微元法在高中物理中的應(yīng)用

1、微元法在高中物理中的應(yīng)用江蘇省靖江市斜橋中學(xué) 夏桂錢微元法是分析、 解決物理問題中的常用方法， 也是從部分到整體的思維方法。 它是將研究對象（物體或物理過程）進(jìn)行無限細(xì)分，從其中抽取某一微小單元即 “元過程 ” ，進(jìn)行討論，每個 “元過程 ”所遵循的規(guī)律是相同的。對這些 “元過程 ”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問題求解。 使用此方法可以把一些復(fù)雜的物理過程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決，使所求的問題簡單化，從而起到鞏固知識、加深認(rèn)識和提高能力的作用。一、挖掘教材中微元素材，認(rèn)知微元思想微元法思想在新課標(biāo)教材 （人教版） 上時有滲透。如在引入瞬時速度的概念時，教材從平均速度出發(fā)，

2、提出從t到t+&這段時間間隔內(nèi)，At越小運(yùn)動快慢的差異也就越小，運(yùn)動的描述就越精確。在此基礎(chǔ)上，再提出若t 趨向于零時，就可以認(rèn)為t 的平均速度就是t 時刻的瞬時速度。正是這種無限分割的方法，可以使原來較為復(fù)雜的過程轉(zhuǎn)化為較簡單的過程。再如， 我們要推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動的位移公式， 顯然不能直接用 s=vt ， 原因就在于速度本身是變化的， 不能直接套用勻速直線運(yùn)動的公式。 但是我們可以想象， 如果我們把整個過程的時間分成無數(shù)微小的時間間隔， 我們分得愈密，每一份的時間間隔也就愈小，此間隔內(nèi)，速度的變化亦就愈小， 如果分得足夠細(xì)， 就可以認(rèn)為速度幾乎不變， 此時就可將每一份按勻速直線運(yùn)動

3、來處理，完畢之后，再累加即可。必修 2 第五章第四節(jié) 重力勢能中，計(jì)算物體沿任意路徑向下運(yùn)動時重力所做的功時，先將物體運(yùn)動的整個路徑分成許多很短的間隔， 由于每一段都很小很小， 就可以將每一段近似地看做一段傾斜的直線， 從而就能利用功的定義式計(jì)算出每一小段內(nèi)重力的功， 再累加得到整個過程重力的總功。第五節(jié)彈性勢能中關(guān)于在求彈簧彈力所做的功時，先將彈簧拉伸的整個過程分成很多小段， 在足夠小的情況下， 每一小段位移中可以認(rèn)為拉力是不變的， 從而也能直接利用功的定義式來計(jì)算每一小段內(nèi)拉力所做的功， 再累加得到整個過程拉力的總功。 這兩個功的計(jì)算， 前者的難點(diǎn)在于物體運(yùn)動的路徑是曲線， 后者的難點(diǎn)在于

4、力的大小在 變化。教材中的處理方法是前者采用了 “化曲為直 ”的思想，后者采用了 “化變?yōu)楹?” 的思想。以上四個實(shí)例中，前兩個選擇的微元是一小段時間，即 “時間元” ，后兩個選擇的微元是一小段位移， 即 “位移元 ” ， 這是中學(xué)物理中常用的兩個微元。 在機(jī)械運(yùn)動中瞬時速度概念的建立，是微元思想具體應(yīng)用的典范。其實(shí)， 像瞬時加速度、 瞬時電流、 瞬時感應(yīng)電動勢等物理概念的建立， 也滲透了微元思想， 課本中都未作深入的探討， 但教師如果能夠?qū)⑦@些概念的建立與瞬時速度概念的建立進(jìn)行類比 ,不僅能讓學(xué)生加深對微元概念的理解,而且能為學(xué)生學(xué)習(xí)微元法提供機(jī)會。 學(xué)生掌握了微元思想有助于對這些物理概念、

5、 規(guī)律的理解， 有助于拓寬知識的深度和廣度，同時開拓了解決物理問題的新途徑，是認(rèn)識過程中的一次飛躍。二、明晰微元解題思路，形成微元方法“微元法 ” 作為高中物理的一個重要物理思想， 在被應(yīng)用于物理解題時， 其解題思路可概括為：選取 “微元 ” ，將瞬時變化問題轉(zhuǎn)化為平均變化問題，避開直接求瞬時變化問題的困難;再利用數(shù)學(xué) “微積分 ”知識，將平均變化問題轉(zhuǎn)化為瞬時變化問題， 既完成求解問題的 “轉(zhuǎn)化 ”又能保證所求問題性質(zhì)不變且求解更簡單。即采取了從對事物的極小部分（微元）分析入手，達(dá)到解決事物整體的方法。具體可分以下三個步驟進(jìn)行：選取微元用以量化元事物或元過程；視元事物或元過程為恒定， 運(yùn)用相

6、應(yīng)的規(guī)律給出待求量對應(yīng)的微元表達(dá)式； 在微元表達(dá)式的定義域內(nèi)施以疊加演算，進(jìn)而求得待求量。試以例題說明微元解題的思路。例 1 如圖， 水平放置的導(dǎo)體電阻為 R ， R 與兩根光滑的平行金屬導(dǎo)軌相連， 導(dǎo)軌間距為L ，其間有垂直導(dǎo)軌平面的、 磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B 的勻強(qiáng)磁場。導(dǎo)軌上有一導(dǎo)體棒 ab 質(zhì)量為 m 以初速度向右運(yùn)動。求：導(dǎo)體棒在整個運(yùn)動過程中的位移X?導(dǎo)體棒整個運(yùn)動過程中通過閉合回路的電量？xxxX解析整個運(yùn)動過程中導(dǎo)停棒的位慈：以/方向?yàn)檎较颍?爐為布口R灰白人乂辿工=mait .R出白EvZf = £ 陽口 AfR-.& =淞 £q& .爐萬獷

7、m 1. r叫展bhj.iiri5i.ctjfri.cfi/zr/<yq全過程中逋過導(dǎo)體某個橫截面的電量：，, 丁 BLv .q = 1、M = £ =今 IAv一 BLL -掰=> -BLi j、& =柚vo ! h E3-BL X - Af = S Av +jn-BLq =如（0一 小）川小結(jié)由上述解答過程不難看出，應(yīng)用徽元法解題的步驟可歸納為以下三個步驟：選 取微元；列微元方程；累積求和.需引起特別注意的是，物理量對時間元或位移元累積 后的物理意義m通常有*速度在時間上的累積(£vAt )是位移，加速度在時間上的累積 (£必行是速度變化量

8、，電流在時間上的累積(Z /An是電量，力在位移上的累積(£通£) 無功 *b©勺/口中七卬門力門/zzzqq三、注重微元思想應(yīng)用，提升解題技巧學(xué)生在由于數(shù)學(xué)知識上的局限，對于高等數(shù)學(xué)中可以使用積分來進(jìn)行計(jì)算的一些物理問題，高中很難加以解決。我們都可以通過選取具有代表性的極小的一部分進(jìn)行分析處理，再從局部推廣到整體。事實(shí)上，這些選取的具有代表性的先”，可以是一小段線段圓?。ň€元）、一小塊面積（面積元）、或一小部分質(zhì)量（質(zhì)量元）以及一小段時間（時間元）等，它們均具有整體對象的基本特征。下面通過具體實(shí)例進(jìn)一步闡述微元思想的應(yīng)用，提升微元解題技巧。例之如圖所示，人用梟子

9、通過定滑輪原不變的速度沖拉水平而上的物體A,當(dāng)組子與水平方向成日愈時，求物體A的謔度/解析 設(shè)船在6角位置經(jīng)&時間向左行駛兀距麗，滑槍右惻的線長3S短如圖，當(dāng) 堀水平方向的角度變化很4時有= Arcos 兩邊同陶以。得；所以船的速率為匕4 =上一口 gs J即收繩速率小=vA cos w小結(jié) 本題可采用運(yùn)動的合成與分解來做，但學(xué)生難以理解，不妨采用微元法引導(dǎo)學(xué)生分析。要求船在該位置的速率即為瞬時速率，需從該時刻起取一小段時間來求它的平均速度，當(dāng)這一小段的時間趨于零時，該平均速率就為所求速率。例3用一大小不變的力 F拉著物體沿一半徑為 R的圓周運(yùn)動一周，力F方向始終沿切線方 向，求F所做

10、的功。解析 此題屬于變力做功問題，若套用公式W=FL,由于運(yùn)動一周位移為 0,則W=0。但實(shí)際情況是：變力F始終與運(yùn)動方向相同，變力F始終作為動力做功，因此在物體運(yùn)動一周過程中，變力F應(yīng)該做正功。進(jìn)行計(jì)算處理時，可用微元法將曲線分成無限個微元段4L。每一微元段由于無限小，都可以看成是直線，從而在每一微元段內(nèi)，可看成是恒力F在做功，W=F AL,總功為各個微元段做功的代數(shù)和，那二£卬二= 2 涵例4高壓采煤水槍出口的橫截面積為三*水的射速為訐，射到煤層上后水的速度變?yōu)榱?若水的固度為以求水對煤的沖力. +解析取i帽騰上的一小段水柱為研52對家，設(shè)這T鍛 水的質(zhì)量為!,則取水平向左為正方向,由于 頓第二定律用產(chǎn)=R&坦二上網(wǎng)-所以吃R J!，： 儻由牛頓第三定律得，水對焊層的沖力族-P軍V其中負(fù)號表不方向水平向右口中小結(jié)流體模型（如水流、氣流、粒子流等）具有連續(xù)性作用的特點(diǎn)，若從整體著手，便會有山重水復(fù)疑無路”的痛苦，若運(yùn)用微元思想就會有柳暗花明又一村”的驚喜。由于一切變化”都必須在一定的時間和空間范圍內(nèi)才可能得以實(shí)現(xiàn)，因此 微元法”就抓住變化”的這一本質(zhì)特征，通過限制 變化”所需的時間或空間， 把變化的事物或變化的過程轉(zhuǎn)化為不變的事物或不變的過程。其常用手段為：通過限制變化”賴以發(fā)生的 時間”和 空間來限制 變化”。實(shí)踐