完美版圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(四)

1、圓錐曲線的方程與性質(zhì)1.橢圓(1)橢圓概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) FF2的距離的和等于常數(shù) 2a (大于| F1F2 |)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離 2c叫橢圓的焦距。若 M為橢圓上任意一點(diǎn)，則有|MF1| |MF2| 2a。2222橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2烏1 ( a b 0)(焦點(diǎn)在x軸上)或與xy 1 (a b 0)(焦點(diǎn)在y軸 a2 b2a2 b2上)。注：以上方程中a,b的大小a b 0 ,其中b2 a2 c2 ；2222在x2%1和與x21兩個(gè)方程中都有a b 0的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看x2和y2的分a b a b22母的大小。例如橢圓 1(m 0,

2、 n 0, m n)當(dāng)m n時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng) m n時(shí)m n表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓。2 X范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程x2 a(2)橢圓的性質(zhì)2a, yb所圍成的矩形里;y彳1知|x| a, |y| b,說明橢圓位于直線x b對(duì)稱性：在曲線方程里，若以y代替y方程不變，所以若點(diǎn)(x,y)在曲線上時(shí)，點(diǎn)(x, y)也在曲線上,所以曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，同理，以x代替x方程不變，則曲線關(guān)于 y軸對(duì)稱。若同時(shí)以x代替x , y代替y方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。所以，橢圓關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心 叫橢圓的中心；頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，

3、常需要求出曲線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令x 0,得y b,則BK0, b), B2(0,b)是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令 y 0得x a,即A( a,0),A2(a,0)是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段 AA2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別為2a和2b, a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。由橢圓的對(duì)稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為a ;在Rt OB2F2中，|OB2 | b , |OF2 | c , | B2F2 | a ,且 |OF2 |2 | B2F2 |2 |OB2 |2 ,即

4、c2 a2 b2 ；c離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的比 e 叫橢圓的離心率。a c 0, .-.0 e 1,且e越接近1, c就 a越接近a,從而b就越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越扁；反之， e越接近于0, c就越接近于0,從而b越接近于a ,這時(shí)橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng) a b時(shí)，c 0,兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為 x2 y2 a2。2.雙曲線(1)雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線(| PF1 | | PF2 | 2a )。注意：式中是差的絕對(duì)值，在0 2a |F1F2|條件下；|PF1| |PF2| 2a時(shí)為雙曲線的一支； |PF2| |PF1| 2a時(shí)為雙曲線的另

5、一支(含 F1的一支)；當(dāng)2a | F1F21時(shí)，|PF11 |PF2| 2a表示兩條射 線；當(dāng)2aIF1F2I時(shí)，|PFi|IPF2II2a不表示任何圖形；兩定點(diǎn)Fi, F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，尸尸21叫做焦距。(2)雙曲線的性質(zhì)22范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程x2 4 1,看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線xa的外側(cè)。即a b22. x a , x a即雙曲線在兩條直線 xa的外側(cè)。22對(duì)稱性：雙曲線 x2 J 1關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn) a b22是雙曲線x2 4 1的對(duì)稱中心，雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心。 a b22頂點(diǎn)：雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫

6、做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線 ， J 1的方程里，對(duì)稱軸是 x,y軸，所 a b22以令y 0得x a ,因此雙曲線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn) A ( a,0)A2(a,0),他們是雙曲線 x2 "y? 1的頂點(diǎn)。 a b令x 0,沒有實(shí)根，因此雙曲線和 y軸沒有交點(diǎn)。1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)），雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。2）實(shí)軸：線段 A A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于2a,a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)。虛軸：線段 B B?叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等于 2b,b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對(duì)角線，這兩條直線即稱

7、為雙曲線的漸近線。從22圖上看，雙曲線 冬 與 1的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近。 a b等軸雙曲線：1）定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a b；2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：y x ； （2）漸近線互相垂直。注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。0時(shí)交點(diǎn)在x軸,22_.3）注意到等軸雙曲線的特征 a b,則等軸雙曲線可以設(shè)為：x y （0）,當(dāng)當(dāng)0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上。2222、一 xy- yx汪息1與工一1的區(qū)別：三個(gè)量a,b,c中a,b不同（互換）c相同，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)1699 1

8、6軸也變了。3.拋物線（1）拋物線的概念（定點(diǎn)F不在定直線l上）。定點(diǎn)F叫做平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線 拋物線的焦點(diǎn)，定直線 l叫做拋物線的準(zhǔn)線。2萬程y 2 px p 0叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)萬程。注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F （衛(wèi)，0）,它的準(zhǔn)線方程是 x -；22（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：y2 2px, x2 2py , x22py.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如卜表:標(biāo)準(zhǔn)方程y2 2px(p 0) yy22px(

9、p 0)2 x(p y2py 0)k.x22py(p 0)圖形lAJ主A朱F-irl焦點(diǎn)坐標(biāo)(-,0)2p U，。）p (0,7)2p(0, R準(zhǔn)線方程x E2x衛(wèi)2y py 1范圍x 0x 0y 0y 0對(duì)稱性x軸x軸y軸y軸頂點(diǎn)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)離心率e 1e 1e 1e 1說明：（1）通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對(duì)稱軸，無對(duì)稱中心，沒有漸近線；（3）注意強(qiáng)調(diào)p的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。4.高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分知識(shí)點(diǎn)梳理一、方程的曲線：在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作適合

10、某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f（x,y）=0 的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。點(diǎn)與曲線的關(guān)系：若曲線 C的方程是f（x,y）=0 ,則點(diǎn)P0（x 0,y 0）在曲線C上 f（x 0,y 0）=0；點(diǎn)P0（x 0,y 0）不在曲線 C 上f（x 0,y 0）豐 0。兩條曲線的交點(diǎn)：若曲線Ci, C2的方程分別為fi（x,y）=0,f2（x,y）=0,則點(diǎn)P°（x °,y。）是C, G的交點(diǎn) fKxnyo） 0方程組有n個(gè)不同的實(shí)

11、數(shù)解，兩條曲線就有n個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒有實(shí)數(shù)解，曲線就沒f2（x0,y0） 02、方程：（1）標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心在 c（a,b）,半徑為r的圓方程是（x-a） 2+（y-b） 2=r2圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2(2) 一般方程：當(dāng) D2+E2-4F>0時(shí)，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為 (,£)半徑22O O ccDeE2- 2是 JD E 4F。配萬，將萬程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 化為(x+ 一)2+(y+ 一)2= D E - 4F2224當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)(-D,-);22當(dāng)D2

12、+E2-4FV0時(shí)，方程不表示任何圖形.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知圓心C(a,b),半徑為r,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x o,y o),則| MC| < r點(diǎn)M在圓C內(nèi)，|MCI =r 點(diǎn) M在圓 C上，I MCI >r 點(diǎn) M在圓 C內(nèi)，其中 I MCI =J(x0 -a)2(y0 -b)2。(4)直線和圓的位置關(guān)系：直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系：直線與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相切有一個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相離沒有公共點(diǎn)。直線和圓的位置關(guān)系的判定:(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離dAa Bb C.A2 B2與半徑r的大小關(guān)系來判定。三、圓

13、錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn) P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線l的距離之比是一個(gè)常數(shù)e(e>0),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點(diǎn)F(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù) e稱為離心率。當(dāng)0vevl時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng) e=1時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng) e>1時(shí)，軌跡為雙曲線。四、橢圓、雙曲線、拋物線:橢圓雙曲線拋物線定義1 .到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F同)的 點(diǎn)的軌跡2 .與定點(diǎn)和直線的距離之 比為定值e的點(diǎn)的軌跡.(0<e<1)1 .到兩定點(diǎn)Fl,F2的距離之差的 絕對(duì)值為定值2a(0<2a

14、<|F尼|) 的點(diǎn)的軌跡2 .與定點(diǎn)和直線的距離之比為 定值e的點(diǎn)的軌跡.(e>1)與定點(diǎn)和直線的距離相等的 點(diǎn)的軌跡.軌跡條件點(diǎn)集：（M | | MF+ | MF | =2a, | F 1F2 | v 2a.點(diǎn)集：Mil= ±2a, |MF | - | MF| . F2F2 | > 2a.點(diǎn)集M | MF| 二點(diǎn)M到直線l的距離.圖形17v- r1L j.K -療.1歹 r.方程標(biāo)準(zhǔn) 方程22二 2- 1( a b>0)a b22xy._2 2_ 1(a>0,b>0) a by2 2 px參數(shù) 方程x acos y bsin（參數(shù)為離心角）x a

15、sec y btan（參數(shù)為離心角）c ±2x 2 pt (t為參數(shù))y 2pt范圍a x a, b y b|x| a , y Rx 0中心原點(diǎn)O (0, 0)原點(diǎn)O (0, 0)頂點(diǎn)(a,0), ( a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)對(duì)稱軸x軸，y軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,短軸長(zhǎng)2bx軸，y軸； 實(shí)軸長(zhǎng)2a,虛軸長(zhǎng)2b.x軸住日 八'、八、Fi(c,0), F 2( c,0)F1(c,0), F2(c,0)F (- ,0)2準(zhǔn)線2* a x=± c準(zhǔn)線垂直于長(zhǎng)軸，且在橢圓外.2* a x=± c準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸，且在兩頂點(diǎn)的 內(nèi)

16、側(cè).x=衛(wèi) x2準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)，且到頂點(diǎn)的距離相等.焦距2c (c= Ja2 b2)2 2,22c (c=Va b)離心率e c(0 e 1) ae - (e 1) ae=1【備注1】雙曲線:等軸雙曲線：雙曲線 x2 y2 a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y x,離心率e 22.22共軻雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軻雙曲線 .34 與 a2 b22222x2 J互為共軻雙曲線，它們具有共同的漸近線： 4 0.a2 b2a2 b22222共漸近線的雙曲線系方程：'y（0）的漸近線方程為Jy-0如果雙曲線的漸近線為-y0時(shí),a2b2a2

17、b2ab22它的雙曲線方程可設(shè)為人工 (0).2. 2a b【備注2】拋物線：(1)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(？,0),準(zhǔn)線方程x=-,開口向右；拋物線y2=-2px(p>0)的焦點(diǎn)坐22標(biāo)是(-,0),準(zhǔn)線方程x=,開口向左；拋物線 x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,),準(zhǔn)線方程y=-,開2222口向上；拋物線x2=-2py (p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,- B ),準(zhǔn)線方程y=,開口向下. 22(2)拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離 MFx0 2；拋物線y2=-2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,y0)2與

18、焦點(diǎn)F的距離MF p x02(3)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),則拋物線的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)的距離為-,頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 p ,焦點(diǎn)22到準(zhǔn)線的距離為 p.(4)已知過拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則線段AB稱為焦點(diǎn)弦，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長(zhǎng)AB =x1 x2+p或AB2P2sin(&為直線AB的傾斜角)，小、22p , XiX22p-, AF x1 E ( af42叫做焦半徑).五、坐標(biāo)的變換:(1)坐標(biāo)變換：在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位

19、置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線的方程(2)坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單位不改變，只改變?cè)c(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平 移，簡(jiǎn)稱移軸。(3)坐標(biāo)軸的平移公式：設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M,它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(x,y),在新坐標(biāo)深x ' O' y中的坐標(biāo)是(x,y ).設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn) O'在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k),則x' h或y' kx' x h y' y k叫做平移(或移軸)公式.(4)中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程見下表:方 程住 日焦線對(duì)稱軸橢圓(x-h)2 + (y-

20、k)22.21ab(± c+h,k)2x= ± +h cx=h y=k(x-h)2 (y-k)2 .22=1ba(h, ± c+k)2y= ± - +k cx=h y=k雙曲線(x-h)2 (y -k)2 =12,2ab(± c+h,k)2x= ± a +k cx=h y=k(y-k)2 (x-h)2_12,21ab(h, ± c+h)2y= ± +k cx=h y=k拋物線(y-k) 2=2p(x-h)(-+h,k)2x= +hy=k(y-k) 2=-2p(x-h)(-p +h,k)x= +hy=k(x-h) 2

21、=2p(y-k)(h,p- +k)y= - +kx=h(x-h) 2=-2p(y-k)(h,-+k)y= +kx=h六、橢圓的常用結(jié)論:1 . 點(diǎn)P處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角.2 .PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3 .以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與又應(yīng)準(zhǔn)線相離.4 .以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切225.1.若Po(xo,yo)在橢圓 1 1上，則過P0的橢圓的切線方程是 粵 岑a ba b6.若Po(xo,yo)在橢圓2x2ab21外，則過P0作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P、心，則切點(diǎn)

22、弦的直線方程是xoxy°y22a b1.7.22橢圓 。1 (a >b>0)的左右焦點(diǎn)分別為 a bF1, F2,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)F1PF2,則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為SFPFb2tan .F1PF22228. 橢圓 -yr 1 (a>b>0)的焦半徑公式a2 b2IMF1Iaexo,|MF2| ae%(F1(c,0) ,F2(c,0) M(x。"。).9 .設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，則 MFL NF.10 .過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、

23、Q, Ai、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，AiP和A2Q交于點(diǎn)M,A2P和AiQ交于點(diǎn)N,則MFL NF.2Xii. AB是橢圓-2a2 y b21的不平行于對(duì)稱軸的弦，M（Xo,yo）為AB的中點(diǎn)，則koM kABK AB12.若Po(xo,yo)在橢圓2y2r i內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是 b2XoX-2 aVoV2 Xo -2 ab2Xo ° a V?！就普摗浚?X1、右 Po（x。，y。）在橢圓2- a22yY 1內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是 與 ba2 y b2XoX T a2 芳。橢圓點(diǎn)2X i b2(a> b> o)的兩個(gè)頂點(diǎn)為Ai（ a,0） , A

24、2（a,0）,與y軸平行的直線交橢圓于Pi、B時(shí)APi與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程2 y b21.22、過橢圓Xiay2b71 (a>0, b >0）上任一點(diǎn)A（Xo , y。）任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kBC器（常數(shù)）a yo23、若P為橢圓PF2F1，yr 1 （a>b>。）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)i, F2是焦點(diǎn)，PF1F2b貝 Uac tan-cot-.a c 22224、設(shè)橢圓 與 2r 1 （a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi、F2,P （異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在PFF2中，記a b _ sin cF1PF

25、2,PF1F2, FiF2 P，則有 -e.sin sin a22_5、若橢圓 將 1 1 （a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為 Fi、F2,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)Ovew石 1時(shí)，可在橢圓上 a b求一點(diǎn)P,使得PFi是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與P桎的比例中項(xiàng). 226、P為橢圓 與 yy 1 （a>b> 0）上任一點(diǎn)，F(xiàn) F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則 a b2a | AF211PA | PF1 | 2a |AF1,當(dāng)且僅當(dāng)A, F2,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立7、橢圓2(x Xo)2(y y。)b21與直線Ax By C 0有公共點(diǎn)的充要條件是_ 2 2B b(Ax0_ 2By

26、0 C).2x8、已知橢圓-2a2y1 (a>b>0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP OQ. (1)1- 2|OP|1_2|OQ|1224a2b2?； |OP| +|OQ| 的最大值為22 ； (3) S opqba b2,2 的最小值是-2-b-. a b9、過橢圓2 y_ b2(a>b>0)的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn),弦MNB勺垂直平分線交x軸于P,則明|MN |10、已知橢圓2 y b2>b>0) ,A、R是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(xo,0),22則ab_aXob211、設(shè)P點(diǎn)是橢圓2 x 2

27、a(a >b>0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記F1 PF2 | PF1 | PF2 |.(2)1 cosPF1F2b2 tan .212、設(shè) A2 y b2(a >b>0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，PABPBABPA，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有 |PA|22ab |cos |222a c cos.(2)tan tan1 e2.S PAB2a2b2 , bcOt13、已知橢圓2x-2 a2 y b21 ( a >b>0)的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E ,過橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC x軸，則直

28、線AC經(jīng)過線段EF14、過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，的中點(diǎn).則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直15、過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直16、橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù) (注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)17、橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18、橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).e(離心'率).)七、雙曲線的常用結(jié)論:1、點(diǎn)P處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2、PT平

29、分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線 個(gè)端點(diǎn).3、以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線 相交.4、以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩相切.(內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支)24 x5、若P)(x0,y0)在雙曲線-2a2y ,- 1 (a>0,b >0)b2上,則過P0的雙曲線的切線方程是箋ay0 y 1 b2.2x6、右P)(x0, y0)在雙曲線2 a2y ，、2y 1 (a>0,b >0)b2,則過Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為Pl、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是wa1.27、雙曲線ab2(a

30、>0,b>o)的左右焦點(diǎn)分別為F1, F2,點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)F1PF2,則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為F1PF2b2co t .2228、雙曲線二工a2b2和AiQ交于點(diǎn)N,則MF, NF.2 x 11、AB是雙曲線可 a2 匕 b21(a>0,b>0)的不平行于對(duì)稱軸的弦，Mx。，y0)為AB的中點(diǎn)，則Kom Kabb2x02,a V0(a>0,b>o)的焦半徑公式：(F1( c,0) ,F2(c,0)當(dāng)M(x0,y0)在右支上時(shí),ex0 a 。|MFJ exo a, IMF2 | ex。a；當(dāng) M(x0,yo)在左支上時(shí)，|MFJ exo a, | M

31、F2 |9、設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，則MFL NF.10、過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) P、Q, A、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，AP和AQ交于點(diǎn)M, A2P即Kab倏。a V。12、若F0(xo, yo)在雙曲線2x2ab21(a>0,b>0)內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是2 x 13、右P0(x0,y0)在雙曲線 a2y 1 (a>0,b>0)內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是bXx,702 x042 ab22 ab22 xy2x°x

32、222.2abab21、雙曲線x_a2x 1 b222、過雙曲線Xa2r 1 b2(a>0,b >o)上任一點(diǎn) A(Xo, y°)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn),則直線BC有定向且kBCb2x0一。(常數(shù))a Vo23、若P為雙曲線Xya2 y b21 (a>0,b >0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),Fi, F 2是焦點(diǎn),PF1F2PF2 F1,則tan cot(或22c atan co t -)24、設(shè)雙曲線x7a2 y b2(a>0,b >0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為 Fi、F2,P(異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為雙曲線上任意一點(diǎn),在PF1F2中，記

33、 F1PF2PF1F2FiF2 P,則有(sinsinc -e. sin ) a25、若雙曲線Xya2 y_ b21 (a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F、F2,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)1<e< V21時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P,使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PE的比例中項(xiàng).21 1 (a>0,b>0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A( a,0) , A2(a,0),與y軸平行的直線交雙曲線于Pi P2時(shí)b2A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是x7a2 X6、P為雙曲線彳 a|AF2| 2a |PA|27、雙曲線X?ay2b21 (a>0,b>0)與直線 Ax By

34、 C 0有公共點(diǎn)的充要條件是“22A a2, 2B bc2.8、已知雙曲線2x2ab21 (b>a >0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且OPOQ .1|OQ |2122.b4a2 b2;(2) |OP| +|OQ| 的最小值為一-;(3) S opqb2b2 a22b2的最小值是a b2 a21 (a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN勺垂直平分線交 1 (a>0,b>0)上任一點(diǎn)，F(xiàn)i,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則 b2IPF1I，當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點(diǎn)共線且P和A,F2在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立x軸于P,

35、則| PF | e|MN | 2210、已知雙曲線x2a2 y b21 (a>0,b >0),A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(x0,0),2 人？則x°a匕或a2,2a b11、設(shè)P點(diǎn)是雙曲線2 y b21 (a>0,b >0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)記F1PF2 ，則2b21 PF1|PF2| f.(2)c,2,S PF1F2b cot .12、設(shè) AB是雙曲線2 y b21 (a>0,b>0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，PABPBABPA2 .2ab |cos |c、e分別是雙曲線的半焦距離

36、心率，則有 (1) |PA| 2盧 | a c cos |(2) tantan 12e . S PAB2,22a bb2cot213、已知雙曲線。a2 y , I 1 (a>0,b >0) b2的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E ,過雙曲線右焦點(diǎn) F的直線與雙曲線相交于A B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BCX軸，則直線 AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).14、過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15、過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直16、雙曲線焦三角形中，外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注：在雙曲線焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)