2022年聚焦位于第一象限的雙一次函數(shù)圖像(精)

1、精品資料歡迎下載聚焦位于第一象限的雙一次函數(shù)圖像一、已知兩條直線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)的雙一次函數(shù)圖像問(wèn)題例 1、已知如圖 1 所示，直線(xiàn) l 1 表示某機(jī)床公司一天的銷(xiāo)售收入與機(jī)床地的銷(xiāo)售量的關(guān)系，直線(xiàn) l2 表示該公司一天的銷(xiāo)售成本與機(jī)床銷(xiāo)售量的關(guān)系；請(qǐng)依據(jù)圖像回答下面的問(wèn)題：（1） 、當(dāng) x=1 時(shí)，銷(xiāo)售收入為萬(wàn)元，銷(xiāo)售成本為萬(wàn)元，利潤(rùn)（收入 - 成本）為萬(wàn)元；（2） 一天銷(xiāo)售件時(shí)，收入成本與銷(xiāo)售成本相等；（3） 直線(xiàn) l1 對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是；直線(xiàn) l2 對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是；（4） 你能寫(xiě)出利潤(rùn) w 萬(wàn)元與銷(xiāo)售量 x 件之間的函數(shù)關(guān)系嗎？ 分析：解答這類(lèi)函數(shù)圖像問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們要能遵循如下的思路問(wèn)題可

2、能會(huì)比較順當(dāng)?shù)墨@得求解；詳細(xì)的思路為：寫(xiě)出圖像上能表示的關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)：直線(xiàn) l1 上的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（0，0）和（ 2， 2）；直線(xiàn) l2 上的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（0，1）和（ 2， 2）；結(jié)合圖像設(shè)出函數(shù)的解析式，把中的關(guān)鍵點(diǎn)分別代入所設(shè)的函數(shù)解析式中，求出函數(shù)的解析式；充分懂得圖像交點(diǎn)的意義：此時(shí)，對(duì)兩個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，函數(shù)自變量的值相等，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也相等；會(huì)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，比較函數(shù)值的大?。唤猓河捎?，直線(xiàn) l 1 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 0），所以，直線(xiàn)l 1 是正比例函數(shù)， 設(shè) y1=k 1x，又由于，直線(xiàn)l 1 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 2， 2），所以， 2=2 k1，所以， k1=1，即 y1=

3、x；由于，直線(xiàn) l 2 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 1），不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，直線(xiàn)l 2 是一般地一次函數(shù)， 設(shè) y2=k 2x+1 ，又由于，直線(xiàn)l 2 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 2， 2），所以， 2=2 k2+1，所以， k2=0.5 ，即 y2=0.5 x+1 ；所以，直線(xiàn) l 2 的解析式為： y2=0.5 x+1 ； 所以，1 、當(dāng) x=1 時(shí)， y1=x=1 （萬(wàn)元）； y2=0.5 x+1= 1.5 （萬(wàn)元）；所以，當(dāng) x=1 時(shí)，銷(xiāo)售收入為 1 萬(wàn)元，銷(xiāo)售成本為1.5 萬(wàn)元， 利潤(rùn)（收入 - 成本）為 1-1.5=-0.5（萬(wàn)元）；（2） 認(rèn)真觀(guān)看圖像，發(fā)覺(jué)當(dāng)一天銷(xiāo)售2 件時(shí)，收入成本與銷(xiāo)售成本相等；（3

4、） 依據(jù)上面的解答，知道直線(xiàn)l 1 對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y 1=x；直線(xiàn) l2 對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y2=0.5 x+1 ；（4）依據(jù)利潤(rùn) =收入 - 成本的原理，所以， w= y 1-y 2=x- （ 0.5x+1 ） =0.5x-1 ；例 2、如圖 2 所示， oa 、ba 分別表示甲、乙兩名同學(xué)運(yùn)動(dòng)的一次函數(shù)圖像；圖中s 和 t 分別表示運(yùn)動(dòng)路程和時(shí)間，依據(jù)圖像判定快者的速度比慢者的速度每秒快：a 2.5 米b 2米c1.5米d 1米分析：直線(xiàn) oa 上的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（0， 0）和（ 8， 64）；直線(xiàn) ba 上的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（0，12）和（ 8，64）；并且直線(xiàn) oa

5、是正比例函數(shù)， 直線(xiàn) ba 是一次函數(shù)， 利用待定系數(shù)法分別求出函數(shù)的解析式，x 的系數(shù)的差， 就是甲乙的速度的差；解：由于，直線(xiàn) oa 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 0），所以，直線(xiàn)oa 是正比例函數(shù)， 設(shè) y1=k 1x，又由于，直線(xiàn)l 1 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 8， 64），所以， 64=8k 1，所以， k1=8，即 y1=8x,也就是說(shuō)甲的速度是每秒8 米；由于，直線(xiàn) ba 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 12），不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，直線(xiàn)ba 是一般地一次函數(shù)，設(shè) y2=k 2x+12 ，又由于，直線(xiàn)ba 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 8， 64），所以， 64 =8 k 2+12 ，所以， k2=6.5 ，即 y2=6.5 x+12 ；所以，直

6、線(xiàn) ba 的解析式為： y2=6.5 x+12,也就是說(shuō)乙的速度是每秒6.5 米； 所以，甲乙的速度之差為8-6.5=1.5（米）；所以，挑選 c；二、已知兩條直線(xiàn)交點(diǎn)的某一個(gè)坐標(biāo)的雙一次函數(shù)圖像問(wèn)題例 3、如圖 3 所示，是甲、乙兩個(gè)彈簧的長(zhǎng)度 y（厘米）與所掛重物 x（ kg）之間的函數(shù)關(guān)系圖，當(dāng)所掛重物的質(zhì)量為 1kg 時(shí)，甲彈簧的長(zhǎng)度與乙彈簧的長(zhǎng)度的差是；分析：在這里，關(guān)鍵是懂得圖像交點(diǎn)坐標(biāo)的意義，當(dāng)彈簧掛重物的質(zhì)量等于交點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，兩個(gè)彈簧的長(zhǎng)度是相等；從圖像上看出，甲、乙兩根彈簧圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1， 此時(shí)，兩根彈簧的長(zhǎng)度是相等的，所以，甲彈簧的長(zhǎng)度與乙彈 簧的長(zhǎng)度的差是 0.

7、解：甲彈簧的長(zhǎng)度與乙彈簧的長(zhǎng)度的差是0.例 4、某單位急需用車(chē)，但又不預(yù)備買(mǎi)車(chē)，他們預(yù)備和一個(gè)體車(chē)主或一國(guó)營(yíng)出租車(chē)公司其中的一家簽訂月租車(chē)合同，設(shè)汽車(chē)每月行駛x 千米，應(yīng)對(duì)給個(gè)體車(chē)主的月費(fèi)用是y1 元，應(yīng)付給出租車(chē)公司的月費(fèi)用是y2 元，應(yīng)對(duì)給出租車(chē)公司的月費(fèi)用是y 1、y 2 分別與 x 之間的函數(shù)關(guān)系圖像 兩條射線(xiàn) 如圖，觀(guān)看圖象回答以下問(wèn)題：1. 每月行駛的路程在什么范疇內(nèi)，租國(guó)營(yíng)公司的車(chē)合算？2. 每月行駛的路程等于多少時(shí)，租兩家車(chē)的費(fèi)用相同？3. 假如這個(gè)單位估量每月行駛的路程為2300 千米， 那么這個(gè)單位租哪家的車(chē)合算分析：此題是考查同學(xué)對(duì)一次函數(shù)圖像的識(shí)圖才能，和說(shuō)明圖像所反映

8、的實(shí)際生活問(wèn)題的意 義的才能；在這里，兩條圖像的交點(diǎn)，表示當(dāng)行駛1500 千米時(shí)，付給個(gè)體車(chē)主的月費(fèi)用和付給出租車(chē)公司的月費(fèi)用是相等的，除這個(gè)點(diǎn)外， 所要支付的費(fèi)用就不會(huì)再相等了；圖像在上，就意味著多支付費(fèi)用；只要懂得了這些，此題的解答就顯得那么的簡(jiǎn)單了；此時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成為了判定哪一種方式更合算的分界點(diǎn)；解：1）從圖像上，可以看出，當(dāng)x 1500 時(shí)， y1 y2； 所以當(dāng)每月行駛的路程在x1500 千米的范疇內(nèi)時(shí)，租國(guó)營(yíng)公司的車(chē)合算；2、 從圖像上，可以看出，兩條圖像的交點(diǎn)，表示當(dāng)行駛1500 千米時(shí)，付給個(gè)體車(chē)主的月費(fèi)用和付給出租車(chē)公司的月費(fèi)用是相等的，所以每月行駛的路程等于1500

9、千米時(shí)，租兩家車(chē)的費(fèi)用相同；3、 假如這個(gè)單位估量每月行駛的路程為2300 千米，由于2300 1500 ，依據(jù) 1）的意義可以知道租國(guó)營(yíng)公司的車(chē)合算；例 5、一條高速大路上，一輛轎車(chē)和一輛貨車(chē)沿相同的路線(xiàn)從a 地開(kāi)往 b 地，所行駛的路程 y（千米）與時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系圖像如圖5 所示，請(qǐng)你依據(jù)圖像，回答下面的問(wèn)題：（1） 貨車(chē)比轎車(chē)早動(dòng)身小時(shí)；轎車(chē)追上貨車(chē)時(shí)，行駛了千米； a 地到 b 地的路程是千米；（2） 轎車(chē)追上貨車(chē)時(shí)，轎車(chē)行駛了小時(shí)；（3） 轎車(chē)比貨車(chē)早到小時(shí)；分析：（1） 貨車(chē)比轎車(chē)早動(dòng)身的時(shí)間， 從時(shí)間軸上的直線(xiàn)起點(diǎn)的差上找答案，貨車(chē)的起點(diǎn)橫軸上的坐標(biāo)為0，轎車(chē)在橫軸

10、上的坐標(biāo)為1，所以， 坐標(biāo)的差是 1，也就是貨車(chē)比轎車(chē)早動(dòng)身1 個(gè)小時(shí)；轎車(chē)追上貨車(chē)時(shí)， 行駛的路程， 就是看交點(diǎn)的坐標(biāo)的縱坐標(biāo)的值，看坐標(biāo)在 y 軸的正半軸上所對(duì)應(yīng)數(shù)值是150，因此，轎車(chē)追上貨車(chē)時(shí)，行駛了150 千米；a 地到 b 地的路程，就是圖上點(diǎn)n 的縱坐標(biāo) 300，所以， a 地到 b 地的路程是 300 千；（2） 貨車(chē)行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是正比例函數(shù)，設(shè)y=kx ， 依據(jù)圖像，知道圖像仍經(jīng)過(guò)（5， 300），所以， 300=5k ，解得： k=60 ， 所以，函數(shù)的解析式為：y=60x ， 設(shè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（ t， 150），所以， 150=60t ，解得： t=2.5 ，

11、即貨車(chē)行駛2.5小時(shí)，兩車(chē)相遇 , 由于貨車(chē)比轎車(chē)早動(dòng)身1個(gè)小時(shí) , 所以 ,轎車(chē)追上貨車(chē)時(shí)，轎車(chē)行駛了1.5 個(gè)小時(shí)；（3） 設(shè)轎車(chē)的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b ，把 x=1 ， y=0 和 x=2.5 ， y=150 分別代入上式，得：k+b=0，2.5 k+b=150 ，解得： k=100， b=-100 ，所以，函數(shù)的解析式為：y=100x-100 ， 當(dāng) y=300 時(shí)， 300=100x-100 ，解得： x=4，所以，轎車(chē)行駛?cè)逃脮r(shí)間為：4（小時(shí)），而貨車(chē)走完全程所用的時(shí)間為5 小時(shí)，所以，轎車(chē)比貨車(chē)早到1 個(gè)小時(shí)；解：答案略；三、隱匿兩條直線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)的雙一次函數(shù)圖像問(wèn)題例 6

12、、為迎接 2021 年北京奧運(yùn)會(huì)，某學(xué)校組織了一次野外長(zhǎng)跑活動(dòng)，參與長(zhǎng)跑的同學(xué)出發(fā)后，另一些同學(xué)從同地騎自行車(chē)前去加油助威；如圖5，線(xiàn)段 l1， l2 分別表示長(zhǎng)跑的同學(xué)和騎自行車(chē)的同學(xué)行進(jìn)的路程y（千米）隨時(shí)間 x（分鐘）變化的函數(shù)圖象；依據(jù)圖象，解答以下問(wèn)題：（1） 分別求出長(zhǎng)跑的同學(xué)和騎自行車(chē)的同學(xué)的行進(jìn)路程y 與時(shí)間 x 的函數(shù)表達(dá)式；（2） 求長(zhǎng)跑的同學(xué)動(dòng)身多少時(shí)間后，騎自行車(chē)的同學(xué)就追上了長(zhǎng)跑的同學(xué)？（ 08 年宜賓市）分析：解答這類(lèi)函數(shù)圖像問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們要能遵循如下的思路問(wèn)題可能會(huì)比較順當(dāng)?shù)墨@得求解；詳細(xì)的思路為：寫(xiě)出圖像上能表示的關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)：直線(xiàn) l1 上的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，坐標(biāo)分

13、別為（0，0）和（ 60， 10）；直線(xiàn) l2 上的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（20，0）和（ 40， 10）；結(jié)合圖像設(shè)出函數(shù)的解析式，把中的關(guān)鍵點(diǎn)分別代入所設(shè)的函數(shù)解析式中，求出函數(shù)的解析式；充分懂得圖像交點(diǎn)的意義：此時(shí)，對(duì)兩個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，函數(shù)自變量的值相等，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也相等；解：由于，直線(xiàn) l 1 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 0），所以，直線(xiàn)l 1 是正比例函數(shù)， 設(shè) y1=k 1x，又由于，直線(xiàn)l 1 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 60， 10），所以， 10 =60 k 1，所以， k1=1 ，即 y 1= 1 x；66由于，直線(xiàn) l 2 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 20， 0），不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，直線(xiàn)l2 是一般地一次函數(shù)，設(shè) y2=

14、k 2x+b ， 所以， 20 k2+b=0又由于，直線(xiàn)l 2 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 40， 10），所以， 10 =40k 2+b，所以， k2=0.5 ， b=-10 ， 即 y2=0.5x-10 ；所以，長(zhǎng)跑的函數(shù)解析式為：1yx,騎車(chē)的函數(shù)解析式為：6y1 x102（2）由于，騎自行車(chē)的同學(xué)就追上了長(zhǎng)跑的同學(xué)的意義就是兩隊(duì)相遇的意思，此時(shí)，坐標(biāo) 的特點(diǎn)是實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)“同”，即此時(shí)函數(shù)的橫坐標(biāo)相同，對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)相同，也就是求兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，所以，聯(lián)立兩個(gè)解析式，得方程組：y1 x6，y1 x102解得： x=30,y=5, 即長(zhǎng)跑的同學(xué)動(dòng)身了30 分鐘后，騎自行車(chē)的同學(xué)就追上了長(zhǎng)跑的同學(xué)；例

15、7、我邊防局接到情報(bào)， 近海處有一艘有一只可疑船只a 正向公海方向行駛，邊防局快速派出快艇 b 追逐，如圖 7 所示，在圖 8 中，直線(xiàn) l 1、 l 2 分別表示兩船相對(duì)于海岸的距離 s（海里）與追逐時(shí)間t（分）之間的函數(shù)關(guān)系；依據(jù)圖像回答以下問(wèn)題：（1） 哪條線(xiàn)表示 b 到海岸的距離與追逐的時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系？（2） a 、b 哪個(gè)的速度快？（3） 15 分鐘內(nèi) b 能追上 a 嗎？（4） 假如始終追下去b 能追上 a 嗎？（5） 當(dāng) a 逃到離海岸12 海里的公海時(shí)， b 將無(wú)法對(duì)其進(jìn)行檢查，照此速度，b 能否在 a逃入公海前將其攔截？分析：解答這類(lèi)函數(shù)圖像問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們要能遵循如下的思

16、路問(wèn)題可能會(huì)比較順當(dāng)?shù)墨@得求解；詳細(xì)的思路為：寫(xiě)出圖像上能表示的關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)：直線(xiàn) l1 上的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（ 0， 0）和（ 10，5）；直線(xiàn) l2 上的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（ 0， 5）和（ 10，7）；結(jié)合圖像設(shè)出函數(shù)的解析式，把中的關(guān)鍵點(diǎn)分別代入所設(shè)的函數(shù)解析式中，求出函數(shù)的解析式；解：由于，直線(xiàn) l 1 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 0），所以，直線(xiàn)l 1 是正比例函數(shù)， 設(shè) y1=k 1x，又由于，直線(xiàn)l 1 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 10， 5）， 所以， 5 =10 k 1，所以， k1=0.5 ，即 y1=0.5 x；由于，直線(xiàn) l 2 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 5），不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，直線(xiàn)l 2 是一般

17、地一次函數(shù)， 設(shè) y2=k 2x+5 ，又由于，直線(xiàn)l 2 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 10， 7）， 所以， 7 =10 k 2+5，所以， k2=0.2 ，即 y2=0.2 x+5 ；所以，直線(xiàn) l 2 的解析式為： y2=0.2 x+5 ； 所以，（1） 由于 t=0 時(shí)， s=0 是 b 船的最大特點(diǎn)，所以，直線(xiàn)l 1 表示 b 到海岸的距離與追逐的時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系；（2） a 、b 哪個(gè)的速度快，有三種方法來(lái)判定： 比較 x 的系數(shù)大?。河捎冢?b 的 x 的系數(shù)是 0.5 ， a 的 x 的系數(shù)是 0.2 ，所以， b 的速度快；比較等時(shí)間內(nèi)增量的大小：對(duì)于 b 來(lái)說(shuō)，當(dāng)時(shí)間t 從 0 增到 10

18、 時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值從0 增到 5，增量為 5；而對(duì)于 a 來(lái)說(shuō)，當(dāng)時(shí)間t 從 0 增到 10 時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值從5 增到 7，增量為 7-5=2 ， 所以， b 的速度快；比較圖像的傾斜度：認(rèn)真觀(guān)看圖像不難看出 b 的傾斜度大， 所以， b 的速度快；評(píng)析：比較 x 的系數(shù)大小，系數(shù)大的速度大；比較等時(shí)間內(nèi)增量的大小，增量大的，速度大； 比較圖像的傾斜度，與x 軸的夾角大的速度大；（3） 15 分鐘內(nèi) b 能追上 a 嗎？這一問(wèn)的意思，就是當(dāng)t=15 分時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，比較而者的大??；解：當(dāng) t=15 時(shí)，y1=0.5 x= 0.5 × 15=7.5y2=0.2 x+5= 0.2 × 15+5=8 ；y1 y 2，所以， 15 分鐘內(nèi) b 不能追上 a ；（4） 假如始終追下去 b 能追上 a 嗎？這一問(wèn)，實(shí)際上就是問(wèn)你，這兩條直線(xiàn)是否有交點(diǎn)的問(wèn)題， 當(dāng)然，也就是直線(xiàn)是平行仍是相交的問(wèn)題，只有當(dāng)函數(shù)的 x 的系數(shù)相等時(shí)， 直線(xiàn)是平行的，否就，就肯定相交，在這里x 的系數(shù)分別是0.2 和 0.5 ，所以，兩條直線(xiàn)肯定相交，所以，始終追下去b 肯定能追上 a ；（5） 當(dāng) a 逃到離海岸 12 海里的公海時(shí)， b 將無(wú)法對(duì)其進(jìn)行檢查，照