多元函數(shù)極限課件

1、多元函數(shù)極限PPT課件鄰域：鄰域：),(0 PU P 0PP其其中中：, 0 是是點(diǎn)點(diǎn)、0PP 0P P ),(0 PU ),(yx 2020)()(yyxx 不不強(qiáng)強(qiáng)調(diào)調(diào)時(shí)時(shí) 簡記簡記)(PU去心鄰域：去心鄰域：),(0 PU P 00PP多元函數(shù)極限PPT課件P設(shè)有點(diǎn)設(shè)有點(diǎn),2R E點(diǎn)集點(diǎn)集2R 內(nèi)點(diǎn)：內(nèi)點(diǎn)：),(PU某某個(gè)個(gè)若若 使得使得EPU )(的的是是EPEP :開開集集 由內(nèi)點(diǎn)組成由內(nèi)點(diǎn)組成的集合的集合),(yxE 122 yx 1)2()2(22 yx0 xy是開集是開集:)(區(qū)區(qū)域域開開連通的開集連通的開集：連通集連通集E21PP、對(duì)對(duì) E 都可用都可用 中的中的E折線折線將

2、其連接將其連接 多元函數(shù)極限PPT課件),(yxE 4122 yxxyo是是開開區(qū)區(qū)域域:閉區(qū)域閉區(qū)域 區(qū)域區(qū)域邊界點(diǎn)邊界點(diǎn):邊界點(diǎn)邊界點(diǎn))(PU 對(duì)對(duì)EPU)(, EPU )(且且的的是是EPP ),(yxE 2214xy xyo是閉區(qū)域是閉區(qū)域多元函數(shù)極限PPT課件：有界集有界集E某個(gè)某個(gè)若若 ),(rOU使得使得 E),(rOU無界集無界集否則為否則為41| ),(22 yxyxxyo有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域0| ),( yxyx無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo多元函數(shù)極限PPT課件聚點(diǎn)：聚點(diǎn)：),(PU 對(duì)對(duì))(PUE ,P設(shè)定點(diǎn)設(shè)定點(diǎn)的的是是EP:維維空空間間nnR ,(1x ,2x)nx R

3、xi 多元函數(shù)極限PPT課件二、多元函數(shù)概念二、多元函數(shù)概念例例1 1長方形長方形S面面積積xy 1定定義義是是設(shè)設(shè)D的的2R,一一個(gè)個(gè)非非空空子子集集:f稱稱映映射射RD 為定義為定義上上的的在在D二元函數(shù)二元函數(shù)記為記為),(yxfz 或或)(Pfz 其中其中),(yxD DP D定義域定義域多元函數(shù)極限PPT課件例例2 2),(yxf求求222)3arcsin(yxyx 的定義域的定義域解解223yx 11 2yx 0 得得 4222yx2yx | ),(yx 4222 yx2yx 且且D定義域定義域多元函數(shù)極限PPT課件圖形圖形多元函數(shù)的多元函數(shù)的多元函數(shù)極限PPT課件例例3 3xyz

4、sin 例例4 4隱函數(shù)隱函數(shù)2222azyx xyzo),(yxD 222ayx 單值分支單值分支222yxaz 222yxaz 多元函數(shù)極限PPT課件00liml m( )()i()xMMxfAxf MA 回回顧顧： 一一元元函函數(shù)數(shù)極極限限定定義義的的充充要要條條件件是是00,0,0|xx 若若對(duì)對(duì)使使得得當(dāng)當(dāng)00 | | ( ) | ( )( ,( )fAAfxMMM 時(shí)時(shí)有有二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限),(yx),(00yx2020)()(yyxx 0即即M( , )x y000M (,)xy00MM注意：二元函數(shù)中注意：二元函數(shù)中多元函數(shù)極限PPT課件 fMA 0A()f MMM

5、那那么么稱稱為為二二元元函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的極極限限。000(0|0|)MMM 定定義義可可例例外外 ， 若若對(duì)對(duì)， 使使得得當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，有有二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限定義定義1: 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) f ( x,y )= f (M) 在點(diǎn)在點(diǎn) M0 (x0,y0) 某鄰域內(nèi)有某鄰域內(nèi)有 0000000( , )()00|,|,(,)A()f x yMMxxyyx yx yf MAf MMM 設(shè)設(shè)二二元元函函數(shù)數(shù)在在的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義可可例例外外 ，若若對(duì)對(duì)， 使使得得當(dāng)當(dāng)且且（）時(shí)時(shí)，有有那那么么稱稱為為二二元元函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)定定義義2 2：時(shí)時(shí)的的極極限限多元函數(shù)極限PPT課

6、件00000( , ) (,)lim ( )lim ( , ),lim( )M Mxxx yx yyyf MAf x yAf MA 記記 作作 ：或或或或12定定義義定定義義：應(yīng)用：應(yīng)用：例例1 使用定義使用定義2 例例2 使用定義使用定義1多元函數(shù)極限PPT課件例5證明證明)0,0(),(limyx)(22yx 221sinyx 0 證證, 0 取取當(dāng)當(dāng)22)0()0( yx 0時(shí)時(shí) 即即(220)xy 01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx 2 結(jié)論成立結(jié)論成立 多元函數(shù)極限PPT課件上相同，但他們之間上相同，但他們之間 “點(diǎn)鄰域點(diǎn)鄰域”的具體含義不同。的具體含

7、義不同。二元極限問題的討論要比一元情形復(fù)雜。二元極限問題的討論要比一元情形復(fù)雜。注意：注意：二元與一元函數(shù)極限的定義在形式二元與一元函數(shù)極限的定義在形式多元函數(shù)極限PPT課件兩者差異如下：兩者差異如下：00 xxMM一維：20200yyxxMM二維：比較： 0limxxfxA0M00 xx條件條件結(jié)果結(jié)果 AxfAA（）0 x0 xfAA（）f)(lim)(lim)(lim000 xfAxfAxfxxxxxxAMfMM)(lim0“途徑”無窮多0 xx 直線上0MM 平面上AMfMM)(,0任意途徑當(dāng)多元函數(shù)極限PPT課件確定極限確定極限不存在不存在的方法的方法*：注意：注意：多元函數(shù)極限PP

8、T課件例6證明證明)0,0(),(limyx22yxxy 不不存存在在證證取取kxy 21kk )0,0(),(limyx22yxxy 0lim x222xkxkxx 變化，變化，隨隨k故極限故極限不不存存在在多元函數(shù)極限PPT課件例例7 7 證明證明 不存在不存在 證證26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在多元函數(shù)極限PPT課件不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 多元函數(shù)極限PPT課件二元函數(shù)

9、的極限運(yùn)算法則與基本性質(zhì) 定理定理1000000000000( , )(,)( , )(,)( , )(,)( , )(,)( , )(,)( , )( , )(,)lim(),lim( , ),(1)lim ()( , );(2)lim ()( , );()(3)lim,( , )x yxyx yxyx yxyx yxyx yxyf x yg x yxyf xyAg x yBf xyg x yABf xyg x yA Bf xyABg x yB設(shè)設(shè)，在在的的空空心心鄰鄰域域有有定定義義，且且，則則，其其中中0.注意：運(yùn)算法則成立的前提條件：極限存在注意：運(yùn)算法則成立的前提條件：極限存在多元函

10、數(shù)極限PPT課件結(jié)論：在極限點(diǎn)附近鄰域函數(shù)滿足某不等式關(guān)系，結(jié)論：在極限點(diǎn)附近鄰域函數(shù)滿足某不等式關(guān)系，則函數(shù)極限也滿足此關(guān)系則函數(shù)極限也滿足此關(guān)系00000000( , )(,)( , )(,)00( , )(,)( , )(,)lim( , ),lim( , ).0,(, ),( )( ),.lim( , )lim( , )x yxyx yxyx yxyx yxyf x yAg x yBxUxf xg xABf x yg x y 定定理理2 2：設(shè)設(shè)若若有有則則即即00000000(, )(,)(, )(,)(, )(,)()( , ), ( , ), ( , )(,)( , )( , )

11、( , )lim( , )lim( , ),lim( , )，夾夾逼逼定定理理3 3 設(shè)設(shè)在在的的某某空空心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，則則定定理理且且xyxyxyxyxyxyf x yg x yh x yxyg x yf x yh x yg x yh x yAh x yA 多元函數(shù)極限PPT課件例例8 8求求 .lim222)0 , 0(),(yxyxyx 解解由基本不等式由基本不等式, |222xyyx 知知xyyxyxyx22222 2x 00 )0 , 0(),(yx由夾逼定理，由夾逼定理，.0lim222)0 , 0(),( yxyxyx 多元函數(shù)極限PPT課件(1)( ),( ),

12、( , )( ( ), ( )一一元元函函數(shù)數(shù)xg tyh tf x yf g t h t1212(2)( , ),( , ),( , )( ( . ), ( , )( ,),( ,),( , )nnxg u vyh u vf x yf g u v h u vxg u uuyh u uuf x yn為為二二元元函函數(shù)數(shù)為為 元元函函數(shù)數(shù)(3)( , ),( )( ( . )xg u vf xf g u v為為二二元元函函數(shù)數(shù)二元函數(shù)的復(fù)合：二元函數(shù)的復(fù)合：二元復(fù)合函數(shù)的極限二元復(fù)合函數(shù)的極限多元函數(shù)極限PPT課件注意：求復(fù)合函數(shù)極限的方法注意：求復(fù)合函數(shù)極限的方法000000000000( ,

13、 )(,)( , )(,)0000( , )(,)( , )(,)( , ),( , )lim( , ),lim( , ).( , )lim( , ), )(, ),( ( , ), ( , )lim( (u vu vu vu vx yx yu vu vxg u vyh u vuvxg x yyg u vf x yxyf x yAu vUu vf g u v h u vf g 0 0設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定定義義在在（, , ）的的空空心心鄰鄰域域，且且設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定定義義在在（, , ）的的空空心心鄰鄰域域, ,且且當(dāng)當(dāng)（有有定定義義，則則00( , )(,), ), ( , )lim( , )x y

14、x yu v h u vf x yA定理定理4 4 多元函數(shù)極限PPT課件注意：求復(fù)合函數(shù)極限的方法注意：求復(fù)合函數(shù)極限的方法0000000000( , )(,)( , )(,)( )lim( );( , )lim( , ),lim( ( , )lim( )uux yx yx yx yuuzf uuf uAug x yxyg x yuf g x yf uA 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定定義義在在 的的空空心心鄰鄰域域，設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定定義義在在（, , ）的的空空心心鄰鄰域域, ,且且則則定理定理5 5 多元函數(shù)極限PPT課件例例9 9 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)

15、sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 定理定理4應(yīng)用：應(yīng)用：多元函數(shù)極限PPT課件例例10：求：求220220lim11xyxyxy 解：記解：記22(0)(0)xy 220lim11 原原式式2220( 11)lim(1)1 20lim (11) 2 定理5應(yīng)用：多元函數(shù)極限PPT課件例例1111 求證求證 證證01sin)(lim222200 yxyxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立22220

16、001sin1lim()lim0 xyxy 22222200011lim()sinlimsin0 xyxyxy 22xy 2 2令令：多元函數(shù)極限PPT課件例例1212.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 多元函數(shù)極限PPT課件0000( , )( , )lim( , )( ),lim( )limlim( , )( , )固固定定二二元元函函數(shù)數(shù)中中變變量量 ，則則變變?yōu)闉橐灰辉瘮?shù)數(shù)，假假定定則則為為的的累累次次極極限限。xxyyyyxxf x yyf x yf x yA yA yf x yf x y 累次極限累次極限 11( , )sin()lim ( , )sin()limlim ( , )lim sin()sin(1)例例如如： xyxyf x yxxyf x yyf x yy 實(shí)質(zhì)：累次極限是沿著實(shí)質(zhì)：累次極限是沿著x軸方向和軸方向和y軸方向取極限軸方向取極限多元函數(shù)極限PPT課件220000( , )limlim ( , )limlim ( ,