2022年經(jīng)濟中的數(shù)學函數(shù)及模型

1、精品資料歡迎下載一、常用的經(jīng)濟函數(shù)1、總成本函數(shù)、總收入函數(shù)、總利潤函數(shù)總成本函數(shù) 是指在肯定時期內(nèi)，生產(chǎn)產(chǎn)品時所消耗的生產(chǎn)費用之總和；常用c 表示， 可以看作是產(chǎn)量 x 的函數(shù)，記作ccx總成本包括固定成本和可變成本兩部分，其中固定成本f 指在肯定時期內(nèi)不隨產(chǎn)量變動而支出的費用，如廠房、設備的固定費用和治理費用等；可變成本v 是指隨產(chǎn)品產(chǎn)量變動而變動的支出費用，如稅收、原材料、電力燃料等；固定成本和可變成本是相對于某一過程而言的；在短期生產(chǎn)中，固定成本是不變的，可變成本是產(chǎn)量 x 的函數(shù)，所以c xfv x ，在長期生產(chǎn)中，支出都是可變成本，此時 f0 ；實際應用中，產(chǎn)量 x 為正數(shù)，所以總

2、成本函數(shù)是產(chǎn)量x 的單調(diào)增加函數(shù)，常用以下初等函數(shù)來表示：（ 1）線性函數(shù)cabx , 其中 b0 為常數(shù) .（ 2）二次函數(shù)cabxcx2 ,其中 c0, b0 為常數(shù) .（ 3）指數(shù)函數(shù)cbeax , 其中a, b0 為常數(shù) .平均成本 ：每個單位產(chǎn)品的成本，即cxc.x總收益函數(shù) 是指生產(chǎn)者出售肯定產(chǎn)品數(shù)量（x ）所得到的全部收入，常用r 表示，即rrx其中 x 為銷售量 . 明顯，r q 0r00 ，即未出售商品時，總收益為.如已知 需求函數(shù)qq p ，就總收益的為rrqp qq1 p q平均收益 ： rrxx，如單位產(chǎn)品的銷售價格為p ，就 rp x ，且 rp .總利潤函數(shù) 是指生

3、產(chǎn)中獲得的純收入，為總收益與總成本之差，常用l 表示，即l xrxc x例某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品， 每日最多生產(chǎn) 100 個單位； 日固定成本為130 元，生產(chǎn)每一個單位產(chǎn)品的可變成本為6 元，求該廠每日的總成本函數(shù)及平均單位成本函數(shù).解設每日的總成本函數(shù)為c 及平均單位成本函數(shù)為c ，由于總成本為固定成本與可變成本之和，據(jù)題意有cc x1306 x0x100cc x130x60x100例設某商店以每件 a 元的價格出售商品，如顧客一次購買50 件以上，就超出部分每件優(yōu)惠 10%，試將一次成交的銷售收入r表示為銷售量x 的函數(shù)；解由題意，一次售出50 件以內(nèi)的收入為 rax 元，而售出 50 件以上

4、是，收入為r50ax50a 10%所以一次成交的銷售收入r是銷售量 x 的分段函數(shù)ax0rx5050a0.9ax50 x502、 需求函數(shù)與供應函數(shù)需求量 指的是在肯定時間內(nèi)，消費者對某商品情愿而且有支付才能購買的商品數(shù)量；經(jīng)濟活動的主要目的是在于滿意人們的需求，經(jīng)濟理論的主要任務之一就是分析消費及由此產(chǎn)生的需求； 但需求量不等于實際購買量，消費者對商品的需求受多種因素影響，例如， 季節(jié)、收入、人口分布、價格、等等；其中影響的主要因素是商品的價格，所以，我們常常將需求量q d 看作價格 p 的函數(shù)，記為q dq d p通常假設需求函數(shù)是單調(diào)削減的，需求函數(shù)的反函數(shù)pq 1 pq0在經(jīng)濟學中也稱

5、為需求函數(shù)，有時稱為價格函數(shù).一般說來，降價使需求量增加，價格上漲需求量反而會削減，即需求函數(shù)是價格p 的單調(diào)削減函數(shù)；常用以下簡潔的初等函數(shù)來表示：（ 1）線性函數(shù)qda pb，其中a, b0 為常數(shù) .（ 2）指數(shù)函數(shù)（ 3）冪函數(shù)qdaeq dbpbp，其中a，其中a,ba, b0 為常數(shù) .0 為常數(shù) .例設某商品的需求函數(shù)線性函數(shù)qapb ，其中a, b0 為常數(shù)，求 p0 時的需求量和 q0 時的價格；解當 p0 時， qb ，表示價格為零時，消費者對某商品的需求量為b ，這也是市場對該商品的飽和需求量；當q0 時， pb為最大銷售價格，表示價格上漲到ab 時，a無人情愿購買該產(chǎn)品

6、；供應量 是指在肯定時期內(nèi)生產(chǎn)者情愿生產(chǎn)并可向市場供應出售的商品量，供應價格是指生產(chǎn)者為供應肯定量商品情愿接受的價格，將供應量q s 也看作價格p 的函數(shù)，記為q sq s p一般說來， 價格上漲刺激生產(chǎn)者向市場供應更多的商品，使供應量增加， 價格下跌使供給量削減，即供應函數(shù)是價格（p ）的單調(diào)增加函數(shù)；常用以下簡潔的初等函數(shù)來表示：（ 1）線性函數(shù)qsa pb，其中 a0 為常數(shù)；（ 2）指數(shù)函數(shù)q aebp ，其中a, b0 為常數(shù)；供應量也受多種因素影響，（ 3）冪函數(shù)saq sbp ，其中a,b0 為常數(shù)；當市場上需求量qd與供應量qs 一樣時，即 q dq s ，商品的數(shù)量稱為均衡數(shù)

7、量，記為 qe ，商品的價格稱為均衡價格，記為pe ；例如，由線性需求和供應函數(shù)構成的市場均衡模型可以寫成qdabp a0, b0qscdp c0, d0qdqs解方程，可得均衡價格pe 和均衡數(shù)量qe ：epacbdqadbc bde由于 qe 0， bd0 , 因此有 adbc .當市場價格高于p0 時，需求量削減而供應量增加，反之，當市場價格低于p0 時，需求量增加而供應量削減；市場價格的調(diào)劑就是利用供需均衡來實現(xiàn)的；經(jīng)濟學中常見的仍有生產(chǎn)函數(shù)（生產(chǎn)中的投入與產(chǎn)出關系）、消費函數(shù)（國民消費總額與國民生產(chǎn)總值即國民收入之間的關系）、投資函數(shù)（投資與銀行利率之間的關系）等等；例已知某商品的需

8、求函數(shù)和供應函數(shù)分別為q d141.5 p ,qs54 p求該商品的均衡價格； 解由均衡條件 q dq s 可知141.5 p195.5 p54 p所以均衡價格價格為p03.45例已知某產(chǎn)品的價格為p 元，需求函數(shù)為q505 p ，成本函數(shù)為 c502q 元，求產(chǎn)量 q 為多少時利潤l 最大？最大利潤是多少？解由于需求函數(shù)為q505 p ， p10q2q，所以收益函數(shù)為5利潤函數(shù)r p q10q5lrc28qq5051 q520230因此， q20 時利潤最大，且最大利潤是30 元；二、 邊際由導數(shù)定義知，函數(shù)的導數(shù)是函數(shù)的變化率；在經(jīng)濟分析中，經(jīng)濟函數(shù)的變化率（因變量對自變量的導數(shù)） ，通常

9、稱 為“邊際” .在經(jīng)濟問題中， 常常用到年產(chǎn)量的變化率、 成本的平均變化率等概念； 設函數(shù) yf x000在點 x 處可導，就在 x , xx 區(qū)域內(nèi)的平均變化率為yx，瞬時變化率為f xlimf x0xf x0 0x0x定義：設函數(shù)yf x在點 x 處可導，就稱f x 為f x 的邊際函數(shù)，f x 在 x0 處的導數(shù)值f x0 為邊際函數(shù)值；由微分的概念可知，當自變量x 的轉變量很小時有ydy ，但在經(jīng)濟應用中，最小的改變量可以是一個單位，即x1，所以有ydyf x0 xf x0這說明f x 在點xx0 處當 x 產(chǎn)生一個單位的轉變時，函數(shù)yf x近似轉變了f x0 個單位；（ 1）邊際成

10、本設總成本函數(shù)為c q ，就稱其導數(shù)c qlimx0cqq qcq 為產(chǎn)量為 q 時的邊際成本，記做 mc ；即邊際成本函數(shù)為 mcdclimdqq0cq0qc q0 .q由于 ccq0 q ，當q1 時，cc q0 ，因此產(chǎn)量為q0 時的邊際成本的經(jīng)濟意義為：c q 近似等于當產(chǎn)品的產(chǎn)量生產(chǎn)了q 個單位時，再生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品時所需增加的成本數(shù)；明顯，邊際成本與固定成本無關；平均成本的導數(shù)cqcqqc q2cq為邊際平均成本；qq（ 2）邊際收入設總收益函數(shù)為rq ，就稱其導數(shù)r qlimq0rqq qrq 為銷售量為 q 時的邊際成本，記作mr ，即 mrdrdqlimq0rq0qrq0 .

11、q其經(jīng)濟含義是：假定已銷量為q0 個單位，再銷售一個單位產(chǎn)品，所增加的收益為r q0 .（ 3）邊際利潤設總利潤函數(shù)llq ，l 對 q 的導數(shù)l qlimq0lqq qlq稱為邊際利潤，記作 ml ，即邊際利潤函數(shù)為mldldqlimq0lq0qlq0 .q銷量為q0 時的邊際利潤的經(jīng)濟意義為：假定已銷量為q0 個單位， 再銷售一個單位產(chǎn)品，所增加的利潤為l q0 ；一般情形下，總利潤lq 等于總收益函數(shù)rq 與總成本函數(shù)cq 之差，即lq = rq cq ，邊際利潤為l qr qc q ，即邊際利潤等于邊際收益與邊際成本之差；例 1 設某單位每月生產(chǎn)的產(chǎn)品固定成本為c010000 元，生產(chǎn)

12、 q 個單位產(chǎn)品的變動成本為 v q0.01q 210q 元，如每單位產(chǎn)品的售價為40 元，求邊際成本；邊際收益及邊際利潤；并求邊際利潤為零時的產(chǎn)量.解由題設知：總成本函數(shù)cqv qc00.01q 210q10000總收益函數(shù)rqp q40q總利潤函數(shù)lqrqcq40q0.01q 210q10000邊際成本mc0.01q230q10000 c q0.02q10邊際收益mrr q40邊際利潤mll q0.02q30令 l q 0 ，得0.02q300, q1500. 即每月產(chǎn)量為 1500 個單位時，邊際利潤為零；這說明，當月產(chǎn)量為1500 個單位時，再多生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品不會增加利潤.例設某廠每

13、月生產(chǎn)產(chǎn)品的固定成本為1000 元生產(chǎn) x 個單位產(chǎn)品的可變成本為0.01x210x （元），如每個產(chǎn)品的售價為30 元， 求邊際成本、邊際利潤及邊際利潤為零時的產(chǎn)量；解由于總成本函數(shù)為c x0.01 x210x1000所以，邊際函數(shù)為c x0.02 x10又收益rx30x ，所以利潤函數(shù)l xrxc x30 x0.01x210x1000所以l x0.02x20在經(jīng)濟函數(shù)中，總體、邊際和平均三者的關系是很重要的爭論對象；例設總成本函數(shù)為c xx34 x220x ，求它的邊際總成本函數(shù)、平均成本和邊際平均成本函數(shù)；解由于mcc x3x28 x20而邊際平均成本函數(shù)acc xxx24x20一般由m

14、c ,c x2 x4xac 可分析經(jīng)濟活動；如mc23x8 x20 和2acx4 x20 都是開口向上的二次拋物線，且相交于點2,16 ，當 x2時， mc16,ac16 ，而邊際平均成本函數(shù)此時為零； （如圖）在交點的左邊mc曲線位于 ac 曲線的下方，在交點的右邊mc 曲線位于 ac 曲線的上方，利用這種“邊際平均”關系，有助于企業(yè)支配生產(chǎn)，如交點的左邊的情形說明生產(chǎn)力仍沒有充分發(fā)揮，有潛力可挖；三、彈性1、函數(shù)的彈性定義設函數(shù)yf x在點 x xy0 可導，且f x0 ，就極限limyx limyxf xx0xy x0xxf xeyef x稱為函數(shù)即f x在點 x 處的彈性，記作：或ex

15、ex或yx .eyx fxxdf xexfxf xdx函數(shù) f x 在由于x0 處的彈性，記做ey或ex x x0yx x x0d ln f x1f xf xdxxf xd ln x1 dx xf x因此，函數(shù)f x 的彈性也可以表示為函數(shù)lnf x的微分與函數(shù)ln x 的微分之比 :e f xd lnf xexd ln x由于函數(shù)的彈性ey ex是自變量 x 與因變量 y 的相對變化而定的，它表示函數(shù)f x轉變幅度的大小， 即表示（實質(zhì)上是近似地表示）當自變量 x 由起始轉變 1% 時函數(shù) f x 相應轉變的百分數(shù).1例 2 求函數(shù)f xax的彈性 .解由于f xax，所以1e ax x a

16、xexaxea特殊地，函數(shù)f xax 的彈性為e ax1 ，函數(shù)exf xa xx的彈性為1 .ex2、 需求價格彈性彈性概念是經(jīng)濟學中的另一個重要概念，它所描述的是一個經(jīng)濟變量對另一個經(jīng)濟變量的反應程度；設某商品的需求函數(shù)為qq p ，其中 p 為價格， q 為需求量；由彈性的定義可知，極限limppq 稱為需求量對價格的彈性，簡稱需求價格彈性.記作 qp ，即0 qpqplimp0qpp q ppqqqp 表示需求量對價格的相對變化率，即q 對 p 變動的反應程度，由于需求函數(shù)為價 格的減函數(shù)，價格上升時需求量下降，價格下降需求量反而上升，所以qp 一般為負值，其經(jīng)濟意義為： （ 1）當某

17、商品的價格上漲1% 時，需求量削減qp %；（2）當某商品的價格下降 1%時，需求量增加qp %因此，需求價格彈性反映了當前價格變動對需求量變動的反應程度 .當 qp1時，需求彈性大，價格的變動對需求量的影響較大，即價格的升降所引起的需求量變動的幅度大于價格變動的幅度；當 qp1時，需求彈性小，價格的變動對需求量的影響較小，即價格的升降所引起的需求量變動的幅度小于價格變動的幅度；當 qp1時，稱為單位彈性，此時價格變動的幅度與需求量變動的幅度相同；此外仍有兩種特殊情形：qp0 為完全無彈性，即價格無論如何變化，需求量都不變；qp為完全有彈性，此時價格只要有任何微小的變化，對需求都有很大的影響；

18、在經(jīng)濟分析中，利用商品的需求價格彈性，可以給出訪總收益增加的經(jīng)營策略.設 qq p 是某商品的需求函數(shù)，就總收益函數(shù)：rr pp qp qp于是， r 對 p 的導數(shù)是 r 關于價格 p 的邊際收益，drddpdp p q p q ppq pq p 1p q pq p即邊際收益drq p1dp上式給出了關于價格的邊際收益與需求價格彈性之間的關系：（ 1） 如1時，稱該商品為低彈性需求.這時需求量削減的幅度小于價格上漲的幅度，因此， 邊際收益 r p0 . 此時， 提價使總收益增加， 降價總收益削減 .（ 2）如1時，稱該商品為高彈性需求.這時需求量削減的幅度大于價格上漲的幅度，因此，邊際收益r

19、 p0 . 此時，提價使總收益削減，降價總收益增加.（ 3）如1時，稱該商品為單位彈性需求.這時需求量削減的幅度等于價格上漲的幅度，因此，邊際收益r p0 , 總收益保持不變 .此時，總收益取得最大值.例已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為q4e2 p，求需求彈性qp ，并爭論價格在 10 元時彈性的大?。唤庥捎趒qppq8e 2 p4e 2 pp2 p當價格 p10 元時，qp2 p p 0201，需求彈性大，此時價格增加1%，需求量將下降 20%例某企業(yè)依據(jù)市場調(diào)查，已知某商品的需求函數(shù)為q1805 p ，試爭論其彈性的變化情形；解由于pq5qppq1805 pp36p由 qp1可得 p18 ，當 0p

20、18 時有qp1 ，表示價格在這一范疇內(nèi)需求彈性小，需求量增加的幅度小于價格削減的幅度，此時采納降價措施會使企業(yè)收益削減；當 p18 時有 qp1 ，表示價格在這一范疇內(nèi)需求彈性大，需求量削減的幅度小于價格增加的幅度，此時采納提價措施也會使企業(yè)收益削減； 在市場經(jīng)濟中，商品經(jīng)營者所關懷的是提價（p0 ）或降價（p0 ）對總收益的影響，事實上，由于pdqqpqdp即pdqqp qdp當價格 p的微小變化（p 很?。┒鸬匿N售收益rqp 的轉變量為rqpdqpqdppdq1qp qdp由于 qp0 ，所以 qpqp 從而有r1qp qdp1qp q p由此可分析：當qp1（彈性大）時，降價（p0

21、 ）可使總收益增加（r0 ）；當 qp1 （彈性?。r，降價（p0 ）可使總收益削減（r0 ）；例 3 設某商品的需求函數(shù)為q 1005 p ，求 p5,10,15 時的需求價格彈性，說明經(jīng)濟意義 , 并說明這時提高價格對總收益的影響.解 需求價格彈性p q p qp 51005 pp20p當 p5 時,0.331 ，為低彈性商品 .當 p5,q75 時，說明在價格p5時如價格上漲 或下降 1% ，需求量 q 將由 75 個單位起削減 或增加 0.33% ；此時， 提價總收益增加，降價總收益削減.當 p10 時,1.當 p10,q50 , 說明在價格p10時需求量削減的幅度等于價格上漲的幅度，

22、總收益保持不變；此時總收益取最大值.當 p15 時,31 .為高彈性商品；當p15,q25 時, 說明在價格p15 時如價格上漲 或下降 1% , 需求量 q 將從 25 個單位起增加 或削減 3% .此時，提價總收益削減，降價總收益增加 .3、收益價格彈性erqdrqeqrdqr設商品的總收益函數(shù)為r rq，由彈性的定義可知，就收益的銷售彈性與收益價格彈性分別為：rqr q與erpdrpeprdprrpr p收益的銷售彈性rq 的經(jīng)濟意義為：銷售量在q 處時，如銷售量增加1% ，就當rq0 或 rq0 時, 總收益增加（或削減）rq % .收益的價格彈性rp 的經(jīng)濟意義為：價格在p 處時，如

23、價格上漲1% ，就當rp0 或 rp0 時, 總收益增加（或削減）rp % .如商品的需求函數(shù)、總收益函數(shù)分別為：qq p ,rpq ，就erqdr1drqd pqeqrdqpdqpqdqrq1pqdp1qdppdqpdq1111p dqqdperpdr1drrpepr dpqdppd pq1qp dqpqdpqdp從而有1pdq1 qdpdrq1 ,drp 11dpdq以上四個式子描述了收益的銷售彈性ereq，收益的價格彈性er ，關于價格 p 的邊際收epdr益 dp ，關于銷量 q 的邊際收益dr與需求價格彈性之間的關系 .在經(jīng)濟應用中常常利用dq這些結論進行經(jīng)濟分析.例 4設某產(chǎn)品的需

24、求函數(shù)為q1005 p ，求 p4 時的收益價格彈性，并說明其經(jīng)濟意義 .解由于rpq2100 p5 prppr p r11005 p10010 p所以rp p 40.7510040601002080這說明價格在 p4 時, 如價格上漲 1%, 總收益增加 0.75% .習題1、已知市場均衡模型 , 求均衡價格pe 和均衡數(shù)量qe , 并畫出圖形 :（ 1）qdqsqd172pqs83p（ 2）qdqsqd156 psq52p 22、生產(chǎn)某產(chǎn)品 , 年產(chǎn)量不超過 500 臺時 , 每臺售價200 元, 可以全部售出 ; 當年產(chǎn)量超過500 臺時, 經(jīng)廣告宣揚后又可再售出200 臺, 每臺平均廣

25、告費20 元; 生產(chǎn)再多 , 本年就售不出去 , 試將本年的銷售收益為r 年產(chǎn)量 q 的函數(shù) .3. 生產(chǎn)某新產(chǎn)品 , 固定成本為mm0 萬元 , 每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品, 總成本增加nn0 萬元，試寫出總成本的函數(shù), 并求邊際成本的函數(shù) .4. 設某產(chǎn)品的價格函數(shù)為pq20q , 其中 p 為價格， q 為銷售量，求：5（ 1）銷售量為 15 個單位時的總收益，平均收益與邊際收益.（ 2）銷售量從 15 個單位增加到20 個單位時收益的平均變化率.5、求以下函數(shù)的彈性（ 1）yaxb;（2）ya ln ax6、設函數(shù)f x, g x 的彈性存在 , 證明：e fx （ 1）e f xg xef xe

26、g x；（ 2）gxef xeg x .exexex7 、已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為exexexq400100p ,p0,4（ 1）求需求價格彈性；（ 2）分別求當 p1,2,3 時需用求價格彈性，作出經(jīng)濟說明， 并說明這時價格變動對總收益的影響 .8、 某產(chǎn)品需求函數(shù)為qaekp k0, a0, p0,求需求價格彈性，并作出經(jīng)濟說明.9、設供應函數(shù)為qp 26 p18, 求供應價格彈性es ，及 p3 時的供應價格彈性.10、設需求函數(shù) q1004 p ，求（1） p5 時的需求價格彈性, 并說明其經(jīng)濟意義.（2） p5 時的收益價格彈性, 并說明其經(jīng)濟意義.（3） p5 時的收益銷售彈性, 并

27、說明其經(jīng)濟意義.四、經(jīng)濟最值問題1.平均成本最低問題在生產(chǎn)實際中，常遇到這樣的問題，在給定的生產(chǎn)規(guī)模條件下，如何確定產(chǎn)出量才能使平均成本最低 .設廠商生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為cc q ，q 為產(chǎn)出量； 由平均成本 c qc qq有c qqc q ， cqc qqcq由極值存在的必要條件（費馬定理）知，使平均成本為最小的產(chǎn)出量q0 應滿意cqqc qcq1c qcq0q2q q0qqq q01 c q cq0q000從而有cq0c q0，這就是經(jīng)濟學中的一個重要結論：使平均成本最低的產(chǎn)出量，正是使邊際成本等于平均成本時的產(chǎn)出量.例 1設生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為c q4q210q16 ，求平均成本

28、最低時的產(chǎn)出水平 .解 由于c q16c q4q10qq令 cq0 ，得cqq02 ， c416q 22032q3q 2所以 q02 為微小值點，即當產(chǎn)出水平為2 時，平均成本最低，此時c28q10 q 226c 2 .2、最大利潤問題（稅前或免稅情形）設總收益函數(shù)為rq ，總成本函數(shù)為cq ，就利潤函數(shù)l qrqcq .假如已知需求函數(shù)pf q ，就rqpqfqq先求 l q 的駐點q0 ，即l q0 0r q0 c q0 ，即r q0c q0，假如l q0 0 ，就 q0 就是最大值點 .于是有：最大利潤原就：在獲得最大利潤時的產(chǎn)出量q0 處，邊際收益等于邊際成本.例 2某產(chǎn)品的需求函數(shù)為

29、p404q ，總成本函數(shù)為 c q2q24q10 ，求廠方取得最大利潤時產(chǎn)品的產(chǎn)出量和單價.解 總收益函數(shù)為rqqpq404q40q4q2利潤函數(shù)lqrqcq40q4q 22q 24q1036q6q 210l q3612q0 ,得唯獨駐點q03 ，又 l3120 ， q03 是最大值點，此時p040q0401228 .因此，當產(chǎn)品的產(chǎn)出量為3，單價為 28 時，廠方取得最大利潤.3、最大利潤（稅后情形）和最大征稅收益問題設政府以稅率 t（單位產(chǎn)品的征收稅額）對廠方的產(chǎn)品征稅， 廠商在納稅的情形下仍以最大利潤為目標，而政府也要確定稅率t 以使征稅收益最大.此時利潤函數(shù)lt qrqcqtrqc q

30、tq ，其中稅款 ttq .下面記以稅率 t 納稅后廠方獲得最大利潤時產(chǎn)品產(chǎn)出量為qt ，單價為pt ，征稅收益ttqt .例 3某產(chǎn)品的需求函數(shù)和總成本函數(shù)分別為：p404q ， c q2q24q10政府對產(chǎn)品以稅率 t 征稅，求：（1） 廠方以稅率 t 納稅后，獲得最大利潤時產(chǎn)品的產(chǎn)出量qt 和單價pt ，以及征稅收益 t .（2） t12和 t30 時，分別求廠方獲得最大利潤時產(chǎn)品的產(chǎn)出量和單價，以及征稅收益.（3） 稅率 t 為多少時，征稅收益最大？此時產(chǎn)品的產(chǎn)出量和單價為多少？ 解（1）納稅后的利潤函數(shù)lt qrqc qtq36q6q 210tqlt q3612qt0得唯獨駐點 qt

31、36t，又12ltqt0 ，所以 qt36t12是最大值點，此時p40q28ttt3因此，以稅率 t 納稅時，當產(chǎn)量 qt36t 12，單價 pt28t 3時，廠方獲得最大利潤，此時征稅收益ttqt236tt.12（2）把 t12 代入上述各值，得q1236122 ，12p122812323ttqt12224再把 t30 代入，得q3036301， p301222830383ttqt300.515 .注t0 時，代入即可得到與例2 一樣的結果 .3 由征稅收益ttqt236tt12， t '362t012得唯獨駐點t018 .又 t ''180 ，所以t018 為最大值

32、點 .因此，當稅率0qttt018 時，征稅收益最大，此時36181.51200pt404qt4041.534征稅收益0tt0qt181.527因此，當稅率 t18時，征稅收益最大為27，此時產(chǎn)品產(chǎn)出量為1.5，單價為 34.注 當免稅時，產(chǎn)品單價為28，當廠方以稅率 18 納稅時，產(chǎn)品單價為34，在稅款為27 中，顧客承擔的部分為3428qt61.59 ，而廠方承擔 27918 .04、最優(yōu)批量問題設在一個方案期內(nèi)（如一季度，一年），某超市銷售某商品的總量為a ，分幾批訂購進貨（每批訂購數(shù)量稱為批量）.批量多，即訂購的批次少，訂購的費用就少，但庫存保管費用就增多 .我們的問題是，如何確定最優(yōu)

33、批量，使訂購費和庫存保管費之和最少.已知總量 a ，設批量為 x ，就訂購批次為a ，訂購費用 =每批訂購費a .xx在庫存保管方面， 總假設商品是由倉庫勻稱提取投放市場.在每一批訂購進庫的周期內(nèi)，開頭一天庫存量最大（為批量x ），最終一天用完為零（緊接其次批訂購進庫）；在這種假設下，平均庫存量為批量的一半，庫存保管費=每件庫存費x .2例 4設某商場方案一年內(nèi)銷售某商品10 萬件，每次訂購費用100 元，庫存保管費為每件 0.05 元，求最優(yōu)批量使訂購費用與庫存保管費用之和最小.解 設批量（每批訂購數(shù)量）為x ，就分105x批訂購，總費用105f x102xx0.052f x7100.050

34、x22解得唯獨駐點x2105 ，由于 f2105 0 ， x2105 為最小值點 .故最優(yōu)批量為2 萬件（即最優(yōu)批次105210 45 批），可使總費用最小.習題121、生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本cq1006qq （萬元 / 單位），求平均成本最小時的產(chǎn)出4量，以及最低平均成本和此時的邊際成本.2、設廠方生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為c q3q1（萬元），需求函數(shù)為 p70.2q（萬元/噸），政府以稅率 t （萬元 /噸）對該產(chǎn)品征稅，廠方以最大利潤為目標（1） 以稅率 t 納稅后，求廠方獲得最大利潤時產(chǎn)品的產(chǎn)出量和單價，以及征稅收益.（2） t0時（免稅） ，求廠方獲得最大利潤時產(chǎn)品的產(chǎn)出量和單價，以及征

35、稅收益.（3） t 為多少時，征稅收益最大？此時產(chǎn)品的產(chǎn)出量和單價為多少？最大征稅收益為多少？3、某超市年銷售某商品5000 臺，每次進貨費用40 元，每臺單價和庫存保管費率分別為200元和 20% ，求最優(yōu)批量使總費用最小.4、某工廠年方案生產(chǎn)某產(chǎn)品100 萬件，每批生產(chǎn)需增加生產(chǎn)預備費1000 元，每件庫存費0.05 元，假設庫存是勻稱的，問應分幾批生產(chǎn)能使總費用最?。课?、偏導數(shù)在經(jīng)濟學中的應用一元函數(shù)微分學中邊際和彈性分別表示經(jīng)濟函數(shù)在一點的變化率和相對變化率，這些概念可以推廣到多元函數(shù)微分學中，并給予了更豐富的經(jīng)濟含義，這里簡潔介紹多元函數(shù)邊際問題和偏彈性概念 .1、邊際問題一元函數(shù)的

36、導數(shù)在經(jīng)濟學中稱為邊際函數(shù)，同樣地，二元函數(shù)zf x, y的偏導數(shù)fx x, y與f y x, y, 分別稱為函數(shù) f x, y 對 x 與 y 的邊際函數(shù)，邊際函數(shù)在該點的值稱為邊際函數(shù)值，邊際函數(shù)的概念可以推廣到多元函數(shù)上.（1） 邊際產(chǎn)量在西方經(jīng)濟學中，柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)為qakla,為正常數(shù) ，l，k 分別表示投入的勞動力數(shù)量和資本數(shù)量，q 表示產(chǎn)量， q 是 l,k 的二元函數(shù)；即 qf k , l當勞動力投入保持不變， 而資本投入發(fā)生很小轉變所引起的產(chǎn)出量的變化，這正是我們所說的產(chǎn)出量對資本要素的邊際，即產(chǎn)量的變化率為：dqa k1lq （ dq表示關于資本的邊際產(chǎn)量函數(shù)）dk

37、kdk當資本投入保持不變，而勞動力投入發(fā)生變化時，產(chǎn)量的變化率為：dqakl1q （ dq 表示關于勞動的邊際產(chǎn)量函數(shù)）dlldl12例 9 某企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為q200 k 2 l 3 ，其中 q 是產(chǎn)量（單位： 件），k 是資本投入 （單位：千元）， l 是勞動力投入（單位：千工時） ；求當 l=8 ，k=9 時的邊際產(chǎn)量，并說明其意義.解資本的邊際產(chǎn)量231d q100 l1qdkk 22 k1d q4 0 k0 2q2勞動力的邊際產(chǎn)量dl313 l l3當 l=8 ，k=9 時，產(chǎn)量q l 8k 91220092832400.所以，當 l=8 ， k=9 時，邊際產(chǎn)量為：dqk9dk l

38、 8400 dq3dl9,l 8k200這說明，在勞動力投入8 千工時和資本投入9 千元時，產(chǎn)量是 2400 件，如勞動力投入保持400不變，再增加一個單位資本投入增加的產(chǎn)量為個單位勞動力投入增加的產(chǎn)量為200 件.（2） 邊際成本與邊際利潤件；當資本投入保持不變時，再增加一3某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，當兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為q1,q2 （單位： kg）時，總成本（單位：元）總收益、總利潤均為甲、乙兩種產(chǎn)品產(chǎn)量q1,q2 的二元函數(shù)，即總成本函數(shù)為cq1, q2 ，總收益函數(shù)為rq1, q2，總利潤函數(shù)為l q1,q2 .這些函數(shù)分別對q1 與 q2 的偏導數(shù)就是甲、乙兩種不同產(chǎn)品的邊際成本，邊

39、際收益和邊際利潤 .例 10 某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同的產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別為q1, q2 ，總成本為：cq ,q 3q 22q q5q 210121122（1） 求兩種不同產(chǎn)品的邊際成本；（2） 求當 q18,q28 時，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)邊際成本；（3） 當出售兩種產(chǎn)品的單價分別為80 元和 100 元時，求每種產(chǎn)品的邊際利潤.解（ 1）甲產(chǎn)品q 的邊際成本為 dc6q2q112dq1乙產(chǎn)品q2 的邊際成本為dc dq22q110q2dc（ 2）q 86q12q2 q 864dq111 q2 8q 2 8（ 3）利潤函數(shù)：l q1,q2 rq1, q2 cq1,q2 80q100q3q22q q5q21012112280q100q3q22q q5q210121122對 q1,q2 的邊際利潤分別為：l806q1q12q2l1002q1q210q22、偏彈性一元函數(shù)y f x 在