數(shù)的整除性PPT精品文檔

1、.1第第4講講數(shù)的整除性（一）數(shù)的整除性（一）.2 我們?cè)谌昙?jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被我們?cè)谌昙?jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被2，3，5整除的數(shù)的特征，這一講我們將整除的數(shù)的特征，這一講我們將討論整除的性質(zhì)，并講解能被討論整除的性質(zhì)，并講解能被4，8，9整除的數(shù)的特征。整除的數(shù)的特征。.3 數(shù)的整除具有如下性質(zhì)：數(shù)的整除具有如下性質(zhì)： 性質(zhì)性質(zhì)1如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。例如，數(shù)整除。例如，48能被能被16整除，整除，16能能被被8整除，那么整除，那么48一定能被一定能被8整除。整除。.4 性質(zhì)性質(zhì)2如果兩個(gè)數(shù)都能被一

2、個(gè)自然數(shù)如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差也一定整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差也一定能被這個(gè)自然數(shù)整除。例如，能被這個(gè)自然數(shù)整除。例如，21與與15都能被都能被3整除，那么整除，那么2115及及21-15都都能被能被3整除。整除。.5 性質(zhì)性質(zhì)3如果一個(gè)數(shù)能分別被兩個(gè)互質(zhì)如果一個(gè)數(shù)能分別被兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被這兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。例這兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。例如，如，126能被能被9整除，又能被整除，又能被7整除，且整除，且9與與7互質(zhì)，那么互質(zhì)，那么126能被能被9763整整除。除。.6 利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我

3、們利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多與整除有關(guān)的問(wèn)題。為可以解決許多與整除有關(guān)的問(wèn)題。為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)的整除性，我們把學(xué)了進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)的整除性，我們把學(xué)過(guò)的和將要學(xué)習(xí)的一些整除的數(shù)字特過(guò)的和將要學(xué)習(xí)的一些整除的數(shù)字特征列出來(lái)：征列出來(lái)：.7 （1）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是0，2，4，6，8中的一個(gè)，那么這個(gè)數(shù)就中的一個(gè)，那么這個(gè)數(shù)就能被能被2整除。整除。 （2）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是0或或5，那么這個(gè)數(shù)就能被，那么這個(gè)數(shù)就能被5整除。整除。.8 （3）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被和如果能被3整除，那么這個(gè)數(shù)就能

4、被整除，那么這個(gè)數(shù)就能被3整除。整除。 （4）一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)如果能被）一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4（或（或25）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被4（或（或25）整除。）整除。.9 （5）一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)如果能被）一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)如果能被8（或（或125）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被8（或（或125）整除。）整除。 （6）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被和如果能被9整除，那么這個(gè)數(shù)就能被整除，那么這個(gè)數(shù)就能被9整除。整除。 .10 因?yàn)橐驗(yàn)?00能被能被4（或（或25）整除，所以由）整除，所以由整除的性質(zhì)整除的性質(zhì)1知，整百的數(shù)都能被知

5、，整百的數(shù)都能被4（或（或25）整除。因?yàn)槿魏巫匀粩?shù)都能）整除。因?yàn)槿魏巫匀粩?shù)都能分成一個(gè)整百的數(shù)與這個(gè)數(shù)的后兩位分成一個(gè)整百的數(shù)與這個(gè)數(shù)的后兩位數(shù)之和，所以由整除的性質(zhì)數(shù)之和，所以由整除的性質(zhì)2知，只要知，只要這個(gè)數(shù)的后兩位數(shù)能被這個(gè)數(shù)的后兩位數(shù)能被4（或（或25）整除，）整除，這個(gè)數(shù)就能被這個(gè)數(shù)就能被4（或（或25）整除。這就證）整除。這就證明了（明了（4）。）。.11 類(lèi)似地可以證明（類(lèi)似地可以證明（5）。）。 （6）的正確性，我們用一個(gè)具體）的正確性，我們用一個(gè)具體的數(shù)來(lái)說(shuō)明一般性的證明方法。的數(shù)來(lái)說(shuō)明一般性的證明方法。.12 837800307 81003107 8（991）3（91

6、）7.13 89983937 （89939）（）（837）。）。.14 因?yàn)橐驗(yàn)?9和和9都能被都能被9整除，所以根整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)據(jù)整除的性質(zhì)1和性質(zhì)和性質(zhì)2知，（知，（8x993x9）能被）能被9整除。再根據(jù)整除的性質(zhì)整除。再根據(jù)整除的性質(zhì)2，由（由（837）能被）能被9整除，就能判斷整除，就能判斷837能被能被9整除。整除。.15 利用（利用（4）（）（5）（）（6）還可以求出）還可以求出一個(gè)數(shù)除以一個(gè)數(shù)除以4，8，9的余數(shù)：的余數(shù)：.16 （4）一個(gè)數(shù)除以）一個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)，與的余數(shù)，與它的末兩位除以它的末兩位除以4的余數(shù)相同。的余數(shù)相同。 （5）一個(gè)數(shù)除以）一個(gè)數(shù)除以8的余

7、數(shù)，與的余數(shù)，與它的末三位除以它的末三位除以8的余數(shù)相同。的余數(shù)相同。 （6）一個(gè)數(shù)除以）一個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)，與的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同。的余數(shù)相同。.17 例例1在下面的數(shù)中，哪些能被在下面的數(shù)中，哪些能被4整除？整除？哪些能被哪些能被8整除？哪些能被整除？哪些能被9整除？整除？ 234，789，7756，8865，3728，8064。.18 解：能被解：能被4整除的數(shù)有整除的數(shù)有7756，3728，8064； 能被能被8整除的數(shù)有整除的數(shù)有3728，8064； 能被能被9整除的數(shù)有整除的數(shù)有234，8865，8064。.19 例例2在四位數(shù)在四位數(shù)56

8、2中，被蓋住的十位中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時(shí)，這個(gè)四位數(shù)分別能數(shù)分別等于幾時(shí)，這個(gè)四位數(shù)分別能被被9，8，4整除？整除？.20 解：如果解：如果562能被能被9整除，那么整除，那么 56213 應(yīng)能被應(yīng)能被9整除，所以當(dāng)十位數(shù)是整除，所以當(dāng)十位數(shù)是5，即四位數(shù)是即四位數(shù)是5652時(shí)能被時(shí)能被9整除；整除；.21 如果如果562能被能被8整除，那么整除，那么62應(yīng)能被應(yīng)能被8整除，所以當(dāng)十位數(shù)是整除，所以當(dāng)十位數(shù)是3或或7，即四位數(shù)是即四位數(shù)是5632或或5672時(shí)能被時(shí)能被8整除；整除；.22 如果如果562能被能被4整除，那么整除，那么2應(yīng)應(yīng)能被能被4整除，所以當(dāng)十位數(shù)是整除，所以當(dāng)十位

9、數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，5692時(shí)能被時(shí)能被4整除。整除。.23 到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)能被到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)能被2，3，5，4，8，9整除的數(shù)的特征。根據(jù)整除的數(shù)的特征。根據(jù)整除的性質(zhì)整除的性質(zhì)3，我們可以把判斷整除的，我們可以把判斷整除的范圍進(jìn)一步擴(kuò)大。例如，判斷一個(gè)數(shù)范圍進(jìn)一步擴(kuò)大。例如，判斷一個(gè)數(shù)能否被能否被6整除，因?yàn)檎?，因?yàn)?23，2與與3互互質(zhì)，所以如果這個(gè)數(shù)既能被質(zhì)，所以如果這個(gè)數(shù)既能被2整除又能整除又能被被3整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)3，可，可判定這個(gè)數(shù)能被判定這個(gè)數(shù)能被6整除。整除

10、。.24 同理，判斷一個(gè)數(shù)能否被同理，判斷一個(gè)數(shù)能否被12整除，只整除，只需判斷這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被需判斷這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被3和和4整除；整除；判斷一個(gè)數(shù)能否被判斷一個(gè)數(shù)能否被72整除，只需判斷整除，只需判斷這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被8和和9整除；如此等整除；如此等等。等。.25 例例3從從0，2，5，7四個(gè)數(shù)字中任選三四個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)，組成能同時(shí)被個(gè)，組成能同時(shí)被2，5，3整除的數(shù)，整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進(jìn)行排列。并將這些數(shù)從小到大進(jìn)行排列。.26 解：因?yàn)榻M成的三位數(shù)能同時(shí)被解：因?yàn)榻M成的三位數(shù)能同時(shí)被2，5整除，所以個(gè)位數(shù)字為整除，所以個(gè)位數(shù)字為0。根據(jù)三位數(shù)。根據(jù)三位數(shù)能被能被

11、3整除的特征，數(shù)字和整除的特征，數(shù)字和270與與570都能被都能被3整除，因此所求的這些整除，因此所求的這些數(shù)為數(shù)為270，570，720，750。.27 例例4五位數(shù)五位數(shù)能被能被72整除，問(wèn)：整除，問(wèn)：A與與B各代表什么數(shù)字？各代表什么數(shù)字？.28 分析與解：已知分析與解：已知能被能被72整除。因整除。因?yàn)闉?289，8和和9是互質(zhì)數(shù)，所以是互質(zhì)數(shù)，所以既能被既能被8整除，又能被整除，又能被9整除。根據(jù)能整除。根據(jù)能被被8整除的數(shù)的特征，要求整除的數(shù)的特征，要求能被能被8整除，由此可確定整除，由此可確定B6。再根據(jù)能被。再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，整除的數(shù)的特征，的各位數(shù)字之的各位數(shù)字之和

12、為和為.29 A329BA3f296A20， 因?yàn)橐驗(yàn)閘A9，所以，所以21A2029。在這個(gè)范圍內(nèi)只有在這個(gè)范圍內(nèi)只有27能被能被9整除，所以整除，所以A7。.30 解答例解答例4的關(guān)鍵是把的關(guān)鍵是把72分解成分解成89，再分別根據(jù)能被再分別根據(jù)能被8和和9整除的數(shù)的特征整除的數(shù)的特征去討論去討論B和和A所代表的數(shù)字。在解題順?biāo)淼臄?shù)字。在解題順序上，應(yīng)先確定序上，應(yīng)先確定B所代表的數(shù)字，因?yàn)樗淼臄?shù)字，因?yàn)锽代表的數(shù)字不受代表的數(shù)字不受A的取值大小的影響，的取值大小的影響，一旦一旦B代表的數(shù)字確定下來(lái)，代表的數(shù)字確定下來(lái)，A所代表所代表的數(shù)字就容易確定了。的數(shù)字就容易確定了。.31 例

13、例5六位數(shù)六位數(shù)是是6的倍數(shù)，這樣的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個(gè)？的六位數(shù)有多少個(gè)？.32 分析與解：因?yàn)榉治雠c解：因?yàn)?23，且，且2與與3互質(zhì)，互質(zhì)，所以這個(gè)整數(shù)既能被所以這個(gè)整數(shù)既能被2整除又能被整除又能被3整整除。由六位數(shù)能被除。由六位數(shù)能被2整除，推知整除，推知A可取可取0，2，4，6，8這五個(gè)值。再由六位數(shù)這五個(gè)值。再由六位數(shù)能被能被3整除，推知整除，推知 3ABABA33A2B.33 能被能被3整除，故整除，故2B能被能被3整除。整除。B可取可取0，3，6，9這這4個(gè)值。由于個(gè)值。由于B可以可以取取4個(gè)值，個(gè)值，A可以取可以取5個(gè)值，題目沒(méi)有個(gè)值，題目沒(méi)有要求要求AB，所以符合條件

14、的六位數(shù)共，所以符合條件的六位數(shù)共有有5420（個(gè)）。（個(gè)）。.34 例例6要使六位數(shù)要使六位數(shù)能被能被36整除，整除，而且所得的商最小，問(wèn)而且所得的商最小，問(wèn)A，B，C各代各代表什么數(shù)字？表什么數(shù)字？.35 分析與解：因?yàn)榉治雠c解：因?yàn)?649，且，且4與與9互質(zhì)，所以這個(gè)六位數(shù)應(yīng)既能被互質(zhì)，所以這個(gè)六位數(shù)應(yīng)既能被4整整除又能被除又能被9整除。六位數(shù)整除。六位數(shù)能被能被4整除，就要整除，就要能被能被4整除，因此整除，因此C可取可取1，3，5，7，9。.36 要使所得的商最小，就要使要使所得的商最小，就要使這個(gè)六位數(shù)盡可能小。因此首先是這個(gè)六位數(shù)盡可能小。因此首先是A盡盡量小，其次是量小，其次

15、是B盡量小，最后是盡量小，最后是C盡量盡量小。先試取小。先試取A=0。六位數(shù)。六位數(shù)的各位的各位數(shù)字之和為數(shù)字之和為12BC。它應(yīng)能被。它應(yīng)能被9整整除，因此除，因此BC6或或BC15。因?yàn)?。因?yàn)锽，C應(yīng)盡量小，所以應(yīng)盡量小，所以BC6，而，而C只能取只能取1，3，5，7，9，所以要使，所以要使盡可能小，應(yīng)取盡可能小，應(yīng)取B1，C5。.37 當(dāng)當(dāng)A=0，B=1，C5時(shí)，六位數(shù)時(shí)，六位數(shù)能被能被36整除，而且所得商最小，為整除，而且所得商最小，為150156364171。 .38 16539724能被能被4，8，9，24，36，72中的哪幾個(gè)數(shù)整除？中的哪幾個(gè)數(shù)整除？ .39 1.4，9，36。

16、 .40 2個(gè)位數(shù)是個(gè)位數(shù)是5，且能被，且能被9整整除的三位數(shù)共有多少個(gè)？除的三位數(shù)共有多少個(gè)？ .41 2.10個(gè)。個(gè)。提示：百位與十提示：百位與十位的數(shù)字和為位的數(shù)字和為4或或13。 .42 3一些四位數(shù)，百位上的一些四位數(shù)，百位上的數(shù)字都是數(shù)字都是3，十位上的數(shù)字都是，十位上的數(shù)字都是6，并且它們既能被，并且它們既能被2整除又能整除又能被被3整除。在這樣的四位數(shù)中，整除。在這樣的四位數(shù)中，最大的和最小的各是多少？最大的和最小的各是多少？ .43 3.9366；1362。.44 4五位數(shù)五位數(shù)能被能被12整除，求這個(gè)五位數(shù)。整除，求這個(gè)五位數(shù)。 .45 4.42972。 .46 5有一個(gè)能被有一個(gè)能被24整除的四整除的四位數(shù)位數(shù)23，這個(gè)四位數(shù)最大，這個(gè)四位數(shù)最大是幾？最小是幾？是幾？最小是幾？ .47 5.8232；2232。 提示：先由能被提示：先由能被8整除判斷整除判斷出個(gè)位數(shù)是出個(gè)位數(shù)是2。 .48 6從從0，2，3，6，7這五這五個(gè)數(shù)碼中選出四個(gè)，可以組成個(gè)數(shù)碼中選出四個(gè)，可以組成多少個(gè)可以被多少個(gè)可以被8整除的沒(méi)有重復(fù)整除的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？數(shù)字的四位數(shù)？ .49 6.16個(gè)。個(gè)。 提示：提示：6320，3720，2360，2760，6032，307