋪為 畫，理由是在前兩課吋面積和面積單位的教學中已經操作過了，這節(jié)課再動手鋪, 沒有思維挑戰(zhàn)性，是為操作而操作。鏡頭三：一次單元檢測中有這樣一道題：小明暑假里幫助奶奶推磨，從石磨屮心 到磨把末端長1.5米，小明1分鐘走2圈，1小吋走了多少？班級里57名同學，有12 位學生求了圓的面積。訪談了錯誤的學生，孩子說周長我會算的，題目的問題屮沒有 單位名稱，看了插圖，圖屮

5、石磨的面畫得很大，就覺得求面積。我們的教學重視生活實際、重視過程、重視直觀，可學生沒有理解知識本質，缺 乏空間觀念的情況沒有大幅度改觀。我們不禁質疑老師預設的情境導入是否貼近學生 的思維起點？熱鬧的動手操作是否有助于發(fā)展學生的空間觀念？經過教學改進，我們 發(fā)現(xiàn)理清以下三個關系，將使幾何教學更加貼近學生思維：兒童生活經驗與認知規(guī)律、 教材邏輯體系z間的關系；體驗形式與學生思維發(fā)展z間的關系；顯性知識與隱性的 空間觀念z間的關系。處理好以上三個關系，把過程進一步細化，使空間觀念在孩子 心中生根、發(fā)芽、開花、結果，就是圖形與幾何的“立體化”教學。一、理順三個起點之間的關系，搭好“空間觀念”的框架學生

6、學習的數(shù)學知識的起點有：生活背景、認知規(guī)律、教材邏輯。生活屮的幾何 圖形、兒童的空間認知規(guī)律、幾何知識體系分別是學生學習幾何知識的生活經驗起點、 心理認知起點和教材邏輯起點。生活幾何是基礎；空間知覺認知規(guī)律是主線；學科知 識體系是邏輯體系，是我們希望學生最終達成的目標。兒童對于立體圖形的最初感覺 來源于生活。感覺在兒童思維中的形成是先從具體事物觀察和接觸中獲得感性認識， 再把感性認識轉變成抽象的知識，這是形成知識的最初階段。孩子觀察立體圖形是從 面開始的，在沒有經過系統(tǒng)學習前，難以想到線和點。他們對長方體的感性認識是“它 的面是長方形的?！倍滩牡闹R體系是點、線、面。這說明幾何知識體系和學生

7、的生 活背景z間存在著矛盾。具體的事物留在學生頭腦中的表象和教材邏輯體系是相反的, 這就對學生的學習形成了障礙。我們的教學往往會從生活情境出發(fā)，卻忽略了情境屮 的生活實踐與教材邏輯之間的矛盾，使情境對教學形成了負遷移，成了為情境而創(chuàng)設 一個情境。當已有經驗和教材邏輯有矛盾時，教師如何應對才能幫助孩子正確理解知識，把 教材的邏輯體系納入到原有的知識經驗，從而構建空間觀念呢？我們來看看長方體 的認識一課屮我的教學改進：老師問：“你們在找長方體的時候，怎么確定自己帶來的是長方體？ ”孩子說：“它 的面是長方形的?！崩蠋熃又f既然大家都關注的是面，那我們就從面開始研究。我因勢利導，遵循學生的認知規(guī)律和

8、生活經驗，從面開始研究長方體，由相鄰兩 個面的公共邊引出棱，再由三條長度不一樣的棱相交引出頂點。此時，我問：“誰來總 結一下，我們是通過怎樣的路徑來研究長方體的？ ”孩子們得出了從面到棱到點的方 法。我說：“如果我們倒回去，從點開始，請看一一”老師先出示一個點，再延伸出一 條6厘米的線，問孩子們：“你能想象出這個長方體的大小嗎？ ”再出示一條4厘米的 高，問：“現(xiàn)在呢？ ”在孩子們靜靜地思考發(fā)現(xiàn)“不能”的吋候，我再把圖發(fā)展成一個 長方形，問“能確定嗎？ ”停頓，“添上一條寬呢？ ”前面是依據學生的空間知覺認知規(guī)律，從生活到數(shù)學。再從數(shù)學的角度在學生凝 神想象的過程屮回溯長方體的構成。在此，教師

9、的目的依然是長方體特征“點、線、 面”關系的深入理解，讓學生經歷一個線構成面，面構成體的過程，讓學生體會一維 到二維到三維的空間組成。把“體”的教學置身于知識產生的大背景中，即冋顧了門 知，又衍生了新知。學生在變換的過程屮不僅構建了 “點、線、面”的脈絡，還發(fā)展 了三維空間想象能力，并理解了 “從一個頂點出發(fā)的長、寬、高的長度確定了長方體 的大小”的知識要點。在想象的過程中體現(xiàn)知識產生的背景，更好地在學生頭腦中架 起了 “體”的框架。教學既考慮了學生的生活經驗起點，又促進了學生的空間認知發(fā) 展，即引導學生形成邏輯體系。綜上所述，筆者認為幾何教學首先應該遵循學生的空間知覺認知規(guī)律，找準生活 幾何

10、的切入點，在充分了解其特征后再納入到幾何知識體系的梳理屮。用回環(huán)往復的 慢動作給予學生感悟的時間和空間，從而培養(yǎng)學生的空間觀念。認知規(guī)律和生活經驗 是他們的原有經驗，建立知識體系和發(fā)展空間想象是知識的內化和升華。理清三個起 點z間的關系，處理好三者z間的矛盾，就等于為學生的空間觀念打下了根基，搭好 了框架，接下來只要砌墻蓋頂就可以了。二、細化三種體驗手段，砌實“空間觀念”的知識墻原來的幾何教學采取單一的讀、背、默、代公式演算等手段，走入了只重結果， 忽視過程的誤區(qū)。現(xiàn)在的教材編寫意在改變這種追求結果的教學，達到一種建立在學 生內心體驗上的掌握知識本質的理想狀態(tài)。老師都領會到了教材的編寫意圖，教

11、學屮 情境豐富，材料也多，多媒體直觀演示，看看摸摸、剪剪拼拼等熱鬧的動手環(huán)節(jié)挺多。 看似學生對知識體驗得非常豐富，可并不意味著學生掌握了知識的內涵，反倒在過多 的體驗屮受到眾多無關因素的干擾，迷失了重點，所以我們要警惕“體驗過程的形式 主義”，細化體驗過程。1 借你一雙慧眼：學會觀察看，每個孩子都會。觀察卻是很多孩子不會的，因為他們不知道從哪些角度去觀 察。東看西看，一無所獲，霧里看花終隔一層。老師首先要引導學生學會觀察幾何圖 形，有條理，有策略的觀察才能引發(fā)學生思考。（1）有序觀察。觀察要有序，有序觀察有利于信息的存貯、編碼和提取。一般按 照時間順序、空間順序（如遠近、里外、上下、左右、前后

12、等）、主次順序、邏輯順序 等。如組織學生觀察自備的長方體物品（如牙膏盒、文具盒等），先讓學生初步交流“看” 的所得，因為老師還沒有指導，所以學生的交流不一定完整。此時，老師通過有序板 書和引導語向學生暗示觀察面的數(shù)量、形狀。并讓學生數(shù)一數(shù)、摸一摸來驗證。接下 來，學生在觀察棱時，自然而然會從棱的數(shù)量入手。有序觀察，會使學生的思維更有 條理性。（2）對比觀察。對比是科學實驗的一種重要方式，也是觀察的方法。把觀察對象 加以對照比較，找出相同點和相異點，即認識事物的“同中之異”與“異中之同”， 從而把握事物的本質與規(guī)律。還是以長方體的認識為例，學生對實物的上下、左 右、前后的有序觀察對比得出相對的面

13、相等，猜測相對的棱長度相等。通過對長方體 框架中四根棱的對比觀察證實了猜測。教師再用課件演示移動重合，學生觀察后，馬 上得到了鞏固。三次對比觀察分別經歷了遷移、猜測、驗證鞏固的思維歷程。（3）解剖觀察。解剖觀察是把被觀察對象的各種特性，各個側面及各個組成部分 分解開，仔細地加以觀察。立體幾何教學尤其需要通過解剖觀察，可以加深對立體圖 與展開圖z間關系的了解。先讓孩子想象長方體的展開圖，再通過教師現(xiàn)場剪開驗證。 讓孩子們驗證自己的想象。再練習鞏固，辨認哪一幅圖能圍成長方體，另一幅為什么 不能？在觀察辨認中，鞏固對展開圖的認識。觀察方法還有很多，不同的觀察方法z間并不是孤立的，有時可以交叉使用。以

14、 上三種是幾何教學屮最需要的觀察方法。教學屮老師有意識地指導學生觀察的方法， 能夠提高學生的觀察能力，為空間觀念的發(fā)展獲得表象。2鍛煉一雙巧手：有意操作空間觀念的形成，只靠觀察是不夠的，教師還應該引導學生進行操作活動，調動 視覺、觸覺、聽覺等多種感官，空間觀念便易于形成和鞏固。但是，學生如果跟著老 師的指令，為操作而操作，就失去了動手的意義。因為長方形的面積一課中的爭辯，我們對58名三年級學生進行前測：只給學 生一個沒有數(shù)據的長方形，有什么辦法知道它的面積？ 75.9% （44名）的學生得到正 確結果，65.5% （38名）的學生用了畫格子圖的辦法。我們堅持認為，只有在想象力 無法到達的地方，

15、才需要操作。動手鋪是上節(jié)課面積和面積單位的認識屮的重點 環(huán)節(jié)，本節(jié)課可以在此基礎上省去這一步驟，采取畫的方式。畫是想了以后再表示出 來，是想象的外現(xiàn)，操作是做了以后再想。前者更有利于空間觀念的培養(yǎng)。什么時候最需要操作？想不清楚的時候。例如長方體的認識一課屮，棱z間 的關系是教學難點。就靠實物觀察和想象，學生不理解相對的棱長度相等。我設計了 同桌合作搭建長方體框架和有條件的拆掉框架兩個操作環(huán)節(jié)。每個環(huán)節(jié)都具有很大的 挑戰(zhàn)性，需要學生在思辨屮嘗試。有學生搭錯了拆掉，調整多次，也有學生不成功。 更有學生是因為老師給的材料不匹配而失敗，這樣的失敗帶給學生更多的思考。整個 過程，加強了學生對長方體三視圖

16、的感知。這樣的操作才是有意義的。有意操作是大 腦根據問題思考后發(fā)出指令，手指協(xié)調動作，再把信息反饋給大腦，判斷正誤。如此 反復的過程是培養(yǎng)學生空間觀念的好方法。3形成一種能力：由想到畫，觀念外顯數(shù)學課程標準描述了空間觀念的主要表現(xiàn)，其屮包括“能夠由實物的形狀想 象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間 的轉化”?！澳軌蛴蓪嵨锏男螤钕胂蟪鰩缀螆D形”是對小學生空間觀念的具體要求，但 想象是隱形的，如何讓隱形的空間觀念外顯，畫是一種很好的方式。這是一個包括觀 察、想象、比較、綜合、抽象分析，不斷由低到高向前發(fā)展的認識客觀事物的過程， 是建立在對周圍環(huán)境直接感知基礎上

17、的、對空間與平面相互關系的理解和把握。鏡頭 三屮提到求周長的題目，如果學生能夠根據題意畫出草圖：半徑、圓心，推磨人行走 路線，問題的指向就清楚了。有些復雜問題，身邊沒有操作材料，畫圖能夠幫助學生 更簡單、準確和全面地讀懂題意。立體圖形屮，更加需要根據問題畫草圖的辦法。立體圖形的拼、切引起的表面積 和體積的變化是教學中的難點。例如：把一個橫截面邊長為1分米，長為5分米的長 方體切3刀，表面積將會增加多少平方分米？學生通過畫草圖能夠發(fā)現(xiàn)共增加了6個 面，難點就解決了。教師在平時的教學屮要培養(yǎng)學生的畫圖意識，鍛煉學生根據問題 情境作圖的能力，在圖上標出有效信息的習慣。（三）重視三種主題拓展，蓋好“空

18、間觀念”的頂空間觀念的培養(yǎng)不是一蹴而就的，也不是一節(jié)課就能解決的，是一個貫穿學習任 務的長期過程。尤其是當學習的量達到一定程度后，就會帶來質的飛躍。在新授之后 的練習、復習課屮尤其要注重概念z間的溝通與聯(lián)系。教材的編排要根據學生的年齡 特征和認知心理特點把知識點分散在各個年級。以長度、面積、體積這三個基本概念 為例，人教版教材分別分布在第三冊、第六冊和第五冊。教師在教學中如果只關注了 知識點本身的教學，忽視點與點z間的聯(lián)系。局限于知識點的割裂式的教學，容易使 學生對這些概念形成點狀的和表淺的認識，很難使學生在整體上建構起空間觀念。 長度、面積、體積是空間與圖形的三大基本概念，它們在概念內涵和形

19、式上既有區(qū)別 又有聯(lián)系。具體如下表：表1長度、面積和體積之間的區(qū)別和聯(lián)系長度面積體積概念內涵線段長短程度平面圖形面積大小物體占有空間大小比較借助物體的條 邊，觀察或重疊借助物體的一個面，觀察法或 重疊借助一個物體，觀察或重疊三個方向的棱度量工具單位是1厘米的尺單位是1平方厘米的正方形紙單位是1立方厘米的小正方體度量毫米、厘米、分米、平方厘米、平方分米、平方米、立方厘米、立方分米、單位米、米平方t米立方米、立方千米教師熟悉知識點的學段分布和到內在結構關系，努力在教學屮溝通它們z間的區(qū) 別與聯(lián)系，在學生頭腦中建立一個完整的概念體系，有助于幫助學生構建清晰的空間 觀念。1. 以核心知識點為主題拓展一

20、一由線及面，貫通課堂與生活在復習中指引學生冋顧整理核心知識點后進行整體把握，注重梳理知識之間的內 在結構關系，溝通它們z間的區(qū)別與聯(lián)系，在學生頭腦屮建立一個完整的知識體系。 筆者執(zhí)教了長方體和正方體單元復習和整理一課。課上，我并沒有讓學生去回憶 并復述長方體的特征等知識，而是設計了如下的環(huán)節(jié)：比較下列圖形的體積，哪個大？（單位：分米）4/761 6 1/_ /9182孩子們通過比較得出結論：底面積相等，高相等，體積相等，師又問：“這三個圖 形形狀不一樣，原來體積是一樣的。那它們的容積呢？那它們的表面積是不是也一樣 的？ ”孩子們通過討論得出：體積相等的長方體和正方體表面積不一定相等。師繼續(xù)問：

21、“誰的表面積最??？誰最大？給你什么啟示？ ”孩子們發(fā)現(xiàn)正方體的表 面積最小，材料用的最少。老師繼而又引導孩子們縱向比：這個正方形的體積和表面 積是不是一樣的？生活中哪些地方要用到求長方體、正方體的表面積這個本領？什么時候要用到求 體積？什么時候會求容積？假如，這是一紙箱，如果要求它用了多少硬板紙，就是求 它的?要知道它里面能裝多犬的東西？要看它放在房間里占了多犬一塊地？把它 放在集裝箱里，占了多大的空間？如果它不是一紙箱，是一根通風管。通風管，你看 想要通風，它的上下兩個底面是沒有的。你能幫忙算一下，做這樣的一節(jié)通風管需要 多少鐵皮？在這節(jié)單元復習課屮，老師利用比較三個圖形的體積大小引導孩子回

22、憶了求體積 的一般方法和通用方法：底面積乘高。這是求直棱柱體積的方法，是一個核心知識點。 更重要的是利用棱長是6分米的特殊的正方體幫助孩子辨別了體積與表面積這兩個知 識的本質區(qū)別，并滲透了在體積一樣的情況下，正方體的表面積最小，最省材料。即數(shù)字的差越小，他們的乘積就越大的道理。還進一步辨別了體積、容積、占地面積等 知識在生活中的運用。達到了進一步理解核心概念之間的關系，貫通課堂與生活，完 善認知結構。學生在解決問題的任務驅動屮，理解了知識z間的內在結構關系，建立 了一個完整的知識體系。2. 以動態(tài)變化為主題拓展一一面動成體，溝通平面與立體教師在學生掌握了長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形

23、、圓、長方體、 正方體、圓柱體、圓錐體這些圖形的形體特征及周長、面積、體積計算后，應及時引 領學生經歷圖形的展開、折疊、平移、旋轉等活動，在運動變化中深入理解，深化立 體幾何的空間觀念。圖形的折疊與展開，能夠進行平面圖形（二維）與立體圖形（三維）z間的轉換,是溝通平面圖形與立體圖形關于點、線、面之間的對應關系，深入理解知識的一個良<d好素材。右圖人教版教材五年級下冊第 16-17頁的“展開與折疊” 一課屮的習 題：哪些圖形沿虛線折疊后能圍成正方 體？通過這樣的習題能讓學生進一步認 識立體圖形與平面圖形的關系，學生在觀 察、思考其至操作的同吋，經歷了圖形的 變化過程，老師還可以延伸拓展到正方體 的11種展開圖，發(fā)展學生的空間想象。平移和旋轉可以加深學生對周長、面積、體積知識的理解。例如我們可以設計這樣的習題:1. 求下列圖形的周長。（單位：厘米）2.求以ab為軸，旋轉以后得到的圖形體積。d33厘米2厘米bc42厘米第一題屮的平移后，可以得到一個長方形，周長不變。第2題圖形旋轉后得到一 個圓柱和一個圓錐，對學生的空間想象力是一種挑戰(zhàn)。平面幾何是立體幾何的基礎， 通過這樣的習題設計，可以讓學生的想象在平面和立體z間來回穿梭，促進平面幾何 知識向立體幾何方面的遷移，把平面幾何知識與立體幾何知識融為一體，在運動變化 中求得更深入地構建“空間觀念”。3. 以“你知道嗎