2022年數(shù)列拔高難題訓(xùn)練

1、2017 數(shù)列拔高訓(xùn)練1、已知數(shù)列 an滿足 a1=2，an+1=2an+4(1)證明數(shù)列 an+4是等比數(shù)列并求出an通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和 sn2、已知數(shù)列 an是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足a1=b1=1，b2a3=2b3，a32b2=1 (1)求數(shù)列 an和bn的通項(xiàng)公式(2)設(shè) cn=an+bn， n n*， 求數(shù)列 cn的前 n 項(xiàng)和 sn3、（理科答）已知數(shù)列an及等差數(shù)列 bn，若 a1=3，an= an1+1（n2 ）， a1=b2，2a3+a2=b4，(1)證明數(shù)列 an 2為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列 an及數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式；(3)

2、設(shè)數(shù)列 an?bn的前 n 項(xiàng)和為 tn， 求 tn4、已知正項(xiàng)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn， 數(shù)列 an滿足， 2sn=an（an+1）(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 an， 求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都有 an成立；(3)數(shù)列 bn滿足 bn= （）nan， 它的前 n 項(xiàng)和為 tn， 若存在正整數(shù)n，使得不等式 （2）n1 tn+ 2n1成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍5、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 sn， 且滿足(1)計(jì)算 a1， a2， a3的值，并猜想 an的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明an的通項(xiàng)公式6、數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和是 sn， a1=5，且

3、an=sn1（n=2，3，4， ）(1)求 sn；(2)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(3)求證：+ + + + 7、已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn， s4=30，過點(diǎn) p （n， log2an） 和 q （n+2，log2an+1）（ nn*）的直線的一個(gè)方向向量為（1， 1）(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - -

4、- - - - -(2)設(shè) bn= ，數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和為 tn， 證明：對(duì)于任意nn*， 都有tn8、已知函數(shù)，數(shù)列 an滿足(1)求證：數(shù)列 是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(3)記 sn=a1a2+a2a3+ +anan+1， 求 sn9、各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an中， a1=1， sn是數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和，對(duì)任意nn*， 有2sn=2pan2+panp（pr）(1)求常數(shù) p 的值；(2)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(3)記 bn= ，求數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和 t10、已知數(shù)列 an滿足： a1= ，a2= ，2an=an+1+an1（ n2 ，nn?），數(shù)列 bn滿足

5、： b10，3bnbn1=n（n2 ，nr），數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和為 sn(1)求證：數(shù)列 bnan為等比數(shù)列；(2)求證：數(shù)列 bn為遞增數(shù)列；(3)若當(dāng)且僅當(dāng)n=3 時(shí)， sn取得最小值，求b1的取值范圍11、已知遞增等比數(shù)列an的第三項(xiàng)、第五項(xiàng)、第七項(xiàng)的積為512，且這三項(xiàng)分別減去1，3，9 后成等差數(shù)列(1)求an的首項(xiàng)和公比；(2)設(shè) sn=a12+a22+ +an2， 求 sn12、已知 f（ x）=3x22x，數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 sn， 點(diǎn)（n，sn）（nn*）均在函數(shù)y=f（x）的圖像上(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn= ，tn是數(shù)列 bn的前 n項(xiàng)和，

6、求使得tn對(duì)所有 n n*都成立的最小正整數(shù) m13、已知數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 sn， 對(duì)任意的 nn*， 點(diǎn)（ n， sn）恒在函數(shù)y= x 的圖象上(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(2)記 tn= ，若對(duì)于一切的正整數(shù)n，總有 tnm 成立，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -(3)設(shè) kn為數(shù)列 bn的前

7、n 項(xiàng)和，其中bn=2an， 問是否存在正整數(shù)n，t，使成立？若存在，求出正整數(shù)n，t；若不存在，請(qǐng)說明理由14、已知等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且sn= + + + ，s2= ，s3= 設(shè) x表示不大于x 的最大整數(shù)（如2.10=2 ，0.9=0）(1)試求數(shù)列 an的通項(xiàng)；(2)求 t=log21+log22+log23+ +log2（1）+log2（）關(guān)于 n 的表達(dá)式15、已知數(shù)列 an中， a1=3，a2=5，其前 n 項(xiàng)和為 sn滿足 sn+sn2=2sn1+2n1（n3 ，nn* ）(1)試求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式(2)令 bn= ，tn是數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和證明：對(duì)任意給定的

8、m（0，），均存在n0n* ，使得當(dāng)nn0時(shí)， tnm 恒成立16、已知數(shù)列 an滿足 a1=1，an+1=2an3（ 1）n（n n*）(1)若 bn=a2n1，求證： bn+1=4bn；(2)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(3)若 a1+2a2+3a3+ +nan ?2n對(duì)一切正整數(shù)n 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍17、已知等差數(shù)列an，a2=8，前 9 項(xiàng)和為 153(1)求 a5和 an；(2)若，證明數(shù)列 bn為等比數(shù)列；18、一列火車從重慶駛往北京，沿途有n 個(gè)車站（包括起點(diǎn)站重慶和終點(diǎn)站北京）車上有一郵政車廂，每停靠一站便要卸下火車已經(jīng)過的各站發(fā)往該站的郵袋各1 個(gè)，同時(shí)又要裝上該站發(fā)往

9、以后各站的郵袋各1 個(gè)，設(shè)從第k 站出發(fā)時(shí)，郵政車廂內(nèi)共有郵袋ak個(gè)（k=1，2， ，n）(1)求數(shù)列 ak的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng) k 為何值時(shí)， ak的值最大，求出ak的最大值19、已知 an是遞增的等差數(shù)列，a2， a4是方程 x2 5x+6=0的根（i）求 an的通項(xiàng)公式；（ii）求數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和20、數(shù)列 an滿足 a1=1，nan+1=（n+1）an+n（ n+1）， nn*（ ）證明：數(shù)列 是等差數(shù)列；（ ）設(shè) bn=3n? ，求數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和 sn精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 28 頁(yè) - -

10、 - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -21、已知數(shù)列 an滿足 a1=1，an+1= （ ）求證： an+1an；（ ）求證：an 22、已知數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 sn， a1=1，且 nan+1=2sn（n n*），數(shù)列 bn滿足 b1= ，b2= ，對(duì)任意 nn+， 都有 bn+12=bn?bn+2（i）求數(shù)列 an，bn的通項(xiàng)公式；（ii） 設(shè)anbn的前 n 項(xiàng)和為 tn， 若 tn對(duì)任意的nn+恒成立，求 得取值范圍23、已知數(shù)列 an是非常

11、值數(shù)列，且滿足an+2=2an+1an（nn*），其前n 項(xiàng)和為 sn， 若s5=70，a2， a7， a22成等比數(shù)列（ i）求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；（ ii）設(shè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 tn， 求證：24、數(shù)列 an中，（ ）求 a1， a2， a3， a4；（ ）猜想 an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明25、設(shè)數(shù)列 an滿足 a1=a， an+1=can+1 c（nn*），其中 a， c為實(shí)數(shù)，且c0 （ ）求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；（ ）設(shè)，求數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和 sn26、已知 a（x1， y1）， b（x2， y2）是函數(shù)的圖象上的任意兩點(diǎn)（可以重合），點(diǎn)m 在直線 x=上，且=（

12、 ）求 x1+x2的值及 y1+y2的值（ ）已知 s1=0，當(dāng) n2 時(shí)， sn=+， 求 sn；（ ）在（ ）的條件下，設(shè)an=， tn為數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和，若存在正整數(shù)c、m，使得不等式成立，求c 和 m 的值精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -答案解析部分一、綜合題1、【答案】 （1）證明：a1=2，a1+4=2，an+1=

13、2an+4，an+1+4=2an+8=2（an+4），an+4是以 2 為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列，由上知，（2）解：， 得：= =2+2n+12（ n+1）2n+1=n?2n+1【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】 【分析】（ 1）利用已知條件轉(zhuǎn)化求解數(shù)列an+4是等比數(shù)列，然后求出an通項(xiàng)公式（ 2）化簡(jiǎn)數(shù)列通項(xiàng)公式bn， 利用錯(cuò)位相減法求和求解即可2、【答案】 （1）解：設(shè)數(shù)列 an是公差為d 的等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)均為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列，由 a1=b1=1， b2a3=2b3， a32b2=1，可得 q（ 1+2d）=2q2， 1+2d2q= 1，解得 d=，q= ，可得

14、 an=a1+（n1） d=1（n1）= （ 3n）；bn=b1qn1=（）n1， n n* （2）解： cn=an+bn= （3n） +（）n1，可得數(shù)列 cn的前 n 項(xiàng)和 sn= n（1+ 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -） + =n2+ n+2 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】 【分析】（ 1）設(shè)數(shù)列 an是公差為d

15、的等差數(shù)列， bn是各項(xiàng)均為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通項(xiàng)公式；（2）求出 cn=an+bn= （3 n）+（）n1， 運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和3、【答案】 （1）證明： a1=3，an= an1+1（n2 ），an2= （an12），則數(shù)列 an2為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列（2）解：（由（1）可得 an2=（）n1，即為 an=2+（）n1，a1=b2=3，2a3+a2=b4=2（2+ ）+2+ =7，可得等差數(shù)列 bn的公差 d= =2，則 bn=b2+（n2

16、） d=3+2（ n2）=2n1 （3）證明：數(shù)列 an?bn的前 n 項(xiàng)和為 tn，an?bn=2+（）n1（2n1）=2（ 2n1）+（2n1）?（）n1，設(shè) sn=1?（）0+3?（）+5?（）2+（2n 1）?（）n1，sn=1?（）+3?（）2+5?（）3+（2n1）?（）n，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -相減可得，sn=

17、1+2（）+（）2+（）3+（）n1（ 2n1）?（）n=1+2 （ 2n1）?（）n，化簡(jiǎn)可得sn=6，則 tn=2? n（1+2n 1）+6=2n2+6【考點(diǎn)】 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【解析】 【分析】（ 1）an= an1+1 的兩邊減2，再由等比數(shù)列的定義即可得證；（2）運(yùn)用等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算即可得到；（3）求得 an?bn=2+（）n1（ 2n1）=2（2n1）+（2n1）?（）n1， 再由數(shù)列的求和方法：分組求和和錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和4、【答案】（1）解：，當(dāng) n2 時(shí)，兩式相減得：，所以（ an+an1）（ anan11）=

18、0因?yàn)閿?shù)列 an為正項(xiàng)數(shù)列，故an+an10 ，也即 anan1=1，所以數(shù)列 an為以 1 為首項(xiàng) 1 為公差的等差數(shù)列，故通項(xiàng)公式為an=n，nn*（2）解：= ，所以對(duì)任意正整數(shù)n，都有成立（3）解：易知，則， ，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - - 可得：故，所以不等式成立，若 n 為偶數(shù)，則，所以設(shè)，則 y=2t+t2+1=（t

19、1）2在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，所以；若 n 為奇數(shù)，則，所以設(shè)，則 y=2tt21=（ t1）2在（ 0，1單調(diào)遞增，故當(dāng) t=1 時(shí)， ymax=0，所以 0綜上所述， 的取值范圍 0 或【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】 【分析】 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，（2）= = ，利用放縮法即可證明，（3）先利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和為 tn， 不等式（ 2）n1 tn+ 2n1成立，轉(zhuǎn)化為成立，分n 為偶數(shù)和奇數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出實(shí)數(shù) 的取值范圍5、 【答案】 （1） 解：當(dāng) n=1 時(shí)，得 a1=1；，得 a2=2，得 a3=3，猜想 an=n

20、 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -（2）解：證明：（）當(dāng) n=1 時(shí)，顯然成立，（）假設(shè)當(dāng)n=k 時(shí)， ak=k，則當(dāng) n=k+1 時(shí)，= ，整理得：，即 ak+1（ k+1）ak+1+（k1）=0，結(jié)合 an0，解得 ak+1=k+1，于是對(duì)于一切的自然數(shù)nn*， 都有 an=n 【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式，數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法【解析】

21、 【分析】（ 1）利用遞推關(guān)系式求解數(shù)列a1， a2， a3的值，猜想 an的通項(xiàng)公式；（ 2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，逐步證明即可6、【答案】 （1）解：由an=sn1， ，得： an+1=sn， 得： an+1 an=snsn1=an，即 an+1=2an， （ n2 且 nn*），a2=s1=a1=5，故數(shù)列從第二項(xiàng)起，各項(xiàng)成等比數(shù)列且公比為2，nn*（2）解：當(dāng)n=1 時(shí)， a1=5，當(dāng) n2 ，且 nn*時(shí)，=5?2n2故數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為（3）證明：當(dāng)n=1 時(shí)，= ，成立，當(dāng) n2 且 n n*時(shí)，= = = 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - -

22、- - - - - - 第 9 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -= + + + + 【考點(diǎn)】 數(shù)列與不等式的綜合【解析】 【分析】 （1） 由 an=sn1， 得 an+1=2an，（n2 且 nn*） ，由此能求出sn（2）當(dāng) n=1 時(shí)， a1=5，當(dāng) n2 ，且 nn*時(shí)，=5?2n2 由此能求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式 （3）當(dāng) n=1 時(shí)，= ，成立，當(dāng)n2 且 nn*時(shí)，= ，由此能證明+ + + 7、【答案】（1） 解：

23、 各項(xiàng)為正的等比數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn， s4=30，過點(diǎn) p （n，log2an）和 q（ n+2，log2an+1）（ nn*）的直線的一個(gè)方向向量為（1， 1），解得， q=4，an= （2）解： bn= = = （），數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和：tn= （+ + + + + ）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -= （）

24、= （+ ）對(duì)于任意 nn*， 都有 tn【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】 【分析】（ 1）利用等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式及直線的方向向量性質(zhì)列出方程組，由此能求出首項(xiàng)和公比，從而能求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式（2）由 bn= = （），利用裂項(xiàng)法能證明對(duì)于任意nn*， 都有 tn8、【答案】 （1）證明： 函數(shù)，數(shù)列 an滿足，=3+ ，=3，=1，數(shù)列 是首項(xiàng)為1，公差為3 的等差數(shù)列（2） 解： 數(shù)列 是首項(xiàng)為 1，公差為3 的等差數(shù)列，=1+ （n 1） 3=3n 2，an= （3）解： anan+1= = （），sn=a1a2+a2a3+ +anan+1精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f

25、- - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -= （1+ + + + ）= = 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】 【分析】（ 1）由已知利用函數(shù)性質(zhì)得，從而=3+ ，由此能證明數(shù)列 是首項(xiàng)為1，公差為 3 的等差數(shù)列（2）由=1+ （n1） 3=3n 2，能求出an （3） anan+1= = （） ，利用裂項(xiàng)求和法能求出sn9、 【答案】 （1） 解： a1=1，對(duì)

26、任意的nn* ，有 2sn=2pan2+panp 2a1=2pa12+pa1p，即 2=2p+pp，解得 p=1 （2）解： 2sn=2an2+an1， 2sn1=2an12+an11，（ n2 ）， 即得（ anan1）（ an+an1）=0，因?yàn)?an+an10 ，所以 anan1 =0，（3）解： 2sn=2an2+an1=2 ，sn= ，=n?2ntn=121+222+ +n?2n又 2tn=122+223+（n 1）?2n+n2n+1 tn=121（ 22+23+ +2n）+n2n+1=（n 1）2n+1+2 tn=（n1） 2n+1+2 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】 【

27、分析】 （1）根據(jù) a1=1，對(duì)任意的nn* ，有 2sn=2pan2+panp，令 n=1，解方程即可求得結(jié)果；（2）由 2sn=2an2+an1，知 2sn1=2an12+an11，（ n2 ），所以（ an an精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -11）（an+an1）=0，由此能求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式（3）根據(jù)求出數(shù)列bn的通

28、項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)果10、 【答案】 （1）解： 2an=an+1+an1（n2 ，nn?）， an是等差數(shù)列又 a1= ，a2= ，（ n2 ，nn*），bn+1an+1= = = = 又，bnan是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列（2）證明： bnan=（b1）?（）n1，當(dāng) n2 時(shí)， bnbn1= 又 b10，bnbn10bn是單調(diào)遞增數(shù)列精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

29、 13 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -（3）解： 當(dāng)且僅當(dāng) n=3 時(shí)， sn取最小值 ，即，b1 （ 47， 11）【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】 【分析】 （1）由已知得 an是等差數(shù)列，bn+1an+1= = 由此能證明 bnan是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列（2）由得當(dāng) n2 時(shí)， bnbn1= 由此能證明bn是單調(diào)遞增數(shù)列（3）由已知得，由此能求出 b1的取值范圍11、【答案】 （1）解：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得a3?a5?a7=a53=512，解之得a5=8設(shè)數(shù)列 an的公比為q，則 a3= ，a7=8q2，由題設(shè)可得（1）+（8q29）=2（83）

30、=10 解之得 q2=2 或an是遞增數(shù)列，可得q1，q2=2，得 q= 因此 a5=a1q4=4a1=8，解得 a1=2 （2）解：由（ 1）得 an的通項(xiàng)公式為an=a1?qn1=2 = ，an2= 2=2n+1，可得 an2是以 4 為首項(xiàng)，公比等于2 的等比數(shù)列因此 sn=a12+a22+ +an2= =2n+24 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和，等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【解析】【分析】 （1） 根據(jù)題意利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可得a53=512，解出 a5=8設(shè)公比為 q，得 a3= 且 a7=8q2， 由等差中項(xiàng)的定義建立關(guān)于q 的方程，解出q 的值，進(jìn)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - -

31、 - - - - - - - - - - - 第 14 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -而可得 an的首項(xiàng)； （2）由（1）得 an=a1?qn1= ，從而得到an2= 2=2n+1，再利用等比數(shù)列的求和公式加以計(jì)算，可得求sn的表達(dá)式12、 【答案】 （1） 解： f （x） =3x22x，數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 sn，點(diǎn) （n，sn） （nn*）均在函數(shù)y=f（x）的圖像上，當(dāng) n2 時(shí)， an=sn sn1=（3n2

32、2n） 3（ n1）2 2（n1）=6n5，當(dāng) n=1 時(shí)， a1=s1=32=1，滿足上式，an=6n5，nn*（2）解：由（ 1）得= = ，tn= = ，使得 tn對(duì)所有 nn*都成立的最小正整數(shù)m 必須且僅須滿足，即 m 10， 滿足要求的最小整數(shù)m=10 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和【解析】 【分析】（1） 由已知條件推導(dǎo)出，由此能求出an=6n5，n n*（ 2）由= = ，利用裂項(xiàng)求和法求出tn= ，由此能求出滿足要求的最小整數(shù)m=1013、【答案】 （1）解：由已知，得當(dāng) n2 時(shí)， an=sn sn1= =3n 當(dāng) n=1 時(shí)， a1=s1=3an=3n （2）解：當(dāng) n=1 時(shí)，

33、tn+1tn， 即 t2t1；當(dāng) n=2 時(shí)， tn+1=tn， 即 t3=t2；當(dāng) n3時(shí)， tn+1tn， 即 tntn1 t4t3tn中的最大值為，要使 tnm 對(duì)于一切的正整數(shù)n 恒成立，只需精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -解法二：當(dāng) n=1， 2 時(shí)， tn+1tn；當(dāng) n3 時(shí)， n+22n?tn+1 tnn=1 時(shí)，

34、 t1=9；n=2，3 時(shí)，n4時(shí)， tnt3tn中的最大值為，要使 tnm 對(duì)于一切的正整數(shù)n 恒成立，只需（3）解：將 kn代入，化簡(jiǎn)得，（）若 t=1 時(shí)，顯然 n=1 時(shí)成立；若 t1 時(shí)，（）式化簡(jiǎn)為不可能成立綜上，存在正整數(shù)n=1，t=1 使成立【考點(diǎn)】 數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列與函數(shù)的綜合【解析】【分析】（1）利用 an=snsn1求解；（2）要使 tnm 對(duì)于一切的正整數(shù)n 恒成立，只需 m tn中的最大值即可；（3）求解有關(guān)正整數(shù)n 的不等式14、【答案】 （1）解： sn= + + + = （），s2= ，s3= ，（） = ，（）= ，a1=1，d=1，an=n （2）解： t=

35、log21+log22+log23+ +log2（1） +log2（） =log21+log22+log23+ +log2（2n 1）+log2（ 2n） log21=0，log22=log23=1，log22m=log2（m+1）= =log2（m+11） =m精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -log21+log22+log23+

36、 +log2（2n1）+log2（2n）=0+12+222+（n 1）?2n1+n，由 s=1 2+222+（n1）?2n1，則 2s=1 22+223+（n1）?2n，s=1 2+1 22+ +2n1（ n1）?2n= （ n 1）?2n，s=（2n）?2n2 t=（2n）?2n2+n 【考點(diǎn)】 數(shù)列的應(yīng)用【解析】 【分析】（1） 利用裂項(xiàng)法求和，結(jié)合s2= ，s3= ，即可求數(shù)列an的通項(xiàng)；（2）先化簡(jiǎn)，再利用錯(cuò)位相減法，即可得出結(jié)論15、【答案】 （1）解：由sn+sn2=2sn1+2n1（n3 ，n n*），整理得： snsn1=sn1sn2+2n1，an=an1=2n1， 即 ana

37、n1=2n1， n3 ，a2 a1=2，a3a2=4，a4a3=23，anan1=2n1，將上式累加整理得：ana1=2+4+23+ +2n1，an= +3=2n+1，數(shù)列 an的通項(xiàng)公式an=2n+1；（2）證明：bn= = = （），數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和 tn=b1+b2+b3+ +bn，= （）+（）+（），= （），tn+1tn= 0，tn隨著 n 的增大而增大，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - -

38、- - - - 第 17 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -若 tnm，則（） m，化簡(jiǎn)整理得：，m （0，），16m0，2n+11，nlog2（1） 1，當(dāng) log2（1） 11 時(shí)，即 0m，取 n0=1，當(dāng) log2（1）11時(shí)，解得：m ，記 log2（1）1 的整數(shù)部分為 p，取 n0=p+1 即可，綜上可知，對(duì)任意m（0，），均存在n0n*，使得當(dāng)nn0時(shí)， tnm 恒成立【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】【分析】（ 1）由題意可知snsn1=sn1 sn2+2n1， 即 anan1=2n1， n3 ，采用 “ 累加法 ” 即可求得數(shù)列 an的通項(xiàng)公式； （

39、2）由 （1）可知， bn= = = （），采用 “ 裂項(xiàng)法 ” 即可求得數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 tn， 由函數(shù)的單調(diào)性可知， tn隨著 n 的增大而增大，分離參數(shù)nlog2（1） 1，分類 log2（1） 11 及 log2（1）11時(shí)，求得m 的取值范圍，求得n0的值，即可證明存在 n0n* ，使得當(dāng)nn0時(shí)， tnm 恒成立16、【答案】 （1）解：= （2）解： a2=2a1 3（ 1）=5， b1=a21=4，因?yàn)?bn+1=4bn所以，所以 bn是等比數(shù)列，所以bn=4n=a2n1，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁(yè)

40、，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -，所以，即（3）解：由（ 2），令 s=1?21+2?22+ +n?2n則 2s=1?22+2?23+（n1）?2n+n?2n+1，s=（n1）?2n+1+2 n 為奇數(shù)時(shí)，n 為偶數(shù)時(shí)，所以 n 為奇數(shù)時(shí)，即恒成立，易證遞增， n=1 時(shí)取最小值，所以n 為偶數(shù)時(shí)，即，易證遞增， n=2 時(shí)取最小值，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19

41、 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -所以綜上可得【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】 【分析】（ 1）根據(jù)數(shù)列遞推公式即可證明，（2）先求出數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式，再分類求出 an的通項(xiàng)公式，（3）令 s=1?21+2?22+ +n?2n根據(jù)錯(cuò)位相減法求出sn， 分離參數(shù)，根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特征即可求出 的取值范圍17、 【答案】 （1） 設(shè)數(shù)列 an的公差為d，首項(xiàng)，則a5=17，an=3n+2（2），數(shù)列 bn是首項(xiàng)為32，公

42、比為 8 的等比數(shù)列【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差關(guān)系的確定【解析】 知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等比關(guān)系的確定解析 【分析】 （1）根據(jù)前 9 項(xiàng)和為 153 和第五項(xiàng)是前9 項(xiàng)的等差中項(xiàng)，得到第五項(xiàng)的值，根據(jù)第二項(xiàng)和第五項(xiàng)的值列出方程求得首項(xiàng)和公差，寫出通項(xiàng)公式（2）要證明數(shù)列是等比數(shù)列，只要相鄰兩項(xiàng)之比是常數(shù)即可，兩項(xiàng)之比是一個(gè)常數(shù)得到結(jié)論18、 【答案】 （1）解： a1=n 1，考察相鄰兩站ak， ak1之間的關(guān)系，由題意知k= k1（ k 1）+（nk）， kk1=（n+1） 2k（k2 ）依次讓 k 取 2，3，4， ，k 得 k1 個(gè)等式，將這k1 個(gè)等式相加，得k=nk k

43、2（n，kn+， 1 kn）（2）解：，當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，取k= ，ak取得最大值；當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，取k= 或， ak取得最大值【考點(diǎn)】 數(shù)列的函數(shù)特性精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -【解析】 【 分析】 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用二、解答題19、【答案】 解：（i）由 x25

44、x+6=0，解得 x=2，3又an是遞增的等差數(shù)列，a2， a4是方程 x25x+6=0 的根a2=2，a4=3a1+d=2，a1+3d=3，解得 a1= ，d= an= + （n1）= （ii）= 數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和 sn= + + + = + + + + = + + + = =1sn=2【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和【解析】 【分析】（ i）由 x2 5x+6=0，解得 x=2，3又 an是遞增的等差數(shù)列，a2， a4是方程 x25x+6=0 的根可得a2=2，a4=3再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出（ii）= 利用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的求和公式即可得出20、【答案】 證明（ ）nan+1=（n+

45、1）an+n（n+1），精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -數(shù)列 是以 1 為首項(xiàng)，以1 為公差的等差數(shù)列；（ ）由（ ）知，bn=3n? =n?3n，?3n1+n?3n?3n+n?3n+1 得3n n?3n+1= = 【考點(diǎn)】 等比關(guān)系的確定，數(shù)列的求和【解析】【分析】（ ） 將 nan+1= （n+1） an+n （n+1） 的兩

46、邊同除以n （n+1）得，由等差數(shù)列的定義得證（）由（ ）求出 bn=3n? =n?3n， 利用錯(cuò)位相減求出數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 sn21、【答案】 解：（ ）證明：由a1=1，an+1= ，得 an 0，（ nn），則 an+1an= an= 0，an+1an；（ ）證明：由（）知 0an1，又 an+1= ， = ，即 an+1an，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁(yè)，共 2

47、8 頁(yè) - - - - - - - - -anan1 （）2an1（）2an1 （）n1a1= ，即 an 由 an+1= ，則=an+ ，=an，=a1=1，=a2= ，=a3=（）2 =an1（）n2，累加得=1+ +（）2+（）n2= =2（）n2，而 a1=1，3 （）n2= = ，an 綜上得an 【考點(diǎn)】 數(shù)列與不等式的綜合【解析】 【分析】 （）由 an0，則做差 an+1an= an= 0，即可證明an+1an；（ ）由 an+1an， anan1 （）2an1（）2an1 （）n1a1= ，則 an 由=an， 采用 “ 累加法 ” 即可求得3 （）n2= = ，即可求得an

48、 22、【答案】 解：（ ）nan+1=2sn， （n1）an=2sn1（n2 ），兩式相減得，nan+1（ n1）an=2an，nan+1=（n+1）an， 即= （n2 ），精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -又因?yàn)?a1=1，a2=2，從而=2，an=1 =n（n2 ），故數(shù)列 an的通項(xiàng)公式an=n（nn*）在數(shù)列 bn中，由

49、 bn+12=bn?bn+2， 知數(shù)列 bn是等比數(shù)列，首項(xiàng)、公比均為，數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式bn= ；（ ）tn=a1b1+a2b2+ +anbn= +2 （）2+ +n tn=（）2+2 （）3+（n 1） +n （）n+1由 ，得tn= +（）2+（）3+ + （）n+1=1，tn=2，tn對(duì)任意的 nn+恒成立， 對(duì)任意的nn+恒成立，設(shè) f（n）= ，f（n） f（n1）= - 0，則 f（n）在 1，+）上單調(diào)遞減，f（n）f（1）=3恒成立，則 3 滿足條件綜上所述，實(shí)數(shù) 的取值范圍是（3，+）【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式，數(shù)列與不等式的綜合【解析】 【分析】 （）利用 nan

50、+1=2sn， 再寫一式，兩式相減，再疊乘，即可求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；在等比數(shù)列bn滿足 b1= ， b2= ，公比為，由此可得數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；（ ）利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，再將不等式轉(zhuǎn)化為 對(duì)任意的 nn+恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)，即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁(yè)，共 28 頁(yè) - - - - - - - - -23、 【答案】 解：（ i）

51、 因?yàn)閿?shù)列滿足an+2=2an+1an（nn*） ，所以 an是等差數(shù)列且s5=70，5a1+10d=70a2， a7， a22成等比數(shù)列， ，即由 ， 解得 a1=6，d=4 或 a1=14，d=0（舍去），an=4n+2（ ii）證明：由（i）可得，所以所以= = ，數(shù)列 tn是遞增數(shù)列，【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式，數(shù)列與不等式的綜合【解析】 【分析】（i）通過 an+2=2an+1an（nn*），判斷 an是等差數(shù)列，利用s5=70，a2， a7， a22成等比數(shù)列求解數(shù)列的首項(xiàng)與公差，然后求解通項(xiàng)公式（ii）求出，化簡(jiǎn)它的倒數(shù)，利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解數(shù)列的和，利用數(shù)列的單調(diào)性證明不等式24、 【答案】 解：（ ），即a1=1，即 a1+a2=4a21，a2=1，即 a1+a2+a3=4a3，a3= ，即 a1+a2+a3+a4=4a