引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中浸潤(rùn)數(shù)學(xué)基本思想

1、引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中浸潤(rùn)數(shù)學(xué)基本思想對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，如何高屋建範(fàn)而又能以適合兒童 的方式讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)浸潤(rùn)數(shù)學(xué)基本思想，讓兒童感悟數(shù)學(xué)思想 的力量，值得我們每一位數(shù)學(xué)老師在實(shí)踐中探索，在反思中 前行。下面以搭配的規(guī)律一課的教學(xué)為例，談?wù)劰P者的 探索與思考。一、逐級(jí)抽象小學(xué)生在日常生活中經(jīng)常會(huì)遇到一些簡(jiǎn)單的搭配問(wèn)題， 但隱含其中的規(guī)律并不被學(xué)生所關(guān)注。本課教學(xué)著力于幫助 學(xué)生由具體到抽象、由無(wú)序到有序，逐步感知搭配中所隱含 的規(guī)律，經(jīng)歷和感悟'數(shù)學(xué)化”的過(guò)程。課始，教師創(chuàng)設(shè)小芳選配上衣和褲子的情境。讓學(xué)生從 2件上衣和3條褲子中任意選配一套服裝，并在電腦上操作。 學(xué)生在操作中出現(xiàn)無(wú)序、

2、重復(fù)等情況后，產(chǎn)生疑問(wèn)：怎樣操 作才不會(huì)重復(fù)？ 一共有多少種搭配方法？學(xué)生有的猜測(cè)5 種，有的猜測(cè)6種，還有的猜測(cè)8種。教師不置可否。隨后，學(xué)生再次有意識(shí)地嘗試將上衣和褲子圖片有序搭 配，教師引導(dǎo)學(xué)生講述搭配的方法。由此，開(kāi)始了逐級(jí)的抽 象。生1：黃衣服配白褲子；黃衣服配紅褲子；黃衣服配藍(lán) 褲子師：這位同學(xué)先選定黃衣服，再和各種褲子搭配，有序、 清楚地表達(dá)了所有搭配方法。生2：我覺(jué)得這樣寫(xiě)起來(lái)太麻煩，可以簡(jiǎn)化一下。黃衣 白褲，黃衣紅褲生3：我覺(jué)得還可以更簡(jiǎn)單些。衣服和褲子的顏色不一 樣，可以把上面的“衣”、"褲”都去掉，黃一一白，黃一一 紅也不影響意思的表達(dá)。生4：他們的想法其實(shí)就是

3、分成兩類，一類是黃衣服和 3種褲子搭配，還有一類是花衣服和3種褲子搭配（如下圖）。師：能不能再簡(jiǎn)化一下？白、紅、藍(lán)還是寫(xiě)了兩遍。生5：可以只寫(xiě)一遍。讓黃、花分別和白、紅、藍(lán)連線 （如圖）。師：這幅圖如果從下往上看，表達(dá)了什么意思？生6：先選定褲子，白、紅、藍(lán)褲子可以分別和2件上 衣搭配。一共也是6種搭配方法。太好了！這樣畫(huà)能表達(dá)兩 種不同的想法。師：如果只想知道一共有多少種搭配的方法，還能不能 再簡(jiǎn)化？生7：能！我分別用o和代表上衣和褲子。生8：我用1、2代表上衣，用a、b、c代表褲子。師：如果增加1條褲子，又會(huì)有多少種搭配方法呢？能 聯(lián)系圖想想嗎？如果增加1件上衣呢？起初，學(xué)生能夠有意識(shí)地將

4、搭配問(wèn)題簡(jiǎn)單化和條理化，并力求清晰地表達(dá)。這里的抽象沒(méi)有離開(kāi)物理背景，比較具 體、直觀，屬于直觀描述的層次，但學(xué)生已經(jīng)逐步把握搭配 的序列本質(zhì)，呈現(xiàn)出結(jié)構(gòu)化的特點(diǎn)，這是抽象的第一階段, 即簡(jiǎn)約階段。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生去掉包括上衣、褲子、顏色等非數(shù)學(xué)的屬性，只保留了兩種事物的數(shù)量這一搭配的必 備要素，利用兩種符號(hào)表達(dá)已經(jīng)簡(jiǎn)約化了的兩類事物，并通過(guò)連線進(jìn)行關(guān)系表述。這已經(jīng)進(jìn)入到抽象的符號(hào)階段。事實(shí) 上，最后兩幅連線圖已經(jīng)擺脫了物理背景，抽象為兩類事物 搭配的一種模型了，這一步的抽象已經(jīng)初步呈現(xiàn)了新知識(shí)， 具備了一定的應(yīng)用性。最后，通過(guò)增加1條褲子或1件上衣, 使一個(gè)自變量不變、另一自變量變化來(lái)引起

5、因變量的變化， 促使學(xué)生離開(kāi)實(shí)物操作，借助相對(duì)抽象的連線圖去發(fā)現(xiàn)數(shù)量 之間的關(guān)系。學(xué)生很快將這種關(guān)系與乘法模型建立聯(lián)系，將 搭配種數(shù)的變化抽象為“增加1個(gè)2”、“增加1個(gè)3”。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將搭配種數(shù)概括為“幾個(gè)2”或“幾個(gè) 3” o這種數(shù)量關(guān)系的抽象為后續(xù)規(guī)律的進(jìn)一步明晰積累了 重要的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)然，在這個(gè)過(guò)程中，教師也有 意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生在思考“再增加1條褲子”、“增加1件上 衣”的過(guò)程中借助直觀，蘊(yùn)含了演繹推理和歸納推理的成 分。二、歸納推理在對(duì)“上衣件數(shù)”、“褲子條數(shù)”、“搭配種數(shù)”之間 的數(shù)量關(guān)系已經(jīng)有了初步的直觀經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué) 生進(jìn)一步探索。師：如果有3件上衣，

6、4條褲子，一共有幾種搭配的方 法？先猜想，再驗(yàn)證。學(xué)生活動(dòng)后匯報(bào)。生1：我猜是12種。我用1、2、3代表上衣，a、b、c、 d代表褲子，連線后發(fā)現(xiàn)確實(shí)是12種搭配方法。生2：我是在腦子里畫(huà)圖驗(yàn)證的。每件上衣都可以和4 條褲子搭配，3件上衣和4條褲子搭配的種數(shù)就是3個(gè)4。生3：也可以這樣想：每條褲子都可以和3件上衣搭配, 4條褲子和3件上衣搭配的種數(shù)就是4個(gè)3。師：由此，你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？生5：上衣件數(shù)x褲子條數(shù)=搭配種數(shù)。師：同桌互相舉幾個(gè)例子(不一定是上衣和褲子喲)， 驗(yàn)證一下，并注意說(shuō)清楚理由。師：如果將第一類事物m種和第二類事物n種進(jìn)行搭配, 一共有多少種搭配的方法呢？生6：那就應(yīng)該是(

7、mxn)種。師：能作出解釋嗎？生7：如果從第一類事物中選定1種，和第二類事物就 有n種搭配。而第一類事物有m種，所以一共就有m個(gè)n種 搭配，也就是(mxn)種。要讓推理思想逐步根植于學(xué)生的意識(shí)領(lǐng)域并非易事。首 先教師要有這種意識(shí)，還要將這種意識(shí)逐步轉(zhuǎn)化為學(xué)生的意 識(shí)。教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生猜想結(jié)果，更應(yīng)注意讓學(xué)生進(jìn)行不 同層次的驗(yàn)證。有相對(duì)直觀的連線驗(yàn)證，有建立于直觀經(jīng)驗(yàn) 基礎(chǔ)上的相對(duì)抽象的算理解釋，教師的作用在于讓學(xué)生不停 留于直觀經(jīng)驗(yàn)，適時(shí)地讓他們認(rèn)識(shí)到直觀驗(yàn)證的局限性，推 動(dòng)其抽象思維的發(fā)展。對(duì)小學(xué)生而言，歸納的思想不僅是可 行的，而且是必要的。因此，教師并不滿足于學(xué)生對(duì)“上衣 件數(shù)”、“褲

8、子條數(shù)”、“搭配種數(shù)”關(guān)系的一般歸納，而 是引導(dǎo)學(xué)生在多樣化特例的基礎(chǔ)上，舍棄了非本質(zhì)屬性，推 而廣之，歸納出了更為一般化的“乘法原理"，并用字母表 示，進(jìn)入到抽象的普適階段。這一步的抽象合理地表達(dá)了新 知識(shí)，使得應(yīng)用的廣泛性成為可能。三、模型應(yīng)用原始的上衣和褲子的搭配只能看作一種普通的生活現(xiàn) 象，但通過(guò)抽象和推理形成一般化的"乘法原理”，便成為 一種可以廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型。而要真正成為學(xué)生意識(shí)中可 以自由、靈活應(yīng)用的模型還需要對(duì)模型的應(yīng)用條件、范圍和 方向等作進(jìn)一步的研究。課件出示，解決問(wèn)題：1. 從杭州到上海，有2條直達(dá)的鐵路和3條直達(dá)的公路。 一共有多少種不同的路線可

9、走？2. 小芳有2件上衣、3條褲子和4雙皮鞋，從中選擇1 件上衣、1條褲子，再配上1雙皮鞋，一共有多少種搭配方 法？3. 學(xué)校要從一些選手中選1名男生和1名女生主持兒童 節(jié)的文藝演出，一共有12種不同的搭配方法。可能有幾名 男生和幾名女生參加選拔？建立模型初期，研究的例子只是囿于應(yīng)用條件的單一的 搭配現(xiàn)象。由于缺少"變式”，導(dǎo)致了許多“搭配的規(guī)律” 的教學(xué)中，學(xué)生不管見(jiàn)到什么問(wèn)題，就將其中的兩個(gè)數(shù)相乘。 上述問(wèn)題解決中，學(xué)生對(duì)“乘法原理”和"加法原理”這兩 個(gè)相關(guān)又容易混淆的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了辨析比較，厘清了 “幾 個(gè)幾”、“幾和幾”這兩個(gè)原理的本質(zhì)屬性，明晰了兩者的 應(yīng)用條件，并相機(jī)進(jìn)行了乘法原理的推廣。在這一過(guò)程中， 教師不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生“回頭看”一一回首最初的“圖 示直觀”，體會(huì)其局限性；凝望探索規(guī)律過(guò)程中的成長(zhǎng)階梯, 感悟模型建立的必要性和應(yīng)用的簡(jiǎn)潔性。最后，規(guī)律的反向 應(yīng)用既是模型的價(jià)值和作用的體現(xiàn)，也更能促進(jìn)學(xué)生對(duì)模型 的數(shù)學(xué)本質(zhì)的進(jìn)一步認(rèn)同。再次強(qiáng)化有序思考和分類列舉， 促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，也讓學(xué)生