數(shù)學(xué)物理方法第一章..PPT課件

1、2021-11-241簡介基本內(nèi)容：基本應(yīng)用：重 點(diǎn)：難 點(diǎn)：復(fù)數(shù)、復(fù)變函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、解析函數(shù)、解析的充要條件、解析函數(shù)的幾何意義、復(fù)變函數(shù)積分、柯西定理、柯西公式C-R條件的應(yīng)用、Cauchy公式及其與定理的聯(lián)合應(yīng)用已知解析函數(shù)的實(shí)部（或虛部）求該解析函數(shù) 、Cauchy公式及其與定理的聯(lián)合應(yīng)用解析函數(shù)（是本章的重點(diǎn)，也是本篇的重點(diǎn)）第1頁/共38頁2021-11-2421.1復(fù)數(shù)第2頁/共38頁2021-11-243實(shí)部Rez=x 虛部Imz=y yxzi1i）或1i(2（一）復(fù)數(shù)的定義（代數(shù)式）復(fù)數(shù)z=x+iy虛數(shù)單位:z的共軛復(fù)數(shù):z*或第3頁/共38頁2021-11-244（二）復(fù)數(shù)

2、的幾何意義（復(fù)平面與復(fù)矢量）一個復(fù)數(shù)復(fù)平面上的一個點(diǎn)復(fù)矢量復(fù)平面橫軸為實(shí)軸，縱軸為虛軸的平面第4頁/共38頁2021-11-245)sini(coszie22yxz)20(00n20（三）三角式及指數(shù)式（尤拉公式，證明見第三章）幅角 Argz=arctg(y/x),具有不唯一性為Arg z的主值，則（多值函數(shù)的多值性與幅角的不唯一性有密切關(guān)系）模取在復(fù)平面上取極坐標(biāo)，則P5,例題例題1第5頁/共38頁2021-11-246)( i)(212121yyxxzz, 1i2)( i)(1221212121yxyxyyxxzz22222zzzyxzz222121zzzzz,)( i212121ezz)

3、( i212121ezznnnezi)2(1ii0knnnnneez加加減:實(shí)、虛部分別相加減乘除: 利用 采用指數(shù)形式更方便乘方: (k=0,1,2，n-1)是n值函數(shù).（四）代數(shù)運(yùn)算開方:第6頁/共38頁2021-11-247無限遠(yuǎn)是一點(diǎn)復(fù)數(shù)0和的幅角無意義.復(fù)平面上模為無窮大的點(diǎn)規(guī)定為一點(diǎn)，叫無窮遠(yuǎn)點(diǎn)兩種不同的理解方式：復(fù)球面和=1/z（五）無窮遠(yuǎn)點(diǎn)作業(yè)：作業(yè)：1.2， 1.6， 2.4， 2.5，4第7頁/共38頁2021-11-2481.2 復(fù)變函數(shù)第8頁/共38頁2021-11-249復(fù)變函數(shù)：當(dāng)z=x+iy在復(fù)平面上變化時，如果對于z的每一個值，都有一個或多個復(fù)數(shù)值w與之對應(yīng)，則

4、稱w為z的函數(shù)， w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z稱為宗量. 單值 多值（一）復(fù)變函數(shù)定義0zz的點(diǎn)也有的鄰域中有邊界點(diǎn)及鄰域外點(diǎn)及鄰域內(nèi)點(diǎn)：EEzEzEzEzzz000000復(fù)平面上的區(qū)域（復(fù)平面上的點(diǎn)集） z0的鄰域：（是任意小的正數(shù)）點(diǎn)集組成的折線連起來內(nèi)任兩點(diǎn)都可由內(nèi)點(diǎn)具有連通性內(nèi)點(diǎn)）屬于集合（圓心的一個充分小的圓它為內(nèi)的每一個點(diǎn)，都有以在BbDaB)(開)區(qū)域 第9頁/共38頁2021-11-2410境界線正向約定：沿正向前進(jìn)，區(qū)域始終在左手一側(cè)及以上多連通：境界線在兩條單連通：境線只有一條區(qū)域的連通階數(shù)P10,例例1（二）復(fù)變函數(shù)的幾何意義（二）復(fù)變函數(shù)的幾何意義實(shí)變

5、函數(shù) 一條平面上的曲線復(fù)變函數(shù) 映射(一個平面映射到 另一個平面)P11，例，例2閉區(qū)域:區(qū)域B連同其境界線構(gòu)成的點(diǎn)集B第10頁/共38頁2021-11-24112izzee2cos,i 2siniiiizzzzeezeezzz cos,sin2cosiiyyyzeez)2( iln)ln(ln0inez)20(0（三）初等函數(shù)： 純虛周期2i無界，如無限多值，除0、外都有對數(shù).coshz=(ez+e-z)/2； sinhz=(ez-e-z)/2coshz=cos(iz); sinhz=-isin(iz)周期性：2i； 奇偶性；平方差公式；和角公式（1）（2）（3）（4）名稱、形式與實(shí)初等函數(shù)

6、相同，但其性質(zhì)卻有不同,如：第11頁/共38頁2021-11-2412（四）復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性：說明：說明：極限存在與否與在極限存在與否與在z0點(diǎn)有無定義無關(guān)；極限值與趨近方式無關(guān)。點(diǎn)有無定義無關(guān)；極限值與趨近方式無關(guān)。連續(xù)性：連續(xù)性： 設(shè)在復(fù)平面的某一區(qū)域內(nèi)定義了一個函數(shù)設(shè)在復(fù)平面的某一區(qū)域內(nèi)定義了一個函數(shù)w=f(z)。如果自變。如果自變量量z在這區(qū)域內(nèi)以任何方式趨于一點(diǎn)在這區(qū)域內(nèi)以任何方式趨于一點(diǎn)z0時，時，f(z)都以都以f(z0)為極限，為極限，則稱則稱f(z)在在z0連續(xù)，如果連續(xù)，如果f(z)在區(qū)域內(nèi)的所有點(diǎn)上都連續(xù)，就稱在區(qū)域內(nèi)的所有點(diǎn)上都連續(xù)，就稱它在區(qū)域內(nèi)連續(xù)。它在區(qū)域內(nèi)

7、連續(xù)。極限： 設(shè)w=f(z)是z0的無心鄰域中有定義的單值函數(shù)，并且對于任意給定的正實(shí)數(shù)，總能找到正實(shí)數(shù)，使得當(dāng)0|z-z0| 時，有|f(z)-w0| ，那么常復(fù)數(shù)w0就稱為f(z)當(dāng)z趨于z0時的極限。作業(yè)：作業(yè)：1.1，1.6，2.2，3，4.2，5.1，6.2第12頁/共38頁1.3 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和解析性 保角映射2021-11-2413第13頁/共38頁2021-11-2414zzfzzfz)()(lim0zzfzzfzfzfZ)()(lim)(dd0若f(z)在z單值連續(xù)，且存在，zczczczc212212sin)cos(1)定義形式與實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)同實(shí)變函數(shù)的求導(dǎo)法則及實(shí)初等

8、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式均適用于復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例2)實(shí)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)：比值的左、右極限存在且相等; 復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)：比值極限應(yīng)與z00的方式無關(guān)，或z沿 一切可能方式0的極限都存在且相等。顯然復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在的條件比實(shí)變函數(shù)嚴(yán)格的多。則稱f(z)在z可導(dǎo)，該極限稱為f(z)在z點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記作（一）復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) C-R條件1.導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義第14頁/共38頁2021-11-2415),(i),()(yxvyxuzf),(i),(vuxvyuyvxuvuvu11在z點(diǎn)可導(dǎo)C-R條件或2.函數(shù)可導(dǎo)的條件函數(shù)可導(dǎo)的條件必要條件必要條件第15頁/共38頁2021-11-2416, xz zfz0limxyxv

9、yxuyxxvyxxux),(i),(),(i),(lim0 xvxui,iyz zfz0limyyxvyxuyyxvyyxuyi),(i),(),(i),(lim0iii1yvyuiiiezez不變沿橫向不變沿徑向據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，沿實(shí)軸和虛軸的比值極限都存在且相等，即二者相等C-R條件二比值極限相等C-R條件.類似在極坐標(biāo)系中xvyuyvxu第16頁/共38頁2021-11-2417yxyxvvuu,充要條件存在、連續(xù)（可微）且滿足C-R條件(證明：詳見P20).a)初等單值函數(shù)在其定義域上均可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)公式與實(shí)變初等 函數(shù)的相同c）若f(z)可導(dǎo), f*(z)則不可導(dǎo)，如：f=z可導(dǎo)， f*=

10、z*不可導(dǎo).nzz，lnz和的導(dǎo)數(shù)在后面再介紹；多值函數(shù)b)奇點(diǎn)：函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)；注：第17頁/共38頁2021-11-24183.復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的模：導(dǎo)數(shù)的模：函數(shù)平面上過函數(shù)平面上過w0=f(z0)點(diǎn)的無窮小線段與宗量平面點(diǎn)的無窮小線段與宗量平面上過上過z0點(diǎn)的無窮小線段的長度之比，也叫伸縮比。點(diǎn)的無窮小線段的長度之比，也叫伸縮比。導(dǎo)數(shù)的輔角：導(dǎo)數(shù)的輔角：過過w0和和z0兩點(diǎn)的切線與實(shí)軸的夾角之差。兩點(diǎn)的切線與實(shí)軸的夾角之差。第18頁/共38頁2021-11-2419 通常我們所說的“某解析函數(shù)”，嚴(yán)格說，應(yīng)是在某個區(qū)域上的解析函數(shù) 在z0點(diǎn)解析：在z0點(diǎn)

11、及其鄰域內(nèi)可導(dǎo).在z0點(diǎn)解析， 則在z0 點(diǎn)必可導(dǎo)，反之則不然. 區(qū)域B上的解析函數(shù)：在B內(nèi)所有點(diǎn)解析或可導(dǎo).在 區(qū)域B上解析可導(dǎo)(二二) 復(fù)變函數(shù)的解析性復(fù)變函數(shù)的解析性1.定義：函數(shù)定義：函數(shù)f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)內(nèi)處處可導(dǎo)第19頁/共38頁2021-11-24202. 解析函數(shù)的充要條件定理：如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)有定義，則解析的充要條件是實(shí)部和虛部在D內(nèi)可微，且滿足C-R條件. 顯然解析函數(shù)的實(shí)部和虛部間由C-R條件將其緊密地聯(lián)系在一起.解析函數(shù)是從一般的復(fù)變函數(shù)中加上很強(qiáng)的條件后挑選出來的一類特殊的復(fù)變函數(shù)yyvxxvyxvdd),(dyxuxyudd應(yīng)用：已知解析函數(shù)f(

12、z)的u(或v)求該解析函數(shù)利用該全微分可將v確定至只差一個積分常數(shù)例已知u, 則xvyuyvxu第20頁/共38頁2021-11-2421xxvd)(dycxyu)(),(ycyxF)(d)(dycxuyycyFyv1)湊全微分法：運(yùn)用全微分法則，作全微分的逆運(yùn)算再對y求偏導(dǎo) 或先保持x不變再對x求偏導(dǎo).若在極坐標(biāo)系中可作類似處理. 先保持y不變3)不定積分法：2)曲線積分：全微分的曲線積分僅與起、止點(diǎn)有關(guān)，與具體路徑 無關(guān)，選取路徑盡可能使積分簡單，且有意義.v的求法：P24：例題：例題1第21頁/共38頁（三）保角映射2021-11-2422設(shè)w=f(z)是區(qū)域上D內(nèi)的解析函數(shù)，且滿足)

13、 1 ( 0)(0 zf解析函數(shù)所代表的映射具有保持兩曲線間夾角不變的性質(zhì))2(12121122第22頁/共38頁2021-11-2423思考與討論題:1.復(fù)數(shù)輻角的主值是如何選取的？輻角主值的規(guī)定是否唯一？為什么？z=0和z=的輻角有無意義？2.復(fù)變初等函數(shù)與實(shí)變初等函數(shù)的基本性質(zhì)有哪些區(qū)別？3.若z1與z2為復(fù)數(shù)域中的兩個數(shù)是否能比較大小？4.f(z)在z0點(diǎn)解析與在z0點(diǎn)可導(dǎo)有無區(qū)別？在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)有無區(qū)別？5.解析函數(shù)必滿足C-R條件，為什么？6.已知解析函數(shù)的實(shí)部(或虛部)求該解析函數(shù)的方法有哪些？各自要注意的要點(diǎn)是什么？作業(yè)：3.1 、4、5.1、5.3第23頁/共38

14、頁2021-11-24241.4 復(fù)變函數(shù)的積分 柯西定理第24頁/共38頁2021-11-2425（一）復(fù)變函數(shù)積分nkkkzzfk10maxlimlzzfd)(kkkzz1lllxvyuyvxuzzf)dd(i)dd(d)(定義：在分段光滑曲線l上的連續(xù)函數(shù)f(z)沿l的積分，定義為其中為該積分相應(yīng)于兩個實(shí)函的路徑積分 其定義與實(shí)函在平面上的曲線積分是相似的，故有與實(shí)函積分所相似的一般性質(zhì).小段上的任意一點(diǎn)，第25頁/共38頁2021-11-2426性質(zhì),)(MzfMlzMzzflldd)(1)常數(shù)因子可移到積分號外；常數(shù)因子可移到積分號外；(2)和的積分和的積分= =積分之和；積分之和；

15、(3)全路徑上的積分全路徑上的積分= =各部分路徑上的積分之和；各部分路徑上的積分之和；(4)反轉(zhuǎn)積分路徑積分變號；反轉(zhuǎn)積分路徑積分變號；則(5) f f( (z z) )在l l上有界，即存在第26頁/共38頁2021-11-2427（二）柯西定理 它是關(guān)于復(fù)變函數(shù)回路積分的定理，解析函數(shù)積分與路徑無關(guān)的定理.單通區(qū)域與復(fù)通區(qū)域單通區(qū)域與復(fù)通區(qū)域?qū)τ谝粋€區(qū)域?qū)τ谝粋€區(qū)域D D，如果，如果D D內(nèi)的任意一條閉合曲線在收縮為一點(diǎn)的過程中，內(nèi)的任意一條閉合曲線在收縮為一點(diǎn)的過程中，該曲線上的所有點(diǎn)都在該曲線上的所有點(diǎn)都在D D內(nèi)，則稱內(nèi)，則稱D D為單通區(qū)域，否則稱為復(fù)通區(qū)域。為單通區(qū)域，否則稱為

16、復(fù)通區(qū)域。第27頁/共38頁2021-11-2428D0d)(lzzflllyuxvyvxuzzf)dd(i)dd(d)(DDyxyvxuyxyuxvddidd0條件RCDCauchy定理一：設(shè)f(z)是由境界線l所圍閉單通域上的解析函數(shù)，則證明：條件可放寬為：在上連續(xù)，在D內(nèi)解析.推論一：在單通區(qū)域內(nèi)解析函數(shù)的曲線積分僅與曲線端點(diǎn)的位置有關(guān)、與具體形狀無關(guān).只要保持兩端點(diǎn)固定，積分曲線可以在閉區(qū)域內(nèi)連續(xù)變形而積分保持不變。DlyxyPxQyyxQxyxPd)d(d),(d),(實(shí)二元函數(shù)路徑積分的Stokes公式DP、Q是在以l為邊界的閉域上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元函數(shù).第28頁/共38頁202

17、1-11-24291l), 3 , 2(nklk 0d)(0nklkzzf2d)(lzzfnlzzfd)(為外境界線、圍成的閉復(fù)通域上單值解析的函數(shù)f(z),有證明：如圖作輔助線，將復(fù)通區(qū)域 單通通域,應(yīng)用單通區(qū)域Cauchy定理 輔助線上的積分進(jìn)、出抵消,即得證定理.Cauchy定理二：在為內(nèi)境界線（積分沿約定的路徑正向）zzfTTd)(220d)(zzfnnTT 1d)(lzzf推論二：nkllkzzfzzf2d)(d)(1(所有積分都沿逆鐘向或順鐘向)推論三：設(shè)f(z)為閉域(單通或復(fù)通域)上的解析函數(shù)，D內(nèi)的任一條曲線或閉曲線在D內(nèi)連續(xù)變形(不閉合曲線保持端點(diǎn)不動)積分值不變lzzfd

18、)(或 積分路徑在被積函數(shù)的解析區(qū)域上連續(xù)變形(端點(diǎn)不動)積分不變.lzzfd)(不變). 第29頁/共38頁2021-11-2430zzzzfzF0d)()()()(zfzF)()(d)(1221zFzFzzfzzczF)(定理：設(shè)f(z)是單通域D內(nèi)的解析函數(shù),z0是D內(nèi)的一個定點(diǎn)，則在D內(nèi)定義的函數(shù)在D內(nèi)也解析,且對D內(nèi)任二點(diǎn)z1和z2 稱F(z)為f(z)的一個原函數(shù)，（c為任意復(fù)常數(shù)）是f(z)的原函數(shù)族或不定積分.（三）不定積分第30頁/共38頁2021-11-2431lnzzId)(nz)(znlnzzzzd)(d)(20iidi een201)i(1dinne) 1( 0) 1

19、( ii) 1( i220)1( i1nnennn內(nèi)）不在但或內(nèi)在且lnlnzznln1), 1( 0, 1( i2d)(例(n為整數(shù)，該結(jié)果有重要應(yīng)用，應(yīng)掌握).2)2)柯西定理推論三：若在l內(nèi) 亦可按P26上原函數(shù)的概念作.解：1)在l外，則在l圍成閉域上解析I=0l第31頁/共38頁2021-11-24321.5 柯西公式第32頁/共38頁2021-11-2433（一） 柯西公式lzfzfd)(i21)(lzzfzfd1i21)()(lzzfd)(i21llzfzfzfd)()(i21d)(i21zcl:d)()(d)()(cczzffzzffczffd1)()(max)()(max2zff0)()(maxzff定理:設(shè)f(z)是閉單通區(qū)域上的解析函數(shù),l為境界線, ,則對區(qū)域任一點(diǎn)z, ,有證明：f(z)- f()在l包圍區(qū)域上解析,Cauchy定理推論3,可任意小，則該結(jié)果與無關(guān)，f(z)解析，則必定連續(xù)，當(dāng)0時，注意1)該公式亦適用于復(fù)通域，l 理解為所有境界線，積分沿境界線的約定正向； 2)應(yīng)用該公式時，要切記適用條件.，證畢.(積分沿約定正向）z lCP36：例1第33頁/共38頁2021-11-2434（二） 柯西公式的推論lnnzfnzfd)()(i2!)(1)(1.導(dǎo)數(shù)公式證明從略(P37