數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)PPT課件

1、主講教師：主講教師： 閆桂峰閆桂峰 E-mail: Tel：68912131(中教中教630)第1頁(yè)/共56頁(yè) 參考書目參考書目梁昆淼梁昆淼. 數(shù)學(xué)物理方法（第三版）數(shù)學(xué)物理方法（第三版）. 高等教高等教育出版社育出版社,1998。閆桂峰閆桂峰. 數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法. 北京理工大學(xué)出版北京理工大學(xué)出版社社,2009。李元杰李元杰. 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù). 高等教高等教育出版社育出版社,2009。楊華軍楊華軍. 數(shù)學(xué)物理方法與計(jì)算機(jī)仿真，電子數(shù)學(xué)物理方法與計(jì)算機(jī)仿真，電子工業(yè)出版社，工業(yè)出版社，2005。第2頁(yè)/共56頁(yè)第3頁(yè)/共56頁(yè)第4頁(yè)/共56頁(yè)課程內(nèi)容：研究

2、數(shù)學(xué)物理方程的建立、求 解方法和解的物理意義的分析。 Green 方程的導(dǎo)出和定解問題方程的導(dǎo)出和定解問題分離變量法分離變量法數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程行波法行波法基本解法基本解法積分變換法積分變換法函數(shù)法函數(shù)法 貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)特殊函數(shù)特殊函數(shù)勒讓德函數(shù)勒讓德函數(shù)第5頁(yè)/共56頁(yè)微分方程:含有自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程常微分方程：未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程.偏微分方程: 未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程 , , ,0(1)xyxxxyfx yu uuuu , ,0nndud uFx udxdx 18:57第6頁(yè)/共56頁(yè)例如xyxuuuy 221xyuu 0 xxyyuu

3、 都是偏微分方程, ,偏微分方程: 未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程 , , ,0(1)xyxxxyfx yu uuuu 第7頁(yè)/共56頁(yè)偏微分方程的階: : 方程中未知函數(shù)的偏導(dǎo)的最高階數(shù)是二階偏微分方程是三階偏微分方程. .0 xxyyuu 例: :37xxyyyuxuuy 第8頁(yè)/共56頁(yè)線性偏微分方程: : 對(duì)于未知函數(shù)及其所有偏導(dǎo)數(shù)來說都是線性的，且方程中的系數(shù)都僅依賴于自變量（或者為常數(shù)）非線性偏微分方程: :不是線性的偏微分方程例21xxyyyuxyuu 是二階線性偏微分方程是非線性偏微分方程 221,0 xyxuuuuxu 第9頁(yè)/共56頁(yè) n個(gè)自變量的二階線性偏微分方程, ,一般

4、形式為,11(2)ijinnijx xixi jia ub ufug 這里 和 都是關(guān)于自變量 的函數(shù)。如果 ，則稱方程為齊次的；否則稱為非齊次的。,ijia bfgix0g 本課程的主要研究對(duì)象：本課程的主要研究對(duì)象：第10頁(yè)/共56頁(yè)根據(jù)系統(tǒng)邊界所處的物理?xiàng)l件和初始狀態(tài)列根據(jù)系統(tǒng)邊界所處的物理?xiàng)l件和初始狀態(tài)列出定解條件；出定解條件；主要內(nèi)容主要內(nèi)容從不同的物理模型出發(fā)，建立三類典型方程；從不同的物理模型出發(fā)，建立三類典型方程；提出相應(yīng)的定解問題提出相應(yīng)的定解問題第11頁(yè)/共56頁(yè)第12頁(yè)/共56頁(yè)導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程的一般方法： 確定所研究的物理量； 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系； 劃出研究單元，根據(jù)物理

5、定律和實(shí)驗(yàn)資料寫出 該單元與鄰近單元的相互作用，分析這種相互 作用在一個(gè)短時(shí)間內(nèi)對(duì)所研究物理量的影響， 表達(dá)為數(shù)學(xué)式； 簡(jiǎn)化整理，得到方程。 第13頁(yè)/共56頁(yè)例例 1 1. 弦的微小橫振動(dòng)弦的微小橫振動(dòng) 假設(shè)與結(jié)論：假設(shè)與結(jié)論：（1 1）橫振動(dòng) 坐標(biāo)系oxu，位移u(x,t) 12 xudxdxxuds 21 （2）微小振動(dòng)第14頁(yè)/共56頁(yè)（3）弦柔軟、均勻. 張力 沿切線方向 , 密度 為常數(shù)；)(xT 建立方程建立方程： 取微元 ，研究在水平方向和鉛垂方向 在不受外力的情況下的運(yùn)動(dòng)情況。MMMM x+d dx)( dxxT sgdM第15頁(yè)/共56頁(yè)牛頓運(yùn)動(dòng)定律：牛頓運(yùn)動(dòng)定律： F =

6、 ma作用在弧作用在弧段 上的水平方向的力為上的水平方向的力為 MM0coscosTT傾角很小，即傾角很小，即0, 0 近似得近似得TT 垂直方向的力為垂直方向的力為22( , )sinsinu x tTTgdsdst（1）sintg,sintg,.dsdx( , )(, ),.u x tu x dx ttgtgxx22( , )tgtgu x tTTgdxdxt于是等式（于是等式（1 1）變成）變成由微積分知識(shí)可知，在時(shí)刻由微積分知識(shí)可知，在時(shí)刻t 有有（2）等式（等式（2 2）可以寫成）可以寫成1|xx dxxxttguuudxTT x+d dx)( dxxT sgd由于很小令 ，取極限得

7、0dxxxttguuTT略去重力，可得方程,22222xuatu其中Ta2(3)(3)弦振動(dòng)方程（3 3）中只含有兩個(gè)自變量 和 ，其中 表示時(shí)間， 表示位置。由于它們描述的是弦的振動(dòng)或波動(dòng)現(xiàn)象，因而又稱為一維波動(dòng)方程。xttx第16頁(yè)/共56頁(yè)注1 1：如果弦上還受到一個(gè)與振動(dòng)方向相同的外力，且外力密度為F(x,t)，外力可以是壓力、重力、阻力，則22( , )sinsinu x tFdsTTgdsdst 22222( , ),uuaf x ttx弦的強(qiáng)迫振動(dòng)方程為( , )( , )F x tf x t 其其中中稱稱為為自自由由項(xiàng)項(xiàng). . 非齊次方程非齊次方程齊次方程；齊次方程；, 0,

8、0 ffMxdx dsgds TT uoxMxNN第17頁(yè)/共56頁(yè)例 2. 傳輸線方程傳輸線方程 待研究物理量: 電流強(qiáng)度 i (x,t),電壓 v (x,t)xR xL xG xC iii vvv R 每一回路單位的串聯(lián)電阻,L 每一回路單位的串聯(lián)電感，C 每單位長(zhǎng)度的分路電容，G 每單位長(zhǎng)度的分路電導(dǎo)，xxx第18頁(yè)/共56頁(yè)Kirchhoff 第一,二定律tixLixRvvvvxGtvxCiii )()( 00RitiLxvGvtvCxi微分形式兩端對(duì)x微分兩端對(duì)t微分*C相減GRvtvGLRCtvLCxvGRitiGLRCtiLCxi )()(22222222 傳輸線方程222222

9、2211xvLCtvxiLCti 高頻傳輸，G=0, R=0高頻傳輸線方程與一維波動(dòng)方 程 類 似第19頁(yè)/共56頁(yè) 例3. 聲學(xué)方程 022sastt)(002pa s0p0聲波中的空氣密度相對(duì)變化量，空氣定比熱與定容比熱之比值，空氣處于平衡狀態(tài)時(shí)的壓強(qiáng)，空氣處于平衡狀態(tài)時(shí)的密度。其中2222222zyxLapalce算子三維波動(dòng)方程 第20頁(yè)/共56頁(yè)注2 2：類似的可導(dǎo)出二維波動(dòng)方程（例如薄膜振動(dòng)）, ,它的形式為 2, ,ttxxyyuauufx y t 第21頁(yè)/共56頁(yè)奧氏公式 dVzyxdSnE),(4 4靜靜電電學(xué)學(xué)基基本本定定律律：穿穿過過閉閉合合曲曲面面向向外外的的電電通通

10、量量等等于于區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)所所含含電電量量的的倍倍，即即例4 靜電場(chǎng)的勢(shì)方程 E1 ),(zyx ),(4divzyxE 即 dVEdVzEyExEdSznEynExnEdSnEzyxzyxdiv ),cos(),cos(),cos(故 dVdVE 4div第22頁(yè)/共56頁(yè)),(4graddivzyxu ),(4222222zyxzuyuxu 0222222 zuyuxu故即 Laplace方程 Poisson方程當(dāng)內(nèi)沒有電荷時(shí) EuEgrad靜電場(chǎng)是有勢(shì)場(chǎng)，故存在勢(shì)函數(shù)u, 有第23頁(yè)/共56頁(yè) 如果空間某物體內(nèi)各點(diǎn)處的溫度不同，則熱量就從溫度較高點(diǎn)處到溫度較低點(diǎn)處流動(dòng)，這種現(xiàn)象叫熱傳導(dǎo)。

11、考慮物體考慮物體G 內(nèi)的熱傳導(dǎo)問題。函數(shù)內(nèi)的熱傳導(dǎo)問題。函數(shù)u(x,y,z,t) 表表示物體示物體G 在位置在位置 M(x,y,z) 以及時(shí)刻以及時(shí)刻 t 的溫度。通過的溫度。通過對(duì)任意一個(gè)小的體積元對(duì)任意一個(gè)小的體積元V內(nèi)的熱平衡問題的研究，建內(nèi)的熱平衡問題的研究，建立方程。立方程。假設(shè)：假定物體內(nèi)部沒有熱源，物體的熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)，即是各向同性的，物體的密度以及比熱是常數(shù)。SVM S n 熱場(chǎng)熱場(chǎng) 例 5. 熱傳導(dǎo)方程第24頁(yè)/共56頁(yè)SVM S n 熱場(chǎng)熱場(chǎng)傅立葉實(shí)驗(yàn)定律: :物體在無窮小時(shí)段d dt內(nèi)沿法線方向n流過一個(gè)無窮小面積d dS的熱量d dQ與時(shí)間d dt, ,面積d dS,

12、 ,物體溫度沿曲面d dS法線方向的方向?qū)?shù)成正比. .dd duQkS tn 從時(shí)刻 到時(shí)刻 經(jīng)過曲面S 流入?yún)^(qū)域V 的熱量為1t2t211ttSuQkdS dtn 21txyztVkukukudVdtxyz 高斯公式高斯公式第25頁(yè)/共56頁(yè) 210ttxyztVcukukukudVdtxyz 流入熱量使物體內(nèi)溫度變化，在時(shí)間間隔 中物體溫度從 變化到 所需吸收熱量為12 ,t t1( , , , )u x y z t2( , , ,)u x y z t 221, , , , ,dVQcu x y z tu x y z tV 比熱比熱密度密度2211ttttVVuucdt dVcdV dt

13、tt 由于所考察的物體內(nèi)部沒有熱源, , 根據(jù)能量守恒定律可得21,QQ 即即第26頁(yè)/共56頁(yè)由于時(shí)間 , , 和區(qū)域 V 都是任意選取的, ,并且被積函數(shù)連續(xù), , 于是得1t2t xyzuckukukutxyz ( (非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程) )對(duì)于均勻的各向同性物體， k為常數(shù)，記2kac 則得齊次熱傳導(dǎo)方程: :2222222uuuuatxyz 三維熱傳導(dǎo)方程第27頁(yè)/共56頁(yè)若物體內(nèi)部有熱源 F(x,y,z,t), , 則熱傳導(dǎo)方程為 2222222, , ,uuuuafx y z ttxyz其中 , , ,.Ffx y z tc 第28頁(yè)/共56頁(yè)0)(22222 yux

14、uatu二維熱傳導(dǎo)方程 0)(222 xuatu維熱傳導(dǎo)方程 0)(2222222 zuyuxuatu三維熱傳導(dǎo)方程 第29頁(yè)/共56頁(yè)在上述熱傳導(dǎo)方程中, , 描述空間坐標(biāo)的獨(dú)立變量為 , , 所以它們又稱為三維熱傳導(dǎo)方程. . 當(dāng)考察的物體是均勻細(xì)桿時(shí), , 如果它的側(cè)面絕熱且在同一截面上的溫度分布相同, , 則可以得到一維熱傳導(dǎo)方程 , ,x y z222uuatx 22222uuxyuat 類似, , 如果考慮一個(gè)薄片的熱傳導(dǎo), , 并且薄片的側(cè)面絕熱, , 可以得到二維熱傳導(dǎo)方程第30頁(yè)/共56頁(yè) 當(dāng)我們考察氣體的擴(kuò)散, ,液體的滲透, , 半導(dǎo)體材料中的雜質(zhì)擴(kuò)散等物理過程時(shí), ,

15、若用 表示所擴(kuò)散物質(zhì)的濃度, , 則濃度所滿足的方程形式和熱傳導(dǎo)方程完全相同. . 所以熱傳導(dǎo)方程也叫擴(kuò)散方程. .u第31頁(yè)/共56頁(yè)波動(dòng)方程 聲波、電磁波、桿的振動(dòng)；熱傳導(dǎo)方程 物質(zhì)擴(kuò)散時(shí)的濃度變化規(guī)律, 長(zhǎng)海峽中潮汐波的運(yùn)動(dòng)， 土壤力學(xué)中的滲透方程;Laplace方程 穩(wěn)定的濃度分布, 靜電場(chǎng)的 電位, 流體的勢(shì).總 結(jié)：第32頁(yè)/共56頁(yè)222220uuatx2220uuatx22220uuxy一維齊次波方程：一維齊次波方程：一維齊次熱方程：一維齊次熱方程：二維二維Laplace方程：方程：第33頁(yè)/共56頁(yè)第34頁(yè)/共56頁(yè) 一一 . . 初始條件及初始條件及CauchyCauchy

16、問題問題 描述某系統(tǒng)或某過程初始狀況的條件稱為， 初值條件與對(duì)應(yīng)方程加在一起構(gòu)成或稱。第35頁(yè)/共56頁(yè).0)(0)(齊次初始條件且xx)(),(00 xuxuttt )(),(xx 初始位移、初始速度分別為 ,稱波動(dòng)方程的初值條件. .l 弦振動(dòng)問題弦振動(dòng)問題l 熱傳導(dǎo)方程)(0 xut 稱為熱傳導(dǎo)方程的初值條件. .第36頁(yè)/共56頁(yè) 不同類型的方程，相應(yīng)初值條件的個(gè)數(shù)不同。 初始條件給出的應(yīng)是整個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而非 系統(tǒng)中個(gè)別點(diǎn)的初始狀態(tài)。注意注意注意注意第37頁(yè)/共56頁(yè) 例例. .長(zhǎng)為 l 兩端固定的弦，初始時(shí)刻將弦的中點(diǎn)拉起 hhut 0hulx 2/( )( )xu02llh

17、lxxllhlx xlhut2l ),(220 ,20正確寫法第38頁(yè)/共56頁(yè)（I I）第一類邊界條件1Suf 18:57（IIII）第二類邊界條件2Sufn （IIIIII）第三類邊界條件3Suufn 二二. 邊界條件邊界條件描述某系統(tǒng)或過程邊界狀況的約束條件稱為邊界條件邊界條件.第39頁(yè)/共56頁(yè)例例1 1.長(zhǎng)為l的弦，一端固定，一端以 sint t 規(guī)律運(yùn)動(dòng)),(),(),(tzyxftzyxuzyx tuulxxsin, 00 第一類邊界條件第一類邊界條件例例2 2.長(zhǎng)為l的桿，一端溫度為0，一端溫度為 (t t )00,( )xx luut 第40頁(yè)/共56頁(yè)弦振動(dòng)問題：弦的一端（

18、如 x = l）可以在垂直 x 軸的直線上自由的上下滑動(dòng)，且不受垂直方向的外力，我們稱這種端點(diǎn)為“自由端”。sintanx luTTTxux0l第二類邊界條件第二類邊界條件),(tzyxfnu 在這一端點(diǎn)，邊界上的張力沿垂直于x軸的方向的分量為0 0，因此在方程的推導(dǎo)中知 , , 即0 xluTx 第41頁(yè)/共56頁(yè)當(dāng)該點(diǎn)處的張力沿垂直x 軸的方向的分量是 t 的已知函數(shù) 時(shí)，有( ) t x lutx 0( , )0 xlxxluulnxtu 或或18:57第42頁(yè)/共56頁(yè)熱傳導(dǎo)問題：如果物體和周圍介質(zhì)處于絕熱狀態(tài)，即在表面上熱量的流速始終為0 0，則由方程推導(dǎo)過程可知，有邊界條件0 .S

19、un ,SuM tn 當(dāng)物體與外界接觸的表面 S 上各單位面積在單位時(shí)間內(nèi)流過的熱量已知時(shí)，由傅立葉定律，在 S 上有 ，這表明溫度沿外法線方向的方向?qū)?shù)是已知的，故邊界條件可以表示為dQukdSdtn 第43頁(yè)/共56頁(yè)第三類邊界條件第三類邊界條件 ),(tzyxfnuhu )(0kTxuulx 例例 (1) 弦的振動(dòng)（端點(diǎn)彈性連結(jié)）lxuk 彈性力lxxuT 張力第44頁(yè)/共56頁(yè))()(1hkuxuulx (2) 熱傳導(dǎo)問題（端點(diǎn)自由冷卻）dSdtnukdQ 2)(1uuhnuk dSdtuuhdQ)(11 散失的熱量?jī)?nèi)部流到邊界的熱量即 21dQdQ第45頁(yè)/共56頁(yè)第46頁(yè)/共56頁(yè)

20、 )(|)( )(|)0,( 0002xuxxutxuautttxxtt 弦振動(dòng)的Cauchy問題 )( )(|)0,( 002xxutxuautxxt 只包含初值條件的定解問題稱為初邊值問題初邊值問題（Cauchy Cauchy 問題）問題）第47頁(yè)/共56頁(yè) ), ,()(),( ),(0,),( 0)(02tzyxfunuzyxzyxutzyxuuuautzzyyxxt 包含初值條件和邊界條件的定解問題稱為混合問題混合問題 (初邊值問題初邊值問題) )熱傳導(dǎo)方程的混合問題熱傳導(dǎo)方程的混合問題第48頁(yè)/共56頁(yè)波動(dòng)方程的混合問題波動(dòng)方程的混合問題 0, 0)0( )(),()0,0( 0002lxxxtttxxttuulxxuxutlx