方程的近似解[1]

1、 Higher mathematics 綿陽師范學(xué)院方程的近似解最新三、一般迭代法 (補(bǔ)充) 第八節(jié)第八節(jié)的實根求方程0)(xf可求精確根無法求精確根求近似根兩種情形(有時計算很繁)本節(jié)內(nèi)容:一、根的隔離與二分法 二、牛頓切線法及其變形 方程的近似解方程的近似解 Higher mathematics 綿陽師范學(xué)院方程的近似解最新一、根的隔離與二分法一、根的隔離與二分法，內(nèi)只有一個根在若方程,0)(baxf內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)）（在且baxf,)(為則稱,ba.其隔根區(qū)間,0)()(, ,)(bfafbaCxf為隔根區(qū)間,ba(1) 作圖法 1. 求隔根區(qū)間的一般方法求隔根區(qū)間的一般方法 ;)(估計隔根區(qū)

2、間的草圖由xfy 轉(zhuǎn)化為等價方程將0)(xfxoy)(xfy xoy.)(, )(的草圖估計隔根區(qū)間由xyxyab)()(xxab)(xy)(xy Higher mathematics 綿陽師范學(xué)院方程的近似解最新(2) 逐步收索法逐步收索法01,3 xx方程例如13 xx由圖可見只有一個實根, )5 . 1, 1 (可轉(zhuǎn)化為.)5 . 1, 1 (即為其隔根區(qū)間,的左端點出發(fā)從區(qū)間ba以定步長 h 一步步向右搜索, 若0) 1()(hjafjhaf) 1(;, 1,0(bhjaj.) 1(內(nèi)必有根，則區(qū)間hjajha搜索過程也可從 b 開始 , 取步長 h 0 .xoy213xy 1 xy

3、Higher mathematics 綿陽師范學(xué)院方程的近似解最新1a1b2. 2. 二分法二分法，設(shè),)(baCxf，0)()(bfaf只有且方程0)(xf，一個根),(ba取中點，21ba1，若0)(1f.1即為所求根則，若0)()(1faf, ),(1a則根;,111baa令, ),(1b否則對新的隔根區(qū)間,11ba重復(fù)以上步驟,反復(fù)進(jìn)行,得,111bba令,11nnbababa的中點若取,nnba則誤差滿足)(211nnnab )(121abnab)(211nnnba ,的近似根作為0 n1a1b Higher mathematics 綿陽師范學(xué)院方程的近似解最新例1. 用二分法求方程

4、用二分法求方程04 . 19 . 01 . 123xxx的近似實根時,要使誤差不超過,103至少應(yīng)對分區(qū)間多少次 ?解解: 設(shè) ,4 . 19 . 01 . 1)(23xxxxf),()(Cxf則9 . 02 . 23)(2xxxf)067. 5(0,),()(單調(diào)遞增在xf又,04 . 1)0(f06 . 1) 1 (f故該方程只有一個實根 , 1,0為其一個隔根區(qū)間欲使)01 (1211nn310必需,100021n即11000log2n96. 8可見只要對分區(qū)間9次 ,即可得滿足要求的實根近似值10(計算結(jié)果見計算結(jié)果見“高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)”(上冊上冊) P177178) Higher m

5、athematics 綿陽師范學(xué)院方程的近似解最新二、牛頓切線法及其變形二、牛頓切線法及其變形:)(滿足xf0)()(,) 1bfafba上連續(xù)在不變號及上在)()(,)2xfxfba .),(0)(內(nèi)有唯一的實根在方程baxf有如下四種情況:xbayoxbayoxbayoxbayo00 ff00 ff00 ff00 ff Higher mathematics 綿陽師范學(xué)院方程的近似解最新牛頓切線法的基本思想牛頓切線法的基本思想:程的近似根 .記縱坐標(biāo)與)(xf 同號的端點為,)(,(00 xfx用切線近似代替曲線弧求方y(tǒng)xbao1x0 x在此點作切線 ,其方程為)()(000 xxxfxfy

6、令 y = 0 得它與 x 軸的交點, )0,(1x)()(0001xfxfxx其中再在點)(,(11xfx作切線 , 可得近似根.2x如此繼續(xù)下去, 可得求近似根的迭代公式 :)()(111nnnnxfxfxx),2, 1(n2x稱為牛頓迭代公式牛頓迭代公式 Higher mathematics 綿陽師范學(xué)院方程的近似解最新牛頓法的誤差估計:)()(111nnnnxfxfxx由微分中值定理得)()()(nnxffxfyxbao1x0 x2x)(之間與在nx,0)(f)()(fxfxnn,0則得mxfxnn)(說明說明: 用牛頓法時,若過縱坐標(biāo)與)(xf 異號的端點作切線 ,則切線與 x 軸焦

7、點的橫坐標(biāo)未必在.,內(nèi)ba)(min,xfmba記 Higher mathematics 綿陽師范學(xué)院方程的近似解最新牛頓法的變形:(1) 簡化牛頓法簡化牛頓法若用一常數(shù)代替yxbao, )(1nxf即用平行, )()(10nxfxf代替例如用則得簡化牛頓迭代公式. 線代替切線,得)()(011xfxfxxnnn),2, 1(n優(yōu)點:，避免每次計算)(1nxf因而節(jié)省計算量.缺點: 逼近根的速度慢一些. Higher mathematics 綿陽師范學(xué)院方程的近似解最新yxo0 x1x(2) 割線法為避免求導(dǎo)運(yùn)算 , )(1nxf用割線代替切線,2121)()(nnnnxxxfxf例如用差商代

8、替從而得迭代公式:)()()()(212111nnnnnnnxxxfxfxfxx2x3x(雙點割線法), 3,2(n特點特點: 逼近根的速度快于簡化牛頓法, 但慢于牛頓法.說明說明: 若將上式中,02xxn換為則為單點割線法, 逼近根的速度與簡化牛頓法相當(dāng). Higher mathematics 綿陽師范學(xué)院方程的近似解最新例2. 用切線法求方程用切線法求方程074223xxx的近似解, 使誤差不超過 0.01 .解解:.742)(23xxxxf設(shè)yxo3 4由草圖可見方程有唯一的正實根 ,且9)4(,10)3(ff.43為一隔根區(qū)間，因此上，由于在43443)(2xxxf)2)(23(xx0

9、46)( xxf)23(2x0)(min4, 3xfm11)3( f Higher mathematics 綿陽師范學(xué)院方程的近似解最新yxo3 4,40 x故取得)4()4(41ffx289468. 3而mxfx)(111103. 109. 0，精度不夠故1x再求)68. 3()68. 3(68. 32ffx9 .2103. 168. 363. 3mxfx)(2211042. 001. 0004. 0因此得滿足精度要求的近似解63. 3 Higher mathematics 綿陽師范學(xué)院方程的近似解最新三三. . 一般迭代法一般迭代法(補(bǔ)充), )(0)(xxxf 轉(zhuǎn)化為等價方程將方程在隔根

10、區(qū),0 x間內(nèi)任取一點按遞推公式),2, 1()(1nxxnn,nx生成數(shù)列,limnnx若則 即為原方程的根 .稱為迭代格式 ,)(稱為迭代函數(shù)x稱為迭代0 x,lim存在稱迭代收斂若nnx初值 .否則稱為發(fā)散 . Higher mathematics 綿陽師范學(xué)院方程的近似解最新例3. 用迭代法求方程用迭代法求方程.2, 1 013內(nèi)的實根在 xx解法解法1 將方程變形為, 13 xx迭代格式為, 131nnxx5 . 10 x取123nnx05 . 1375. 2396.12779.1903發(fā)散 !解法解法2 將方程變形為,13xx迭代格式為, 131nnxx5 . 10 x取12nnx05 . 135721. 133086. 17832472. 132472. 1迭代收斂 , 1.32472 為計算精度范圍內(nèi)的所求根 . Higher mathematics 綿陽師范學(xué)院方程的近似解最新定理. :,)(上滿足在區(qū)間方程baxxbxaxx)()(1且，連續(xù)）1)()(2Lxx且，存在），上有唯一解在方程）,)(1baxx nnnxxbax)(,210）(證明略