第二章-復(fù)變函數(shù)

1、導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)00()( )limlimzzff zzf zzz 定義定義dzdf第 二 章 解析函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域D上有定義，且上有定義，且 ， ，如果極限，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在存在，則稱此極限為函數(shù)在z 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記為：點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記為： 或或 ，這時(shí)稱函數(shù)，這時(shí)稱函數(shù) 在在z 點(diǎn)可微點(diǎn)可微 (或可導(dǎo)）或可導(dǎo)）. 顯然，函數(shù)顯然，函數(shù) 必須在點(diǎn)必須在點(diǎn)z 連續(xù)，才連續(xù)，才有可能在有可能在 z 點(diǎn)可導(dǎo)點(diǎn)可導(dǎo).運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算規(guī)則121212122111212222(),(f),(),1,();dfdfdffdzdzdzdfdfdfffdzdzdzffff fddzffdfdzdz

2、dfddFdFdzdzdz.1ln,sincos,cossin,1zzdzdzzdzdzzdzdeedzdnzzdzdzznn( )( )( )fzzdf zfz dz 稱為稱為f在在 z 點(diǎn)的微分點(diǎn)的微分復(fù)函數(shù)是一個(gè)二元函數(shù)（實(shí)部和虛部），復(fù)數(shù)空間又是個(gè)二元空間，故復(fù)函數(shù)類似于一個(gè)矢量場(chǎng)，其導(dǎo)數(shù)一般應(yīng)與方向有關(guān)。可導(dǎo)：對(duì)任何方向的可導(dǎo)：對(duì)任何方向的 ，極限都，極限都存在存在并并唯一唯一。zx0y),(yxu1r2r1r2r1u2u可導(dǎo)：對(duì)任何方向的可導(dǎo)：對(duì)任何方向的 ，極限都，極限都存在存在并并唯一唯一。zxyzzz zz復(fù)數(shù)0 xxx實(shí)數(shù)因此，復(fù)函數(shù)的可導(dǎo)性是比實(shí)函數(shù)的可導(dǎo)性強(qiáng)的多的條件。

3、柯西柯西黎曼方程黎曼方程z沿實(shí)軸0yxvixuzxvixuzz0limz沿虛軸yiviyiuz0 xyuiyvzz0lim可導(dǎo)可導(dǎo)，要求二者相等yvxu必要條件必要條件yuxv柯西柯西黎曼方程黎曼方程 例如例如 ，所以：，所以： 由于由于 由于偏導(dǎo)數(shù)雖然存在，但不滿足由于偏導(dǎo)數(shù)雖然存在，但不滿足C-R條件，因條件，因而而 在復(fù)平面上處處不可微在復(fù)平面上處處不可微. 2) C-R條件不是復(fù)變函數(shù)可微的充分條件條件不是復(fù)變函數(shù)可微的充分條件.例如：函數(shù)例如：函數(shù) 在在z = 0點(diǎn)滿足點(diǎn)滿足C-R條件，但不可微。由于條件，但不可微。由于 ， ，于是，于是0),(yxv1) C-R條件不滿足，函數(shù)一定

4、不可微條件不滿足，函數(shù)一定不可微 顯然滿足顯然滿足C-R條件，但在條件，但在z=0點(diǎn)并不可微，因?yàn)辄c(diǎn)并不可微，因?yàn)?當(dāng)當(dāng) 沿射線沿射線 趨于零時(shí)，趨于零時(shí)，與與k 有關(guān)，沿不同的射線，有關(guān)，沿不同的射線，k 值不同，所以該極限不存在，值不同，所以該極限不存在，從而函數(shù)在從而函數(shù)在z = 0點(diǎn)不可微點(diǎn)不可微. 定理：定理： 在在 可可微微 ， 在點(diǎn)（在點(diǎn)（x , y）處可）處可微，并滿足微，并滿足C-R條件條件.由上述定理可得：復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有本質(zhì)上的差別，由上述定理可得：復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有本質(zhì)上的差別，復(fù)變函數(shù)可微，不但要求復(fù)變函數(shù)的實(shí)部與虛部可微，而且還復(fù)變函數(shù)可微，不但要

5、求復(fù)變函數(shù)的實(shí)部與虛部可微，而且還要求其實(shí)部與虛部通過要求其實(shí)部與虛部通過C-R條件聯(lián)系起來。條件聯(lián)系起來。 上述條件滿足時(shí)上述條件滿足時(shí)f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)z=x+iy的導(dǎo)數(shù)可以表示為：的導(dǎo)數(shù)可以表示為： 復(fù)函數(shù)f可微的充分必要條件該定理對(duì)閉域該定理對(duì)閉域 也成立。也成立。B(*)(*)解析函數(shù)解析函數(shù))(zf在點(diǎn)點(diǎn) 解析解析，即在這點(diǎn)可導(dǎo)。0z為在區(qū)域 B 中解析函數(shù)，即在區(qū)域的點(diǎn)點(diǎn)解析。 稱函數(shù)f在某點(diǎn)解析，指其在該點(diǎn)的某領(lǐng)域解析；稱函數(shù)f在某閉域 上解析，指其在包含該閉域的某區(qū)域上解析。 解析函數(shù)又稱全純函數(shù)或正則函數(shù)奇點(diǎn)：奇點(diǎn)：F 在點(diǎn)點(diǎn) 不解析解析，但是該點(diǎn)的領(lǐng)域里總有f的解析點(diǎn)，則稱

6、 為奇點(diǎn)。0z0zB解析函數(shù)的實(shí)部和虛部通過解析函數(shù)的實(shí)部和虛部通過C-R方程相互聯(lián)系，方程相互聯(lián)系，并不獨(dú)立，只要知道解析函數(shù)的虛部并不獨(dú)立，只要知道解析函數(shù)的虛部(或?qū)嵅炕驅(qū)嵅?，就可求出相應(yīng)的實(shí)部就可求出相應(yīng)的實(shí)部(或虛部或虛部).例：已知解析函數(shù)的實(shí)部例：已知解析函數(shù)的實(shí)部 ， 求該解析函數(shù)求該解析函數(shù).解：先計(jì)算解：先計(jì)算 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)由哥西由哥西-黎曼條件得黎曼條件得求求v 的另一種求法：由的另一種求法：由 得得即即 調(diào)和函數(shù)的定義調(diào)和函數(shù)的定義 定義：如果實(shí)變函數(shù)定義：如果實(shí)變函數(shù) 在某區(qū)域在某區(qū)域D上上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足方程有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足方程則稱則稱 為

7、區(qū)域?yàn)閰^(qū)域D上的調(diào)和函數(shù)，方程稱為上的調(diào)和函數(shù)，方程稱為拉普拉斯方程拉普拉斯方程.解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 設(shè)設(shè) 在區(qū)域在區(qū)域D上解析，則上解析，則C-R條件成立條件成立 ， . 下一章將證明，某個(gè)區(qū)域上的解析函數(shù)在該下一章將證明，某個(gè)區(qū)域上的解析函數(shù)在該區(qū)域上必有任意階的導(dǎo)數(shù)，因此可對(duì)上式求偏區(qū)域上必有任意階的導(dǎo)數(shù)，因此可對(duì)上式求偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) , 同理可得同理可得解析函數(shù)惡實(shí)部虛部是調(diào)和函數(shù) 即即 , 都滿足拉普拉斯方程，都滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)。是調(diào)和函數(shù)。注意：反過來定理不一定成立，如果注意：反過來定理不一定成立，如果 是調(diào)和函數(shù)，是調(diào)和函數(shù)， 不一定解析，因?yàn)榻馕霾灰欢ń馕?，因?yàn)榻?/p>

8、析函數(shù)必須滿足函數(shù)必須滿足C-R條件條件. 由由C-R條件聯(lián)系著的調(diào)和函數(shù)條件聯(lián)系著的調(diào)和函數(shù) u 與與 v 稱為稱為共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù)定理：任何一個(gè)在區(qū)域定理：任何一個(gè)在區(qū)域D上的解析函數(shù)，其實(shí)部上的解析函數(shù)，其實(shí)部與虛部在該區(qū)域上互為共軛調(diào)和函數(shù)。與虛部在該區(qū)域上互為共軛調(diào)和函數(shù)。 設(shè)設(shè) 是區(qū)域是區(qū)域D上的解上的解析函數(shù)，則析函數(shù)，則 ， 兩式相乘得兩式相乘得即即共軛調(diào)和函數(shù)的幾何意義 就是說，梯度就是說，梯度 跟梯度跟梯度 正交正交. 我們知道，我們知道， 和和 分別是曲線族分別是曲線族 “ ”和和“ ”的法向矢量，因而上式表示的法向矢量，因而上式表示“ ”與與 “ ”兩族曲線相互

9、正交兩族曲線相互正交. 這就解析函數(shù)實(shí)部與虛部的幾何意義這就解析函數(shù)實(shí)部與虛部的幾何意義.已知 u 求 v當(dāng)它們是某解析函數(shù)的實(shí)部和虛部dyxudxyudyyvdxxvdvyxv),(可由 (1) 曲線積分 (2) 湊全微分顯式 (3) 不定積分求出例例22),(yxyxu求)(),(zfyxv解解:2, 22222yuxu u 是調(diào)和函數(shù);Cxdyydxdyxudxyuyxv22),(1)二元函數(shù)的線積分，將來在熱力學(xué)熱力學(xué)中出現(xiàn)。全微分的積分與路徑無關(guān)CxyCydxCxdyydxxdyydxyxvyxyyxyy222222),(),(), 0(),(), 0(), 0()0 , 0(2)2

10、(22),(xydxdyydxyxdvCxyv 2(3)(2)(2),(xxyxxdyyxv視 x 為參量參量，對(duì) y 積分yyuxyxv2)( 2求 滿足的方程)(xCx )(Cxyv 2CizCiiyxCixyiyxzf2222)(2)()( 一、初等單值函數(shù)一、初等單值函數(shù) 1、冪函數(shù)、冪函數(shù) . 1)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 在復(fù)平面上在復(fù)平面上處處 處解析，且處解析，且 2)多項(xiàng)式函多項(xiàng)式函數(shù)數(shù): . 在復(fù)平面上解析在復(fù)平面上解析. 3)有理函數(shù)有理函數(shù) 初等解析函數(shù) (其中其中 )在復(fù)平面上除在復(fù)平面上除 的點(diǎn)外解析的點(diǎn)外解析. 2、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù) 1)定義：定義： 2)性質(zhì)：性質(zhì)： i

11、). ，因，因. ii).當(dāng)當(dāng) 時(shí)，與通常的實(shí)變指時(shí)，與通常的實(shí)變指數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù) 一致一致. iii). iv). 在復(fù)平面上解析，在復(fù)平面上解析， . v).以以 為周期：為周期： vi). 不存在不存在. 因?yàn)橐驗(yàn)閦 沿實(shí)軸的正負(fù)沿實(shí)軸的正負(fù) 方向趨于方向趨于 時(shí)，時(shí)， 分別趨于分別趨于 和和0. 3)歐拉公式：若令歐拉公式：若令 （ 為實(shí)數(shù)），為實(shí)數(shù)），則則 3、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù) 1)定義：將歐拉公式中的實(shí)數(shù)定義：將歐拉公式中的實(shí)數(shù) 換為復(fù)數(shù)換為復(fù)數(shù) z ，就得到正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義：就得到正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義： 2)性質(zhì)：性質(zhì)： i). 在復(fù)平面上解析，且

12、：在復(fù)平面上解析，且： ii). 是奇函數(shù)，是奇函數(shù)， 是偶函數(shù)，遵從三是偶函數(shù)，遵從三角公式，如：角公式，如： iii). 以以 為周期為周期. iv).零點(diǎn)零點(diǎn) v).在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，不能斷定在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，不能斷定 例如，取例如，取 ，) 1, 0(N 當(dāng)當(dāng)y 充分大時(shí)，充分大時(shí)， 就可以大于任何指就可以大于任何指定的數(shù)定的數(shù). 通過通過 可以仿照通常的三角關(guān)可以仿照通常的三角關(guān)系定義正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割系定義正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)，它們的性質(zhì)可以由函數(shù)，它們的性質(zhì)可以由 的性的性質(zhì)推出質(zhì)推出.例如：例如： ， 它在它在 的各點(diǎn)的各點(diǎn) 解析，且以解析，且以 為周

13、期為周期. 二、二、 初等多值函數(shù)初等多值函數(shù) 1、根式函數(shù)、根式函數(shù) , 定義：如果定義：如果 則稱則稱w 為為z 的根式函數(shù)，的根式函數(shù)，記為記為 . 下面以下面以 為例，來闡明有關(guān)多值函為例，來闡明有關(guān)多值函數(shù)的基本概念。數(shù)的基本概念。(i). 是多值函數(shù)是多值函數(shù) 由由 得得 ，令令 ，則有，則有 ,iizrewe 由此可得由此可得 (ii).單值分支單值分支 對(duì)于對(duì)于 ()argz1arg33w2arg3wvuOIIIIII3arg3w (iii).支點(diǎn)支點(diǎn) 當(dāng)當(dāng)z 沿支點(diǎn)轉(zhuǎn)一周時(shí)，沿支點(diǎn)轉(zhuǎn)一周時(shí)， 由由 變成變成 ，即由前一個(gè)分支變成后，即由前一個(gè)分支變成后 一個(gè)分支，再轉(zhuǎn)一周，變

14、成一個(gè)分支，再轉(zhuǎn)一周，變成 所以，復(fù)變多值函數(shù)所以，復(fù)變多值函數(shù) 不能分解成三個(gè)不能分解成三個(gè)獨(dú)立的單值函數(shù)。獨(dú)立的單值函數(shù)。(iv).支割線支割線 在在z平面上從支點(diǎn)平面上從支點(diǎn)z = 0到支點(diǎn)到支點(diǎn) 任任意引一條射線，稱為支割線，將意引一條射線，稱為支割線，將z 平面割開，平面割開，并規(guī)定當(dāng)并規(guī)定當(dāng)z 連續(xù)變化時(shí)，不得跨越支割線，即連續(xù)變化時(shí)，不得跨越支割線，即規(guī)定規(guī)定 ，這就使得在割開的，這就使得在割開的z 平面平面上的任意閉曲線不含支點(diǎn)上的任意閉曲線不含支點(diǎn) 在內(nèi)，這在內(nèi)，這樣相應(yīng)的函數(shù)值也只能在樣相應(yīng)的函數(shù)值也只能在w平面上的一個(gè)單值平面上的一個(gè)單值分支上取值，而不會(huì)由一支變到另一支

15、，這分支上取值，而不會(huì)由一支變到另一支，這樣就將多值函數(shù)變成了獨(dú)立的單值函數(shù)。樣就將多值函數(shù)變成了獨(dú)立的單值函數(shù)。 注意：把一個(gè)多值函數(shù)劃分為單值分支是注意：把一個(gè)多值函數(shù)劃分為單值分支是與支割線密切相關(guān)的，對(duì)不同的支割線，多與支割線密切相關(guān)的，對(duì)不同的支割線，多值函數(shù)各單值分支的定義域和值域也就不同。值函數(shù)各單值分支的定義域和值域也就不同。argz 例如：例如：i）.當(dāng)沿正實(shí)軸割開的當(dāng)沿正實(shí)軸割開的z平面時(shí)平面時(shí), 的三個(gè)單值分支為：定義域：的三個(gè)單值分支為：定義域： 值域?yàn)椋褐涤驗(yàn)椋篿i）.當(dāng)沿負(fù)實(shí)軸割開的當(dāng)沿負(fù)實(shí)軸割開的z 平面時(shí)，三個(gè)單值分平面時(shí)，三個(gè)單值分支為：定義域：支為：定義域：

16、 例：設(shè)例：設(shè) 確定在沿正實(shí)軸割破的確定在沿正實(shí)軸割破的z 平面上，平面上，并且并且 求求 例：設(shè)例：設(shè) 確定在沿正實(shí)軸割破的確定在沿正實(shí)軸割破的z 平面上，平面上，并且并且 求求解：由于是沿正實(shí)軸割破的解：由于是沿正實(shí)軸割破的z 平面上，所以定義平面上，所以定義域?yàn)椋河驗(yàn)椋?由于由于 ， ，故應(yīng)取第三支，故應(yīng)取第三支 (v)三個(gè)單值分支在割破的三個(gè)單值分支在割破的z 平面上都是解析的，平面上都是解析的，且：且： 對(duì)于一般的根式對(duì)于一般的根式 可進(jìn)行類似的可進(jìn)行類似的討論，此時(shí)支點(diǎn)為討論，此時(shí)支點(diǎn)為 和和 2、對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù) (i).定義：若復(fù)數(shù)定義：若復(fù)數(shù) ，且滿足，且滿足 ，復(fù)，復(fù)數(shù)數(shù)

17、w 稱為稱為z 的對(duì)數(shù)函數(shù)，并記為的對(duì)數(shù)函數(shù)，并記為 注意：注意： 時(shí)時(shí), 沒有意義沒有意義 0z (ii).對(duì)數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)為多值函數(shù) 若限定若限定 取取 則則z的對(duì)數(shù)只有一個(gè)，稱它為的對(duì)數(shù)只有一個(gè)，稱它為 的主的主值支值支 ，記為，記為 (iii).單值分支、支點(diǎn)、支割線單值分支、支點(diǎn)、支割線 對(duì)數(shù)函數(shù)只有兩個(gè)支點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)只有兩個(gè)支點(diǎn) ，從，從0點(diǎn)到點(diǎn)到 點(diǎn)作支割線，即可得到在這割破的點(diǎn)作支割線，即可得到在這割破的z平面上的平面上的無窮多單值分支無窮多單值分支 (iv).無窮多個(gè)單值函數(shù)都是解析函數(shù)，且：無窮多個(gè)單值函數(shù)都是解析函數(shù)，且： (v).運(yùn)算法則運(yùn)算法則 但 不成立. 但但 不成立。