對高考應用題的回顧、預測與建議

1、對高考應用題的回顧、預測與建議大瀝高級中學數(shù)學備課組 陳 建 中 對高考應用題的歷史回顧從1977年恢復全國統(tǒng)一高考到1993年間,數(shù)學應用題也常出現(xiàn)在高考試題中,只是沒有形成制度,時考(如79、80、88、93等)時不考(如78、87、89等).即使考應用題,力度也遠遠不夠.進入九十年代以來,隨著“由應試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)軌”的呼聲不斷高漲,一些教育專家、學者對高考命題改革進行了深入的思考,并提出了一些建設(shè)性的意見,得到了有關(guān)方面的廣泛的認可和支持,并被采納.從95年至今,已連續(xù)四年在高考試題中出現(xiàn)了10至12分的數(shù)學應用(解答)題.在今后的高考中,數(shù)學應用題的考查力度在保持穩(wěn)定的基礎(chǔ)上,將會

2、逐步加強,這是時代的需要,是歷史的必然.筆者對95至98四年的高考應用題加以對比分析,形成拙見如下:首先請看95至98四年高考應用(解答)題的基本情況表:年度題號情境數(shù)學模型主要解題障礙難度9524市場經(jīng)濟問題函數(shù)、不等式解不等式(組)0.389623人口土地問題方程、不等式建模、近似計算0.319722汽車運費問題函數(shù)、最小值求最小值0.539822污水處理問題函數(shù)、最小值建模、求最小值0.45為便于敘述,我們用JMNL表示建模能力,用JMNLD表示考查建模能力的力度,用CSNL表示常規(guī)的數(shù)學能力和思想方法,用CSNLD表示考查常規(guī)的數(shù)學能力和思想方法的力度.1.1定位合理從上表不難看出,應

3、用題定位在中檔題上,并從95年的(24)題移至97年,98年的(22)題,根據(jù)目前考生的數(shù)學應用意識和能力,這一定位是切合實際的、合理的.特別是95年、96年的應用題難度過大,國家考試中心本著“適當控制難度”的原則,進行了及時調(diào)整,使97年、98年應用題的難度降了下來,這是實事求是的明智之舉.1.2考題背景貼近生活近四年高考應用題的情境,都是當前社會面臨的熱點問題和具有重大現(xiàn)實意義的問題,非常貼近百姓的日常生活,沒有牽強、硬扯的痕跡,使考生感到親切、自然又身臨其境.1.3對于JMNL的要求比較適中近四年的高考應用題基本上體現(xiàn)了重點考查JMNL的目的,但對于JMNL的要求并不過高,比較切合考生的

4、實際.95年、97年試題(均指應用解答題,下同)多數(shù)考生都能完成建模.98年試題對JMNL要求有所提高,但把握得恰到好處.只有96年試題對JMNL要求過高.1.4美中不足1考查JMNL不夠突出考查JMNL不夠突出主要表現(xiàn)在:第一,對JMNL要求偏低,如95年、97年試題.考慮到第一年考應用(解答)題,對JMNL要求放低,以求在穩(wěn)定中逐步加強,因而對于95年試題JMNL要求較低是可以理解的,但是,對于97年試題JMNL的過低要求卻多少有些令人感到茫然.既使是為了“適當控制難度”,是否就一定以過于降低JMNL的要求為代價呢?實事求是地說,作為一道普通的數(shù)學題目,這無疑是一道好題,但是,作為應用題考

5、查考生JMNL,筆者以為這是強其所難了.第二,JMNLD與CSNLD比例失調(diào),甚至CSNLD遠遠大于JMNLD,“建?！背蔀榈囊还P而被一帶而過,因而應用題形同虛設(shè).2對于CSNL要求過高95年、96年試題難度分別為0.38和0.31,偏難.97年試題難度雖然達到了0.53,但這是得益于對JMNL的要求過低.應用題難度大,主要原因是對于CSNL的要求過高.如95年試題的解方程、解不等式,96年試題的近似計算,97年試題的求最小值,這些都不低于甚至遠遠超出了對JMNL的要求,有喧賓奪主之嫌.特別是97年試題的求最小值,需要分類討論,并且當ab>c時,涉及了函數(shù)y=s(av+bv)在(0,

6、ab上的單調(diào)性,或當0<vc<ab時,證明不等式s(av+bv)s(ac+bc).可見,僅就這一問題便可至少占其“半壁江山”了.實際上把應用題“一般化”了,與其它試題混為一談,難以發(fā)揮出應用題特有的功能,因而也就失去了考應用題的意義了.2對高考應用題的前景預測與建議2.1保持穩(wěn)定循序漸進雖然高考命題范圍已經(jīng)作了調(diào)整,但在近幾年內(nèi),特別是近兩年內(nèi),高考試題還將基本保持穩(wěn)定.解答題中的應用題,還將穩(wěn)定在序號為(22)號左右的位置和10至12分的力度上.進入21世紀,隨著教育改革的不斷深入和新教材的使用,無論高考采取何種模式,應用題的考查力度都會逐步加大,這是不可逆轉(zhuǎn)的必然趨勢.美國頗具

7、影響的GRE(GraduateRecordExamination)測試(攻讀學位的留學生,無論學文學理都必須通過GRE考試)的數(shù)學試題中,應用題占25,一卷多(應用)題,易、中、難齊全.情境除了傳統(tǒng)的路程問題、工程問題、濃度問題等等以外,幾乎涉及現(xiàn)代生活的各個方面.如人口問題、工資問題、犯罪問題、法律事務(wù)、貨幣換算、學校經(jīng)費、就業(yè)與失業(yè)、廣告與稅款、利息與折扣等等.我國的數(shù)學教育要適應時代的需要,要與國際數(shù)學教育接軌,不會照搬外國的模式,但是,國外的成功經(jīng)驗和優(yōu)秀成果值得我們借鑒.2.2突出JMNL從總體上看,四年來高考應用題的現(xiàn)狀是JMNLDCSNLD,而且二者比例失調(diào),給人以頭過輕腳過重的

8、感覺.98年試題大有改觀,JMNLD與CSNLD接近,比例比較和諧.今后兩年的高考將會穩(wěn)定在98年試題這個相對力度上,且會更突出JMNL.而對于CSNL的考查完全可以在其余的130多分的試題中得以充分的體現(xiàn).進入21世紀以后,應用題的數(shù)量和分值都將會逐步增加,高、中、低檔題目逐漸齊全,JMNLDCSNLD型與JMNLDCSNLD型將同卷共存.但從總體上講將趨向于JMNLD=CSNLD,不排除應用題作為壓軸的可能.2.3建模條件具有適度的隱蔽性應用題建模條件具有適度的隱蔽性是考查學生建模能力的一個重要方面.96年試題雖然給出了“糧食單產(chǎn)”和“人均糧食占有量”的計算提示,但是,建模條件的隱蔽性仍顯

9、過強,而97年試題建模條件的隱蔽性過弱,因而都沒有充分發(fā)揮應用題特有的功能.今后高考應用題的命題將會充分注意建模條件要具有適度的隱蔽性.例1以汽船拖載重相等的小船若干只,在兩港之間來回運送貨物.已知每只汽船拖4只小船一日能往返16次,每只汽船拖7只小船則一日能往返10次,如果小船增多的只數(shù)與往返減少的次數(shù)成正比,問每日往返多少次,每只汽船拖多少只小船能使運貨總量達到最大?解設(shè)每只汽船拖m只小船時,每日能往返n次,每次每只小船載重量為t,日運貨總量為W.則小船增加的只數(shù)為m-4,每日往返減少的次數(shù)為16-n,依題意有m-4=k(16-n),且當m=7時,n=10,易得k=12,故有n=24-2m

10、(0<m<12),W=n.mt=2(12-m)mt72t.當且僅當m=6時取等號,此時n=12.故每日往返12次,每次拖6只小船能使運貨總量最大.本題建模涉及的數(shù)量較多,且它們之間的關(guān)系具有一定的隱蔽性,因而需要有較強的建模能力,才能完成建模.但從建模的過程看,難度并不大.因此,本題建模條件具有適度的隱蔽性.2.4所給材料具有原始性人們在日常生活和社會活動中所遇到的問題,一般都具有“原始性”,需要自己去觀察、分析、整理和發(fā)現(xiàn)解決問題的有效因素,這本身就是一種能力的體現(xiàn).高考應用題也可以提供原始材料,要求考生解答某些(個)問題,這樣更能體現(xiàn)“應用”的特點.例2據(jù)經(jīng)濟日報1995年8月

11、24日報道,記者采訪建設(shè)部部長候捷,談工薪階層購房問題,候部長說“造價每平方米1000元左右,還可以采取個人購房抵押貸款的方式,解決一次性付款有困難的問題,比如首先支付40的房款,剩下的分10年還清”.請根據(jù)上面提供的材料解答下面的問題:若職工小李將全部積蓄的本息13334元恰好付掉了40的購房款,其余部分向銀行貸款支付.(1)小李應向銀行貸款多少元(保留三位有效數(shù)字)?(2)若購房貸款年利率為10,按復利計算,這筆貸款需從貸款之日起,每年等額歸還一次,問小李每年應還多少元(精確到1元)?解(1)由題意得,小李的這筆貸款額為13334÷40-13334=2000120000(元).(

12、2)設(shè)小李每年應歸還x元,由題設(shè)知需10年還清,因而由題意有,一年后貸款余額為20000(1+10)-x,二年后貸款余額為20000(1+10)-x(1+10)-x=20000(1+10)2-x1+(1+10),十年后貸款余額為20000(1+10)10-x1+(1+10)+(1+10)2+(1+10)9=0.解得x=20000×0.1×1.1101.110-13261(元).即每年應歸還3261元.來自廣播電視、報刊雜志的信息以及政府機關(guān)、企事業(yè)單位的報告、計劃、統(tǒng)計資料等等,都是應用題原始資料的重要來源.2.5一題多模一題多模是突出JMNL的一種有效途徑.95年試題就是

13、一題雙模,即(1)建立政府補貼函數(shù),(2)建立平衡價格不等式.請再看一例: 例3在對口扶貧活動中,為了盡快脫貧(無債務(wù))致富,企業(yè)甲將經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型殘疾人企業(yè)乙,并約定從該店經(jīng)營的利潤中,首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費的開支3600元后,逐步償還轉(zhuǎn)讓費(不計息).在甲提供的資料中有:1這種消費品的進價每件14元;2該店月銷量Q(百件)與銷售價格P(元)的關(guān)系如圖;3每月需各種開支2000元(1)試問為使該店至少能夠維持職工生活,商品價格應控制在何范圍內(nèi)?(2)當商品的價格為每件多少元時,月利潤扣除職工最低生活

14、費的余額最大?并求最大余額(3)企業(yè)乙只依靠該店,最早可望在幾年后脫貧?解設(shè)該店月利潤余額為L,則由題設(shè)得L=Q(P-14)×100-3600-20001由銷量圖易得Q=-2P+50(14P20)-32P+40(20<P26)代入1式得L=(-2P+50)(P-14)×100-5600(14P20)(-32P+40)(P-14)×100-5600(20<P26).(1)當14P20時,由L0得18P20,當20<P26時,由L0得20<P22.故商品銷售價應控制在18P22的范圍內(nèi).(2)當14P20時,L最大=1800,這時P=19.5元

15、,當20<P22時,L最大=1250(元),故當P=19.5元時,月利潤余額最大為1800元.(3)設(shè)可在n年內(nèi)脫貧,依題意有12n×1800-50000-580000,解得n5.即最早可望在5年后脫貧.本題經(jīng)過了三次建模:1根據(jù)月銷量圖建立Q與P的函數(shù)關(guān)系;2建立利潤余額函數(shù);3建立脫貧不等式.2.6重視統(tǒng)計圖表“當今社會,閱讀統(tǒng)計圖表已成為人們了解社會、獲取信息的重要手段”2.然而,在國際數(shù)學測試中,我國的學生閱讀、分析圖表的能力低于韓國、臺灣、前蘇聯(lián)、美國、瑞士和加拿大等國家和地區(qū).特別是發(fā)達的國家和地區(qū),非常重視閱讀和分析統(tǒng)計圖表,這應該引起我國數(shù)學教育界和有關(guān)方面的高

16、度重視.我們相信在不遠的將來,統(tǒng)計圖表問題一定會走進中國的高考試題中,因而它也將成為我們進行應用題教學的一項新內(nèi)容.請看一例GRE試題:例4根據(jù)下圖回答問題(1)在1946年,危害國家安全罪(National-SecurityOffenses)犯大約占法院判決的聯(lián)邦囚犯的百分數(shù)是多少?(A)15(B)20(C)25(D)30(E)35(2)在1947年到1950年四年中,哪一類罪犯的總數(shù)最大?(A)危害國家安全罪(B)其它罪(OtherOffenses)(C)販賣毒品罪(Drugs)(D)非法移民罪(Immigration)(E)非法釀酒罪(Liquor)(3)下面的哪一個陳述能從圖中推測出來

17、? .法院判決的聯(lián)邦罪犯數(shù)從1946年到1948年是逐年遞減的. .19441952年間的其它罪的數(shù)目超過了犯罪數(shù)的40. .1952年因販賣毒品罪被判刑的罪犯數(shù)是聯(lián)邦囚犯的2.(A)僅僅是 (B)僅僅是 (C)僅是 和 (D)僅是 和 (E) 、 、 全是在GRE數(shù)學試題中,統(tǒng)計圖表問題約占20,美國數(shù)學教育重視統(tǒng)計圖表的程度,由此可見一斑.3對應用題的教學建議具有一定的應用數(shù)學的意識和能力,是現(xiàn)代人綜合素質(zhì)的一個重要方面,也將是在新世紀的激烈競爭中人們賴以生存的本領(lǐng)之一.因此,培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識和能力,使學生“學會數(shù)學地思維”是時代賦予我們數(shù)學教師的新的歷史使命.而數(shù)學應用題的教學是實現(xiàn)這個目標的重要途徑,所以,我們要抓早、抓實、抓好應用題的教學.首先,要統(tǒng)籌安排,根據(jù)教學大綱和教材內(nèi)容,有計劃、有目的地適時切入應用題教學,切實克服應用題教學的盲目性和隨意性,要求精忌濫,不搞題海戰(zhàn)術(shù).其次,要堅持理論聯(lián)系實際的原則,經(jīng)常地、有意識地把有關(guān)的數(shù)學知識與現(xiàn)實生活聯(lián)系起來,引導學生運用數(shù)學的立場、觀點、思想和方法,去觀察和分析各種社會現(xiàn)象,從中抽象、概括、