第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程和基本規(guī)律

1、三大守恒定律的簡(jiǎn)介跡線、流線、流管流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析速度位函數(shù)基本方程（一）：連續(xù)方程流函數(shù)旋渦運(yùn)動(dòng)基本方程（二）：動(dòng)量方程基本方程（三）：能量方程（教材上沒(méi)有，屬必須掌握內(nèi)容）三大基本方程的基本解法簡(jiǎn)介自然科學(xué)中有三大守恒律：質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒和能量守恒。本章將利用這三大原理，推導(dǎo)出流體力學(xué)中的三個(gè)基本方程：然后粗略介紹這三個(gè)方程的解法。2.1 三大守恒定律的簡(jiǎn)介三大守恒定律的簡(jiǎn)介焦耳（焦耳（JamesJamesPrescortPrescortJoule,1818Joule,181818891889）英國(guó)杰出的物理學(xué)家。）英國(guó)杰出的物理學(xué)家。 18471847年年4 4月月2828日英日英國(guó)

2、物理學(xué)家焦耳將自己所發(fā)現(xiàn)的能量守恒定國(guó)物理學(xué)家焦耳將自己所發(fā)現(xiàn)的能量守恒定律第一次作了全面和充分的闡述律第一次作了全面和充分的闡述 。 JouleDescartesDescartes笛卡爾笛卡爾( (法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家,1596-,1596-1690)1690)拉瓦錫（拉瓦錫（Antoine-Laurent Antoine-Laurent LavoisierLavoisier，1743174317941794），），法國(guó)化學(xué)家，法國(guó)化學(xué)家，1789 1789 年，拉瓦年，拉瓦錫在他的歷史名著錫在他的歷史名著化化學(xué)概論學(xué)概論中第一次用清晰的中第一次用清晰的語(yǔ)言把質(zhì)量守恒定律表達(dá)

3、出語(yǔ)言把質(zhì)量守恒定律表達(dá)出來(lái)，用實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證來(lái)，用實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證 。2.2 跡線、流線、流管跡線、流線、流管空氣動(dòng)力學(xué)中， 除了要求解以外，還需要繪制流場(chǎng)的流動(dòng)圖畫(huà)(Flow Patterns)。它能幫助我們直觀形象地分析流體運(yùn)動(dòng)。為此，引入跡線圖和流線的概念。 跡線跡線(Path Line)：流體微團(tuán)在流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡?；蛘哒f(shuō)，同一個(gè)流體微團(tuán)，在不同時(shí)刻的空間坐標(biāo)的連線。 流線流線(Stream Line)：流場(chǎng)中的一條曲線，線上各點(diǎn)的切向和該點(diǎn)的速度方向相同。如果流動(dòng)是非定常的，由于速度矢量的大小和方向隨時(shí)間變化而變化，所以不同時(shí)刻的流線形式也不相同。流線不能是折線，而是一條光滑的曲線。

4、 2.2 跡線、流線、流管跡線、流線、流管xyz流線是空間曲線 , 用 表示。2.2 跡線、流線、流管跡線、流線、流管ds( , , ) 0f x yz 如何求流線方程如何求流線方程點(diǎn)A處的速度 和 平行。因此，由矢量叉乘的定義得流線方程為：Vds0dsV 設(shè) 是流線上的一個(gè)微段。dsVAxyz2.2 跡線、流線、流管跡線、流線、流管dsdxidyjdzk 0dsV , , , , , , , , ,V x y z tu x y z t iv x y z tjw x y z t k 在迪卡爾坐標(biāo)系下，ijkds Vdxdydzuvw 0vdzwdy0 wdxudz0udyvdx笛卡爾坐標(biāo)系下流

5、線方程的微分形式：dsVAxyz2.2 跡線、流線、流管跡線、流線、流管 , , , , , , ,dxdydzu x y z tv x y z tw x y z t 上式亦可表達(dá)為，0vdzwdy0 wdxudz0udyvdx笛卡爾坐標(biāo)系下流線方程的微分形式：2.2 跡線、流線、流管跡線、流線、流管在三維空間，在流場(chǎng)中在三維空間，在流場(chǎng)中取一條不為流線的封閉取一條不為流線的封閉曲線，經(jīng)過(guò)曲線上每一曲線，經(jīng)過(guò)曲線上每一點(diǎn)作流線，所有這些流點(diǎn)作流線，所有這些流線集合構(gòu)成的管狀曲面線集合構(gòu)成的管狀曲面被稱(chēng)為流管，如圖。被稱(chēng)為流管，如圖。由于流管由流線組成，因此流體不能穿出或者穿入流管表面。由于流管

6、由流線組成，因此流體不能穿出或者穿入流管表面。在任意瞬時(shí)，流場(chǎng)中的流管類(lèi)似真實(shí)的固體管壁。在任意瞬時(shí)，流場(chǎng)中的流管類(lèi)似真實(shí)的固體管壁。對(duì)定常流動(dòng)，直接運(yùn)用積分形式的連續(xù)方程，可以證明穿過(guò)流對(duì)定常流動(dòng)，直接運(yùn)用積分形式的連續(xù)方程，可以證明穿過(guò)流管截面的質(zhì)量流量是不變的管截面的質(zhì)量流量是不變的 。流管流管(Stream Tube)xyz 2.3 流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析流場(chǎng)中的流體微團(tuán)流場(chǎng)中的流體微團(tuán), ,當(dāng)它沿著流線做當(dāng)它沿著流線做平移運(yùn)動(dòng)平移運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，還的同時(shí)，還可能有可能有旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)、變形運(yùn)動(dòng)變形運(yùn)動(dòng)。微團(tuán)旋轉(zhuǎn)和變形量取決于速度場(chǎng)，本節(jié)的目的就是用速度微團(tuán)旋轉(zhuǎn)和變形量取決于速度場(chǎng)

7、，本節(jié)的目的就是用速度場(chǎng)量化分析微元的旋轉(zhuǎn)和變形運(yùn)動(dòng)。場(chǎng)量化分析微元的旋轉(zhuǎn)和變形運(yùn)動(dòng)。 2.3 流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析yx考慮考慮 xy 平面內(nèi)的二維流動(dòng)。取流場(chǎng)中的一個(gè)微元體。假設(shè)在時(shí)刻平面內(nèi)的二維流動(dòng)。取流場(chǎng)中的一個(gè)微元體。假設(shè)在時(shí)刻 t t ，流體微元是矩形。一般情況下流場(chǎng)是不均勻的，即流場(chǎng)中的各點(diǎn)速度的流體微元是矩形。一般情況下流場(chǎng)是不均勻的，即流場(chǎng)中的各點(diǎn)速度的大小和方向都可能變化。因此該微團(tuán)從大小和方向都可能變化。因此該微團(tuán)從 t t 時(shí)刻的位置時(shí)刻的位置 ABCD ABCD 運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到 t+t+D Dt 時(shí)刻的位置上，流體微團(tuán)的體積、形狀都發(fā)生了變化，而且也發(fā)生時(shí)

8、刻的位置上，流體微團(tuán)的體積、形狀都發(fā)生了變化，而且也發(fā)生了旋轉(zhuǎn)。整個(gè)運(yùn)動(dòng)是同時(shí)發(fā)生的，可以將這樣的一個(gè)復(fù)雜的一般運(yùn)動(dòng)分了旋轉(zhuǎn)。整個(gè)運(yùn)動(dòng)是同時(shí)發(fā)生的，可以將這樣的一個(gè)復(fù)雜的一般運(yùn)動(dòng)分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)的合成如圖所示。解為幾個(gè)簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)的合成如圖所示。 BADCtBADCt+D Dt流體微團(tuán)在流體微團(tuán)在 xy 平面的角速度定義平面的角速度定義為為AB 邊和邊和 AC 邊邊的的角速度的平均值，記作角速度的平均值，記作 ， 因此，因此，z定義定義 AB 邊和邊和 AC 邊的角速度分別為，邊的角速度分別為， 和和 2.3 流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析2ddt1ddt2vtx DDDD 1,uty

9、 D DD D 由，由，有，有，110lim,tdudttyD D D D DD220limtdvdttxD D D D DD121122zdddvdudtdtdxdy 角速度角速度 2.3 流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析上面的分析只考慮了在二維 xy 平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。對(duì)一般三維空間流體微團(tuán)的角速度是指向某特定方向的矢量， 12xyzijkwvuwvuijkyzzxxy上式用速度場(chǎng)表達(dá)了流體微團(tuán)的角速度，更準(zhǔn)確地說(shuō)，是用速度場(chǎng)的導(dǎo)數(shù)表示了流體微團(tuán)的角速度。 2.3 流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析2V 旋度：定義為旋轉(zhuǎn)角速度 的兩倍，記為 。1）如果 在流動(dòng)中處處成立，流動(dòng)稱(chēng)為有旋流動(dòng)

10、。這表明流體微團(tuán)在流動(dòng)過(guò)程中具有一定的旋轉(zhuǎn)角速度。0V0yuxv0 V2）如果 在流場(chǎng)中處處成立，流動(dòng)稱(chēng)為無(wú)旋流動(dòng)。這表明流體微團(tuán)沒(méi)有角速度，在空間作純粹的平移運(yùn)動(dòng)。3）二維無(wú)旋流動(dòng)條件： 再回到前面再回到前面 xy 平面內(nèi)的二維流平面內(nèi)的二維流動(dòng)時(shí)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析。動(dòng)時(shí)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析。角變形率角變形率k kD1D2udy ty D D BAvdx tx D D CdydxA設(shè)設(shè)ABAB和和ACAC之間的夾角為之間的夾角為 k k 。當(dāng)流當(dāng)流體微團(tuán)在流場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，體微團(tuán)在流場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)， k k 也會(huì)也會(huì)相應(yīng)改變。相應(yīng)改變。dydxAuvuudyy BCvvdxx 在在t t 時(shí)刻，時(shí)刻，

11、 k k =90=90o o 。在。在t t+ +D Dt 時(shí)時(shí)刻刻，k k 也會(huì)變化了也會(huì)變化了 DkDk， 1k D DD D D D在粘性流動(dòng)中，角變形量之半隨時(shí)間變化是一個(gè)非常重要在粘性流動(dòng)中，角變形量之半隨時(shí)間變化是一個(gè)非常重要的量，稱(chēng)為的量，稱(chēng)為角變形率角變形率，用，用個(gè)個(gè) g gz 來(lái)表示。來(lái)表示。 1k D DD D D D1k D DD D D D角變形：角變形：流體微團(tuán)在流體微團(tuán)在 xy 平面內(nèi)的平面內(nèi)的k k 的變化。規(guī)定當(dāng)?shù)淖兓?。?guī)定當(dāng) k k 減減小時(shí)角變形為正。因此，小時(shí)角變形為正。因此，角變形=2vtx DDDD 1,uty D DD D 21111222zddd

12、vudtdtdtxygk 類(lèi)似，在類(lèi)似，在 yz 和和 zx 平面上流體微團(tuán)的角變形率為，平面上流體微團(tuán)的角變形率為，12xwvyzg 12yuwzxg 12zvuxyg角速度角速度（以及旋度）和（以及旋度）和角變形率角變形率只取決于流場(chǎng)速度的導(dǎo)數(shù)，只取決于流場(chǎng)速度的導(dǎo)數(shù)，把速度的導(dǎo)數(shù)寫(xiě)成如下矩陣形式，把速度的導(dǎo)數(shù)寫(xiě)成如下矩陣形式，uuuxyzvvvxyzwwwxyz 對(duì)于對(duì)于無(wú)旋流動(dòng)無(wú)旋流動(dòng)來(lái)說(shuō)，存在一個(gè)來(lái)說(shuō)，存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù) ，速度矢量，速度矢量 恰好等于其恰好等于其梯度梯度。即一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度的旋度等于即一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度的旋度等于0 0。從上面的式子中可以。從上面的式子中可以

13、得出，得出， , , ,0 x y z t , , , , ,V x y z tx y z t 如果如果 在流場(chǎng)中在流場(chǎng)中處處成立處處成立，流動(dòng)稱(chēng)為，流動(dòng)稱(chēng)為無(wú)旋流動(dòng)無(wú)旋流動(dòng)。0 V第一章的作業(yè)中曾經(jīng)做過(guò)下式的證明，第一章的作業(yè)中曾經(jīng)做過(guò)下式的證明，V 就稱(chēng)為就稱(chēng)為或速度勢(shì)函數(shù)或速度勢(shì)函數(shù)(Velocity Potential)。簡(jiǎn)稱(chēng)。簡(jiǎn)稱(chēng)。對(duì)于對(duì)于無(wú)旋流動(dòng)無(wú)旋流動(dòng)來(lái)說(shuō)，存在一個(gè)來(lái)說(shuō)，存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù) ，速度矢量，速度矢量 恰好等于其恰好等于其梯度梯度。uivjwkijkxyz uxvywz V , , , , ,V x y z tx y z t zVrVrVzr,1,在球坐標(biāo)系中速度

14、位的表達(dá)式為，在球坐標(biāo)系中速度位的表達(dá)式為，在柱坐標(biāo)系中速度位的表達(dá)式為，在柱坐標(biāo)系中速度位的表達(dá)式為，11,sinrVVVrrr 2.5.4 連續(xù)方程的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)形式連續(xù)方程的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)形式 2.5.1 連續(xù)方程的物理意義連續(xù)方程的物理意義 2.5.2 連續(xù)方程的積分形式連續(xù)方程的積分形式 2.5.3 連續(xù)方程的微分形式連續(xù)方程的微分形式 連續(xù)方程描述的是流體力學(xué)中的質(zhì)量守恒規(guī)律：連續(xù)方程描述的是流體力學(xué)中的質(zhì)量守恒規(guī)律：ndmV dAdt 和前面推導(dǎo)和前面推導(dǎo) 的物理意義不同，那里采用的是運(yùn)動(dòng)的控的物理意義不同，那里采用的是運(yùn)動(dòng)的控制體，這里我們采用制體，這里我們采用，即控制體固，即控制體固定

15、在空間某個(gè)位置，流體從中穿過(guò)。定在空間某個(gè)位置，流體從中穿過(guò)。 在第一章中，我們討論了幾種用來(lái)在第一章中，我們討論了幾種用來(lái)研究流體運(yùn)動(dòng)的模型研究流體運(yùn)動(dòng)的模型，現(xiàn)，現(xiàn)在對(duì)這些流體模型運(yùn)用基本的物理原理來(lái)推導(dǎo)流體運(yùn)動(dòng)的基在對(duì)這些流體模型運(yùn)用基本的物理原理來(lái)推導(dǎo)流體運(yùn)動(dòng)的基本方程。本方程。VS固定控制體V顯然，和前面的推導(dǎo)不同，控制體顯然，和前面的推導(dǎo)不同，控制體的體積和控制面都不隨時(shí)間變化，的體積和控制面都不隨時(shí)間變化，但是由于流場(chǎng)的非定常特性，控制但是由于流場(chǎng)的非定常特性，控制體內(nèi)所包含的質(zhì)量是隨時(shí)間變化的體內(nèi)所包含的質(zhì)量是隨時(shí)間變化的。 此方程是對(duì)在此方程是對(duì)在空間位置固定的有限控制體空間

16、位置固定的有限控制體運(yùn)用運(yùn)用質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律得到得到的結(jié)果，稱(chēng)為的結(jié)果，稱(chēng)為。它是流體力學(xué)中最基本的方程之一。它是流體力學(xué)中最基本的方程之一。上式就是連續(xù)方程的上式就是連續(xù)方程的積分形式積分形式。然而，有時(shí)候我們需要關(guān)心流場(chǎng)的細(xì)節(jié)，就必須對(duì)所取定點(diǎn)運(yùn)然而，有時(shí)候我們需要關(guān)心流場(chǎng)的細(xì)節(jié)，就必須對(duì)所取定點(diǎn)運(yùn)用連續(xù)方程進(jìn)行分析。在這種情況下，積分形式的連續(xù)方程并用連續(xù)方程進(jìn)行分析。在這種情況下，積分形式的連續(xù)方程并不適用。不適用。0ggdtSdVS 由于推導(dǎo)時(shí)所用的由于推導(dǎo)時(shí)所用的控制體的空間位置固定控制體的空間位置固定，所以積分的極限，所以積分的極限形式也是固定的。于是形式也是固定的。于是

17、對(duì)時(shí)間求偏導(dǎo)數(shù)可以放到體積分符號(hào)對(duì)時(shí)間求偏導(dǎo)數(shù)可以放到體積分符號(hào)里面里面。 0ggdtSdVSggdVdSVnSdVSS0ggdtV根據(jù)矢量場(chǎng)面積分和體積分的關(guān)系根據(jù)矢量場(chǎng)面積分和體積分的關(guān)系( (奧高公式奧高公式) )，有，有因此，因此，0Vt分析積分形式中的被積函數(shù)，如果被積函數(shù)的值是有限的，那分析積分形式中的被積函數(shù)，如果被積函數(shù)的值是有限的，那么此方程要求它在控制體的一部分區(qū)域的積分和剩余的區(qū)域的么此方程要求它在控制體的一部分區(qū)域的積分和剩余的區(qū)域的積分大小相等，符號(hào)相反，這樣在整個(gè)控制體內(nèi)的積分才為零。積分大小相等，符號(hào)相反，這樣在整個(gè)控制體內(nèi)的積分才為零。然而有限控制體是任意的，因

18、此然而有限控制體是任意的，因此對(duì)任意控制體對(duì)任意控制體，都要求要此方，都要求要此方程的積分為零，程的積分為零，唯一方法唯一方法是被積函數(shù)在控制體內(nèi)所有點(diǎn)值都為是被積函數(shù)在控制體內(nèi)所有點(diǎn)值都為零。因此零。因此 上式就是上式就是連續(xù)方程的微分形式連續(xù)方程的微分形式。該方程建立了。該方程建立了流場(chǎng)中某點(diǎn)流場(chǎng)中某點(diǎn)的流的流動(dòng)變量之間的關(guān)系，與積分形式的連續(xù)方程相反，后者反應(yīng)的動(dòng)變量之間的關(guān)系，與積分形式的連續(xù)方程相反，后者反應(yīng)的是流場(chǎng)中一個(gè)是流場(chǎng)中一個(gè)有限空間有限空間的流動(dòng)變量之間的關(guān)系。的流動(dòng)變量之間的關(guān)系。 VVV 0 Vt第一章我們學(xué)習(xí)了第一章我們學(xué)習(xí)了物質(zhì)導(dǎo)數(shù)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，下面我們把連續(xù)方程表示成

19、物，下面我們把連續(xù)方程表示成物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的形式。質(zhì)導(dǎo)數(shù)的形式。 VtDtD考慮微分形式給出的連續(xù)方程考慮微分形式給出的連續(xù)方程 上式即是用上式即是用物質(zhì)導(dǎo)數(shù)表現(xiàn)的連續(xù)方程物質(zhì)導(dǎo)數(shù)表現(xiàn)的連續(xù)方程的形式。的形式。0VDtD0VVt 應(yīng)用上述的矢量記號(hào)，上式變?yōu)閼?yīng)用上述的矢量記號(hào)，上式變?yōu)?此方程中前兩項(xiàng)的和就是此方程中前兩項(xiàng)的和就是密度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)密度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 。因此有，。因此有， 0 Vt前面我們已經(jīng)指出，流體的運(yùn)動(dòng)可以分為前面我們已經(jīng)指出，流體的運(yùn)動(dòng)可以分為無(wú)旋運(yùn)動(dòng)無(wú)旋運(yùn)動(dòng)和和有旋有旋運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)兩種，無(wú)旋運(yùn)動(dòng)是流場(chǎng)中微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度等于兩種，無(wú)旋運(yùn)動(dòng)是流場(chǎng)中微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度等于 0 的運(yùn)動(dòng)，而有旋運(yùn)

20、動(dòng)則是流場(chǎng)中微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度的運(yùn)動(dòng)，而有旋運(yùn)動(dòng)則是流場(chǎng)中微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度 0的的運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。有旋運(yùn)動(dòng)又稱(chēng)作有旋運(yùn)動(dòng)又稱(chēng)作旋渦運(yùn)動(dòng)旋渦運(yùn)動(dòng)。旋渦運(yùn)動(dòng)是自然界、日常生活中旋渦運(yùn)動(dòng)是自然界、日常生活中以及工程實(shí)際中常碰到的現(xiàn)象。例如以及工程實(shí)際中常碰到的現(xiàn)象。例如龍卷風(fēng)龍卷風(fēng)是一種強(qiáng)大的旋是一種強(qiáng)大的旋渦運(yùn)動(dòng)；在船尾的后面，河床的拐彎處以及水管的突然擴(kuò)大渦運(yùn)動(dòng)；在船尾的后面，河床的拐彎處以及水管的突然擴(kuò)大處等都會(huì)產(chǎn)生旋渦；飛機(jī)在飛行同時(shí)也會(huì)產(chǎn)生旋渦。總之旋處等都會(huì)產(chǎn)生旋渦；飛機(jī)在飛行同時(shí)也會(huì)產(chǎn)生旋渦?？傊郎u運(yùn)動(dòng)是實(shí)際存在的一種重要的運(yùn)動(dòng)，因而對(duì)于渦運(yùn)動(dòng)是實(shí)際存在的一種重要的運(yùn)動(dòng)，因而對(duì)于旋渦運(yùn)動(dòng)的

21、旋渦運(yùn)動(dòng)的研究有著重要的意義研究有著重要的意義。 0V此式表明旋渦場(chǎng)是此式表明旋渦場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)。無(wú)源場(chǎng)。如同全流場(chǎng)可以用流線描述一樣，有旋運(yùn)動(dòng)的如同全流場(chǎng)可以用流線描述一樣，有旋運(yùn)動(dòng)的旋渦場(chǎng)旋渦場(chǎng)也可以也可以用用渦線渦線來(lái)描述。因此由來(lái)描述。因此由速度向量速度向量所構(gòu)成的速度場(chǎng)里所引進(jìn)的所構(gòu)成的速度場(chǎng)里所引進(jìn)的關(guān)于流線、流管、流量等一系列概念，可以套用到由關(guān)于流線、流管、流量等一系列概念，可以套用到由旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)角速度向量速度向量所構(gòu)成的旋渦場(chǎng)中來(lái)。所構(gòu)成的旋渦場(chǎng)中來(lái)。 渦線渦線：是充滿(mǎn)旋渦流場(chǎng)中的：是充滿(mǎn)旋渦流場(chǎng)中的一系列的曲線，在任意瞬時(shí)一系列的曲線，在任意瞬時(shí)該曲線上微團(tuán)的該曲線上微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)

22、角速度旋轉(zhuǎn)角速度向量向量（旋轉(zhuǎn)軸線方向按右手（旋轉(zhuǎn)軸線方向按右手定則）都和定則）都和曲線相切曲線相切，右如，右如圖所示。圖所示。zyxdzdydx渦線方程渦線方程： 0dsds渦管渦管：某瞬時(shí)，在旋渦場(chǎng)中任?。耗乘矔r(shí)，在旋渦場(chǎng)中任取一條一條非渦線的光滑封閉曲線非渦線的光滑封閉曲線（曲（曲線不得與同一條渦線相交于兩線不得與同一條渦線相交于兩點(diǎn)），過(guò)該曲線的每一點(diǎn)作渦線，點(diǎn)），過(guò)該曲線的每一點(diǎn)作渦線，這些這些渦線形成的管狀曲面渦線形成的管狀曲面稱(chēng)為渦稱(chēng)為渦管，見(jiàn)右圖。管，見(jiàn)右圖。 渦通量渦通量：通過(guò)任一截面的：通過(guò)任一截面的渦量渦量的面積分。定義為：的面積分。定義為：渦管的側(cè)表面是渦管的側(cè)表面是渦

23、面渦面。在這個(gè)渦面上流體微團(tuán)的角速度矢。在這個(gè)渦面上流體微團(tuán)的角速度矢量量 與渦面的法向矢量相垂直。這表明與渦面的法向矢量相垂直。這表明渦通量不能穿越渦渦通量不能穿越渦管表面管表面。渦管截面大小和所取的圍線的大小有關(guān)，因此。渦管截面大小和所取的圍線的大小有關(guān)，因此渦渦管可大可小，甚至無(wú)限小管可大可小，甚至無(wú)限小，渦線是橫截面積趨向于零的渦，渦線是橫截面積趨向于零的渦管。管。 222nVddndd 速度場(chǎng)的速度場(chǎng)的旋度旋度 V 又稱(chēng)又稱(chēng)渦量渦量。旋渦強(qiáng)度旋渦強(qiáng)度，或稱(chēng)渦量強(qiáng)度：設(shè)在，或稱(chēng)渦量強(qiáng)度：設(shè)在渦管上取一截面渦管上取一截面，截面面積，截面面積為為 ，則定義為，則定義為 0VdV dgg 上

24、式就是渦管的旋渦強(qiáng)度。對(duì)上式就是渦管的旋渦強(qiáng)度。對(duì)于同一渦管，旋渦強(qiáng)度為一于同一渦管，旋渦強(qiáng)度為一常常值值。因?yàn)?，。因?yàn)椋?22nVdddkdn應(yīng)該指出，雖然渦場(chǎng)、渦線、渦量等在概念上和流場(chǎng)、流線、應(yīng)該指出，雖然渦場(chǎng)、渦線、渦量等在概念上和流場(chǎng)、流線、流量等相似，但不能把兩者混淆起來(lái)。流量等相似，但不能把兩者混淆起來(lái)。渦線和流線渦線和流線應(yīng)該是不同的，如果運(yùn)動(dòng)有渦，便存在渦線，應(yīng)該是不同的，如果運(yùn)動(dòng)有渦，便存在渦線，運(yùn)動(dòng)無(wú)渦則不存在渦線。但是只要有流體運(yùn)動(dòng)，不論是否運(yùn)動(dòng)無(wú)渦則不存在渦線。但是只要有流體運(yùn)動(dòng)，不論是否有渦，有渦，流線總是存在的流線總是存在的。 速度環(huán)量速度環(huán)量：如果積分路徑為：如

25、果積分路徑為一封閉曲線一封閉曲線，則，則速度線積分速度線積分值值的定義為速度環(huán)量，即，的定義為速度環(huán)量，即， 本章前面的內(nèi)容給出了流場(chǎng)中流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)以及旋本章前面的內(nèi)容給出了流場(chǎng)中流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)以及旋度的概念。而在度的概念。而在同一流動(dòng)區(qū)域中所有流體旋度的總效應(yīng)同一流動(dòng)區(qū)域中所有流體旋度的總效應(yīng)則則是以是以速度的環(huán)量速度的環(huán)量來(lái)體現(xiàn)的。來(lái)體現(xiàn)的。 速度環(huán)量是標(biāo)量，取速度環(huán)量是標(biāo)量，取逆時(shí)針?lè)e分方逆時(shí)針?lè)e分方向?yàn)檎驗(yàn)檎?。sdVdsVzyx斯托克斯定理表明：沿空間任一封閉曲線斯托克斯定理表明：沿空間任一封閉曲線l上的上的環(huán)量環(huán)量，等于貫，等于貫通以此曲線所成的任意曲面上通以此曲線所成的

26、任意曲面上旋度的面積分旋度的面積分。根據(jù)此定理，。根據(jù)此定理，一個(gè)一個(gè)渦管的旋渦強(qiáng)度渦管的旋渦強(qiáng)度可以以此可以以此渦管的圍線的環(huán)量渦管的圍線的環(huán)量值代替，所值代替，所以環(huán)量也就成了以環(huán)量也就成了渦強(qiáng)渦強(qiáng)的同義詞。如果曲線所圍成的區(qū)域中無(wú)的同義詞。如果曲線所圍成的區(qū)域中無(wú)渦通量，則沿此圍線的渦通量，則沿此圍線的環(huán)量為零環(huán)量為零。lSnl dVdS斯托克斯定理斯托克斯定理表明，流場(chǎng)中若沿任意閉合曲線的表明，流場(chǎng)中若沿任意閉合曲線的速度環(huán)量速度環(huán)量為零為零，則流場(chǎng)中的流動(dòng)是，則流場(chǎng)中的流動(dòng)是無(wú)旋無(wú)旋的。的。通常將圍繞包含通常將圍繞包含點(diǎn)渦點(diǎn)渦閉合曲線上的速度環(huán)量稱(chēng)為閉合曲線上的速度環(huán)量稱(chēng)為點(diǎn)渦強(qiáng)度點(diǎn)

27、渦強(qiáng)度。：用來(lái)確定誘導(dǎo)速：用來(lái)確定誘導(dǎo)速度的大小。該公式指出度的大小。該公式指出, ,在在不可壓不可壓流動(dòng)流動(dòng)中，強(qiáng)度是中，強(qiáng)度是 、微段長(zhǎng)度、微段長(zhǎng)度 dL 的渦線對(duì)周?chē)鲌?chǎng)所產(chǎn)生得誘導(dǎo)速的渦線對(duì)周?chē)鲌?chǎng)所產(chǎn)生得誘導(dǎo)速度為度為 ：誘導(dǎo)速度誘導(dǎo)速度：由旋渦存在而產(chǎn)生的速度。：由旋渦存在而產(chǎn)生的速度。34dLrdwr dLdwBArNMO 2112sin4coscos4wdhh 誘導(dǎo)速度的方向誘導(dǎo)速度的方向是垂直紙面的，按圖示方向，它指向外的。是垂直紙面的，按圖示方向，它指向外的。如果渦線的一端無(wú)限長(zhǎng)且如果渦線的一端無(wú)限長(zhǎng)且M M的投影在另一端點(diǎn)，的投影在另一端點(diǎn)，如果如果渦線兩端都延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)

28、渦線兩端都延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)， 對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)渦線所引起的誘導(dǎo)速度場(chǎng)，在與渦線垂直的平面對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)渦線所引起的誘導(dǎo)速度場(chǎng)，在與渦線垂直的平面上流動(dòng)都是一樣的，因此這種流動(dòng)可以看作平面流動(dòng)，通常上流動(dòng)都是一樣的，因此這種流動(dòng)可以看作平面流動(dòng)，通常稱(chēng)平面稱(chēng)平面點(diǎn)渦流動(dòng)點(diǎn)渦流動(dòng)。 4wh 2wh 21hMdLdrDAB下一步：用流場(chǎng)變量下一步：用流場(chǎng)變量( (壓力、密度、速度壓力、密度、速度) )來(lái)表述來(lái)表述(2-18)。amF VmdtdF 動(dòng)量方程描述的是動(dòng)量守恒定律：動(dòng)量方程描述的是動(dòng)量守恒定律： 控制體中動(dòng)量隨時(shí)控制體中動(dòng)量隨時(shí)間的變化率等于作用在控制體上的力間的變化率等于作用在控制體上的力。 （2-

29、18） viscousxxffxpVutu tututu 第二項(xiàng)第二項(xiàng)中，把中，把 看成是標(biāo)量看成是標(biāo)量 和矢量和矢量 的積。運(yùn)的積。運(yùn)用矢量運(yùn)算，該項(xiàng)可以展開(kāi)為，用矢量運(yùn)算，該項(xiàng)可以展開(kāi)為，VuuV uVuVuVVu 下面用物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的形式來(lái)表示動(dòng)量方程?？紤]如下形式給下面用物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的形式來(lái)表示動(dòng)量方程?？紤]如下形式給出的出的 x 方向方向的動(dòng)量方程的微分形式，的動(dòng)量方程的微分形式，左端左端第一項(xiàng)第一項(xiàng)可以展開(kāi)為，可以展開(kāi)為，Vuivjwk ()DupffviscousxxDtx ()DvpffviscousyyDty ()DwpffviscouszzDtz 因此，動(dòng)量方程的因此，動(dòng)量方程的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)形式物質(zhì)導(dǎo)數(shù)形式為，為，viscousDVpffDt 對(duì)對(duì)不可壓流動(dòng)不可壓流動(dòng)，密度密度是常數(shù)。流場(chǎng)的主要是常數(shù)。流場(chǎng)的主要變量變量是是壓強(qiáng)壓強(qiáng) 和和速度速度 。連續(xù)方程連續(xù)方程和和動(dòng)量方程動(dòng)量方程都是關(guān)