數(shù)值積分法PPT課件

1、目錄目錄1 基本問題2 時(shí)域積分法的構(gòu)造3 Newmark法4 方法特點(diǎn)比較第1頁(yè)/共27頁(yè)1.數(shù)值算法中的基本問題 車輛運(yùn)動(dòng)方程( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )mu tcu tku tp tM u tC u tK u tp t第2頁(yè)/共27頁(yè)時(shí)域逐步積分法Step-by-step methods結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)分析的時(shí)域直接數(shù)值計(jì)算方法：（1）分段解析法；（2）中心差分法；（3）平均常加速度法；（4）線性加速度法；（5）Newmark法；（6）Wilson法時(shí)域逐步積分法是結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析問題中一個(gè)得到廣泛研究的課題，也是得到廣泛應(yīng)用的計(jì)算方法。第3頁(yè)/共27頁(yè) 因此提出時(shí)域

2、逐步積分法，即只假設(shè)在一個(gè)時(shí)間步距內(nèi)是線性的，相當(dāng)于用分段直線來逼近實(shí)際的曲線。時(shí)域逐步積分法研究的是離散時(shí)間點(diǎn)上的值，例如位移和速度為：而這種離散化正符合計(jì)算機(jī)存貯的特點(diǎn)。與運(yùn)動(dòng)變量的離散化相對(duì)應(yīng)，體系的運(yùn)動(dòng)微分方程也不一定要求在全部時(shí)間上都滿足，而僅要求在離散時(shí)間點(diǎn)上滿足，這相當(dāng)于放松了對(duì)運(yùn)動(dòng)變量的約束。( ),( ),1,2,iiiiuu tuu ti第4頁(yè)/共27頁(yè)采用等時(shí)間步長(zhǎng)離散時(shí)，體系的運(yùn)動(dòng)微分方程僅要求在離散時(shí)間點(diǎn)上滿足。 t 離散時(shí)間步長(zhǎng),1,2,3,iti ti 。經(jīng)過經(jīng)過 t時(shí)間后：時(shí)間后：( )( )( )( )mu tcu tku tp t()()()()mu ttc

3、u ttku ttp tt第5頁(yè)/共27頁(yè)收斂性當(dāng)t0時(shí)，數(shù)值解是否收斂于精確解計(jì)算精度截?cái)嗾`差與時(shí)間步長(zhǎng)t的關(guān)系，若誤差 O(tn)，則稱方法具有n階精度穩(wěn)定性隨時(shí)間步數(shù)i的增大，數(shù)值解是否變得無(wú)窮大計(jì)算效率所花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間算法評(píng)價(jià)準(zhǔn)則算法評(píng)價(jià)準(zhǔn)則第6頁(yè)/共27頁(yè)根據(jù)是否需要聯(lián)立求解耦聯(lián)方程組，逐步積分法可分為兩大類： 隱式方法逐步積分計(jì)算公式是偶聯(lián)的方程組，需聯(lián)立求解，計(jì)算工作量大，通常增加的工作量與自由度的平方成正比，例如Newmark-法、Wilson-法。 顯式方法逐步積分計(jì)算公式是解偶的方程組，無(wú)需聯(lián)立求解，計(jì)算工作量小，增加的工作量與自由度成線性關(guān)系，如中心差分方法（無(wú)阻尼時(shí)）。

4、第7頁(yè)/共27頁(yè)2.一般時(shí)域逐步積分法的構(gòu)造時(shí)域逐步積分方法是構(gòu)造出根據(jù)某一時(shí)刻及其以前時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)，推算下一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的遞推計(jì)算公式。 具體情況可表述為，設(shè)體系在ti及ti以前時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)已知，求ti1時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)（tiit）。 體系在ti1時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)包括：位移、速度和加速度，需要有三個(gè)方程（條件）求這三個(gè)量。因此，除體系的運(yùn)動(dòng)方程外，還需補(bǔ)充兩個(gè)方程（條件） 。第8頁(yè)/共27頁(yè)兩個(gè)補(bǔ)充方程可以通過對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的假設(shè)得到。 例如可以假設(shè)在t i和t i1時(shí)刻，即t時(shí)間段內(nèi)，體系的加速度為常數(shù)a，則積分(不定積分)得到體系的速度和位移為：其中，為由ti時(shí)刻起算的局部時(shí)間坐標(biāo)，c1和c2為積分常數(shù)。1(

5、)uac2121( )2uacc第9頁(yè)/共27頁(yè)積分常數(shù)c1和c2可由 0時(shí)的初值條件確定： 最后得： 當(dāng) t ，即t t i1時(shí)刻，體系得運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為：1( )uac2121( )2uacc(0)|,(0)it tiiuuuuu( )iuau21( )2iiuauu1iiua tu 2112iiiua tutu 第10頁(yè)/共27頁(yè)假設(shè)：t i和t i1時(shí)間段內(nèi)的常加速度a=(i+1+i)/2，則得到：再加上t i1時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程：可以求得t i1時(shí)刻的位移、速度和加速度。1iiua tu 2112iiiua tutu 11()2iiiituuuu211()4iiiiituuuutu 1111i

6、iiimucukup第11頁(yè)/共27頁(yè)以上方法也稱為平均加速度法，即假設(shè)加速度為t i和t i1時(shí)間段內(nèi)的平均值： 也可以假設(shè)加速度a為其它形式的變化規(guī)律，例如為線性變化： 則采用同樣的分析步驟可以得到線性加速度法的時(shí)域逐步積分公式。11()2iiauu1()iiiauuut第12頁(yè)/共27頁(yè)3. Newmark-法 Newmark-同樣將時(shí)間離散化，運(yùn)動(dòng)方程僅要求在離散的時(shí)間點(diǎn)上滿足。假設(shè)在ti時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)均已求得, 然后計(jì)算 ti+1時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)。它是通過對(duì)加速度的假設(shè)，以ti時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)量為初始值，通過積分得到計(jì)算ti+1時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)公式。與平均加速度法和線性加速度法不同的是，它用不同的加速度假

7、設(shè)條件給出速度和位移的計(jì)算公式。第13頁(yè)/共27頁(yè) Newmark-法假設(shè)在時(shí)間段ti，ti+1內(nèi)，加速度為一常量，記為a，經(jīng)過簡(jiǎn)單積分計(jì)算可以得到速度、位移與a之間的關(guān)系式(為得到穩(wěn)定和高精度的算法，a同時(shí)由兩個(gè)控制參數(shù)表示)：第14頁(yè)/共27頁(yè)tauuii111)1 (iiiiu tu tuu 2112iiiuutut a22111()2iiiiiuutut ut u 得到ti+1時(shí)刻的速度和位移：得到Newmark-法的兩個(gè)基本遞推公式：第15頁(yè)/共27頁(yè)tuuuutuuutuutuiiiiiiiiii )21 ()1 ()() 121(1)(1111211111iiiipkuucum

8、11)1 (iiiiu tu tuu 22111()2iiiiiuutut ut u 解這兩個(gè)遞推公式，可以得到如下ti+1時(shí)刻的速度和加速度的計(jì)算公式：由計(jì)算公式給出的運(yùn)動(dòng)滿足ti+1時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)控制方程：第16頁(yè)/共27頁(yè)11iikup11211111()(1)2()(1)(1)2iiiiiiiiiiuuuuuttuuuuutt21kkmctt112111(1) 2(1)(2) 2iiiiiiiippuuu mtttuuu ct其中：將計(jì)算公式代入運(yùn)動(dòng)方程得到位移ui+1的計(jì)算公式：第17頁(yè)/共27頁(yè)多自由度體系Newmark-法的逐步積分公式 11iiKup 1121111211112ii

9、iiiiiiiiuuuututuuuuutt 21KKMCtt 21111112122iiiiiiiippMuuutttCuuut第18頁(yè)/共27頁(yè)第19頁(yè)/共27頁(yè)2.對(duì)每個(gè)時(shí)間步的計(jì)算： （1）計(jì)算t+t 時(shí)刻的有效荷載： )()(541320ttttttttttuuuCuuuMFF aaaaaa （2）求解t+t 時(shí)刻的位移： ttttFuK （3）計(jì)算t+t 時(shí)刻的速度和加速度： tttttttuuuuu)(320 aaa ttttttuuuuaa76 第20頁(yè)/共27頁(yè) 在Newmark-法中，控制參數(shù)和的取值影響著算法的精度和穩(wěn)定性，可以證明，只有當(dāng)取1/2時(shí)，這個(gè)方法才具有二階精

10、度，因此一般均取： =1/2, 01/4 Newmark-法的穩(wěn)定性條件： 當(dāng)=1/2, =1/4時(shí)，t，即成為無(wú)條件穩(wěn)定的。1122ntT 第21頁(yè)/共27頁(yè) Newmark-方法是一種無(wú)條件穩(wěn)定的隱式積分格式，時(shí)間步長(zhǎng)t的大小不影響解的穩(wěn)定性，t的選擇主要根據(jù)解的精度確定。通過對(duì)Newmark-法中控制參數(shù)取不同的值也可以得到其它時(shí)域逐步積分方法。下表給出了取不同值時(shí)Newmark-法所對(duì)應(yīng)的逐步積分法。參數(shù)取值 對(duì)應(yīng)的逐步積分法 穩(wěn)定性條件 41,21 平均常加速度法 無(wú)條件穩(wěn)定 61,21 線性加速度法 nnTTt551. 03 0,21 等效中心差分法 nTt1 第22頁(yè)/共27頁(yè) 在 動(dòng) 力 問 題 研 究 中 ， 常 采 用 = 1 / 2 ，=1/4的所謂無(wú)條件穩(wěn)定的Newmark法，實(shí)際上就是平均（常）加速度方法。Newmark-法為單步法，即體系每一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的計(jì)算僅與上一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)有關(guān)，不需要格外處理計(jì)算的“起步”問題，屬于自起步方法。 第23頁(yè)/共27頁(yè)新型預(yù)測(cè)新型預(yù)測(cè)-校正積分法校正積分法預(yù)測(cè)計(jì)算校正計(jì)算第24頁(yè)/共27頁(yè)4.幾種方法的特點(diǎn)比較Newmark-法，特別是=1