2022年恒成立問(wèn)題----不等式恒成立、能成立、恰成立問(wèn)題分析及應(yīng)用(例題+練習(xí)+答案)

1、精品資料歡迎下載不等式恒成立、能成立、恰成立問(wèn)題分析及應(yīng)用一、不等式恒成立問(wèn)題的處理方法1、轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值：（ 1）如不等式下界大于 a（ 2）如不等式上界小于 bf xf xa 在區(qū)間 d 上恒成立 , 就等價(jià)于在區(qū)間 d 上b 在區(qū)間 d 上恒成立 , 就等價(jià)于在區(qū)間 d 上f x minf x maxa ，即b , 即f x 的f x 的例 1設(shè)f xx 22ax2 , 當(dāng) x1,時(shí)，都有f xa 恒成立，求 a 的取值范疇例 2已知f x x 22 x xa 對(duì)任意 x1,， f x 0 恒成立 , 試求實(shí)數(shù) a 的取值范疇例3 r 上 的 函 數(shù)f x既 是 奇 函 數(shù) ， 又 是

2、 減 函 數(shù) ， 且 當(dāng)0,2時(shí) ， 有f cos22m sinf 2m20 恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范疇 .例 4已知函數(shù)常數(shù) .f x ax 4 ln xbx 4c x0 在 x1 處取得極值3c ，其中a、b 為（ 1）試確定a、b 的值；（ 2）爭(zhēng)論函數(shù) f x 的單調(diào)區(qū)間；（ 3）如對(duì)任意x0 ，不等式f x -2c 2 恒成立，求 c 的取值范疇 .2、主參換位法例 5. 如不等式 ax10 對(duì) x1,2恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范疇 .例 6. 如對(duì)于任意 a1，不等式 x 2a4 x42a0 恒成立，求實(shí)數(shù) x 的取值范疇 .例 7.已 知 函 數(shù)f xa x333 x 22

3、a1 x1 ， 其 中 a 為 實(shí) 數(shù) 如 不 等 式f ' x 2xxa1 對(duì)任意 a0, 都成立，求實(shí)數(shù) x 的取值范疇3、分別參數(shù)法（ 1）將參數(shù)與變量分別，即化為gf x （或 gf x ）恒成立的形式；（ 2）求f x 在 xd 上的最大（或最小）值；（ 3）解不等式 gf x max 或 gf x min ，得的取值范疇適用題型：（ 1）參數(shù)與變量能分別； （ 2）函數(shù)的最值易求出；例 8當(dāng) x1,2 時(shí)，不等式x 2mx40 恒成立，求 m 的取值范疇 .例 9已知函數(shù)f x1 ax33bx2x3 , 其中 a0 （ 1）當(dāng)a、b 滿意什么條件時(shí) ,f x 取得極值 .（

4、 2）已知 a0 , 且f x 在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增 , 試用 a 表示出 b 的取值范疇 .4、數(shù)形結(jié)合例 10如對(duì)任意 xr , 不等式 xax 恒成立，就實(shí)數(shù) a 的取值范疇是例 11當(dāng) x1,2 時(shí)，不等式 x1 2log ax 恒成立，求 a 的取值范疇二、不等式能成立問(wèn)題的處理方法 如在區(qū)間 d 上存在實(shí)數(shù) x 使不等式f x a 成立 , 就等價(jià)于在區(qū)間 d 上f x maxa ；如在區(qū)間 d 上存在實(shí)數(shù) x 使不等式f x b 成立 , 就等價(jià)于在區(qū)間 d 上的f x minb .例 12已知不等式x4x3a 在實(shí)數(shù)集 r 上的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a 的取值范疇例 13如關(guān)于

5、 x 的不等式 x 2axa3 的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a 的取值范疇例 14已知函數(shù)f xln x1 ax222 x （ a0 ）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a 的取值范疇三、不等式恰好成立問(wèn)題的處理方法例 15不等式ax 2bx10 的解集為x1x1就 ab 3例 16已知f xx 22 x xa 當(dāng) x1,， f x 的值域是 0, 試求實(shí)數(shù) a 的值 .例 17已知兩函數(shù)f x 8x 216 xk ， g x 2 x 35x 24 x ，其中 k 為實(shí)數(shù)（ 1）對(duì)任意 x3,3，都有f x g x 成立，求 k 的取值范疇；（ 2）存在 x3,3 ，使f xg x成立，求 k 的取值范疇；（ 3

6、）對(duì)任意x1 , x 23,3，都有f x1g x 2 ，求 k 的取值范疇不等式恒成立、能成立、恰成立問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)1. 如不等式 m1 x 2 m1 x3m10 對(duì)任意實(shí)數(shù) x 恒成立，求實(shí)數(shù)m 取值范疇2. 已知不等式kx 2x 2kx6x22 對(duì)任意的 xr 恒成立，求實(shí)數(shù) k 的取值范疇3. 設(shè)函數(shù)值f xx 39 x 226xa 對(duì)于任意實(shí)數(shù) x ，f ' xm 恒成立，求 m 的最大4. 對(duì)于滿意a2 的全部實(shí)數(shù) a , 求使不等式 x 2ax1a2 x 恒成立的 x 的取值范疇5. 已知不等式 x 22 xa0 對(duì)任意實(shí)數(shù) x2,3恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范疇6. 對(duì)任

7、意的 a2,2，函數(shù)f x x 2a4 x42a 的值總是正數(shù)，求x 的取值范圍7. 如不等式 x 2log m x0 在 0, 1 內(nèi)恒成立，就實(shí)數(shù) m 的取值范疇28. 不等式 axx4x 在 x0,3內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范疇9. 不等式kx 2k20 有解，求 k 的取值范疇10. 對(duì)于不等式 x2x1a ，存在實(shí)數(shù) x ，使此不等式成立的實(shí)數(shù)a 的集合是 m ；對(duì)于任意 x0,5，使此不等式恒成立的實(shí)數(shù)a 的集合為 n ，求集合 m ， n 11. 對(duì)一切實(shí)數(shù) x , 不等式 x3x2a 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的范疇如不等式 x3x2a 有解，求實(shí)數(shù) a 的范疇如方程x3x2a 有

8、解，求實(shí)數(shù) a 的范疇12. 如x, y 滿意方程 x 2 y1 21，不等式 xyc0 恒成立，求實(shí)數(shù) c 的范疇如 x, y 滿意方程 x 2 y1 21 ， xyc0 ，求實(shí)數(shù) c 的范疇13. 設(shè)函數(shù)f x x 4ax 32 x 2b ，（ xr ），其中a, br 如對(duì)于任意的 a2,2 ，不等式f x 1 在 x1,1上恒成立，求 b 的取值范疇14. 設(shè)函數(shù)f x1 x331a x 24ax24a ，其中常數(shù) a1 ，如當(dāng) x0 時(shí)， f x 0恒成立，求 a 的取值范疇15. 已知向量 a x2 , x1, b1x,t ；如函數(shù)f xa b 在區(qū)間 1,1 上是增函數(shù)，求 t

9、的取值范疇不等式恒成立、能成立、恰成立問(wèn)題參考答案例 1、解： a 的取值范疇為 -3 ， 1例 2、解：等價(jià)于xx 22 xa0 對(duì)任意 x1,恒t=mgt成立 , 又等價(jià)于 x1 時(shí),x 的最小值0 成立 .由于xx1 2a1 在 1,上為增函數(shù) ,就 minx1a3 , 所以a30,a3t·例 3、解：由f cos22 msinf2 m20 得到：o1圖 1f cos 22m sinf2 m2 由于 fx 為奇函數(shù)，故有 fcos22msinf 2 m2 恒成立，又由于 f x0,2為 r 減函數(shù)， 從而有恒成立cos 22 msin2m2對(duì)gtt=mt設(shè) sint ，就 t

10、22mt2m10 對(duì)于 t0,1恒成立，o·1在設(shè)函數(shù) g tt 22 mt2m1圖 2, 對(duì)稱軸為 tm.當(dāng) tm0 時(shí)， g 02 m10 ，gtt=m11mm0即2 ，又 m0 2 如圖 1當(dāng) tm0,1，即 0m1時(shí),t4m24m 2m10 , 即 m2·2m10 ,o1圖 3 12m12 , 又 m0,1 , 0m1 如圖 2當(dāng) tm1 時(shí)， g 112m2m120 恒成立 . m1 如圖 3m1故由可知：2 .例 4、解：（ 1）（ 2）略（ 3）由（ 2）知，f x 在 x1處取得微小值f 13c ，此微小值也是最小值 . 要使f x2c 2 x0 恒成立，只

11、需3c2c 2 . 即 2c 2c30 ，c33從而 2c3 c1a10 .解得2 或 c1.c 的取值范疇為, 1,2.例 5、解：2例 6、解： x,13,例 7、解析：由題設(shè)知“ax23 xa1x2xa1a0， 都成立，即對(duì)ax22x22 x0a0， 都成立；設(shè)g a x22 ax22 x （ ar ），對(duì)就 ga 是一個(gè)以 a 為自變量的一次函數(shù)；x220 恒成立，就對(duì)xr， g a為 r 上的單調(diào)遞增函數(shù)；所以對(duì)a0， ， ga0 恒成立的充分必要條件是g00 ，x22 x0 ，2x0 ，于是 x 的取值范疇是 x |2x0 ；2x24x244例 8、解析 :當(dāng) x1,2時(shí)，由 xm

12、mx40 得xf x. 令xxx ，x24就易知f x在 1,2上是減函數(shù)， 所以 x1,2 時(shí)f xmaxf 15 ，就 mni 5x m5 .ab 2f x0,1f 'xax22bx100,1例 9、解析：（ 1）（ 2）在區(qū)間上單調(diào)遞增在bax1 , x0,1ax1xb上恒成立22 x恒成立a x222 x1max，0,1 ；gxax1g ' xa1a設(shè)22 x ，22x22 x2，1xx令 g ' x0 得a 或1a 舍去 ，011x0, 1 g xax1當(dāng) a1 時(shí),a，當(dāng)a時(shí) g ' x0 ，22 x 單調(diào)增函數(shù)；x 1 ,1g xax1當(dāng)a時(shí) g

13、' x0 ，22 x 單調(diào)減函數(shù) ,1gag x maxa；ba ；11g xax1當(dāng) 0a1時(shí)，a，此時(shí)g 'x0 在區(qū)間 0,1 恒成立，所以22 x 在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，g xmaxa1a1g 1b2，2；綜上，當(dāng) a1 時(shí),ba ；當(dāng) 0ba1時(shí)，a12；y| x |yy| x |例 10、解析：對(duì)xr, 不等式 | x |ax 恒成立yaxyaxx就由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知1a1 ，即 1a1 ；o例 11、解： 1<a2.例 12、解： a1例 13 、其次個(gè)填空是不等式能成立的問(wèn)題.設(shè) f x2xaxa . 就關(guān)于 x 的不等式x2axa3 的解集不是空集

14、f x3 在,上能成立fminx3 ,f minx即4aa 243,解得 a6或 a2b例 14、解：2時(shí), h xln x1 ax 222 xh，就 x1ax2 x2ax2 x1.x由于函數(shù) h x存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以h x0有解 . 由題設(shè)可知, h x的定義域是0,a12而 hx0 在 0,上有解 , 就等價(jià)于 h x0 在區(qū)間0,能成立 , 即x2x ,x0,成立,進(jìn)而等價(jià)于 au xu minx 成立 , 其中12x2x .u x122111由x2xx得,u minx1. 于是 , a1,由題設(shè) a0 , 所以 a 的取值范疇是1,00,例 15、解： 6fx例 16、解：是一個(gè)恰

15、成立問(wèn)題, 這相當(dāng)于x22 xax 22 xa xa0的解集是 x1,.當(dāng) a0時(shí), 由于 xf x1時(shí),x23xx, 與其值域是 0,沖突 ,fx當(dāng) a0 時(shí),2x2 xaxxa2x是 1,上的增函數(shù) , 所以 ,fx 的最小值為f 1 , 令 f 10 , 即 1a20, a3.例 17、解析：（ 1）設(shè) hx=gx-fx=2x2-3x2-12x+k，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 x-3 ， 3 時(shí)， hx 0 恒成立，故 h min x 0. 令 h x=6x2-6x-12=0 ，得 x= -1或 2；由 h-1=7+k，h2=-20+k，h-3=k-45，h3=k-9，故 h minx=-45+k，由

16、k- 450，得 k45.（ 2）據(jù)題意：存在 x-3 ，3 ，使 f （x gx 成立，即為： hx=gx-fx 0在 x-3 ，3 有解，故 h max x 0，由（ 1）知 h max （x） =k+7 ，于是得 k -7 ；（ 3）它與（ 1）問(wèn)雖然都是不等式恒成立問(wèn)題，但卻有很大的區(qū)分，對(duì)任意x1，x2-3 ， 3 ， 都有 f （x1 gx2 成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，x1， x2 的取值在 -3 ， 3 上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要條件是：f max xg min x., .x3.,32， 由 gx=6x2+10x+4=0， 得 x=-3或 -1， 易

17、 得g min xg 321 ，又 fx=8x+12-8-k，x3.,3 .故f max xf 3120k.令120- k -21 ，得 k141；專項(xiàng)練習(xí)：1、解：,13 112 、解： 2,103、解析：f ' x3x29x6 ,對(duì)xr ,'f x2m ,即3x9x6m0 在xr上恒成立 ,81126mm0 ,得34 ，即3m 的最大值為4 ；4、解：不等式即 x-1p+x2-2x+1>0,設(shè) fp= x-1p+x2-2x+1,就 fp在-2,2上恒大于 0， 故有：f 20x24x30x3或x1f 22即 x10解得：x1或x1 x<-1 或 x>3.5

18、、解： a0 6 、解： x,04, 7 、解：y 1 ,11603yaxx8、解：畫(huà)出兩個(gè)凼數(shù)yax 和 yx 4ax 在 x3 0,3上的圖象如圖知當(dāng)x3 時(shí) y3 ，3a3a3當(dāng)3x 0,3 時(shí)總有 axx4x 所以329 、 解 ： 不 等 式 kxk20有 解k x21 有2解2x1k2有 解k22x21m a x，所以 k，2 ；2x1x1，f xx2x13 1 x 2，10、解：由2x1x2.又 afx 有解af xmin3 ，所 以maa 3 令g xx2x ，1x ，05 agx恒 成 立agmx axg 5n9所以 a a911、解： a5 a5 a5,512 、解： c21 c12 , 12 13、解：f x 4 x33ax 24 xx4 x 23ax4 由條件 a2，2 可知9a2640，從而4 x23ax40恒成立當(dāng)x0 時(shí)，f x 0 ；當(dāng) x0 時(shí)，f