競賽講座18類比、歸納、猜想67358

1、競賽專題講座18類比、歸納、猜想數(shù)學(xué)解題與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)一樣，通常都是在通過類比、歸納等探測性方法進行探測 的基礎(chǔ)上，獲得對有關(guān)問題的結(jié)論或解決方法的猜想，然后再設(shè)法證明或否定猜想, 進而達到解決問題的目的類比、歸納是獲得猜想的兩個重要的方法.所謂類比，就是由兩個對象的某些和同或相似的性質(zhì)，推斷它們在其他性質(zhì)上也有 可能相同或相似的i種推理形式。類比是i種主觀的不充分的似真推理，因此，要 確認(rèn)其猜想的止確性，還須經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證.運用類比法解決問題，其基本過程可用框圖表示如下：類比何題11類比問題的解法oai 坐 oq求證：va +w+vc 定值.可見，運用類比法的關(guān)鍵是尋找一個合適的類比對象.按

2、尋找類比對象的角度不 同，類比法常分為以下三個類型.（1）降維類比將三維空間的對象降到二維（或一維）空間屮的對彖，此種類比方法即為降維類比.【例1】如圖，過四面體v-abc的底面上任一點0分別作oa0va, 0b1/7vb, ogvc, a：, bh g分別是所作直線與側(cè)面交點.分析考慮平面上的類似命題：“過aabc （底）邊ab 上任一點0分別作0a1/7ac, ob.bc,分別交bc、ac于ai bi,oa1 ob| 求證ac + bc為定值”這一命題利用相似三角形性質(zhì)很容易推出其為定值1另外，過a、0分別作bc垂線，過b、0分別作ac垂線，則用面積法也不 難證明定值為1.于是類比到空間圍

3、形，也可用兩種方法 證明其定值為1.證明：如圖，設(shè)平面0a. vapbc=m,平面obi vbaac=n,平面oci vcaab=l,則有厶moaiamav, anobianbv, aloc)s lcv.得objom on ol+ vb + vc" = am + bn+ cl(j在底面aabc中,由于am、bn、cl交于一點0,用面積法易證得:om on olam + bm+cl=1【例2】以棱長為1的正四面體的各棱為直徑作球，s是所作六個球的交集證明s中沒冇一對點的距離人于不【分析】考慮平面上的類比命題：“邊長為1的正三角形，以各邊為直徑作圓，s '是 所作三個圓的交集”，

4、通過探索s，的類似性質(zhì)，以尋求本題的論證思路.如圖，內(nèi)任意兩點易知s '包含于以正三角形重心為圓心，以6為半徑的圓內(nèi).因此v證明：如圖，止四面體abcd中，m、n分別為bc、ad的中點，g為abcd的中心,mnqag = o.顯然0是正四面體abcd的中心.易知0g= $ ag二“，并且可以推 得以0為球心、0g為半徑的球內(nèi)任意兩點間的距離不大于衣，其球0必包含s.現(xiàn) 證明如卞根據(jù)對稱性,不妨考察空間區(qū)域四面體omcg.設(shè)p為四面體omcg內(nèi)任一點,且p不在球0內(nèi)，現(xiàn)證p亦不在s內(nèi)若球0交0c于t點。 ton中,on二4 ,0t二1omm ,coszton二cos(n zt0m)二8。

5、曲余弦定理:om 11tn=on2+ot2+2on - 0t - 8 二 r ,.tn二-。又在 rtaagd 中,n 是 ad 的中點,z.gn=二。由 gn二 nt= - , og=ot, on二on, 得 gonaton。zt0n=zg0n,且均為鈍角.2 于是顯然在agoc內(nèi)，不屬于球0的任何點p,均有zp0n>zt0n,即有pn>tn=-, p點在n為球心，ad為直徑的球外，p點不屈丁區(qū)域s.丄由此可見，球0包含六個球的交集s,即s屮不存在兩點，使其距離大于點(2)結(jié)構(gòu)類比某些待解決的問題沒有現(xiàn)成的類比物，但可通過觀察，憑借結(jié)構(gòu)上的相似性等尋找 類比問題，然后可通過適當(dāng)?shù)?/p>

6、代換，將原問題轉(zhuǎn)化為類比問題來解決.【例3】任給7個實數(shù)張(k二1, 2,，7) 證明其中有兩個數(shù)x, x.-,滿足不等【分析】若任給7個實數(shù)中有某兩個相等，結(jié)論顯然成立.若7個實數(shù)互不相等,則難以下手.但仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)：“町巧與兩角差的止切公式在結(jié)構(gòu)上極為相似, 故可選后者為類比物，并通過適當(dāng)?shù)拇鷵Q將其轉(zhuǎn)化為類比問題.作代換：xk=tgak(k =1, 2,，7),證明必存在a j,滿足不等式0wtg(ai-cij)w少證明：令 xk=tg a k (k =1, 2,，7)a (-2 , 2),則原命題轉(zhuǎn)化為：證明存在兩個實數(shù)a< w1cijw (-2 , 2 ),滿足 0wtg( a

7、 i-a j) w 蔚x%由抽屜原則知，ok屮必有4個在0, 2 )屮或在(-2, 0)屮，不妨設(shè)有4個在運?0, 2)中.注意到 tg0 = 0, tg6= 4而在0,2 )內(nèi)，tgx是增函數(shù)，故只需證明存在a i, a j,使o< a - a j <6即可。為此將0, 2 )分成三個小區(qū)間:0,(6, 6 、2k x(6 , 2 ) o 乂由抽屜原則知，4個a k中至少有2個比如qi,qj同屬于某一區(qū)間，不妨設(shè)qi>qj,則0 wcii-cijw6,故磯 一® 10wtg(a i-a j w館這樣，與相應(yīng)的xi=tga i>xj=tga “便有0w的w忑(

8、3)簡化類比簡化類比，就是將原命題類比到比原命題簡單的類比命題，通過類比命題解決思 路和方法的啟發(fā)，尋求原命題的解決思路與方法比如可先將多元問題類比為少元 問題，高次問題類比到低次問題，普遍問題類比為特殊問題等.【例 4】已知 x&o (i = l, 2,，n),且 xi+x?+xf1。求證:【分析】我們可先把它類比為一簡單的類比題：“已知x&o, x&0,且x1+x2=1, 求證1w貳+氐w晅”.本類比題的證明思路為：2厲石s+x2=l, 002禹巧w1,貝ij 1wx】+x2+2 j勒巧w2,即1w (仄+辰w2,1£仄 +屈w盪.這一證明過程中用到了基本

9、不等式和配方法.這正是要尋找的證明原 命題的思路和方法.0w2證明：山基本不等式有002阿示wxi+xj,貝iw(nt)( x1+x2+xn) =n-l/ 1 wx1+x2+xnwn,+2即1w+ +)2niw舊t+$? +.+/t w矗所謂歸納，是指通過對特例的分析來引出普遍結(jié)論的一種推理形式它由推理的前 提和結(jié)論兩部分構(gòu)成：前提是若t已知的個別事實，是個別或特殊的判斷、陳述， 結(jié)論是從前提中通過推理而獲得的猜想，是普遍性的陳述、判斷.其思維模式是： 設(shè)mi (i = l, 2,，n)是要研究對象m的特例或子集，若mi (i = l, 2,，n) 具冇性質(zhì)p,則ftl此猜想m也可能具冇性質(zhì)p

10、.如果- =m,這時的歸納法稱為完全歸納法.由丁它窮盡了被研究對象的一切特 例，因而結(jié)論是止確町靠的.完全歸納法可以作為論證的方法，它又稱為枚舉歸納 法.uk如果 是m的真子集，這時的歸納法稱為不完全歸納法.由于不完全歸納法 沒有窮盡全部被研究的對象，得出的結(jié)論只能算猜想，結(jié)論的正確與否有待進一步 證明或舉反例.本節(jié)主要介紹如何運用不完全歸納法獲得猜想，對于完全歸納法，將在以后結(jié)合有 關(guān)內(nèi)容(如分類法)進行講解.【例5證明：任何面積等于1的凸四邊形的周長及兩條對角線的長度之和不小于4 十45【分析】四邊形的周長和對角線的長度和混在一起令人棘手，我們可以從特例考察 起：先考慮面積為1的正方形，其

11、周長恰為4,對角錢之和為2忑即為.其次考i察面積為1的菱形，若兩對角線長記為h、12,那么菱形面積s=2b . 12,知1.+ "2弭=2屁廳，菱形周長：1=4&w m221花=4。由此，可以猜想：對一般的凸四邊形也可將其周長和對角線長度和分開考慮.【證明】設(shè)abcd為任意一個面積為1的凸四邊形，其有關(guān)線段及角標(biāo)如圖則2sabcd二丄 (eg+gf+fh+he) sin a2j4-g-j-hw - (e+f) (g+h) w 二2e+f+g+h22d ,即對角線氏度之和不小于孫又 sabe = *(saabd 十 sabcd4*十 5acda)= (az>sin/?j

12、+ cdsin/i + 6t?sin/?2 + dasin4)+ cd + be + da)4= +(a + c)(b + /)孑 1 / a + b + c + d'?4/>a+b+c + d4,即周長不小于4.綜上所述，結(jié)論得證,【例6】在一直線上從左到右依次排列著1988個點pl, p2,，p1988,且pk是線段 pk-】pk+i的k等分點中最靠近pk+i的那個點（2wkw1988） , pf尸1,p1987 p1988=l.求證：2k3 198【分析】木題初看復(fù)雜，難以入手.不妨先從特殊值出發(fā)，通過特殊值的計算，以 便分析、歸納出一般性的規(guī)律.當(dāng) k=l 時，p1p2=1 （已知）；當(dāng) k二 2 時，p2 是 p&3 的中點,ip2p3=plp2=l；當(dāng) k=3丄1時，p3是p2p4的三等分點中最靠近的那個分點，即pbp.f三p2p4= 3 （ pp汁p3p4）=三1 1 1p2p3+e p3p4,故 psp尸二 p2p3二二2 2 2 11由此可推得4 p尸e x 2，p5p6= 4 x 3 x j 由、，可