中考數(shù)學(xué)壓軸題之平行四邊形的存在性問(wèn)題

1、平行四邊形的存在性問(wèn)題專題攻略解平行四邊形的存在性問(wèn)題一般分三步：第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步畫圖，第三步計(jì)算.難點(diǎn)在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)尋找的恰當(dāng)，可以使解的個(gè)數(shù)不重復(fù)不遺 漏，也可以使計(jì)算又好又快.如果已知三個(gè)定點(diǎn)，探尋平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，符合條件的有 3個(gè)點(diǎn): 以已知三個(gè)定點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，過(guò)每個(gè)點(diǎn)畫對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交， 產(chǎn)生3個(gè)交點(diǎn).如果已知兩個(gè)定點(diǎn)，一般是把確定的一條線段按邊或?qū)蔷€分為兩種情況.根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，運(yùn)用坐標(biāo)平移，可以使得計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)便.根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱的性質(zhì)，靈活運(yùn)用坐標(biāo)對(duì)稱，可以使得解題簡(jiǎn)便.例題解析例？如圖1-1,在平面直角坐

2、標(biāo)系中，已 知拋物線y=x22x + 3與x軸交于A、B兩 點(diǎn)(A在B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為 P,如果以點(diǎn)P、A、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平 行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo).廣圖1-1【解析】P、A、C三點(diǎn)是確定的，過(guò)APAC的三個(gè)頂點(diǎn)分別畫對(duì)邊的平行 線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)符合條件的點(diǎn)D (如圖1-2).由 y=x2 2x+ 3= (x+1)2 + 4,得 A(3,0), C(0, 3), P(1,4).由于 A(3,0)右3一 卜 3 C(0, 3),所以 P(1,4)右3 卜 3 D1(2, 7).由于 C(0, 3)下3一 片3 A(-3,0),所以 P(1,4)下3 左3 D

3、2(4, 1).由于 P(1,4)方 1, N1 C(0, 3),所以 A(3,0)方 1, F1 D3( 2, -1).我們看到，用坐標(biāo)平移的方法，遠(yuǎn)比用解析式構(gòu)造方程組求交點(diǎn)方便多了.例？如圖2-1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2+2x+ 3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在這條拋物線上，點(diǎn) P在y軸上，如果以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn) M的坐標(biāo).-10 -【解析】在尸、M、A、B四個(gè)點(diǎn)中，A、B是確定的，以AB為分類標(biāo)準(zhǔn).由 y=x2+2x+3= (x+ 1)(x 3),得 A( 1, 0), B(3, 0).如圖2-2,當(dāng)AB是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，PM與AB互

4、相平分，因此點(diǎn) M與點(diǎn)P關(guān)于AB的中點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2.此時(shí)M(2, 3).如圖2-3,圖2-4,當(dāng)AB是平行四邊形的邊時(shí)，PM/AB, PM = AB=4.所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4或一4.所以M (4, 5)或(一4,21).我們看到，因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)是確定的，在解圖2-2時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性先確定 了點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；在解圖2-3和圖2-4時(shí)，根據(jù)平移先確定了點(diǎn) M的橫坐標(biāo).例？如圖3-1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y= x+4與x軸交于點(diǎn)A,與 y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)C在直線AB上，在平面直角坐標(biāo)系中求.一點(diǎn)D,使得以O(shè)、 A、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.【解析】由V= -x + 4,得A

5、(4, 0),直線AB與坐標(biāo)軸的夾角為45°.在O、A、C、D四個(gè)點(diǎn)中，O、A是確定的，以線段OA為分類標(biāo)準(zhǔn).如圖3-2,如果OA是菱形的對(duì)角線，那么點(diǎn) C在OA的垂直平分線上，點(diǎn) C(2,2)關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-2).如果OA是菱形的邊，那么又存在兩種情況：如圖3-3,以。為圓心，OA為半徑的圓與直線AB的交點(diǎn)恰好為點(diǎn)B(0, 4), 那么正方形AOCD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4, 4).如圖3-4,以A為圓心，AO為半徑的圓與直線AB有兩個(gè)交點(diǎn)C(4 2J2, 20)和C'(4 2&，2歷，點(diǎn)C和C'向左平移4個(gè)單位得到點(diǎn)D( 2衣,2衣)和D&#

6、39;（2V2, 2應(yīng)）.圖4-2圖4-3例？如圖4-1,已知拋物線y -x2 !6x與x軸 33的負(fù)半軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)N在拋 物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的 點(diǎn)M、N,使得以M、N、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是平 行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；若不存在， 請(qǐng)說(shuō)明理由.圖4-1【解析】C( 4,0)、E(0,3)兩點(diǎn)是確定的，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)一2也是確定的.以CE為分類標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論平行四邊形：如圖4-2,當(dāng)CE為平行四邊形的邊時(shí)，由于C、E兩點(diǎn)間的水平距離為4, 所以M、N兩點(diǎn)間的水平距離也為4,因此點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為一6或2.將乂= 6和x= 2分別代

7、入拋物線的解析式，得 M( 6,16)或(2, 16).如圖4-3,當(dāng)CE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，M為拋物線的頂點(diǎn)，所以M ( 2, 16).3例？如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2-2ax- 3a (av0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn) B的左側(cè))，點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)， 直線 AD與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,且CD = 4AC.設(shè)P是拋 物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、 P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】由 y = ax2-2ax- 3a= a(x+1)(x3),得 A( 1,0).由 CD = 4AC

8、,得 xd=4.所以 D(4, 5a).已知A(1,0)、D(4, 5a), xp=1,以AD為分類標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論：如圖5-2,如果AD為矩形的邊，我們根據(jù) AD/QP, AD = QP來(lái)兩次平移坐標(biāo). 由于A、D兩點(diǎn)間的水平距離為 5,所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為一4.所以Q(-4,21a). 由于A、Q兩點(diǎn)間的豎直距離為一5a,所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為26a.所以P(1,26a). 根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，得AP2=QD2.所以22+(26a)2=82+(16a)2.整理，得7a2=1.所以a 旦.此時(shí)p(1型7). 77如圖5-3,如果AD為矩形的對(duì)角線，我們根據(jù) AP/QD, AP=QD來(lái)兩次平移

9、坐 標(biāo).由于A、P兩點(diǎn)間的水平距離為2,所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2.所以Q(2,-3a).由于Q、D兩點(diǎn)間的豎直距離為一8a,所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為8a.所以P(1,8a).再根據(jù) AD2=PQ2,得 52+(5a)2=12+(11a)2.整理，得4a2=1.所以a -.此時(shí)P(1, 4).2我們從圖形中可以看到， 像 勾股圖”那樣構(gòu)造矩形的外接矩形，使得外接矩形的邊與坐標(biāo)軸平行，那么線段的等量關(guān)系就可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)間的關(guān)系.上面我們根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”列方程，還可以根據(jù)定義有一個(gè) 角是直角的平行四邊形叫矩形”來(lái)列方程.如圖5-2,如果/ ADP = 90°,那么-MA- ND；如

10、圖5-3,如果/ QAP=90°,那么 MD NP圖5-2圖5-3GQ KA例？如圖6-1,將拋物線C1： y 由X 曲沿X軸翻折，得到拋物線C2.現(xiàn)將拋物線C1向左L平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為 M, 與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為 A、B;將拋物線C2向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平 移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為 N,與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為 D、E.在平移過(guò)程中，是否存在以點(diǎn) A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請(qǐng) 求出此時(shí)m的值；【解析】沒有人能精確畫好拋物線，又怎么平移拋物線呢？我們?nèi)未嬲妫?將A、B、D、E、M、N六個(gè)點(diǎn)及它們的坐標(biāo)在圖中都標(biāo)注出來(lái)(如

11、圖 6-2),如 果您看到了 4MAB和4NED是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，那么平移就簡(jiǎn)單了.如圖6-3,在兩個(gè)等邊三角形平移的過(guò)程中，AM與EN保持平行且相等，所 以四邊形ANEM保持平行四邊形的形狀，點(diǎn) O為對(duì)稱中心.【解法一】如果/ ANE=90°,根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊.的一半， 可得 AE = 2EN=4.而 AE = AO+OE = 2AO,所以 AO=2.已知 AB=2,止匕時(shí) B、 。重合(如圖6-4),所以m=BO=1.【解法三】在平移的過(guò)程中，A( 1 m,0)、B(1 m,0) , M( m,V3),根據(jù)OA2=OM 2 列方程(1 + m)2

12、= m2+3.解得 m=1.圖6-2圖6-3圖6-4【解法二】如果對(duì)角線 MN = AE,那么OM = OA,此時(shí)AMAO是等邊三角 形.所以等邊三角形 MAB與AMAO重合.因此B、O重合，m= BO= 1.例？如圖7-1,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4, / B=60°,的中點(diǎn)，E、G分別在AD、BC上，且AE = CG.(1)求證四邊形EFGH是平行四邊形；(2)當(dāng)四邊形EFGH是矩形時(shí)，求AE的長(zhǎng);(3)當(dāng)四邊形EFGH是菱形時(shí)，求AE的長(zhǎng).F、H分另I是AB、CD圖7-1【解析】(1)證明三角形全等得EF = GH和FG = HE大家最熟練了.(2)平行四邊形EFGH的對(duì)角線FH

13、= 4是確定的，當(dāng)EG=FH=4時(shí)，四 邊形EFGH是矩形.以FH為直徑畫圓，你看看，這個(gè)圓與 AD有幾個(gè)交點(diǎn)，在哪里？如圖7-2.如圖7-3,當(dāng)E為AD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABGE和四邊形DCGE都是平行四 邊形.如圖7-4,當(dāng)E與A重合時(shí)，4ABG與4DCE都是等邊三角形.(3)如果平行四邊形EFGH的對(duì)角線EG與FH互相垂直，那么四邊形EFGH TH笑一形.過(guò)FH的中點(diǎn)。畫FH的垂線，EG就產(chǎn)生了.在 RtzXAOE 中，/OAE = 60°, AO = 2,止匕時(shí) AE=1.圖7-2圖7-3圖7-4圖7-5又一次說(shuō)明了如果會(huì)畫圖，答案就在圖形中.例？如圖8-1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(4, 0)、B(0, 3),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0, m),過(guò)點(diǎn)C作CELAB于點(diǎn)E,點(diǎn)D為x軸正半 軸的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足OD = 2OC,連結(jié)DE,以DE、DA為邊作平行四邊形DEFA.(1)如果平行四邊形DEFA為矩形，求m的值；(2)如果平行四邊形DEFA為菱形，請(qǐng)直接寫出m的值.【解析】這道題目我們著重講解怎樣畫示