高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.2.3 直線與平面的夾角課件5 新人教B版選修2-1

1、3.2.3 直線與平面的夾角直線與平面的夾角學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo) 1了解直線與平面的夾角的三種情況，理解斜線和平面所成了解直線與平面的夾角的三種情況，理解斜線和平面所成角的概念角的概念2了解三個(gè)角了解三個(gè)角，1，2的意義，會(huì)利用公式的意義，會(huì)利用公式cos cos 1cos 2求平面的斜線與平面內(nèi)的直線的夾角求平面的斜線與平面內(nèi)的直線的夾角 知識(shí)回顧知識(shí)回顧 怎樣求兩條異面直線所成的角？怎樣求兩條異面直線所成的角？答案答案(1)幾何法：即通過(guò)平移其中一條幾何法：即通過(guò)平移其中一條(也可兩條同時(shí)平也可兩條同時(shí)平移移)，使它們轉(zhuǎn)化為兩條相交直線，然后通過(guò)解三角形獲，使它們轉(zhuǎn)化為兩條相交直線，然后通過(guò)解

2、三角形獲解解向量法包括了向量法包括了“基向量法基向量法”與與“坐標(biāo)法坐標(biāo)法”預(yù)習(xí)導(dǎo)引預(yù)習(xí)導(dǎo)引1線線角、線面角的關(guān)系式線線角、線面角的關(guān)系式如圖所示，已知如圖所示，已知oa是平面是平面的斜線段，的斜線段，o是斜足，線段是斜足，線段ab垂直于垂直于，b為垂足，則為垂足，則直線直線ob是斜線是斜線oa在平面在平面內(nèi)的內(nèi)的_ _設(shè)設(shè)om是是內(nèi)通過(guò)點(diǎn)內(nèi)通過(guò)點(diǎn)o的任一條直的任一條直線，線，oa與與ob所成的角為所成的角為1，ob與與om所成的角為所成的角為2，oa與與om所成的角為所成的角為，則，則，1，2之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為_(kāi) _(*)在上述公式中，因在上述公式中，因0cos 21，所以，所以cos

3、 cos 1.因?yàn)橐驗(yàn)?和和都是銳角，所以都是銳角，所以1.正射正射影影cos 1cos 2cos2最小角定理最小角定理_和它在平面內(nèi)的和它在平面內(nèi)的_所成的角是斜線和這個(gè)平面內(nèi)所成的角是斜線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中所有直線所成角中_ 3直線與平面的夾角直線與平面的夾角(1)如果一條直線與一個(gè)平面垂直，這條直線與平面的夾角如果一條直線與一個(gè)平面垂直，這條直線與平面的夾角為為_(kāi)(2)如果一條直線與一個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，這條直線與如果一條直線與一個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，這條直線與平面的夾角為平面的夾角為_(kāi)(3)斜線和它在平面內(nèi)的斜線和它在平面內(nèi)的_叫做斜線和平面所叫做斜線和平面所成的角成的角(

4、或斜線和平面的夾角或斜線和平面的夾角).斜線斜線射影射影最小的角最小的角900射影所成的角射影所成的角知識(shí)點(diǎn)一用定義求線面角知識(shí)點(diǎn)一用定義求線面角 例例1在正四面體在正四面體abcd中，中，e為棱為棱ad中點(diǎn)，連中點(diǎn)，連ce，求，求ce和和平面平面bcd所成角的正弦值所成角的正弦值解解如圖，過(guò)如圖，過(guò)a、e分別作分別作ao平平面面bcd，eg平面平面bcd，o、g為為垂足垂足ao=2ge，ao、ge確定平面確定平面aod，連接，連接gc，則，則ecg為為ce和和平面平面bcd所成的角所成的角abacad，obocod.bcd是正三角形，是正三角形，o為為bcd的中心，連接的中心，連接od并延長(zhǎng)

5、交并延長(zhǎng)交bc于于f，則，則f為為bc的的中點(diǎn)中點(diǎn)令正四面體棱長(zhǎng)為令正四面體棱長(zhǎng)為1，規(guī)律方法規(guī)律方法 利用定義法求線面角時(shí)，關(guān)鍵是找到斜線的射影，利用定義法求線面角時(shí)，關(guān)鍵是找到斜線的射影，找射影有以下兩種方法：斜線上任一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影必找射影有以下兩種方法：斜線上任一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影必在斜線在平面內(nèi)的射影上；利用已知垂直關(guān)系得出線面垂在斜線在平面內(nèi)的射影上；利用已知垂直關(guān)系得出線面垂直，確定射影直，確定射影跟蹤變式跟蹤變式1 如圖所示，在四棱錐如圖所示，在四棱錐pabcd中，底面中，底面abcd是正方形，是正方形，pd平面平面abcd.pddc，e是是pc的中點(diǎn)的中點(diǎn)求求eb與平面與平面

6、abcd夾角的余弦值夾角的余弦值解解取取cd的中點(diǎn)的中點(diǎn)m，則，則empd，又又pd平面平面abcd，em平面平面abcd，be在平面在平面abcd上的射影為上的射影為bm，mbe為為be與平面與平面abcd的夾角，的夾角，設(shè)設(shè)pddca，知識(shí)點(diǎn)二由公式知識(shí)點(diǎn)二由公式cos cos 1cos 2求線面角求線面角規(guī)律方法規(guī)律方法 公式公式cos cos 1cos 2在解題時(shí)經(jīng)常用到，可用在解題時(shí)經(jīng)常用到，可用來(lái)求線面角來(lái)求線面角1，在應(yīng)用公式時(shí)，一定要分清，在應(yīng)用公式時(shí)，一定要分清，1，2，分別，分別對(duì)應(yīng)圖形中的哪個(gè)角對(duì)應(yīng)圖形中的哪個(gè)角跟蹤變式跟蹤變式2四面體四面體p-abc，apbbpccpa

7、60，則，則pa與平面與平面pbc所成角的余弦值所成角的余弦值()答案答案d解析解析如圖，設(shè)如圖，設(shè)a在平面在平面bpc內(nèi)的射影為內(nèi)的射影為o，apbapc.點(diǎn)點(diǎn)o在在bpc的角平分線上，的角平分線上，opc30，apo為為pa與平面與平面pbc所成的角所成的角cosapbcosapocosopc，知識(shí)點(diǎn)三向量法求線面角知識(shí)點(diǎn)三向量法求線面角規(guī)律方法規(guī)律方法 (1)用向量法可避開(kāi)找角的困難，但計(jì)算繁瑣，所以用向量法可避開(kāi)找角的困難，但計(jì)算繁瑣，所以注意計(jì)算上不要失誤注意計(jì)算上不要失誤(2)在求已知平面的法向量時(shí)，若圖中有垂直于平面的直線在求已知平面的法向量時(shí)，若圖中有垂直于平面的直線時(shí)，可直接

8、確定法向量；當(dāng)圖中沒(méi)有垂直于平面的直線時(shí)，時(shí)，可直接確定法向量；當(dāng)圖中沒(méi)有垂直于平面的直線時(shí)，可設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)，用解不定方程組的方法來(lái)確定法可設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)，用解不定方程組的方法來(lái)確定法向量向量跟蹤變式跟蹤變式3 如圖，已知兩個(gè)正方形如圖，已知兩個(gè)正方形abcd和和dcef不在同一平面內(nèi)，不在同一平面內(nèi)，m，n分別為分別為ab，df的中點(diǎn)若平面的中點(diǎn)若平面abcd平面平面dcef，求直線，求直線mn與平面與平面dcef所成角的所成角的正弦值正弦值解解 設(shè)正方形設(shè)正方形abcd，dcef的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為2，以，以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線dc，df，da為為x，y

9、，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系dxyz，如圖，如圖則則d(0，0，0)，a(0，0，2)，m(1，0，2)，n(0，1，0)，a30 b60 c120 d150答案答案a2正方體正方體abcda1b1c1d1中，直線中，直線bc1與平面與平面a1bd所成的所成的角的正弦值為角的正弦值為()答案答案c解析解析 建系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)建系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為為1，則，則d(0，0，0)，a1(1，0，1)，b(1，1，0)，c1(0，1，1)，a(1，0，0)，a60 b90 c105 d75答案答案b1空間向量的具體應(yīng)用主要體現(xiàn)為兩種方法空間向量的具體應(yīng)用主要體

10、現(xiàn)為兩種方法基向量法和基向量法和坐標(biāo)法這兩種方法的思想都是利用空間向量表示立體圖坐標(biāo)法這兩種方法的思想都是利用空間向量表示立體圖形中的點(diǎn)、線、面等元素，建立立體圖形和空間向量之間形中的點(diǎn)、線、面等元素，建立立體圖形和空間向量之間的聯(lián)系，然后進(jìn)行空間向量的運(yùn)算，最后把運(yùn)算結(jié)果回歸的聯(lián)系，然后進(jìn)行空間向量的運(yùn)算，最后把運(yùn)算結(jié)果回歸到幾何結(jié)論這樣就把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量來(lái)研到幾何結(jié)論這樣就把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量來(lái)研究，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想究，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想2直線與平面所成角的求法直線與平面所成角的求法(1)幾何法：找出斜線在平面上的射影，則斜線與射影所成幾何法：找出斜線在平面上的射影，則斜線與射影所成角就是線面角，可通過(guò)解由斜線段、垂線段和射影線段構(gòu)角就是線面角，可通過(guò)解由斜線段、垂線段和射影線段構(gòu)成的直角三角形獲解成的直角三角形獲解3公式公式cos cos 1cos 2的理解的理解由由0cos21，coscos1，從而，從而1.在公式中，在公式中， 令令290，則，則co