第4講實際問題與一元一次方程

1、第四講實際問題與一元一次方程一、列方程解應(yīng)用題的步驟:（1）審：弄清題意，正確理解，準(zhǔn)確把握題目條件中的即已知量和未知量，必 要吋可用圖表輔助分析；（2）設(shè)：設(shè)出未知數(shù)，將題設(shè)條件中的語句都“翻譯”成含有“字母”的代數(shù) 式；（3）列：尋找等量關(guān)系，列出方程；（4）解：解方程，求出未知數(shù)的值；（5）驗：檢驗所求的未知數(shù)的值是否是所列方程的解，受否符合題意；（6）答：根據(jù)題意寫出答案.，注意單位。說明：（1）書寫出來的是：設(shè)、歹i、解、答 （2） “審”是關(guān)鍵，“驗”是保證。二、常見題型例1：某車間22名工人生產(chǎn)螺釘和螺母，毎人毎天平均生產(chǎn)螺釘1200個或螺母 2000個，一個螺釘耍配兩個螺母。為

2、了使每天的產(chǎn)品剛好配套，應(yīng)該分配多少 名工人生產(chǎn)螺釘，多少名工人生產(chǎn)螺母？解決問題的關(guān)鍵：1. 如果設(shè)x名工人生產(chǎn)螺釘，則名工人生產(chǎn)螺母；2. 為了使每天的產(chǎn)品剛好配套，應(yīng)使主產(chǎn)的螺母恰好是螺釘數(shù)量的解：設(shè)分配x名工人生產(chǎn)螺釘，其余（22-x）名工人生產(chǎn)螺母，根據(jù)螺母數(shù)量與 螺釘數(shù)量的關(guān)系，列方程，得2x1200x=2000 （22-x）去括號，得 2400x二44000-2000x移項及合并同類項，得4400x二44000系數(shù)化為1,得 x=10生產(chǎn)螺母的人數(shù)為22-x=12.答：應(yīng)分配10名工人生產(chǎn)螺釘，12名工人生產(chǎn)螺母。例2：銷售中的盈虧隨著市場經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，商胡交易成了人們?nèi)粘Ｅ；?/p>

3、中最為普遍的一種社會現(xiàn) 象，反應(yīng)在數(shù)學(xué)上，商品銷售問題也成了一類罪常重要的實際問題，在商品銷售 問題中，首先理解幾個概念：（1）成本價：有時也稱進(jìn)價，是商家進(jìn)貨時的價格；（2）標(biāo)價：商家在出售吋，標(biāo)注的價格；（3）售價：消費者購買時真正花的錢數(shù)；（4）利潤：商品岀售后，商家所賺的部分；（5）利潤率：商品出售后利潤與成木的比值；（6）打折：商家為了促銷所采用的一種銷售手段，打折就是以標(biāo)價為基 礎(chǔ)，按一定比例降價出售，女口：打8折，就是按標(biāo)價的80%出售。其次掌握兒個等量關(guān)系式：（1）利潤=售價一進(jìn)價；（2）利潤率二黔xloo%實際售價二標(biāo)價x打折率; 進(jìn)價嘗試練習(xí)：1、進(jìn)價為90元的籃球，賣了

4、120元，利潤是元,利潤率是元；2、原價100元的商品打9折后價格為元；3、原價100兀的商品提價40%后的價格為兀；4、一件襯衣進(jìn)價為100元，利潤率為20%這件襯衣售價為 元；5、一臺電視售價為1100元，利潤率為10%,則這臺電視的進(jìn)價為元；例3：球賽積分問題：某次籃球聯(lián)賽積分榜隊名比賽場次勝場負(fù)場積分前進(jìn)1410424東方1410424光明149523藍(lán)天149523雄鷹147721遠(yuǎn)大147721衛(wèi)星1441018鋼鐵1401414（1）探究某球隊總積分與肌、負(fù)場數(shù)z間的數(shù)量關(guān)系：若某球隊總積分為m,勝場為n,則用含n的式了表示m二（2）有人說：在這個聯(lián)賽中，冇一個隊的勝場總積分等于

5、它的負(fù)場總積分。你認(rèn) 為這個說法正確嗎？請說明理由。分析：對于問題（1）要弄清積分與勝負(fù)場數(shù)的關(guān)系，必須清楚勝一場得兒分, 負(fù)一場得幾分？表屮哪個信息最特別？能馬上解決上而哪個問題？另一個問 題又如何解決呢？若一球隊勝了 m場，則負(fù)了幾場？總積分的代數(shù)式如何表 示？對于問題（2）能否應(yīng)用方程知識來說明嗎？例4：電話計費問題1、現(xiàn)在電話和手機(jī)基本普及到家，你家里有兒臺手機(jī)或者座機(jī)？你知道手機(jī)和座機(jī)的收費標(biāo)準(zhǔn)嗎？座機(jī)、手機(jī)（移動、聯(lián)通、電信）的各種收費方式1.兩種移動電話計費方式月使用費/元主叫限定時間/分主叫超時費（元/分）被叫方式一581500.25免費方式二883500.19免費提出下列問題

6、：1.你能從表屮獲得哪些信息，試用自己的話說說。（2）猜一猜，使用哪一種計費方式合算？跟什么有關(guān)？（3）從表格數(shù)據(jù)屮，你能把主叫時間分為幾部分？（4）你能分別把主叫時間不同的話費情況用含t的代數(shù)式表示出來嗎？（5）一個月內(nèi)在本地通話200分和300分，按兩種計費方式各需交費多少元？1. 對于某個木地通話吋間，會出現(xiàn)兩種計費方式的收費一樣的情況嗎？如果 有這一時間，那么如何分別表示收費表達(dá)式呢？（等量關(guān)系“收費相等”）2. 你能根據(jù)表格判斷兩種收費方式哪種更合算嗎？3. 你的父母各有一部手機(jī)，父親業(yè)務(wù)繁忙，通話時間比較長，母親家庭主婦, 通話時間短，你能幫助你的父母設(shè)計一個省錢的方案嗎？解決問題

7、1、學(xué)生充分討論后完成表格。主叫時間t/min方式一計費/元方式二計費/元t<1505888t=1505888150<t<35058+0.25(1-150)88t=35058+0.25(350-150)=10888t>35058+0.25(150)88+0.19(1-350)1完成后的表格，可以看出，主叫時間超出限定時間越長，計費越多，并11隨著 主叫吋間的變化，按哪種方式的收費少也會變化。 當(dāng)t<150,按方式一的計費少 當(dāng)t從150增加到350時，按方式一的計費由58元增加到108元；而方式二 一直是88元，所以方式一在變化過程中，可能某一主叫時間，兩種方式的

8、計費 相等。列方程 58 + 0.25(1150) =88,解得 t=270故當(dāng)匸270時，兩種計費方式相同，都是88元，當(dāng)150<t<270時，按方式一計 費少于按方式二計費，當(dāng)270<t<350時，按方式一計費多于按方式二計費 當(dāng)匸350時，按方式二的計費 當(dāng)t>350吋，可以看出按方式一的計費為108元加上超出350分鐘的部分的超 時費0.25(t-350)；按方式二的計費為88元加上超時費0.19(l350),故按方式二的 計費少綜合以上的分析，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)tv270 min吋，選擇方式一省錢；當(dāng)t>270 min吋,選擇方式二省錢；例5：閱讀下面的

9、材料：某村去年種植的油菜籽畝產(chǎn)量達(dá)160千克，含油率40%,今年改種新選育 的油菜籽后，畝產(chǎn)量提高了 20千克，含油率提高了 10個百分點.(1) 今年與去年相比，這個村油菜種植面積減少了 44畝，而村榨油廠用本村 所產(chǎn)油菜籽的產(chǎn)油量提高20%,今年油菜種植面積是多少畝？(2) 油菜種植成本為210元/畝，油菜收購價為6元/千克，請比較這個村去今 兩年油菜種植成本與將菜油金部售出所獲收入。問題1:你能找到探究屮的數(shù)量關(guān)系嗎?1 數(shù)量關(guān)系設(shè)今年種植油菜x畝種植面積（畝）畝產(chǎn)量（千克/畝）含油量（）產(chǎn)油量（千克）去年今年問題2：你能找到探究中的等量關(guān)系嗎?2等量關(guān)系產(chǎn)油量二x含油率x解:設(shè)今年種植

10、的油菜x畝，貝何以列式表示去今年兩年的產(chǎn)油量（單位：千 克）.去年產(chǎn)油量= 160x40% x （x+44）,今年產(chǎn)油量=根據(jù)今年比去年產(chǎn)油量提高20%,列出方程為：解方程，x=所以今年油菜種植面積是田o（2）去年油菜種植成本為:210 （x +44） = （元），售油收入為:售油收入與油菜種植成本的差為：今年油菜種植成木為售油收入為：售油收入與油菜種植成木的差為：所以兩年相比，今年的油菜種植成本,售油收入。例6：優(yōu)化方案問題曲于活動需要，78名師生需住宿一晚，他們住了一些普通雙人間和普通三 人間，結(jié)果每間客房正好住滿，且在賓館給他們打五折優(yōu)惠的基礎(chǔ)上-天-共付 住宿費2130元。請你算一算，

11、他們需要雙人普通間和三人普通間各多少間？類型普通（元/間）豪華（元/間）雙人房140300三人房150400解：設(shè)安排普通雙人房x間，則可住2x人，費用為140x50%x元，此時安78-2g排普通三人房 3 間，78-益可?。?8-2x）人，費用為150x50%x3 元。78-2豪由題意，得 140x50%xx+150x50%x 彳 =2130。解得 x = 9,78-2人3=20o即安排三人房20間，雙人房9間即可。例7：行程中的追及相遇問題甲、乙兩人從a、b兩地同吋出發(fā)，甲騎自行車，乙騎摩托車，沿同一條路 線相向勻速行駛出發(fā)后經(jīng)3小吋兩人相遇.已知在相遇吋乙比甲多行了 90千米, 相遇后經(jīng)

12、1小時乙到達(dá)a地問甲、乙行駛的速度分別是多少？思路點撥：設(shè)卬的速度為丫千米/時，題目屮所涉及的冇關(guān)數(shù)量及其關(guān)系可 以用卜'表表示：相遇前相遇后速度吋間路程速度吋間路程r33工r3x+9ox.3 工+90乙3x+9o333 工+903x+90313 =相遇前甲行駛的路程+90二相遇前乙行駛的路程；相遇后乙行駛的路程二相遇前甲行駛的路程.解：設(shè)甲行駛的速度為工千米/時，貝怖遇前甲行駛的路程為尸千米,3*+90乙行駛的路程為（3-丁+90）千米，乙行駛的速度為 3 千米/時，由題意，得3x4-903xl = 3x解這個方程，得=15.檢驗：萬二15適合方程，冃符合題意.3*03時90 3x1

13、5+90將廠二15代入3,得3二 3=45.答：甲行駛的速度為15千米/吋，乙行駛的速度為45千米/吋.例&銀行儲蓄小張在銀行存了一筆錢，月利率為2%,利息稅為20%, 5個月后，他一共取 出了本息和為1080元，問它存入的本金是多少元？解：設(shè)小張存入的本金為x元，貝ij 5個月后的利息為2%xxx5即o.lx元， 這些利息需交利息稅0. lxx20%即0. 02x元由題意得：x+0. lx-0. 02x=1080x二1000答：他存入銀行的本金為1000元。例9：圖表信息題小明家使用的是分時電表，按平時段（6： 0022： 00）和谷時段（22： 00 次日6： 00）分別計費，平時

14、段每千瓦時電價為0.61元，谷時段每千瓦時電價 為0. 30元。小明將家里2005年1月至5月的平時段和谷時段的用電量分別用折 線圖表示（如下圖），同時將前4個月的用電量和相應(yīng)屯費制成表格（如下表）。項目月份（審月用電星（千瓦吋）電費（元）19051.8029250. 8539849. 24410548. 445根據(jù)上述信息，解答下列問題：（1）計算5月份的用電量及相應(yīng)的電費，將所得結(jié)果填入表中；（2）小明家這5個月的平均用電量為t瓦時；（3）小明家這5個月每月用電量是趨勢（選擇“上升”或“下降”）；這5個月每月電費呈趨勢（選擇“上升”或“下降”）；（4）小明預(yù)計7月份家中用電量很大，估計7月

15、份用電量可達(dá)500千瓦時, 相應(yīng)電費將達(dá)243元，請你根據(jù)小明的估計，計算岀7月份小明家平時段用電量和谷時段用電量.總結(jié)：木章兒個主要的運用問題及其數(shù)量關(guān)系1、行程問題基本量及關(guān)系：路程二速度x時間（1）相遇問題小的相等關(guān)系：一個的行程+另一個的行程二兩者z間的距離（2）追及問題中的相等關(guān)系：追及者的行程一被追者的行程二相距的路程（3）航程問題：順?biāo)俣靜+風(fēng)（水）速；逆速二v都一風(fēng)（水）速2、銷售問題利潤二售價一成本虧損額二成木一售價利潤二成本x利潤率虧損額二成本x虧損率3、工程問題：基本量及關(guān)系:工作總量二工作效率x工作時間常見相等關(guān)系：（1）各階段1-作量之和二i.作總量。（2）各參與者

16、匸作量之和二 工作總量4、分配型問題：此問題中一般存在不變量，而不變量正是列方程必不可少的一 種相等關(guān)系。5、調(diào)配型問題：通常畫框圖幫助分析（包插數(shù)字問題）相等關(guān)系：通常是調(diào)動 后存在的數(shù)量關(guān)系6、方案選擇型問題：解決的關(guān)鍵：求出相等的時刻；再在大于和小于的值中各 選擇一個特值計算比較，也可結(jié)合實際進(jìn)行判斷7、其他類型：如圖表信息題，配套問題，等積變化問題，球賽積分問題等等， 結(jié)合實際具體分析，或者畫圖分析?？傊?，找相等關(guān)系是關(guān)鍵。第三章一元一次方程單元檢測題一、填空題（每個空2分，共20分人1. 把方程2），-6 =），+ 7變形為2y-y = 7 + 6 ,這種變形叫。根據(jù)是o2. 方程2

17、兀+ 5 = （）的解是“。如果兀=1是方程f/x+ 1 = 2的解，則o3. ±3x-l與2?；橄喾磾?shù)，可列方程，它的解是“o4. 如果2, 2, 5和x的平均數(shù)為5,而3, 4, 5, x和y的平均數(shù)也是5,那么5. 飛機(jī)在a、b兩城之間飛行，順風(fēng)速度是逆風(fēng)速度是b km /h,風(fēng)的速度是x km /h,則a-x =。6. 某公司2002年的出口額為107萬美元，比1992年出口額的4倍還多3萬元,設(shè)公司總1992年的出口額為兀萬美元，可以列方程:o二、選擇題（每小題3分，共18分）7. 下列四個式了屮，是方程的是（）a. 1 + 2 + 3 + 4 = 10 b. 2x-3c

18、. 2x = d.&在解方程匕士=1吋，去分母正確的是（）a. 3(x-l) 2(2 + 3x) = l b. 3(x-1) - 2(2 + 3x) = 1c 3x-l-4x + 3 = l d 3x-l一4x + 3 = 69. 一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字都是兀，如果將個位數(shù)字與十位數(shù)字分別加2和所得新數(shù)比原數(shù)大12,則可列方程是()a. 2x + 3 = i2 b. 2x + 3 = 12c. (10x + x)-10(x + l)-(x + 2) = 12 d. 10(x + l) + (x + 2) = 10x + x+1210. 一項工程甲單獨做要40天完成，乙單獨做要50天完成，甲先單獨做4天,然后兩人合作x天完成這項工程，則可列的方程是()a.上+ = 1b.上+ = ic ±+a = 1d.上+三=140 40 + 5040 40 x 5040 5040 40 5011. 某工廠計