復(fù)氏變換課件

1、復(fù)氏變換PPT課件第八章第八章 傅里葉變換傅里葉變換8.1 8.1 傅里葉變換的概念傅里葉變換的概念8.3 8.3 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)復(fù)氏變換PPT課件( (一一) )傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 在在a,b上連續(xù)，或者只有有限個第一類間斷點(diǎn)；上連續(xù)，或者只有有限個第一類間斷點(diǎn)； f(t)在在a,b上只有有限個極值點(diǎn)。上只有有限個極值點(diǎn)。8.1 8.1 傅里葉變換的概念傅里葉變換的概念以以T為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù)fT(t)，如果在，如果在 上滿足上滿足狄利克雷條件，即：狄利克雷條件，即： 2,2TT那么在那么在 上上fT(t)可以可以展成傅氏級數(shù)，展成傅氏級數(shù)， 2,2TT在在

2、fT(t)的連續(xù)點(diǎn)處，級數(shù)的三角形式為：的連續(xù)點(diǎn)處，級數(shù)的三角形式為： 1000)sincos(2)(nnnTtnwbtnwaatf復(fù)氏變換PPT課件Tw 20 其中其中)21 , 0( cos)(2220,ntdtnwtfTaTTTn )321( sin)(2220,ntdtnwtfTbTTTn 這種表示形式稱為傅里葉級數(shù)的這種表示形式稱為傅里葉級數(shù)的三角表示形式三角表示形式在在fT(t)的間斷點(diǎn)處：的間斷點(diǎn)處：)0()0(21)(00 tftftfTTT根據(jù)歐拉公式有：根據(jù)歐拉公式有：)(21cos000tjnwtjnweetnw )(2sin000tjnwtjnweejtnw 102)(

3、22)(0000ntjnwtjnwntjnwtjnwnTeejbeeaatf復(fù)氏變換PPT課件 10)22(2)(00ntjnwnntjnwnnTejbaejbaatf), 2 , 1(2,2,200 njbacjbacacnnnnnn令令 ntjnwnTectf0)(得到得到), 2, 1, 0( )(12/2/0 ndtetfTcTTtjnwTn其其中中這種表示形式稱為傅里葉級數(shù)的這種表示形式稱為傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)表示形式復(fù)指數(shù)表示形式,22200nnnbaAaA 令令), 2 , 1( sin,cos nAbAannnnnn 則則復(fù)氏變換PPT課件 1000)sinsincos(cos)

4、(nnnnTtnwtnwAAtf 100)cos(nnntnwAA 其中其中w0稱為稱為基頻基頻， An稱為稱為振幅振幅， n稱為稱為相位相位nnnccAc argarg,00由于由于22122nnnnnAbacc 因此因此cn稱為稱為離散頻譜離散頻譜，|cn|稱為稱為離散振幅譜離散振幅譜，argcn稱為稱為離散相位譜離散相位譜 且常記且常記F(nw0) = cn例例1 設(shè)設(shè)fT(t)是以是以T=2 為周期的函數(shù)為周期的函數(shù),且在區(qū)間且在區(qū)間0,2 上上fT(t) = t,將將fT(t)展開為指數(shù)形式的展開為指數(shù)形式的Fourier級數(shù)級數(shù)復(fù)氏變換PPT課件解解: , 120 Tw 令令當(dāng)當(dāng)n

5、 = 0時時 2/2/0)(1)0(TTTdttfTFc 20021)(1tdtdttfTTT當(dāng)當(dāng)n 0時時, 2/2/00)(1)(TTtjnwTndtetfTnwFc 20021)(10dttedtetfTjntTtjnwT 20202121dtejntejnjntjntnj nntjnwTenjtf0)( 復(fù)氏變換PPT課件例例2 求以求以T為周期的函數(shù)為周期的函數(shù)0, T/2 t 0,2, 0 t d df(t) =的傅氏變換及傅氏逆變換的傅氏變換及傅氏逆變換. d dd ddtejwt dtetfwFtfFjwt)()()(解解:復(fù)氏變換PPT課件)(11d dd dd dd djw

6、jwjwteejwejw wwd dsin2 dwewwtfjwtd d sin221)( wtdwwwjwtdwwwsinsin22cossin221d d d d 0cossin2wtdwwwd d 1, |t| d d.,sin2)(wwwFd d ,)12(2d d d d nwn,)22()12(d d d d nwnargF(w)=0 02sin dxxx復(fù)氏變換PPT課件例例4 求函數(shù)求函數(shù)的傅氏變換的傅氏變換.1+t, 1t0,1 t, 0t1 dtetfwFtfFjwt)()()(解解: 1001)1()1(dtetdtetjwtjwt 1010)1()1(dtetdtetj

7、wtjwt 1010sin)1(2cos)1(2wtdtwwtdtt 1010sin2sin)1(2wtdtwwttw)1(cos22 ww復(fù)氏變換PPT課件8.2 單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)(函數(shù)函數(shù))(1)(1)滿足下列兩個條件的函數(shù)稱為滿足下列兩個條件的函數(shù)稱為( (狄拉克狄拉克)函數(shù)函數(shù) 1)( 20, 0)( 1dttttd dd d(2)(2)普通函數(shù)極限形式的定義普通函數(shù)極限形式的定義)(lim)(0tt d dd d 其中其中 d d tttt, 00 ,; 0, 0)(1(3)(3)廣義函數(shù)形式的定義廣義函數(shù)形式的定義若若f(t)在在t0為連續(xù)函數(shù)，則為連續(xù)函數(shù)，則)()()(

8、00tfdttttf d d( (一一) )d d函數(shù)的定義函數(shù)的定義復(fù)氏變換PPT課件( (二二) )d d函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)(1) 篩選性質(zhì)篩選性質(zhì)若若f(t)在在t0為連續(xù)函數(shù)，則為連續(xù)函數(shù)，則)()()(00tfdttttf d d(2) d d函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為偶函數(shù),即即d d( t) = d d(t)(3) 設(shè)設(shè)u(t)為為單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù),)()( ),()(tttdutudtttd dd d 則則t0 = 0時時，則，則)0()()(fdtttf d dtd d(t)tAdAd(t)tt0d d(t t0)1, t 0,0, t 0,0, t 0,0, t 0,例例

9、8 求符號函數(shù)求符號函數(shù) 的傅氏變換的傅氏變換 1, t af(t) =awawawawtfFwFsin2sin2)()( (2)單邊衰減指數(shù)函數(shù)：單邊衰減指數(shù)函數(shù)：e at, t 0,0, t 0)復(fù)氏變換PPT課件jwatfFwF 1)()(3)單位階躍函數(shù)：單位階躍函數(shù)：1, t 0,0, t 0時時, ),(1)(1)(awFadxexfaatfFaxjw 當(dāng)當(dāng)a 0時時, ),(1)(1)(awFadxexfaatfFaxjw 3 3相似性質(zhì)相似性質(zhì) 解解: )(21sin)(000tjwtjweetfFjtwtfF 由線性性質(zhì)由線性性質(zhì))()(200tjwtjwetfFetfFjI

10、 再由位移性再由位移性質(zhì)質(zhì))()(200wwFwwFjI 復(fù)氏變換PPT課件例例11 設(shè)設(shè)Ff(t)=F(w), 求求Ff(2t 3) 解解2: 令令f(2t)=g(t), 記記Fg(t)=G(w), 由相似性質(zhì)有由相似性質(zhì)有)()(221)2(tgFwGwFtfF 再由位移性質(zhì)有再由位移性質(zhì)有解解1: 令令f(t 3)=g(t), 記記Fg(t)=G(w), 由位移性質(zhì)有由位移性質(zhì)有)()()()3(3wGtgFwFetfFjw 再由相似性質(zhì)有再由相似性質(zhì)有 221)2(21)2()32(23wFewGtgFtfFjw 復(fù)氏變換PPT課件 4. 4.微分性微分性質(zhì)質(zhì) )()(, 0)(lim

11、tfFjwtfFtft 則則若若，則則若若)1,2 , 1 , 0(0)(lim)(| | nktfkt )()()()(tfFjwtfFnn 證明證明:0)()( tfetftjwt時，時，當(dāng)當(dāng), 0)( jwtetf故故 dtetftfFjwt)()(則則 dtetfjwetfjwtjwt)()()(tfjwF 221)()23()32(2323wFewGetgFtfFjwjw 復(fù)氏變換PPT課件 )()()()(tfFjwtfFnn 故故 dtetfjwtfFjwtnn)()(1而而5.5.象函數(shù)的微分性質(zhì)象函數(shù)的微分性質(zhì) ,()(）若若wFtfF )()(tjtfFwFdwd 則則一般

12、地，有一般地，有 )()()(tftjwFdwdnnnnF F 證明證明:)()()(wFdtetftfFjwt 由由于于 dtejttfdtetfdwdwFdwdjwtjwt)()()(則則)()(tfjtF F(w)已知時已知時, 求求tnf(t)的傅氏變換的傅氏變換復(fù)氏變換PPT課件例例12 已知已知Ff(t)=F(w), , 0)(lim tft且且求函數(shù)求函數(shù) 的傅氏變換的傅氏變換.)2( tf t 再由象函數(shù)的微分性可得再由象函數(shù)的微分性可得)2(4)2()2(wFjwdwdjtfFdwdjtf tF )2(4)(21)(21)2(22wFjwwjwFtfFtfFww 解解: 由相

13、似與微分性質(zhì)有由相似與微分性質(zhì)有)2(8)2(41wFwwF 復(fù)氏變換PPT課件例例13 已知函數(shù)已知函數(shù)e t, t 0,0, t 1 復(fù)氏變換PPT課件由能量積分公式有由能量積分公式有dtdwww 11222)21(2sin 復(fù)氏變換PPT課件作作 業(yè)業(yè)P211 T8.6 T8.11 T8.12 T8.16復(fù)氏變換PPT課件解解: 由由 sgn(t) = 2u(t) 1 有有),1()(2)sgn(FtuFtF ),(2)1( ),(1)(wFwjwtuF d d d d 而而)(2)(1 2)sgn(wwjwtF d d d d 故故jw2 6. 求下列函數(shù)的傅氏變換求下列函數(shù)的傅氏變換

14、.1, t 0, 1, t 0(1) sgn(t) =(2) f(t) = costsint)()(sin000wwwwjtwF d dd d 解解1:復(fù)氏變換PPT課件ttttf2sin21sincos)( 而而)2()2(2)( wwjtfFd dd d 故故(3) f(t) = sin3t332sin)( jeettfjtjt)33(833jtjtjtjteeeej )(200wweFtjw dd而而解解2: jeetjtjt22sin22 解解1:復(fù)氏變換PPT課件)3()1(3 )1(3)3(4)( wwwwjtfFd dd dd dd d 故故解解2: tttsin)cos1(si

15、n23 tttsincossin2 ttt2sincos21sin tt3sin41sin43 )()(sin000wwwwjtwF d dd d 而而再由線性性質(zhì)得解再由線性性質(zhì)得解 35sin)( )4( ttf復(fù)氏變換PPT課件)()(sin000wwwwjtwF d dd d )()(cos000wwwwtwF d dd d )5()5(23 )5()5(2)( wwwwjtfFd dd d d dd d 故故)5()3()5()3(2 wjwjd dd d ttttf5cos235sin2135sin)( 解解1: 解解2: jeetjtjt25sin55 25cos55jtjtee

16、t 復(fù)氏變換PPT課件)(),()()(00tfwwwwwF求求已已知知 d dd d 11.dwewwwwjwt )()(2100d dd d )()(1wFFtf 解解1: 002121wwjwtwwjwtee dwewwdwewwjwtjwt )(21)(2100d dd d=cosw0t復(fù)氏變換PPT課件解解2: dweedweewFjwttjwjwttjw 002121)()()()(00wwwwwF d d d d)(200wweFtjw dd而而dweeetjwtjwjwt)2(00 tdwwejwt0cos twtf0cos)( 故故復(fù)氏變換PPT課件)2()2()()(21)

17、(atatatattf d dd dd dd d12. 求下列函數(shù)的傅氏積分變換求下列函數(shù)的傅氏積分變換)()(tfFwF dteatatatatjwt)2()2()()(21d dd dd dd d2122atjwtatjwtatjwtatjwteeee waaw2coscos 解解:復(fù)氏變換PPT課件)()(21)(sin)()1(000tuetuejtutwtftjwtjw )(1)(wjwtuFdd 而而 )()(1)()(121)(0000wwwwjwwwwjjtfFdddd由位移性質(zhì)有由位移性質(zhì)有202000)()(2wwwwwwwj d dd d 解解:16. 求下列函數(shù)的傅氏變換求下列函數(shù)的傅氏變換.)()()2( )(sin)()1(00ttuetftutwtftjw 復(fù)氏變換PPT課件21)()(11)(wwjwjwjttuF d d dd由象函數(shù)的微分性質(zhì)有由象函數(shù)的微分性質(zhì)有:由位移性質(zhì)有由位移性質(zhì)有:200)(1)()(wwwwjtfF d d )(1)(wjwtuFdd 解解(2)復(fù)氏變換PPT課件解解3: 令令f(t)=sint, 則則)1()1()( wwjtfFd