CH第一型曲線積分實用實用教案

1、v曲線形構(gòu)件(gujin)的質(zhì)量 在設(shè)計曲線形構(gòu)件時，為了合理使用材料，應(yīng)該根據(jù)各部分受力情況，把構(gòu)件上各點處的粗細(xì)程度(chngd)設(shè)計的不完全一樣。因此，可以認(rèn)為這個構(gòu)件的線密度（單位長度的質(zhì)量）是變量。第1頁/共23頁第一頁，共24頁。把曲線(qxin)弧L分成n個小段 s1 s2 sn(si也表示弧長) v曲線形構(gòu)件(gujin)的質(zhì)量 設(shè)曲線形構(gòu)件所占的位置(wi zhi)在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上 已知曲線形構(gòu)件在點(x y)處的線密度為(x y)任取(i i)si 得第i小段質(zhì)量的近似值(i i)si 第2頁/共23頁第二頁，共24頁。令maxs1 s2 sn0 則整個曲線形構(gòu)

2、件(gujin)的質(zhì)量為 整個(zhngg)曲線形構(gòu)件的質(zhì)量近似為 設(shè)曲線形構(gòu)件所占的位置(wi zhi)在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上 已知曲線形構(gòu)件在點(x y)處的線密度為(x y)v曲線形構(gòu)件的質(zhì)量 把曲線弧L分成n個小段 s1 s2 sn(si也表示弧長) 任取(i i)si 得第i小段質(zhì)量的近似值(i i)si 第3頁/共23頁第三頁，共24頁。將L任意分成n個小弧段 s1 s2 sn(si也表示第i個小弧段的長度(chngd) 在每個小弧段si上任取一點(i i) 作和 設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條(y tio)光滑曲線弧 函數(shù)f(x y)在L上有界 如果(rgu)當(dāng)maxs1 s2 s

3、n0時 這和的極限總存在 則稱此極限 為 函 數(shù) f ( x y ) 在 曲 線 弧 L 上 對 弧 長 的 曲 線 積 分 記 作其中f(x y)叫做被積函數(shù) L叫做積分弧段 第4頁/共23頁第四頁，共24頁。說明(shumng) 當(dāng)函數(shù)f(x y)在光滑曲線(qxin)弧L上連續(xù)時 函數(shù)f(x y)在曲線(qxin)弧L上對弧長的曲線(qxin)積分是存在的 以后我們總假定f(x y)在L上是連續(xù)的 對弧長的曲線(qxin)積分也稱為第一類曲線(qxin)積分 類似地可以定義函數(shù)f(x y z)在空間曲線弧上對弧長的曲線積分 .),(lim),(10 niiiiLsfdsyxf 曲線形構(gòu)件

4、的質(zhì)量就是曲線積分 的值 Ldsyx),( 第5頁/共23頁第五頁，共24頁。如果L(或)是分段光滑的 則規(guī)定函數(shù)在L(或)上的曲線(qxin)積 分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線(qxin)積分的和 例如 設(shè)L可分成兩段光滑曲線(qxin)弧L1及L2 則規(guī)定說明(shumng) .),(lim),(10 niiiiLsfdsyxf 函數(shù)f(x y)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記作 Ldsyxf),(第6頁/共23頁第六頁，共24頁。性質(zhì)(xngzh)1 設(shè)c1、c2為常數(shù) 則 性質(zhì)(xngzh)2 若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2 則 性質(zhì)(xngzh)3 設(shè)在L上f(x y)g(

5、x y) 則 特別地 有 第7頁/共23頁第七頁，共24頁。提示(tsh) 根據(jù)對弧長的曲線(qxin)積分的定義 如果曲線(qxin)形構(gòu)件L的線密度為f(x y) 則曲線(qxin)形構(gòu)件L的質(zhì)量為 另一方面 如果曲線L是光滑的 其參數(shù)方程(fngchng)為x(t) y (t) (t)則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量元素為 第8頁/共23頁第八頁，共24頁。xdydsdxyo注意(zh y)到 x因此(ync)上述計算公式相當(dāng)于“換元法”. 第9頁/共23頁第九頁，共24頁。 根據(jù)對弧長的曲線積分的定義(dngy) 如果曲線形構(gòu)件L的線密度為f(x y) 則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為

6、Ldsyxf),( dtttttf)()()( ),(22 另一方面 如果曲線(qxin)L是光滑的 其參數(shù)方程為x(t) y (t) (t)則曲線(qxin)形構(gòu)件L的質(zhì)量為于 是 dtttttfdsyxfL)()()( ),(),(22 第10頁/共23頁第十頁，共24頁。v定理(dngl) 設(shè)f(x y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)(linx) L的參數(shù)方程為x(t) y(t) (t) 其中(t)、(t)在 上具有一階連續(xù)(linx)導(dǎo)數(shù) 且2(t)2(t)0應(yīng)注意的問題 定積分的下限一定(ydng)要小于上限 則曲線積分dsyxfL),(存在 并 且 第11頁/共23頁第十一頁，共24頁。

7、注意(zh y):特殊(tsh)情形第12頁/共23頁第十二頁，共24頁。推廣(tugung):第13頁/共23頁第十三頁，共24頁?？臻g(kngjin)R3中的曲線：x=(t), y=(t), z=(t), txyzO( )第14頁/共23頁第十四頁，共24頁。例例1. 1. 計算計算(j (j sun)sun)其中(qzhng) L 是拋物線與點 B (1,1) 之間的一段弧 . 解:上點 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B第15頁/共23頁第十五頁，共24頁。練習(xí)(linx)解xy42 (利用(lyng)了偶倍奇零的性質(zhì)）第16頁/共23頁第十六頁，共24頁。（注意(z

8、h y)技巧）例2解第17頁/共23頁第十七頁，共24頁。練習(xí)(linx)解 dkaka222sincos 20I第18頁/共23頁第十八頁，共24頁。例3解由對稱性, 知第19頁/共23頁第十九頁，共24頁。如果方程(fngchng)為極坐標(biāo)形式:則第20頁/共23頁第二十頁，共24頁。 對光滑(gung hu)曲線弧 對光滑(gung hu)曲線弧Lsyxfd),(Lsyxfd),( 對光滑(gung hu)曲線弧第21頁/共23頁第二十一頁，共24頁。計算計算(j sun)其中(qzhng)L為雙紐線解: 在極坐標(biāo)系下它在第一(dy)象限部分為利用對稱性 , 得yox第22頁/共23頁第二十二頁，共24頁。感謝您的欣賞(xnshng)！第23頁/共23頁第二十三頁，共24頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)曲線(qxin)形構(gòu)件的質(zhì)量。在設(shè)計曲線(qxin)形構(gòu)件時，為了合理使用材料，應(yīng)該根據(jù)。各部分受力情況，把構(gòu)件上各點處的粗細(xì)程度設(shè)計的不完。因此，可以認(rèn)為這個構(gòu)件的線密度（單位長度的。第1頁/