2022年指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)復(fù)習(xí)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載一、指數(shù)的性質(zhì)（一）整數(shù)指數(shù)冪1整數(shù)指數(shù)冪概念：annaaaa個)(nn010aa10,nnaanna2整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)： （1）,mnm naaam nz（2）,nmmnaam nz（3）nnnababnz其中mnmnm naaaaa，1nnnnnnaaa babbb3a的n次方根的概念一般地，如果一個數(shù)的n次方等于annn, 1，那么這個數(shù)叫做a的n次方根，即：若axn，則x叫做a的n次方根，nnn, 1例如： 27 的 3 次方根3273，27的 3 次方根3273，32 的 5 次方根2325，32的 5 次方根2325說明：若n是奇數(shù)，則a的n次方根記作na； 若

2、0a則0na， 若oa則0na；若n是偶數(shù)，且0a則a的正的n次方根記作na，a的負(fù)的n次方根，記作：na；（例如：8 的平方根22816 的 4 次方根2164）若n是偶數(shù)，且0a則na沒意義，即負(fù)數(shù)沒有偶次方根；nnnn, 10000n；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載式子na叫根式，n叫根指數(shù)，a叫被開方數(shù)。nnaa4a的n次方根的性質(zhì)一般地，若n是奇數(shù)，則aann；若n是偶數(shù)，則00aaaaaann5例題分析：例 1求下列各式的值：（ 1）338（ 2）2

3、10（ 3）443（ 4）baba2解：略。例 2已知,0bannn, 1，化簡：nnnnbaba解：當(dāng)n是奇數(shù)時，原式ababa2)()(當(dāng)n是偶數(shù)時，原式abaabbaba2)()(|所以，nnnnbaba22anan為奇數(shù)為偶數(shù)例 3計算：407407解：40740752)25()25(22例 4求值：54925解：54925425254549252）（4526225252154152）（二）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：10510250aaaa12312430aaaa即當(dāng)根式的被開方數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式；如果冪的運算性質(zhì)（2）nkknaa對分?jǐn)?shù)指數(shù)冪也適用，例如：

4、 若0a，則3223233aaa，4554544aaa， 2323aa4545aa即當(dāng)根式的被開方數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式也可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式。規(guī)定： （1）正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是0,1mnmnaaam nnn；（2）正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是110,1mnmnmnaam nnnaa2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪也同樣適用精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載即10, ,rsrsa aaar sq20 ,srr saaar sq3

5、0 ,0 ,rrraba babrq說明： （1）有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對無理數(shù)指數(shù)冪同樣適用；（2） 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒意義。3例題分析：例 1 用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式ao：2aa，332aa，a a. 解：2aa=11522222aaaa；332aa=211333aaa；a a=1113322224a aaa 例 2計算下列各式的值（式中字母都是正數(shù)）（1）211511336622263a ba ba b；（2）83184m n；解（ 1）211511336622263a ba ba b=21111 532623 6263ab=044aba；（2）831

6、84m n=883184mn=2233mm nn例 3計算下列各式：（ 1）3451255（2）2320aaaa解： （1）3451255=231324555=213134245555=5512455=512455 5；（2）232aaa=526562132aaaa a（三）綜合應(yīng)用例 1化簡：11555xxx.解：11555xxx=15(1525)x=131 5x=3155x.例 2化簡：)()(41412121yxyx.精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載解：11

7、112244()()xyxy111111444444()()()xyxyxy1144xy評述：此題注重了分子、 分母指數(shù)間的聯(lián)系，即21241)(xx，由此聯(lián)想到平方差公式的特點，進而使問題得到解決。例 3已知13xx，求下列各式的值： （1）1122xx； （2）3322xx.解： （1）11222()xx1111222222()2()xx xx112xx325，11225xx，又由13xx得0 x，11220 xx，所以11225xx.（2） （法一）3322xx113322)()xx（11111122222222()()() xxxx xx11122()()1xxxx5(31)2 5，（

8、法二）33222()()xx3333222222()()2xxxx332xx而33xx122()(1)xxxx112()()3xxxx23(33)1833222()20 xx，又由130 xx得0 x，33220 xx，所以3322202 5xx. 二、指數(shù)函數(shù)1指數(shù)函數(shù)定義：一般地，函數(shù)xya（0a且1a）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)定義域是r2指數(shù)函數(shù)xya在底數(shù)1a及01a這兩種情況下的圖象和性質(zhì)：1a01a圖象精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載性質(zhì)（1

9、）定義域：r（2）值域：(0,)（3）過點(0,1)，即0 x時1y（4）在r上是增函數(shù)（ 4）在r上是減函數(shù)例 1求下列函數(shù)的定義域、值域：（1）1218xy（2）11( )2xy（3）3xy（ 4）1(0,1)1xxayaaa解： （1）210 x12x原函數(shù)的定義域是1,2x xr x，令121tx則0,ttr8 (,0)tytr t得0,1yy，所以，原函數(shù)的值域是0,1y yy（2）11( )02x0 x原函數(shù)的定義域是0,，令11( )2xt(0)x則01t，yt在0,1是增函數(shù)01y，所以，原函數(shù)的值域是0,1（3）原函數(shù)的定義域是r，令tx則0t，3ty在,0是增函數(shù)，01y，

10、所以，原函數(shù)的值域是0,1（4）原函數(shù)的定義域是r，由1(0,1)1xxayaaa得11xyay，0 xa101yy，11y，所以，原函數(shù)的值域是1,1說明：求復(fù)合函數(shù)的值域通過換元可轉(zhuǎn)換為求簡單函數(shù)的值域。例 2當(dāng)1a時，證明函數(shù)11xxaya是奇函數(shù)。證明：由10 xa得，0 x，故函數(shù)定義域0 x x關(guān)于原點對稱。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載1()1xxafxa(1)(1)xxxxaaaa11xxaa( )f x()( )fxfx所以，函數(shù)11xxaya

11、是奇函數(shù)。例 3設(shè)a是實數(shù)，2( )()21xf xaxr，（1）試證明：對于任意,( )a f x在r為增函數(shù)；（2）試確定a的值，使( )f x為奇函數(shù)。分析： 此題雖形式較為復(fù)雜，但應(yīng)嚴(yán)格按照單調(diào)性、奇偶性的定義進行證明。還應(yīng)要求學(xué)生注意不同題型的解答方法。（1）證明：設(shè)1212,x xr xx，則12()()f xf x1222()()2121xxaa21222121xx12122(22 )(21)(21)xxxx，由于指數(shù)函數(shù)2xy在r上是增函數(shù)，且12xx，所以1222xx即12220 xx，又由20 x，得1120 x，2120 x，所以，12()()0f xf x即12()()

12、f xf x因為此結(jié)論與a取值無關(guān)，所以對于a取任意實數(shù)，( )f x在r為增函數(shù)。評述：上述證明過程中，在對差式正負(fù)判斷時，利用了指數(shù)函數(shù)的值域及單調(diào)性。（2）解：若( )f x為奇函數(shù)，則()( )fxf x，即22()2121xxaa變形得：2 222(21)2(21) 22121xxxxxxa，解得：1a，所以，當(dāng)1a時,( )f x為奇函數(shù)。三、對數(shù)的性質(zhì)1對數(shù)定義：一般地，如果a（10aa且）的b次冪等于n, 就是nab，那么數(shù)b叫做 a 為底n 的對數(shù)，記作bnalog，a 叫做對數(shù)的底數(shù)，n 叫做真數(shù)。即ban，loganbanb指數(shù)式nab底數(shù)冪指數(shù)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d

13、 f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載對數(shù)式bnalog對數(shù)的底數(shù)真數(shù)對數(shù)說明： 1在指數(shù)式中冪n 0，在對數(shù)式中，真數(shù)n 0 （負(fù)數(shù)與零沒有對數(shù)）2對任意0a且1a, 都有01alog 10a，同樣：log1aa3如果把ban中的b寫成logan， 則有l(wèi)oganan（對數(shù)恒等式） 2對數(shù)式與指數(shù)式的互換例如：24164l o g 1 6221010010log1002124241l og2221 00. 0110log0.012例 1將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：（1）4525；（2）61264；

14、（ 3）327a；（ 4）15.373m解： （1）5log 6254；（2）21log664；（3）3log 27a；（4）13log 5.37m3介紹兩種特殊的對數(shù)：常用對數(shù)：以10 作底10logn寫成lg n自然對數(shù)：以e作底為無理數(shù)，e= 2.71828，logen寫成ln e例 2 （1）計算：9log 27，345log625解：設(shè)x9log 27則27xa，2333x, 32x；令x3 45log625，345625x, 44355x, 5x（2）求x 的值：33log4x；2221log3211xxx解：3441327x；22232121200,2xxxxxxx但必須：222

15、2102113210 xxxx，0 x舍去，從而2x（3）求底數(shù)：3log 35x，7log 28x解：3535353(3)x533x；77888722x, 2x4對數(shù)的運算性質(zhì)：如果a 0 ， a 1， m 0 ， n 0，那么（1）log ()loglogaaamnmn；（2）loglog- logaaammnn；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（3）loglog()naamnm nr例 3計算：（1）lg1421g18lg7lg37；（2）9lg243lg；

16、（3）2. 1lg10lg38lg27lg解： （1）解法一：18lg7lg37lg214lg2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20；解法二：18lg7lg37lg214lg27lg14lg()lg 7lg183=18)37(714lg2lg10；（2）253lg23lg53lg3lg9lg243lg25；（3）2 .1lg10lg38lg27lg=11332223(lg32lg 2 1)lg(3 )lg 23lg10323 2lg32lg 2 12lg105換底公式：logloglogmamnna( a 0 , a 1 ；

17、0,1mm) 證明：設(shè)loganx，則xan，兩邊取以m為底的對數(shù)得：loglogxmman，loglogmmxan，從而得：anxmmloglog，annmmalogloglog說明：兩個較為常用的推論：（1）loglog1abba；（2）loglogmnaanbbm（a、0b且均不為1） 證明： （1）1lglglglgloglogbaababba；（2）lglglogloglglgmnnamabnbnbbamam例 4計算：（1）0.21 log35；（2）4492log 3 log 2log32解： （1）原式= 0.251log3log3555151553；（2） 原式= 23454

18、12log452log213log21232例 5已知18log9a，185b，求36log45（用a, b 表示） 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載解：18log9a，a2log1218log1818，18log21a，又185b，18log5b，aba22log15log9log36log45log45log181818181836例 6設(shè)1643tzyx，求證：yxz2111證明：1643tzyx，6lglg4lglg3lglgtztytx，yttttxz2

19、1lg24lglg2lglg3lglg6lg11例 7若8log 3p，3log 5q，求lg 5解：8log 3p，)5lg1(32lg33lg33log2ppp，又q3lg5lg5log3，)5lg1(33lg5lgpqq，pqpq35lg)31(pqpq3135lg四、對數(shù)函數(shù)1對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)xyalog) 10(aa且叫做對數(shù)函數(shù)。2對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：（ 1）定義域、值域：對數(shù)函數(shù)xyalog) 10(aa且的定義域為),0(，值域為),(（2）圖象：由于對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，所以對數(shù)函數(shù)的圖象只須由相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)圖象作關(guān)于xy的對稱圖形，即可獲得。同樣：也分1a與10a兩種

20、情況歸納，以xy2log（圖 1）與xy21log（圖 2）為例。1 1 2xy2logyxyx（圖 1）1 1 1( )2xy12logyxyx（圖 2）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（3）對數(shù)函數(shù)性質(zhì)列表：圖象1a01a性質(zhì)（1）定義域：(0,)（2）值域：r（3）過點(1,0)，即當(dāng)1x時，0y（4）在（ 0，+）上是增函數(shù)（ 4）在(0,)上是減函數(shù)例 1求下列函數(shù)的定義域：（1）2logxya；（2）)4(logxya；（3）)9(log2xya分析：

21、此題主要利用對數(shù)函數(shù)xyalog的定義域(0,)求解。解： （1）由2x0 得0 x，函數(shù)2logxya的定義域是0 x x；（2）由04x得4x，函數(shù))4(logxya的定義域是4x x；（3）由 9-02x得-33x，函數(shù))9(log2xya的定義域是33xx例 2比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。海?）2log 3.4，2log 8.5；（2）0.3log1.8，0.3log2.7；（3）log 5.1a，log 5.9a. 解： （1）對數(shù)函數(shù)2logyx在(0,)上是增函數(shù)，于是2log 3.42log 8.5；（2）對數(shù)函數(shù)0.3logyx在(0,)上是減函數(shù)，于是0.3log1.80

22、.3log2.7；（3）當(dāng)1a時，對數(shù)函數(shù)logayx在(0,)上是增函數(shù)，于是log 5.1alog 5.9a，當(dāng)1oa時，對數(shù)函數(shù)logayx在(0,)上是減函數(shù)，于是log 5.1alog 5.9a例 3比較下列比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。海?）6log 7，7log 6；（2）3log，2log 0.8；（3）0.91.1，1.1log0.9，0.7log0.8；（4）5log 3，6log 3，7log 3解： （1）66log 7log 61，77log 6log 71，6log 77log 6；（2）33loglog 10，22log 0.8log 10，3log2log 0.

23、8(1,0)(1,0)1x1xlogayxlogayx精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（3）0.901.11.11，1.11.1log0.9log10，0.70.70.70log1log0.8log0.71，0.91.10.7log0.81.1log0.9（4）3330log 5log 6log 7，5log 36log 37log 3例 4已知log4log 4mn，比較m，n的大小。解：log4log 4mn，4411loglogmn，當(dāng)1m，1n時，得44110loglogmn，44loglognm， 1mn當(dāng)01m，01n時，得44110loglogmn，44loglognm， 01nm當(dāng)01m，1n時，得4log0m，40log n，01m，1n， 01mn綜上所述，m，n的大小關(guān)系為1mn或 01nm或01