2022年考研日歷高數(shù)公式大全

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載考研數(shù)學(xué)三公式匯總高等數(shù)學(xué)公式匯總第一章一元函數(shù)的極限與連續(xù)1、一些初等函數(shù)公式：和差角公式：sinsincoscossin coscoscossinsin和差化積公式：s i ns i n2 s i nc o s22tancotshchtantan1tantan cotcot1 cotcotsh chchshchchshshsinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22積化和差公式：sincoscossincoscossinsin1 sinsin 21 sinsin 21coscos 21 coscos 2倍角公式：sin 22si

2、ncoscos 22cos 2112sin 2cos2sin 2tan 2cot 22 tan1tan2cot 212cotsh22shchch212 sh22ch21ch2sh2sin2cos21;tan2 x1sec2 x;cot2 x1csc2x; ch2 xsh2x1半角公式：sin cos tancot1cos221cos221cos1cossin21cossin1cos1cos1cossin21cossin1cos雙曲正弦雙曲余弦: shx: chxexe 2exe 2x；反雙曲正弦x；反雙曲余弦: arshx: archxln xx21） ln xx21shxexe x11x雙曲

3、正切: thxxx ；反雙曲正切chxee: arthxln21x3322 a222n n12n1b ab aabb ， 12n61323n2 nn34122、極限常用極限：q1,lim qnn0 ; a1,lim n an1 ; lim n n1nlim ln1 f xg x 1/ g xln1f x f xlimf x g x 如f x0, g x,就lim1f xee兩個(gè)重要極限sin xsin x11lim1,lim0;lim1xelim1x xx0xxxxxx0常用等價(jià)無窮小:1cos x 1 x2 ;2x sinx arcsin x arctan x; n 11x1 x; na x

4、1 x ln a;ex x1;1x a 1ax;ln1x x3、連續(xù)：定義：limyx00; limxx0f xf x0極限存在limxx0f xlimxx0f x或f x0 f x0 其次章導(dǎo)數(shù)與微分1、 基本導(dǎo)數(shù)公式：f xylimlimf x0xf x0 limf xf x0 tan0x0xx0xxx0xx0導(dǎo)數(shù)存在f_ x0 f+ x0 c0; xaaxa1; sinxcos x; cos xsinx; tanxsec2x; cotxcsc2 x;sec xsecxtan x; csc xcsc x ctgx; ax a x ln a; ex ex;logx 1; ln x 1 ; a

5、rcsin x1; arccos x1;axln ax1x21x2arctan x11x2; arc cot x11x2; shxhx; chxshx;1111thx2; arshx; archx ; arthx 2ch x1x2x21x12、高階導(dǎo)數(shù)： xn kn. nk.xn k xn n n.; a x nax ln n a ex nexnn1 n 1 n.1 n1n.1nn.n 1; n 1 ; n 1xxxa xaaxaxsin kx nkn sinkxn; cos kxn2kn coskxn;2ln ax n 1n 1 n1.nlnx n 1 n 1 1n1 n1.naxxx牛頓-

6、 萊布尼茲公式：uv nnncku n k v kk 0u nvnu n3、微分：1vnn2.1) un2 vn n1) n k k .1 un k v kuv nyf xxf xdyox;dy=f x0xf xdx;連續(xù)極限存在收斂有界 ;可微可導(dǎo)左導(dǎo)=右導(dǎo)連續(xù)；不連續(xù)不行導(dǎo)第三章微分中值 定理與微分的應(yīng)用1、基本定理拉格朗日中值定理：f bf af ba , a, b柯西中值定理：f bf af , a,bf bf af 當(dāng)f x2、x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理；20泰勒公式: f xf x f x xx f x0 xx f n x xx r xn00000nn2.n.o xx0

7、 f1n余項(xiàng) :rn x xxx ; x0 , x,0,1f1 n xxn 100 xxn 100n1. n1.弧微分公式：ds1y 2 dxxty t 2 dt22 d平均曲率：k.: 從m 點(diǎn)到ms點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；s: mm弧長(zhǎng) m 點(diǎn)的曲率： kdlimytt t t=.s 0sds1y 2 32 t32 t 2直線的曲率：k0; 半徑為r的圓的曲率：k1 .r曲線在點(diǎn)m 處的曲率半徑:= 11y2 3ky第四章不定積分1、常用不定積分公式：f x dxf xc; f xdxf x;f x dxf xcx11x dxc1; 1dxlnxxc;axaxdxc;ln aexdxex

8、c;sinxdxcos xc;cos xdxsinxc;tan xdxln cos xc;cotxdxln sinxc;secxdxln secxtan xc;csc xdxln csc xcot xcln tan xc 2ln csc xcotxc;sec2xdxdx cos2 xtan xc;csc2 xdxdx sin 2 xcotxc;secxtan xdxsecxc;csc xcotxdxcsc xc;shxdxchxc;chxdxshxc;dxarcsin x carccosxc;dxarcsin xc;1x2a2x2adx1x2arctanx carccot xc;dxa2x21

9、 arctan xc; aadx1 ln xac;dx1ln axc;x2a22axaa2x22aaxdxx2a2ln xx2a 2 c;xa 2x2a2 dxx2a2ln xx2a 2 c;2222x22a 2xax dxax222、常用湊微分公式：arcsinc a2dx2dx;dx1dxd;dlnx;xxxxxdxd 1x2 ;11 dxdx1 21x2xxdxd ln tan x;cosxsin x3、有特殊技巧的積分(1) dx11dxa sinxb cos xa2b 2sin x(2) 2csin xd cosx dxaxb ln asin xbcosxasin xb cosxc(

10、3) 3x214dx1d x1 1x1x 22 2xx第五章定積分1、基本概念bnni1bnnf xdxlimf i xilimf f bf af x a ,f xf xa0n0i 1i 1連續(xù)可積; 有界 +有限個(gè)間斷點(diǎn)可積 ;可積有界;連續(xù)原函數(shù)存在 xxf t dta xf xd xdx x af t dtf x xf x xaaf xdxft tdt ，u xdv xu xv xv xduxbbb2、常用定積分公式：aaf x dxa f x0f x dx ；aaaf x為偶函數(shù) ,f x dxa2f x dx ；0f x為奇函數(shù) ,f xdx0a2 f sin xdx2 f cosx

11、dx ；2xf sinxdx2 f sinx dx2 f sinx) dx000200ta tta nttf xdxfa0x dx2 f xdx ；ta2f xdxnf0xdxwallis公式：13n3nn1 i224n2n1 , n為正偶數(shù)i2 sin n xdx2 cosnxdxn00n 2n2 43 5n3nn2n1 ,n為正奇數(shù)無窮限積分：+bf x dxlimf x dxf +f a;a b+ab bf xdxlimf xdxf -f a;a-abbf x dxlimf x dxlimf xdxf +f 瑕積分：b+aa-abbf xdxalimtaf xdxf blimttaf t

12、;btf xdxalimtbf xdxalimtbf tf a ;bcbf xdxf xdxfxdxaac+11 1dx, p1收斂, p1發(fā)散 ；dx,0p1收斂, p1發(fā)散axpa xpne xxn01dxn1. ,n1n nn.;11;1 20e x2 dx2第六章定積分應(yīng)用1、平面圖形的面積：bbd直角坐標(biāo)情形：af xadx ； afaxg xdx ； a y y dyc參數(shù)方程情形：atdttt dt;a;b極坐標(biāo)情形： a122d2、空間立體的體積：b由截面面積：vaxdxabvf 2 xdx;vb f 2 xg 2 xdx x為積分變量 dd旋轉(zhuǎn)體：繞 x 軸旋轉(zhuǎn)：aav2y

13、y dy;v2y y ydy y為積分變量 ccbbv2x f x dx2x fxg xdx; x為積分變量 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)：aav3、平面曲線的弧長(zhǎng)：d2 yc2 ydy y為積分變量 s2t總結(jié)2 t dtb1f 2 xdxa2 2d求極限方法：1、 極限定義； 2、函數(shù)的連續(xù)性； 3、極限存在的充要條件；4、兩個(gè)準(zhǔn)就；5、兩個(gè)重要極限； 6、等價(jià)無窮?。?7、導(dǎo)數(shù)定義； 8 利用微分中值定理；9、洛必達(dá)法就； 10、麥克勞林公式綻開；求導(dǎo)法：1、導(dǎo)數(shù)的定義（求極限） ；2、導(dǎo)數(shù)存在的充要條件；3、基本求導(dǎo)公式；4、導(dǎo)數(shù)四就運(yùn)算及反函數(shù)求導(dǎo)；5、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)； 6、參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)；

14、7、隱函數(shù)求導(dǎo)法； 8、高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法（萊布尼茨公式/常用的高階導(dǎo)數(shù)）；等式與不等式的證明：1、利用微粉中值定理；2、利用泰勒公式綻開；3、函數(shù)的單調(diào)性；4、最大最小值； 5、曲線的凸凹性第七章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、定義：flimf xx, yf x, ydf x, y f x , y f x, yx x0 , y0 x0xdx0x x0x00x x0 , y0 二、 微分：zf x x, yxfy x, yylim00可微 ，偏導(dǎo)連續(xù)可微連續(xù) +偏導(dǎo)存在，全微分：dzfx x,y) dxf y x,ydy三、 隱函數(shù)求導(dǎo):1of（x, y） 0y f x且 dyfx .2o f（x, y

15、, z） 0dxfyz f x, y且zfx ,zfyxfzyfz四、曲線的切線和法平面x1 、 曲線 方 程 l :yzttt， 切 線 ： xx0 t0 yy0 t0 zz0 t0 ，法 平 面：t0 xx0t0 yy00tz0z02 、 曲 線 方 程 l :yy x， 切 線 ：xx0yy0zz0， 法 平 面 ：zz x1y x0 z x0 xx0 y 0x y0 y z 0x z0z 03、曲線方程 l :f x, y, z0g x, y, z0，切向量tfx , fy , fzm 0gx ,gy ,gz，切線：m 0xx0y y0z z0fyfzmgygz0fzfxmgzgx0f

16、xfymgxgy0四、曲面的切平面和法線1、曲面方程：f x, y, z0，法向量：nfx , fy, fzm 0，切平面 :fx x0 , y0, z0 xx0 fy x0, y0 , z0 yy0 fz x0, y0 , z0 zz00, 法 線 ： xx0 y0y z0 z fx x0 ,y0 ,z0 f 0x ,0y , 0z f 0 x,0 y,0 z 2、曲面方程：zf x, y，切平面fx x0yzx,0 xf y,x 0yzyy0zz，,法線：xx0yy0zz0fx x0, y0 f y x0 , y0 1五、方向?qū)?shù)：fflx m 00mcosyfcosm 0fz m 0co

17、s梯度：gradum0fx ,f y , f zm0第八章：重積分一、二重積分：b2 xd2 xf x, ydf x, y dxdydxf x, ydydyf x, ydxa1 xddc1 x f cos,sind2 dddf cos ,sind1 二、重積分的應(yīng)用：1、體積： vdxdydzd xy z2x,yz1x,yd xdy2、曲面： zf x,y 面積： s1dxyf 2 x, yf 2 x, ydxdyxy3、質(zhì)量： mx,yd或 md（x, y, z）dv第九章無窮級(jí)數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)unn 11、常用級(jí)數(shù)：等比級(jí)數(shù)/ 幾何級(jí)數(shù)：qnn 0收1q11肯定收斂p1條件收斂0p11-

18、q發(fā)qnpp級(jí)數(shù)：1收n 1發(fā)p1；交叉0p1p級(jí)數(shù)：n1n11 收斂n p2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)： un0基本定理：收斂部分和有上屆 sn比較審斂法：大收小收，小發(fā)大發(fā)比較審斂法的極限形式：同階：同收同發(fā)；低階：同收；高階：同發(fā)1，收斂比值 / 根值審斂法：limnun 1unlimnun 1，發(fā)散1，失效3、交叉級(jí)數(shù)：（1）n -1unun0n 1un 1un萊布尼茨審斂法：lim un0n級(jí)數(shù)收斂，s u1, rnun 1肯定收斂：nun 收斂1un收斂，條件收斂n 1:un 收斂而n 1un 發(fā)散，發(fā)散n 14、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：s，收斂. 利用定義：部分和有極限lim snn；，發(fā)散. 利用收斂的必

19、要條件：lim un0n發(fā)散；. 利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)（比值/ 根植）審斂法：1，肯定收斂收斂limnun 1unlim n nun 1，肯定值發(fā)散發(fā)散1，失效二、冪級(jí)數(shù)：a xx nn0n 01、收斂半徑：2、常用等式：limnan 1anlim n nun 1/， 0r0，0xn1 xn 01x1) ，xn n 1x x1x1 ，n 1n xn01 x11xxnnln1x1x1 ，1n 1xnnln1x1x1n 1n 1n1xnnx n 11x x1n 0n 1121x2 n 11x2 n 11 ln 1n 0 2 n1n 1 2n121xx x12n 1arctan x=1nx x1n 02n1

20、exxn2n1xxx； x,n0 n.2.n.sin x1n 1x2 n 1xn 1cos x1n2 n1.x2 nx3 3.x44.x55.1n 1 x2n 12 n1.； x,10x22.1nx2n2 n.； x,n2 n.ln1x1n 1xnxx2x31n 1xnn； x1, 11x1n 11xn.2.1 x21n.n1 xn； x 1, 13、泰勒綻開：f xa xnnx , a0n1n.f x , r xn f n 1 n 10nxx ,x , xn 0 n1.00lim rn xn0，n 1n2312n1 nx第十章微分方程一、基本類型的一階微分方程:1、可分別變量方程: dyf

21、x g y , 分別變量，兩邊積分dyf x dxdxg y2、一階線性微分方程:dyp x yq x dxq x0齊次 : 通解： yep xdx，q x0非齊次: 通解： yep x dxq xep xdxdxc3、全微分方程:p x, ydxqx, ydy0其中 pyqx 通解：（u x, y）c. 1、分項(xiàng)組合法；xy(2) 、特殊路徑法：(3) 、偏積分法；ux, yp x,x0y0dxq x, ydyc.y0p x,y=uux,y=px,ydx +cyxux ,y=px,ydx +ydyq x, y=uc y=q-px,ydxyxy二、可化為基本類型的一階微分方程:（1） 齊次方程

22、：dyy 或 dya1xb1 y令yff,udxxdxa2xb2 yx（2） 準(zhǔn)齊次方程：dyf a1xb1yc1 dxa2xb2yc2a1b1xxha1xb1yc10如a2b20,令， h, k由解得 yyka2 xb2 yc2dyf a1 xb1y，再令uy ；dxa2 xb2yx如a1b10 dyka1xb1 yc1f a1 xb1 y.令ua1xb1 y；，a2b2dxa1xb1yc2(3) dyf axbyc dx令 uaxbyc；(4) 伯努利方程：dyp x yq x y0,1，令 zy1dz1p x z1q xdxdy（5）px,y dxq x, ydy0 其中 pyqx dy

23、p x, ydxq（ x, y）（6）關(guān)于 x的線性方程 / 伯努利方程：dxp y xq y；dxp y xq yx, 令zx1dydy（7）px, y dxqx, ydy求積分因子方法：0 其中pyqx 1、分項(xiàng)組合法：常用全微分公式;2、公式法：(1) 方程有形如u x的積分因子1 pyqxq xu x xdxce(2) 方程有形如 u y的積分因子1 pq yu y ydyceyx(3) 齊次方程的積分因子u x, yp1xpyq三、可降階的高階微分方程:dn y（1） ndxf x連續(xù)積分n次;（2） yf x, y, 令yp，就yppf x, p（3） yf y, y , 令yp，

24、就yp dp dyp dpdyf y, p四、二階常系數(shù)齊次線性微分方程ypyqy02特點(diǎn)方程：rprq0p24q0,rr通解： yc er1xc er2 x1212p24q0,rr通解： ycc xer1x1212p24q0, ri通解： yex ccosxc sinx1,212四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程yp yq yf x通解y x齊次通解y x非齊次特解y x（1）f xe x p x特解形式y(tǒng)xk q xe x不是特點(diǎn)根k0是特點(diǎn)單根k1mm是特點(diǎn)重根k2（2） f xf xe xp xcosxp xsinxln特解形式y(tǒng)xe xr1 xcosxr2mm xsinxiw不是特點(diǎn)根

25、k0iw 是特點(diǎn)根k1線性代數(shù)公式匯總1 、行列式1. n 行列式共有n2 個(gè)元素，綻開后有n. 項(xiàng)，可分解為 2n 行列式；2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)：、 aij 和 aij的大小無關(guān)；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為a ；3. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：m 1i j aa1i j m4. 設(shè) n 行列式 d ：ijijijijn n 1將 d 上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為d1 ，就 d1 12d ；將 d 順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 ，所得行列式為d2 ，就d2 1n n 12d ；將 d 主對(duì)角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得

26、行列式為d3 ，就 d3d ；將 d 主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為5. 行列式的重要公式：d4 ，就 d4d ；、主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的乘積；、副對(duì)角行列式：副對(duì)角元素的乘積1n n 12；、上、下三角行列式（）：主對(duì)角元素的乘積；、 和 ：副對(duì)角元素的乘積 1n n 12；、拉普拉斯綻開式：aoaca bcbobcaoa、bobcm n 1a b、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積；、特點(diǎn)值；6. 對(duì)于 n 階行列式 a ，恒有：eankn 1 skk 1n k ，其中sk 為 k 階主子式；7. 證明 a0 的方法：、 aa ；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組ax0 ，證明其有非零解；、利

27、用秩，證明r an ；、證明 0 是其特點(diǎn)值；2 、矩陣8. a 是n 階可逆矩陣：ar a0 （是非奇特矩陣）；n （是滿秩矩陣）a的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組 ax0 有非零解；nbr ， axb 總有唯獨(dú)解； a與 e 等價(jià)；a可表示成如干個(gè)初等矩陣的乘積；a的特點(diǎn)值全不為0；at a 是正定矩陣；a的行（列）向量組是rn 的一組基；a是 rn 中某兩組基的過渡矩陣；9. 對(duì)于 n 階矩陣 a ：aa*a* aa e無條件恒 成立；10.1 * a*1 a 1 t at1 a * t a t * a ab tb t at ab *b* a* ab 1b 1a 111. 矩陣是表格

28、，推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；12. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均a 、 b 可逆：a1如 aa2，就：as、 aa1a2as ；a 111、 a 1a2；1as1、aoa 1o1；（主對(duì)角分塊）obob11oaob、1；（副對(duì)角分塊）boao11acaa 1cb 1、obob 1；（拉普拉斯）11aoao、cbb 1 ca 1b 1；（拉普拉斯）3 、矩陣的初等變換與線性方程組13. 一個(gè) mn 矩陣 a ，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯獨(dú)確定的：；erofoom n等價(jià)類：全部與a 等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類；標(biāo)準(zhǔn)形為其外形最簡(jiǎn)潔的矩陣；對(duì)于

29、同型矩陣 a 、 b ，如14. 行最簡(jiǎn)形矩陣：r ar bab ；、只能通過初等行變換獲得；、每行首個(gè)非0 元素必需為 1；、每行首個(gè)非0 元素所在列的其他元素必需為0；15. 初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采納初等行變換）r、如 a , e e , x ，就 a 可逆，且xa 1 ；、對(duì)矩陣 a, b做初等行變化，當(dāng)a 變?yōu)?e 時(shí)， b 就變成a 1b ，即：c a, b e ,a1b ；r、求解線形方程組：對(duì)于n 個(gè)未知數(shù) n 個(gè)方程 axb ，假如 a,b e, x ，就1a可逆，且 xa b ；16. 初等矩陣和對(duì)角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換仍是列變換，由其位置打

30、算：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；1、2，左乘矩陣a ， i 乘 a 的各行元素；右乘，i 乘 a 的n各列元素； 、 對(duì) 調(diào) 兩 行 或 兩 列 ， 符 號(hào)e i, j ， 且e i ,j1e i,，j 例 如 ：11111；11 、 倍 乘 某 行 或 某 列 ， 符 號(hào)111e ik ， 且e ik) 11e i k ， 例 如 ：k1k1k0 ；1 、 倍 加 某 行 或 某 列 ， 符 號(hào)e ijk, 且 e ij k 1e ij k ， 如 ：11k1k11k1117. 矩陣秩的基本性質(zhì)：0 ；、 0r am n minm, n ；r a、t r a ；、如 ab ，就 r

31、ar b ；、如 p 、 q 可逆，就的秩）r ar par aqr paq ；（ 可逆矩陣不影響矩陣、 maxr a, r br a, br ar b ；（）、 r abr arb；（）、 r abmin ra, r b ；（）、假如 a 是 mn 矩陣， b 是 ns 矩陣，且 ab0 ，就：（）、 b 的列向量全部是齊次方程組ax0 解（轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論）；、 r ar bn、如 a 、 b 均為 n 階方陣，就18. 三種特殊矩陣的方冪：r abr arbn ；、秩為 1 的矩陣：肯定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量） 的形式，再采納結(jié)合律；1ac、型如01b的矩陣：利用二項(xiàng)綻開式

32、；001二項(xiàng)展開式：n0 nnbc abn 1nnnc a bnnnnnn1c bnabc ac a1mn m mca bmm n m ；注：、 abn綻開后有 nm 01項(xiàng)；nnn、 c mnn1nm1n.c0c n11 2 3mm. nm.nnn11、組合的性質(zhì)：cmcn mcmc mc m 1nnnnnncr2nrc rnc r 1 ；r 0、利用特點(diǎn)值和相像對(duì)角化：19. 相伴矩陣：nr an、相伴矩陣的秩：r a* 1 0r ar an1 ；*1n1、相伴矩陣的特點(diǎn)值：a*axx , aa aa xax ；n 1、 a*a a 1 、 a*a20. 關(guān)于 a 矩陣秩的描述：、 r a

33、、 r a、 r an ， a 中有 n 階子式不為 0， nn ， a 中有 n 階子式全部為 0；n ， a 中有 n 階子式不全為 0；1 階子式全部為0；（兩句話）21. 線性方程組： axb ，其中 a 為 mn 矩陣，就：、 m 與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組axb 有 m 個(gè)方程；、 n 與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組axb 為n 元方程；22. 線性方程組 axb 的求解：、對(duì)增廣矩陣 b 進(jìn)行初等行變換（ 只能使用初等行變換）；、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；23. 由 n 個(gè)未知數(shù) m 個(gè)方程的方程組構(gòu)成n 元線性方程：a11 x1、a21 x1a12 x2 a22 x2a1n x