2022年精品高中函數(shù)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)總結(jié),推薦文檔2

1、第二章函數(shù)一、 函數(shù)的概念與表示1、映射（1）映射：設(shè) a、b 是兩個(gè)集合，如果按照某種映射法則f，對(duì)于集合a 中的任一個(gè)元素，在集合b 中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，則這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合a、b 以及 a 到 b 的對(duì)應(yīng)法則f）叫做集合a 到集合 b的映射，記作f：ab。（2）象與原象：如果給定一個(gè)從集合a 到集合 b 的映射，那么集合a 中的元素 a 對(duì)應(yīng)的 b 中的元素 b 叫做 a 的象， a 叫做 b 的原象。注意點(diǎn)：（1）對(duì)映射定義的理解。 （2）判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是映射的方法。2、函數(shù)（1）函數(shù)的定義原始定義：設(shè)在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y，如果對(duì)于x 在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，y

2、都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就稱y 是 x 的函數(shù)， x 叫作自變量。近代定義：設(shè)a、b 都是非空的數(shù)的集合，f：xy 是從 a 到 b 的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，那么從a 到 b 的映射 f：ab 就叫做函數(shù)，記作y=f(x) ，其中byax,，原象集合a 叫做函數(shù)的定義域，象集合c叫做函數(shù)的值域。bc（2）構(gòu)成函數(shù)概念的三要素定義域?qū)?yīng)法則值域3、函數(shù)的表示方法解析法列表法圖象法注意：強(qiáng)調(diào)分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的表示形式。二、函數(shù)的解析式與定義域1、函數(shù)解析式：函數(shù)的解析式就是用數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)和括號(hào)把數(shù)和表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫解析式，解析式亦稱“解析表達(dá)式”或“表達(dá)式”，簡(jiǎn)稱“式”。 （注意分段函

3、數(shù)）求函數(shù)解析式的方法：（1）定義法（2）變量代換法（3）待定系數(shù)法（4）函數(shù)方程法（5）參數(shù)法（6）實(shí)際問(wèn)題2、函數(shù)的定義域：要使函數(shù)有意義的自變量x 的取值的集合。求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義；（3）對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；（4）指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1；如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算而得到的，那么它的定義域是由各基本函數(shù)定義域的交集。3。復(fù)合函數(shù)定義域：已知f(x)的定義域?yàn)閎ax,其復(fù)合函數(shù))(xgf的定義域應(yīng)由不等式bxga)(解出。三、函數(shù)的值域1函數(shù)的值域的定義在函數(shù) y=f(x)

4、 中，與自變量x 的值對(duì)應(yīng)的y 的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - -2確定函數(shù)的值域的原則當(dāng)函數(shù) y=f(x)用表格給出時(shí)，函數(shù)的值域是指表格中實(shí)數(shù)y 的集合；當(dāng)函數(shù) y=f(x)用圖象給出時(shí)，函數(shù)的值域是指圖象在y 軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)y 的集合；當(dāng)函數(shù) y=f(x)用解析式給出時(shí)，函數(shù)的值域由

5、函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定；當(dāng)函數(shù) y=f(x)由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，函數(shù)的值域由問(wèn)題的實(shí)際意義確定。3求函數(shù)值域的方法直接法：從自變量x 的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍；二次函數(shù)法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域；反函數(shù)法：將求函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求它的反函數(shù)的值域；判別式法：運(yùn)用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y 的取值范圍；單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域；不等式法：利用不等式的性質(zhì)求值域；圖象法：當(dāng)一個(gè)函數(shù)圖象可作時(shí)，通過(guò)圖象可求其值域；幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域。四 函數(shù)的奇偶性1定義 :設(shè) y=f(x) ，xa， 如果對(duì)于任意xa，都有()( )fxf x

6、，則稱 y=f(x) 為偶函數(shù)。 設(shè) y=f(x) ，xa，如果對(duì)于任意xa，都有()( )fxf x，則稱 y=f(x) 為奇函數(shù)。如果函數(shù)( )f x是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則稱函數(shù)y=( )f x具有奇偶性。2.性質(zhì) ：函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，y=f(x) 是偶函數(shù)y=f(x) 的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 ,y=f(x) 是奇函數(shù)y=f(x) 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 偶函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)無(wú)反函數(shù)，奇函數(shù)的反函數(shù)還是奇函數(shù)，若函數(shù) f(x) 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則它可表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶

7、函數(shù)之和)()(21)()(21)(xfxfxfxfxf奇 奇=奇偶 偶=偶奇 奇=偶偶 偶=偶奇 偶=奇兩函數(shù)的定義域 d1，d2，d1d2要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 對(duì)于 f(x)=fg(x):若 g(x)是偶函數(shù)，則 f(x)是偶函數(shù)若 g(x)是奇函數(shù)且 f(x)是奇函數(shù)，則 f(x)是奇函數(shù)若 g(x)是奇函數(shù)且 f(x)是偶函數(shù)，則 f(x)是偶函數(shù)3奇偶性的判斷看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱看 f(x)與 f(-x)的關(guān)系五、函數(shù)的單調(diào)性1、函數(shù)單調(diào)性的定義；2、判斷函數(shù)單調(diào)性（求單調(diào)區(qū)間）的方法：（1）從定義入手， （2）從圖象入手， （3）從函數(shù)運(yùn)算入手， （4）從熟悉的函數(shù)入手（5）從復(fù)合函

8、數(shù)的單調(diào)性規(guī)律入手注：函數(shù)的定義域優(yōu)先精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - -3、函數(shù)單調(diào)性的證明：定義法“取值作差變形定號(hào)結(jié)論”。4、一般規(guī)律（1）若 f(x),g(x) 均為增函數(shù)，則f(x)+g(x) 仍為增函數(shù)；（2）若 f(x)為增函數(shù)，則 -f(x) 為減函數(shù)；（3）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)有相同的單調(diào)性；（4）設(shè)xgfy是定義在 m 上

9、的函數(shù)，若f(x)與 g(x) 的單調(diào)性相反，則xgfy在 m 上是減函數(shù)；若 f(x) 與 g(x)的單調(diào)性相同，則xgfy在 m 上是增函數(shù)。六、反函數(shù)1、反函數(shù)的概念：設(shè)函數(shù)y=f(x) 的定義域?yàn)閍，值域?yàn)?c，由 y=f(x) 求出yx，若對(duì)于 c 中的每一個(gè)值 y， 在 a 中都有唯一的一個(gè)值和它對(duì)應(yīng)，那么yx叫以 y 為自變量的函數(shù)， 這個(gè)函數(shù)yx叫函數(shù) y=f(x) 的反函數(shù)，記作yfx1，通常情況下，一般用x 表示自變量，所以記作xfy1。注：在理解反函數(shù)的概念時(shí)應(yīng)注意下列問(wèn)題。（1）只有從定義域到值域上一一映射所確定的函數(shù)才有反函數(shù)；（2）反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的

10、值域和定義域；2、求反函數(shù)的步驟（1）解關(guān)于 x 的方程 y=f(x) ，達(dá)到以 y 表示 x 的目的；（2）把第一步得到的式子中的x 換成 y，y 換成 x；（3）求出并說(shuō)明反函數(shù)的定義域（即函數(shù)y=f(x) 的值域）。3、關(guān)于反函數(shù)的性質(zhì)（1）y=f(x) 和 y=f-1(x) 的圖象關(guān)于直線y=x 對(duì)稱；（2）y=f(x) 和 y=f-1(x) 具有相同的單調(diào)性；（3）y=f(x) 和 x=f-1(y) 互為反函數(shù)，但對(duì)同一坐標(biāo)系下它們的圖象相同；（4）已知 y=f(x) ，求 f-1(a)，可利用 f(x)=a，從中求出x，即是 f-1(a)；（5）f-1f(x)=x; （6）若點(diǎn) p

11、(a,b)在 y=f(x) 的圖象上，又在y=f-1(x)的圖象上，則p(b,a)在 y=f(x) 的圖象上；（7）證明 y=f(x) 的圖象關(guān)于直線y=x 對(duì)稱，只需證得y=f(x) 反函數(shù)和 y=f(x) 相同；七二次函數(shù)1二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式： f(x)=ax2+bx+c(a0)，其中 a 是開口方向與大小，c 是 y 軸上的截距，而ab2是對(duì)稱軸。(2)頂點(diǎn)式（配方式） ：f(x)=a(x-h)2+k 其中 (h,k)是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)。(3)兩根式（因式分解） ：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中 x1,x2是拋物線與x 軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)。求一個(gè)二次函數(shù)的解析

12、式需三個(gè)獨(dú)立條件，如：已知拋物線過(guò)三點(diǎn)，已知對(duì)稱軸和兩點(diǎn)，已知頂點(diǎn)和對(duì)稱軸。又如，已知f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程 f(x)-x=0 的兩根為21,xx，則可設(shè)f(x)-x=,21xxxxaxxf或xxxxxaxf21。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - -2二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a 0)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸ab

13、x2，頂點(diǎn)坐標(biāo))44,2(2abacab（1）a0 時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在2,(ab上單調(diào)遞減，在),2ab上單調(diào)遞增，abx2時(shí)，abacxf44)(2m in（2）a0) =b2-4ac ax2+bx+c=0 (a0) ax2+bx+c0 (a0) ax2+bx+c0) 圖象與解0 abxabx222121xxxxx或21xxxx=0 abxx2210 xxx0,a0,m0,n0 (4)對(duì)數(shù)換底公式：)10, 10,0(logloglogmmaanannmma且且（5）對(duì)數(shù)的降冪公式：)10,0(loglogaannmnnanam且九指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1、 指數(shù)函數(shù) y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)

14、y=logax (a0 , a1)互為反函數(shù)，從概念、圖象、性質(zhì)去理解它們的區(qū)別和聯(lián)系名稱指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)一般形式y(tǒng)=ax (a0 且 a1) y=logax (a0 , a1) 定義域(-,+ ) (0,+ ) 值域(0,+ ) (-,+ ) 過(guò)定點(diǎn)（， 1）（1，）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - -圖象指數(shù)函數(shù) y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=l

15、ogax (a0 , a1)圖象關(guān)于 y=x 對(duì)稱單調(diào)性a1,在(-,+ )上為增函數(shù) a1,在(0,+ )上為增函數(shù) a1 ? y0? y0? 比較兩個(gè)冪值的大小，是一類易錯(cuò)題，解決這類問(wèn)題，首先要分清底數(shù)相同還是指數(shù)相同，如果底數(shù)相同，可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；指數(shù)相同，可以利用指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖象關(guān)系（對(duì)數(shù)式比較大小同理）記住下列特殊值為底數(shù)的函數(shù)圖象：3、 研究指數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題，盡量化為同底，并注意對(duì)數(shù)問(wèn)題中的定義域限制4、 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)中的絕大部分問(wèn)題是指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的復(fù)合問(wèn)題，討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是解決問(wèn)題的重要途徑。十函數(shù)的圖象1、作函數(shù)圖象的基本方法有兩種：（1）描點(diǎn)法： 1、先確定函數(shù)定義域，討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性，單調(diào)性，周期性）2、列表（注意特殊點(diǎn)，如：零點(diǎn)，最大最小，與軸的交點(diǎn)）3、描點(diǎn)，連線如：作出函數(shù)xxy1的圖象（2）圖象變換法： 利用基本初等函數(shù)變換作圖平移變換：（左正右負(fù)，上正下負(fù)）即kxfyxfyhxfyxfykkhh)()()()(,0;,0,0;,0上移下移左移右移對(duì)稱變換：（對(duì)稱誰(shuí)，誰(shuí)不變，對(duì)稱原點(diǎn)都要變）)()()()()()()()()()()()(1xfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfy