多項(xiàng)式長(zhǎng)除法精講精練

1、多項(xiàng)式長(zhǎng)除法精講精練多項(xiàng)式長(zhǎng)除法 是代數(shù)中的一種算法，用一個(gè)同次或低次的多項(xiàng)式去除另一個(gè)多項(xiàng)式。是常見(jiàn)算數(shù)技巧長(zhǎng)除法的一個(gè)推廣版本。它可以很容易地手算，因?yàn)樗鼘⒁粋€(gè)相對(duì)復(fù)雜的除法問(wèn)題分解成更小的一些問(wèn)題。例計(jì)算寫(xiě)成以下這種形式：然后商和余數(shù)可以這樣計(jì)算：1. 將分子的第一項(xiàng)除以分母的最高次項(xiàng)（即次數(shù)最高的項(xiàng)，此處為x）。結(jié)果寫(xiě)在橫線(xiàn)之上(x3 ÷ x = x2).2. 將分母乘以剛得到結(jié)果（最終商的第一項(xiàng)），乘積寫(xiě)在分子前兩項(xiàng)之下 (x2 · (x 3) = x3 3x2).3. 從分子的相應(yīng)項(xiàng)中減去剛得到的乘積（注意減一個(gè)負(fù)項(xiàng)相當(dāng)于加一個(gè)正項(xiàng)），結(jié)果寫(xiě)在下面。(x3 12

2、x2) (x3 3x2) = 12x2 + 3x2 = 9x2)然后，將分子的下一項(xiàng)“拿下來(lái)”。4. 重復(fù)前三步，只是現(xiàn)在用的是剛寫(xiě)作分子的那兩項(xiàng)5. 重復(fù)第四步。這次沒(méi)什么可以“拿下來(lái)”了。橫線(xiàn)之上的多項(xiàng)式即為商，而剩下的 (123) 就是余數(shù)。算數(shù)的長(zhǎng)除法可以看做以上算法的一個(gè)特殊情形，即所有 x 被替換為10的情形。除法變換使用多項(xiàng)式長(zhǎng)除法可以將一個(gè)多項(xiàng)式寫(xiě)成 除數(shù)-商 的形式（經(jīng)常很有用）。 考慮多項(xiàng)式 p(x), d(x) （(d)的次數(shù) < (p)的次數(shù)）。 然后，對(duì)某個(gè)商多項(xiàng)式 q(x) 和余數(shù)多項(xiàng)式 r(x) （(r)的系數(shù) < (d)的系數(shù)），這種變換叫做除法變換

3、，是從算數(shù)等式 .1 得到的。應(yīng)用:多項(xiàng)式的因式分解有時(shí)某個(gè)多項(xiàng)式的一或多個(gè)根已知，可能是使用 rational root theorem 得到的。如果一個(gè) n 次多項(xiàng)式 p(x) 的一個(gè)根 r 已知，那么 p(x) 可以使用多項(xiàng)式長(zhǎng)除法因式分解為 (x-r)q(x) 的形式，其中 q(x) 是一個(gè) n-1 次的多項(xiàng)式。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，q(x) 就是長(zhǎng)除法的商，而又知 r 是 p(x) 的一個(gè)根、余式必定為零。相似地，如果不止一個(gè)根是已知的，比如已知 r 和 s 這兩個(gè)，那么可以先從 p(x) 中除掉線(xiàn)性因子 x-r 得到 q(x)，再?gòu)?q(x) 中除掉 x-s，以此類(lèi)推。或者可以一次性地除掉二次

4、因子 x2-(r+s)x+rs。使用這種方法，有時(shí)超過(guò)四次的多項(xiàng)式的所有根都可以求得，雖然這并不總是可能的。例如，如果 rational root theorem 可以用來(lái)求得一個(gè)五次方程的一個(gè)（比例）根，它就可以被除掉以得到一個(gè)四次商式；然后使用四次方程求根的顯式公式求得剩余的根。尋找多項(xiàng)式的切線(xiàn)多項(xiàng)式長(zhǎng)除法可以用來(lái)在給定點(diǎn)上查找給定多項(xiàng)式的切線(xiàn)方程。2 如果 r(x) 是 p(x)/(x-r)2 的余式也即，除以 x2-2rx+r2那么在 x=r 處 p(x) 的切線(xiàn)方程是 y=r(x)，不論 r 是否是 p(x) 的根。§2 一元多項(xiàng)式及整除性下面主要討論帶余除法，最大公因式，

5、互素的性質(zhì)，因式分解，重根判定，求有理根的方法。學(xué)習(xí)本章應(yīng)掌握：求最大公因式，求有理根的方法。定義4 設(shè)是一個(gè)數(shù)域，是一個(gè)文字，形式表達(dá)式其中是數(shù)域中的數(shù)，是非負(fù)整數(shù)）稱(chēng)為數(shù)域上的一元多項(xiàng)式，通常記為。稱(chēng)為次項(xiàng)的系數(shù)。例如： 是多項(xiàng)式不是多項(xiàng)式，因?yàn)椴皇欠秦?fù)整數(shù)。定義5 如果數(shù)域上多項(xiàng)式，同次項(xiàng)系數(shù)都相等，稱(chēng)與相等記為：=一個(gè)多項(xiàng)式里可以人員添上系數(shù)為0的項(xiàng)，約定定義6 在（1）中如果，稱(chēng)為多項(xiàng)式的次數(shù)，記為。零多項(xiàng)式不定義次數(shù)。下面給出多項(xiàng)式加法與乘法：設(shè)是數(shù)域是的多項(xiàng)式。規(guī)定。易驗(yàn)證多項(xiàng)式加法與乘法滿(mǎn)足下列算律：加法交換律：加法結(jié)合律：乘法交換律乘法結(jié)合律乘法對(duì)加法的分配律關(guān)于多項(xiàng)式次數(shù)，

6、我們有定理2 設(shè)，是數(shù)域上的兩個(gè)多項(xiàng)式，則(1) 當(dāng)+時(shí)+(2) 當(dāng)時(shí)證明：略。明顯地利用定理5不難證明推論：若 則一個(gè)三位數(shù) 1：三個(gè)數(shù)相加為20。2：百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)大5。3：個(gè)位上的數(shù)是十位上數(shù)的3倍，這個(gè)3位數(shù)是什么？bottom of formtop of form設(shè)十位數(shù)為x，百位數(shù)（x+5），各位3x。相加為20，所以x+x+5+3x=20。所以x=3，也就是839.第五講 多項(xiàng)式1.(一、多項(xiàng)式的整除概念)2.(二、最大公因式)(本頁(yè))3.(三、多項(xiàng)式的因式分解) 4.(四、重因式 五、多項(xiàng)式的函數(shù))5.(六、復(fù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解)6.(七、有理數(shù)域上的多項(xiàng)式)如

7、果多項(xiàng)式 既是 的因式, 又是 的因式, 那么 稱(chēng)為 與 的公因式.定義 3設(shè) . 如果 上多項(xiàng)式 滿(mǎn)足以下條件:(1) 是 與 的公因式;(2) 與 的任何公因式都是 的因式,則稱(chēng) 是 與 的一個(gè)最大公因式.引理如果有等式成立, 那么 , 和 , 有相同的公因式.由于在上述引理中, 我們可得到次數(shù)比 的次數(shù)小的 . 因此求, 的最大公因式的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求次數(shù)低一些的一對(duì)多項(xiàng)式 , 的最大公因式的問(wèn)題. 如此下去, 這就是下面輾轉(zhuǎn)相除法的思想.定理 3數(shù)域 上任意兩個(gè)多項(xiàng)式 與 一定有最大公因式, 且除相差一個(gè)非零常數(shù)倍外, 與 的最大公因式是唯一確定的, 且 與 的任意最大公因式 都可以表示

8、成 與 的一個(gè)組合, 即有 中的多項(xiàng)式 , 使得 當(dāng) 與 不全為零時(shí), 其最大公因式 , 而 與 的任一最大公因式必為 的形式, 其中 為 上非零數(shù). 在這些最大公因式中有唯一的一個(gè)首項(xiàng)系數(shù)是1, 我們用 來(lái)表示. 如果 , 則最大公因式只有一個(gè)零多項(xiàng)式, 記作 (0,0)=0.例 2 設(shè)求 , 并把它表示成 , 的一個(gè)組合.解 用輾轉(zhuǎn)相除法:第一步: 用 除 , 得商 , 余式 .第二步: 用 除 , 得商 , 余式 .第三步: 用 除 , 得商 , 余式 .最后一個(gè)不為0的余式是 , 所以最終得:定義 4如果 的最大公因式 , 則稱(chēng) 與 互素.定理 4兩個(gè)多項(xiàng)式 互素的充分必要條件是存在

9、, 使得證明 必要性 如果 與 互素, 那么 . 由定理3, 存在 , 使得充分性. 如果 令 是 與 的最大公因式. 于是從而, . 故 必為零次多項(xiàng)式. 所以 與 互素.互素多項(xiàng)式的一些性質(zhì)(1) 若 , 且 , 則 .(2) 若 , , 且 , 則(提示我們可以自然地把最大公因式及互素等概念推廣到任意多個(gè)多項(xiàng)式的情況.定義 5設(shè) (). 如果多項(xiàng)式 滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件:(1) ;(2) 的任何公因式都是 的因式. 則稱(chēng) 是 的最大公因式.如果 全等于0, 則其最大公因式等于0, 否則, 它們的最大公因式不等于0. 與 的情況一樣, 可知它們的任意兩個(gè)最大公因式只差一個(gè)非零常數(shù)倍. 我們?nèi)杂?/p>

10、 表示它們中首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式. 則有定理 5該定理告訴我們, 求多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式問(wèn)題最終可歸結(jié)為求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式問(wèn)題.例 3 設(shè) , , . 求 解 利用定理5來(lái)計(jì)算. 由計(jì)算可知所以, .第二章 多項(xiàng)式 一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算 多項(xiàng)式的整除性 多項(xiàng)式的最大公因式 多項(xiàng)式的分解 重因式 多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式的根 復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式 有理數(shù)域上多項(xiàng)式返回教案總目錄22多項(xiàng)式的整除性一、教學(xué)思考1、在內(nèi)，除法不是永遠(yuǎn)可以施行的，因此關(guān)于多項(xiàng)式的整除性的研究，也就是一個(gè)多項(xiàng)式能否除盡另一個(gè)多項(xiàng)式的研究，在多項(xiàng)式理論中占有重要地位。本節(jié)限于數(shù)域上討論多項(xiàng)式的整除性，其與整數(shù)的整除性

11、類(lèi)似，注意對(duì)照學(xué)習(xí)。2、多項(xiàng)式的整除性是多項(xiàng)式之間的一種關(guān)系（等價(jià)關(guān)系），為加深對(duì)此概念的理解，需掌握一些特殊多項(xiàng)式（零多項(xiàng)式，零次多項(xiàng)式）間的整除關(guān)系及整除的性質(zhì)。3、數(shù)域上任意兩個(gè)多項(xiàng)式總有帶余除法結(jié)論成立，其證法思想是在中學(xué)代數(shù)中多項(xiàng)式的長(zhǎng)除法的運(yùn)算表示實(shí)質(zhì)的一般化，唯一性用同一法。4、證明的思想可從定義、帶余除法得到的充要條件以及將分解成兩項(xiàng)之和而每一項(xiàng)能被整除，或?qū)⒎蛛x出作為一個(gè)因子來(lái)考慮。5、整除性不隨數(shù)域擴(kuò)大而改變是由帶余除法得到的一個(gè)非顯而易見(jiàn)的結(jié)論。二、內(nèi)容、重點(diǎn)、要求1、內(nèi)容：一元多項(xiàng)式整除的定義、性質(zhì)，帶余除法。2、重點(diǎn)：整除的定義、帶余除法定理。3、要求：正確理解掌握整

12、除概念、性質(zhì)，掌握帶余除法定理。三、教學(xué)過(guò)程約定：節(jié)在數(shù)域中討論多項(xiàng)式，是上一元多項(xiàng)式環(huán)。1、多項(xiàng)式的整除及性質(zhì)（1）定義1：設(shè)若使得（1） 則稱(chēng)整除（除盡）；用符號(hào)表示。用符號(hào)表示不整除當(dāng)時(shí)，稱(chēng)是的一個(gè)因式，是的一個(gè)倍式。注：（1）整除是多項(xiàng)式之間的一種關(guān)系，非多項(xiàng)式的運(yùn)算。（2）符號(hào)“”不要與“”混淆，后者是分式，后者中；而前者中由定義，即零多項(xiàng)式整除零多項(xiàng)式。（3）多項(xiàng)式整除性與整數(shù)的整除性非常相似，而不同的是：在多項(xiàng)式整除定義中，只要求存在適合條件（1）的，不要求是否唯一，這就使得多項(xiàng)式整除比整數(shù)整除有更廣的含義，如在多項(xiàng)式整除意義下。（2）性質(zhì)a）若、，則；（傳遞性）b）若、，則；c

13、）若，則對(duì)有；特別，；d）由b、c若，則對(duì)，有；e）零次多項(xiàng)式整除任一多項(xiàng)式；f）對(duì)，有；特別；（1）本章討論不涉及分式，有時(shí)用表示非零多項(xiàng)式整除所得的商，即若時(shí)，用表示。（2）因在數(shù)域中，一般不絕對(duì)唯一（可差常數(shù)因子）。（3）整數(shù)整除不同。g）若、，則。以上性質(zhì)由定義容易證明，下面僅證g）：由條件，使得（1），則有（2）。若，由（1）得；若，則由（2）及消去律得，于是，從而，；這樣是f中非零常數(shù)。注：1）由a、f、g知“整除關(guān)系”是一種“等價(jià)關(guān)系”；2）b、c提供了證明的兩個(gè)思路：一、要證，若能將表示為，而；二、要證，若能將表示為而或。3）為理解概念、性質(zhì)，注意如下問(wèn)題：a）（因?qū)Γ校?；b

14、）零多項(xiàng)式是否整除任意多項(xiàng)式？若，由a）；若，對(duì)。（可知零多項(xiàng)式僅能整除零多項(xiàng)式）c）任意多項(xiàng)式是否整除零多項(xiàng)式？，使。d）性質(zhì)b之逆是否成立？即若，是否且。（不真。如：）e）性質(zhì)c之逆是否成立？即若，是否或。（不真。如：）2、帶余除法引例：中學(xué)代數(shù)里，用長(zhǎng)除法求一個(gè)多項(xiàng)式去除另一個(gè)多項(xiàng)式得商式及余式。即對(duì)，求使， 其中或。如：作法： 今寫(xiě)為： 則商式為，余式為。有上述過(guò)程具體可總結(jié)為：第一步：將寫(xiě)成降冪的形式，缺項(xiàng)補(bǔ)0；第二步：消最高次項(xiàng)（首項(xiàng)）；為此商，作差，得。 （第三步：消的首項(xiàng)；為此商，作差，得。 （結(jié)束）（1）注意格式，降冪排列，缺項(xiàng)補(bǔ)0。由此，一般地可作如下：設(shè)，令若，設(shè)，同樣消

15、首項(xiàng)，作得，且具有性質(zhì)：或者或者。重復(fù)對(duì)的討論，由于，即，的次數(shù)是遞減的，而是有限數(shù)，因此有限步（步）后可得這樣一個(gè)多項(xiàng)式 （為首項(xiàng)系數(shù)），而或者。這樣得一串等式：把這些等式加起來(lái)得：，于是有，滿(mǎn)足要求。（1）降冪排列；（2）消項(xiàng)： 作商，作差（3）討論。上述結(jié)論敘述為：定理（帶余除法）設(shè)，且，則（1）使得； （）其中或。（2）滿(mǎn)足（）式及條件的只有一對(duì)。（分析：定理要求滿(mǎn)足（）式及條件的存在且唯一，上述一般討論已說(shuō)明存在性，下重點(diǎn)證唯一性，注意條件，用同一法。）證明：（1）存在性：若或，取便滿(mǎn)足（）式；若，由上述討論可得成立。（2）唯一性：假設(shè)還有使得，且或，上式與（）式相減得：。若，則，此

16、時(shí)，而，矛盾；因此（即），又，所以，即。注：（1）定理的證明過(guò)程給出了求商式與余式的方法，實(shí)質(zhì)為作長(zhǎng)除法的過(guò)程。（2）注意定理唯一性的條件是在或下。（3）定理的理論意義及作用在下面討論多項(xiàng)式的整除性及最大公因式時(shí)有重大作用。注：設(shè)；（1）；（2）除的余式為0。事實(shí)上：（1）由定義及零多項(xiàng)式的特征顯然；（2）若由使得，因此。問(wèn)題：設(shè)是兩個(gè)數(shù)域，且，顯然，若，且 （在內(nèi)）；問(wèn)題在內(nèi)是否（下答）推論2：設(shè)是兩個(gè)數(shù)域，且，若，且在內(nèi) ，則在內(nèi)。（即多項(xiàng)式的整除性不隨數(shù)域的擴(kuò)大而改變。）證明：若因在內(nèi)，所以故在內(nèi)顯然。（因0僅整除0）若，則在內(nèi)使得，且，；而，即上式在內(nèi)仍成立，于是由的唯一性及推論1得在內(nèi)。例1：當(dāng)適合什么條件時(shí)：。解：（法一）作帶余除法由推論1：；故當(dāng)時(shí)。（法二）（待定系數(shù)法）由整除的定義： 由多項(xiàng)