第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1、第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 教學(xué)要求教學(xué)要求第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 目錄目錄2.1.1 邏輯常量和邏輯變量邏輯常量和邏輯變量常量常量變量變量（1）用）用字母字母表示或表示或字母加數(shù)字字母加數(shù)字。 如：如：A、A50 無效無效 低電平低電平 關(guān)（斷開）關(guān)（斷開） 燈滅燈滅 無電流無電流1 有效有效 高電平高電平 開（閉合）開（閉合） 燈亮燈亮 有電流有電流Z 高阻態(tài)高阻態(tài)X 不確定不確定（2）原變量原變量 A 若若A0則則 1 反變量反變量 （ ） 若若A1則則 0 AAA邏輯變量邏輯變量原變量原變量 A、B、Z反變量反變量ZBA

2、、 只有只有0、1兩種取值，常兩種取值，常常不是數(shù)，反映狀態(tài)。例常不是數(shù)，反映狀態(tài)。例如：電位高低，開關(guān)斷合如：電位高低，開關(guān)斷合脈沖有無等。脈沖有無等。2.1.2 基本邏輯和復(fù)合邏輯基本邏輯和復(fù)合邏輯真值表真值表符號(hào)符號(hào)圖例圖例條件條件A無效，無效，則則Y有效有效A或者或者B有效，有效，則則Y有效有效條件條件A、B同時(shí)有效，同時(shí)有效，則則Y有效有效意義意義Y=Y=A+BY=AB表達(dá)式表達(dá)式備注備注非非或或與與基本邏輯基本邏輯A基本邏輯（邏輯運(yùn)算）基本邏輯（邏輯運(yùn)算）1、與運(yùn)算（邏輯乘）、與運(yùn)算（邏輯乘） “ ” or “”（1）概念）概念 只有當(dāng)決定某一事件的條件全部具備時(shí)，這一事只有當(dāng)決定

3、某一事件的條件全部具備時(shí)，這一事件才會(huì)發(fā)生，這種因果關(guān)系稱為件才會(huì)發(fā)生，這種因果關(guān)系稱為與邏輯與邏輯。（2）真值表）真值表 用用“0”、“1”分別表示不同狀態(tài)而列出的輸入與輸出分別表示不同狀態(tài)而列出的輸入與輸出關(guān)系的表格。關(guān)系的表格。A：“ 0”斷，斷，“1”合合B：“ 0”斷，斷，“1”合合Y：“ 0”滅，滅，“1”亮亮（3）邏輯函數(shù)表達(dá)式）邏輯函數(shù)表達(dá)式 Y=AB=AB=AB（4）運(yùn)算規(guī)則）運(yùn)算規(guī)則00=0，01=0，10=0，11=1。 一般地：一般地：A0=0，A1=A，AA=A。（5）邏輯符號(hào)）邏輯符號(hào) GB 舊舊GB 美國美國 2、或運(yùn)算（邏輯加）、或運(yùn)算（邏輯加） “+” or

4、“”（1）概念）概念在決定某一事件的各種條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以在決定某一事件的各種條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以上條件得到滿足，這一事件就會(huì)發(fā)生，這種因果關(guān)系稱上條件得到滿足，這一事件就會(huì)發(fā)生，這種因果關(guān)系稱或或邏輯邏輯。（2）真值表）真值表（3）表達(dá)式）表達(dá)式 Y=A+B=AB（4）運(yùn)算規(guī)則）運(yùn)算規(guī)則0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1。 一般地：一般地：A+0=A，A+1=1，A+A=A。（5）邏輯符號(hào)）邏輯符號(hào) GB 舊舊GB 美國美國 3、非運(yùn)算（邏輯非）、非運(yùn)算（邏輯非）（1）概念）概念事件發(fā)生的條件具備時(shí)，事件不會(huì)發(fā)生，條件不具備事件發(fā)生的條件具備時(shí)，事件不會(huì)發(fā)生，條件不

5、具備時(shí)，事件發(fā)生，這種因果關(guān)系稱為時(shí)，事件發(fā)生，這種因果關(guān)系稱為邏輯非邏輯非。（2）真值表）真值表（3）表達(dá)式）表達(dá)式 Y=（4）運(yùn)算規(guī)則）運(yùn)算規(guī)則 一般地：一般地：（5）邏輯符號(hào)）邏輯符號(hào) GB 舊舊GB 美國美國 復(fù)合邏輯ABY BAY CDABYBABABAYY = A BBAABBA 符號(hào)真值表表達(dá)式同或異或與或非或非與非復(fù)合邏輯運(yùn)算復(fù)合邏輯運(yùn)算（1）與非運(yùn)算）與非運(yùn)算ABY （2）或非運(yùn)算）或非運(yùn)算BAY （3）與或非運(yùn)算）與或非運(yùn)算CDABY （4）異或和同或運(yùn)算）異或和同或運(yùn)算BABABAY Y = A BB AABBA 運(yùn)算優(yōu)先順序：括號(hào)運(yùn)算優(yōu)先順序：括號(hào)非非與與或?；颉?如果

6、一個(gè)邏輯變量如果一個(gè)邏輯變量Z由其他一個(gè)或多個(gè)邏輯變量（如：由其他一個(gè)或多個(gè)邏輯變量（如：A、B、C）的取值所決定，當(dāng)）的取值所決定，當(dāng)A、B、C確定后，確定后，Z也就唯也就唯一的確定了，則把一的確定了，則把Z稱為稱為A、B、C的邏輯函數(shù)，表示為的邏輯函數(shù)，表示為Z=F(A，B，C，）。）。2.1.3 2.1.3 邏輯函數(shù)的表示方法邏輯函數(shù)的表示方法Y=AB在數(shù)字電路中，邏輯函數(shù)的表示方法有在數(shù)字電路中，邏輯函數(shù)的表示方法有五種五種： 真值表真值表、函數(shù)表達(dá)式、卡諾圖、邏輯圖、波、函數(shù)表達(dá)式、卡諾圖、邏輯圖、波形圖形圖邏輯函數(shù)表達(dá)式的書寫邏輯函數(shù)表達(dá)式的書寫 最小項(xiàng)法最小項(xiàng)法由真值表推導(dǎo)函數(shù)表

7、達(dá)式的方法有：由真值表推導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式的方法有： 最大項(xiàng)法最大項(xiàng)法2.1.4 邏輯函數(shù)的相等邏輯函數(shù)的相等 假設(shè)假設(shè)F(A1，A2， An)為變量為變量A1，A2， An的邏輯函數(shù)。的邏輯函數(shù)。G（ A1，A2， An)為變量為變量A1，A2， An的另一邏輯函數(shù)。的另一邏輯函數(shù)。 如果對(duì)應(yīng)于如果對(duì)應(yīng)于A1，A2， An的任意一組狀態(tài)組的任意一組狀態(tài)組合，合，F(xiàn)和和G的值都相同。則稱的值都相同。則稱F和和G是相等的，記作是相等的，記作F=G。亦即：亦即：真值表相同的邏輯函數(shù)相等。真值表相同的邏輯函數(shù)相等。例：例： 設(shè)設(shè)F(A,B,C)=A(B+C)， G(A,B,C)=AB+AC。證明：。證明：

8、F=G形式不同形式不同功能相同功能相同2.2 邏輯代數(shù)的運(yùn)算法則邏輯代數(shù)的運(yùn)算法則2.2.1 邏輯代數(shù)的基本公式邏輯代數(shù)的基本公式一、常用公式一、常用公式（1）1=0 0=1（2）11=1 0+0=0（3）1 0=0 1=0 0+1=1+0=1（4）0 0=0 1+1=1（5）A0，則，則A=1 A1，則，則 A=0（6）重疊（同一）律重疊（同一）律 A A=AA+A=A（7）反演律（德反演律（德摩根定理）摩根定理） A B=A+B A+B= A B（8）還原律還原律 A=A二、基本定律二、基本定律（1）交換律交換律 AB=BAA+B=B+A（2）結(jié)合律結(jié)合律 A(BC)=(AB)CA+(B+

9、C)=(A+B)+C（3）分配律分配律 A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)（4）01律律1 A=A0+A=A0 A=01+A=1（5）互補(bǔ)律互補(bǔ)律 A A=0A+A=12.2.2 三個(gè)規(guī)則（定理）三個(gè)規(guī)則（定理）1、代入規(guī)則代入規(guī)則 在任何邏輯等式中，如果等式兩邊所有在任何邏輯等式中，如果等式兩邊所有出現(xiàn)某一變量的地方都代之以一個(gè)函數(shù)，則出現(xiàn)某一變量的地方都代之以一個(gè)函數(shù)，則等式仍然成立。等式仍然成立。 e.g. 已知已知 A B=A+B，以，以Z=AC代代A，則有：則有： A C B=A C+B=A+B+C擴(kuò)大了公式的應(yīng)用范圍擴(kuò)大了公式的應(yīng)用范圍2、反演規(guī)則（互補(bǔ)規(guī)則）（

10、反演規(guī)則（互補(bǔ)規(guī)則）（3變變2不變）不變） 對(duì)于任意一個(gè)邏輯表達(dá)式對(duì)于任意一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果，如果Y中所有的中所有的“”換成換成“+”；“+”換成換成“”；“0”換成換成“1”；“1”換成換成“0”；原變量換成反變量；反變量換成；原變量換成反變量；反變量換成原變量，則得到的表達(dá)式就是原變量，則得到的表達(dá)式就是Y的的反函數(shù)反函數(shù) Y。3變：變： “”換成換成“+”；“+”換成換成“” “0”換成換成“1”；“1”換成換成“0” 原變量換成反變量；反變量換成原變量原變量換成反變量；反變量換成原變量2不變：不變：大非號(hào)不變（包含兩個(gè)或者兩個(gè)以上的變量的非號(hào)）大非號(hào)不變（包含兩個(gè)或者兩個(gè)以上的變量

11、的非號(hào)） 運(yùn)算的順序不變運(yùn)算的順序不變例：已知例：已知 Y=A B+C D，求，求Y Y=(A+B)(C+D)Y=A+B+C D+E則則Y=A B(C+D E)Y=A B+C D+0則則Y=(A+B)(C+D) 1注意：注意： （1）優(yōu)先順序。先括號(hào)內(nèi)，后括號(hào)外，先乘后加。）優(yōu)先順序。先括號(hào)內(nèi)，后括號(hào)外，先乘后加。（2）包含兩個(gè)變量或以上的非號(hào)在變換中不變。）包含兩個(gè)變量或以上的非號(hào)在變換中不變。3、對(duì)偶規(guī)則（、對(duì)偶規(guī)則（2變變2不變）不變）對(duì)于任意一個(gè)邏輯表達(dá)式對(duì)于任意一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果，如果Y中所有的中所有的“”換成換成“+”；“+”換成換成“”；“0”換成換成“1”；“1”換成換成“

12、0”；則得到一新的表達(dá)式；則得到一新的表達(dá)式Y(jié)（或（或Y*），），Y 稱為稱為Y的的對(duì)偶式對(duì)偶式。例：例： Y=A(B+C)Y =A+B CY=A+B CY =A(B+C)Y=A+B+CY =A B C練習(xí)：練習(xí)：Y=A B CY =A+B+C注意：優(yōu)先順序和大非號(hào)。一般地，注意：優(yōu)先順序和大非號(hào)。一般地，Y Y推論：若推論：若F(A,B,C)=G(A,B,C)，則，則F=G。2變：變： “”換成換成“+”；“+”換成換成“” “0”換成換成“1”；“1”換成換成“0” 2不變：不變：大非號(hào)不變（包含兩個(gè)或者兩個(gè)以上的變量的非號(hào)）大非號(hào)不變（包含兩個(gè)或者兩個(gè)以上的變量的非號(hào)） 運(yùn)算的順序不變運(yùn)

13、算的順序不變對(duì)偶變化規(guī)則：對(duì)偶變化規(guī)則：2.2.3 常用公式常用公式（1）A+AB=A（消乘積項(xiàng)）（消乘積項(xiàng)）A(A+B)=A證：證：A+AB=A(1+B)=A 有一個(gè)乘積項(xiàng)的部分因子是另有一個(gè)乘積項(xiàng)的部分因子是另一個(gè)乘積項(xiàng)的全部，則該乘積項(xiàng)是多余的一個(gè)乘積項(xiàng)的全部，則該乘積項(xiàng)是多余的（2）AB+AB=A （合并公式）（合并公式）(A+B)(A+B)=A證：證：AB+AB=A(B+B)=A 1=A 乘積項(xiàng)有公有因子，不乘積項(xiàng)有公有因子，不同的因子互補(bǔ)，則合并為由公有因子組成的乘積項(xiàng)同的因子互補(bǔ)，則合并為由公有因子組成的乘積項(xiàng)（3）A+AB=A+B消反公式）消反公式）A(A+B)=AB證：證：A

14、+AB=(A+A)(A+B)=1(A+B)=A+B分配律分配律: A+BC=(A+B)(A+C)證證2、A+AB=A+AB+AB=A+B 一個(gè)乘積項(xiàng)的部分因子恰好是另一個(gè)乘積項(xiàng)的補(bǔ)，則該乘積一個(gè)乘積項(xiàng)的部分因子恰好是另一個(gè)乘積項(xiàng)的補(bǔ)，則該乘積項(xiàng)的這部分因子是多余的。項(xiàng)的這部分因子是多余的。4、AB+AC+BC=AB+AC(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)證：左證：左= （消第三項(xiàng)的公式）（消第三項(xiàng)的公式）AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=右右推論：推論： AB+AC+BCDE=AB+AC 兩個(gè)乘積項(xiàng)部分的因子互補(bǔ)，其余的因

15、子都是第三兩個(gè)乘積項(xiàng)部分的因子互補(bǔ)，其余的因子都是第三項(xiàng)的因子，則第三項(xiàng)是多余的。項(xiàng)的因子，則第三項(xiàng)是多余的。2.2.4 異或運(yùn)算的公式異或運(yùn)算的公式（1）交換律交換律A B=B A（2）結(jié)合律結(jié)合律(A B) C=A (B C)（3）分配律分配律A(B C)=AB AC證：證：A(B C)=A(BC+BC)=ABC+ABC AB AC=ABAC+ABAC =(A+B)AC+AB(A+C)=ABC+ABC（4）常量與變量之間的異或運(yùn)算（由定義直接推出）常量與變量之間的異或運(yùn)算（由定義直接推出）A 1=AA 0=AA A=0A A=1（5）因果互換因果互換若若A B=C，則：，則：A C=B，B

16、 C=A證：把證：把A B=C 兩邊同時(shí)異或兩邊同時(shí)異或A，A B A=C A則：則：0 B=A C，A C=B， 同理可證同理可證B C=A（6）多變量異或運(yùn)算）多變量異或運(yùn)算在多變量異或運(yùn)算中，若在多變量異或運(yùn)算中，若“1”的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則結(jié)果為則結(jié)果為“1”；若；若“1”的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則結(jié)果為的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則結(jié)果為“0”，與變量為，與變量為“0”的個(gè)數(shù)無關(guān)。的個(gè)數(shù)無關(guān)。2.2.5 邏輯函數(shù)的表達(dá)式邏輯函數(shù)的表達(dá)式一、一、 邏輯函數(shù)常用表達(dá)式邏輯函數(shù)常用表達(dá)式 邏輯函數(shù)的常用表達(dá)式包括與或式、與非與非邏輯函數(shù)的常用表達(dá)式包括與或式、與非與非式、或與式、或非或非式和或非式。式、

17、或與式、或非或非式和或非式。1、與或式、與或式 F=AB+CD2、與非與非式、與非與非式 CDABCDABF3、或與式、或與式 F=(A+B)(C+D)4、或非或非式、或非或非式5、與或非式、與或非式 DCBADCBAF)(CDABF2.2.6 邏輯函數(shù)的公式化簡法邏輯函數(shù)的公式化簡法一、化簡的意義和方法一、化簡的意義和方法1、意義：、意義：設(shè)備簡單，成本低。設(shè)備簡單，成本低。2、方法、方法（1）公式法：）公式法：適于任意多個(gè)變量的函數(shù)的化簡。適于任意多個(gè)變量的函數(shù)的化簡。沒有統(tǒng)一的沒有統(tǒng)一的步驟，靠靈活熟練，難于判定是否最簡。步驟，靠靈活熟練，難于判定是否最簡。（2）卡諾圖法（圖解法）：）卡

18、諾圖法（圖解法）：適于適于6個(gè)以下變量的函數(shù)簡化。個(gè)以下變量的函數(shù)簡化。直觀、簡單。直觀、簡單。（3）系統(tǒng)化簡法（）系統(tǒng)化簡法（Q-M）：）：適于任意多變量的函數(shù)的簡化。適于任意多變量的函數(shù)的簡化。繁瑣，但有一定規(guī)律可循，適于計(jì)算機(jī)輔助。繁瑣，但有一定規(guī)律可循，適于計(jì)算機(jī)輔助。3、最簡與或式的含義、最簡與或式的含義 常用五種類型表達(dá)式（以常用五種類型表達(dá)式（以Y=AB+AC）與或表達(dá)式與或表達(dá)式 與門和或門 或與表達(dá)式或與表達(dá)式 或門和與門 與或式對(duì)偶-展開-對(duì)偶與非與非式與非與非式 與非門 與或式兩次取反或非或非式或非或非式 或非門 與或式-或與式-兩次取反與或非式與或非式 與或非門 或非或

19、非式-反演律CAAB )BA)(CA( CAAB BACA BACA B)AC)(A)Y(YBAACBCBAACC)AB)(AY ，CAABCAABYBACABACAY)(對(duì)于不同類型的表達(dá)式，最簡的標(biāo)準(zhǔn)不同。對(duì)于不同類型的表達(dá)式，最簡的標(biāo)準(zhǔn)不同。最簡與或式：最簡與或式：（1）乘積項(xiàng)最少。）乘積項(xiàng)最少。門數(shù)少門數(shù)少 （2）每一個(gè)乘積項(xiàng)中的因子最少。）每一個(gè)乘積項(xiàng)中的因子最少。輸入端數(shù)少輸入端數(shù)少 針對(duì)中小規(guī)模門電路。針對(duì)中小規(guī)模門電路。CPLD與或陣列結(jié)構(gòu)，輸入端數(shù)不是主要問題。與或陣列結(jié)構(gòu)，輸入端數(shù)不是主要問題。FPGA常用四輸入數(shù)據(jù)選擇器結(jié)構(gòu)。常用四輸入數(shù)據(jù)選擇器結(jié)構(gòu)。 以與或式為例。任何

20、以與或式為例。任何F可化為與或式；最簡與或式可變可化為與或式；最簡與或式可變換為任何其它形式。換為任何其它形式。二、公式化簡法（代數(shù)法）二、公式化簡法（代數(shù)法） 公式化簡常用的公式化簡常用的5個(gè)公式：個(gè)公式： 分配律：分配律：A+BC=(A+B)(A+C) 反演律：反演律： 常用公式常用公式3：A+AB=A+B 常用公式常用公式4：AB+AC+BC=AB+AC 推論：推論：1、常用方法、常用方法（1）合并項(xiàng)法（并項(xiàng)法）合并項(xiàng)法（并項(xiàng)法） 二合一二合一e.g. ABABAYA(BCB C)A(BCBC) ABCAB CABCABCABABABABABAAB （2）吸收法）吸收法 消去多余項(xiàng)消去多

21、余項(xiàng)e.g. （3）消去法（消因子法）消去法（消因子法） 消去多余因子消去多余因子e.g. （4）配項(xiàng)法）配項(xiàng)法 一拆二，一拆二， 增加增加BCe.g. 另：另： AABA （消項(xiàng)法）（消項(xiàng)法）CAABBCCAAB ()ABABCD EFABABCCDABDABCCDBABAA ABACBC()ABAB CABABCABCAA1 乘乘BCCAABCAAB ABBCBCAB()()ABBCBC AAAB CC ABBCABCA BCABCABCABBCACABBCBCABABBCBCABACABBCAC2、舉例、舉例e.g.1 （合并和吸收）（合并和吸收） （吸收）（吸收） （消去）（消去）e.

22、g.2 （吸收）（吸收） （消去）（消去） （合并）（合并） （吸收）（吸收）e.g.3 （配項(xiàng)）試探性（配項(xiàng)）試探性 DEFGEFBACEFBDCAABDAADY CBBDABCDBCABDDABCY BCAC B ACBBAY EFBBDACEFCAABA EFBBDCAA EFBBDCA CBBDABCDBC CBBDABBC BDABB B CACBABCACBBACA)CC(BACBBA CACBBA BCACAB ACBBA e.g.4 e.g.5 )GF(ADECBDBDBCBCAABY )GF(ADECBDBDBCBA)GF(ADECBDBDBCBCBA)GF(ADECBDBD

23、BCB)CB(A DCCBDBDBCBA DCCBDBA )FED)(FB)(FECA)(DB)(CA)(BA(AY DEFFBCEFABDCAABAY FBBDCAA FBBDCA )FB)(DB(AC)Y(Y 用對(duì)偶公式直接化簡用對(duì)偶公式直接化簡（不熟練；先展開后化簡（不熟練；先展開后化簡繁瑣）繁瑣）2.3 卡諾圖化簡卡諾圖化簡1、最小項(xiàng)和標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式、最小項(xiàng)和標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式（1）最小項(xiàng)定義）最小項(xiàng)定義對(duì)于對(duì)于n個(gè)變量，若個(gè)變量，若m為包含為包含n個(gè)因子的乘積項(xiàng)，個(gè)因子的乘積項(xiàng)，在在m中每一個(gè)變量都以原變量或者反變量的形式作中每一個(gè)變量都以原變量或者反變量的形式作為一個(gè)因子出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一

24、次，則稱為一個(gè)因子出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量為該組變量的一個(gè)最小項(xiàng)。的一個(gè)最小項(xiàng)。 n個(gè)變量一共有個(gè)變量一共有2n個(gè)最小項(xiàng)個(gè)最小項(xiàng)2.3.1 邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式邏輯函數(shù)的表達(dá)式邏輯函數(shù)的表達(dá)式不是唯一的不是唯一的CB ABCACABABC)BC(BACABABCCA)CAB(CCAABY （2）最小項(xiàng)的性質(zhì)）最小項(xiàng)的性質(zhì) a. 只有一組變量取值組合使其值為只有一組變量取值組合使其值為“1”。 （等于（等于“1”的機(jī)會(huì)最?。┑臋C(jī)會(huì)最?。?b. 任意兩個(gè)最小項(xiàng)之積恒為任意兩個(gè)最小項(xiàng)之積恒為“0”。 c. 全體最小項(xiàng)之和恒為全體最小項(xiàng)之和恒為“1”。（3）最小項(xiàng)的編

25、號(hào)）最小項(xiàng)的編號(hào)把使最小項(xiàng)為把使最小項(xiàng)為“1”的那一組變量取值組合當(dāng)成二進(jìn)制的那一組變量取值組合當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與其對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)即為該最小項(xiàng)的編號(hào)。數(shù)，與其對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)即為該最小項(xiàng)的編號(hào)。（m0，m1，m2，。）。）對(duì)于三個(gè)變量對(duì)于三個(gè)變量A、B、C，有：，有：(4)標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式（最小項(xiàng)表達(dá)式，標(biāo)準(zhǔn)積之和）標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式（最小項(xiàng)表達(dá)式，標(biāo)準(zhǔn)積之和）全部由全部由最小項(xiàng)相加最小項(xiàng)相加構(gòu)成的函數(shù)與或表達(dá)式。構(gòu)成的函數(shù)與或表達(dá)式。 任何邏輯函數(shù)都可以表示成標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，且是唯一的。任何邏輯函數(shù)都可以表示成標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，且是唯一的?？捎烧嬷当淼贸觯蛴杀磉_(dá)式變換得到?？捎烧嬷当淼贸觯蛴杀磉_(dá)式變

26、換得到。e.g.1，e.g.2，)7,6,3 , 1( )7,6,3 , 1( )7,6,3 , 1( 7631mimmmmmABCCABBCACBAYii1367 )()( mmmmCBABCACABABCCBBACCABCAABY2、最大項(xiàng)和標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式、最大項(xiàng)和標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式(1)最大項(xiàng)定義最大項(xiàng)定義對(duì)于對(duì)于n個(gè)變量，若個(gè)變量，若M為為n個(gè)變量之和，在個(gè)變量之和，在M中每一個(gè)變中每一個(gè)變量都以原變量或者反變量的形式作為一項(xiàng)出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一量都以原變量或者反變量的形式作為一項(xiàng)出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，則稱次，則稱M為該組變量的一個(gè)最大項(xiàng)。為該組變量的一個(gè)最大項(xiàng)。n個(gè)變量一共有個(gè)變量一共有2n個(gè)最大

27、項(xiàng)個(gè)最大項(xiàng)對(duì)于三個(gè)變量對(duì)于三個(gè)變量A、B、C，有：，有：(2) 最大項(xiàng)的性質(zhì)最大項(xiàng)的性質(zhì) a. 只有一組變量取值組合使其值為只有一組變量取值組合使其值為“0”。 (等于等于“1”的機(jī)會(huì)最大的機(jī)會(huì)最大) b. 任意兩個(gè)最大項(xiàng)之和恒為任意兩個(gè)最大項(xiàng)之和恒為“1”。 c. 全體最大項(xiàng)之積恒為全體最大項(xiàng)之積恒為“0”。(3) 最大項(xiàng)的編號(hào)最大項(xiàng)的編號(hào) 把使最大項(xiàng)為把使最大項(xiàng)為“0”的那一組變量取值組合當(dāng)成二進(jìn)制的那一組變量取值組合當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與其對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)即為該最大項(xiàng)的編號(hào)。數(shù)，與其對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)即為該最大項(xiàng)的編號(hào)。 （M0，M1，M2，。）。）(4) 標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式（最大項(xiàng)表達(dá)式）標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)

28、式（最大項(xiàng)表達(dá)式）全部由全部由最大項(xiàng)相乘最大項(xiàng)相乘構(gòu)成的函數(shù)或與表達(dá)式。構(gòu)成的函數(shù)或與表達(dá)式。任何邏輯函數(shù)都可以表示成標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式，且是唯一的。任何邏輯函數(shù)都可以表示成標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式，且是唯一的。e.g.)5 , 4 , 2 , 0( )5 , 4 , 2 , 0( )()()(5420MMMMMCBACBACBACBAY最小項(xiàng)法：最小項(xiàng)法： 輸出為輸出為1的輸入組合寫成的輸入組合寫成乘積項(xiàng)乘積項(xiàng)的形式，其中的形式，其中取值為取值為1的輸入用的輸入用原原變量表示，取值為變量表示，取值為0的輸入用的輸入用反反變量表示，然后把這些乘積項(xiàng)變量表示，然后把這些乘積項(xiàng)相加相加即可。即可。最大項(xiàng)法：最大

29、項(xiàng)法：輸出為輸出為0的輸入組合寫成的輸入組合寫成和項(xiàng)和項(xiàng)的形式，其中取值為的形式，其中取值為0的輸入用的輸入用原原變量表示，取值為變量表示，取值為1的輸入用的輸入用反反變量變量表示，然后把這些和項(xiàng)表示，然后把這些和項(xiàng)相乘相乘即可。即可。真值表與表達(dá)式真值表與表達(dá)式樓梯路燈控制問題樓梯路燈控制問題開關(guān)：開關(guān)：A、B：上：上“1” ； 下下“0”。燈：燈： Y：亮：亮“1”； 滅滅“0”?；颍夯颍篈BB AY )BA)(BA(Y 例題：三人表決器例題：三人表決器用用A、B、C代表三個(gè)人：用代表三個(gè)人：用1表示同意表示同意 用用0表示反對(duì)表示反對(duì)用用F表示最后表決結(jié)果：用表示最后表決結(jié)果：用1表示通

30、過表示通過 用用0表示否決表示否決遵守遵守“少數(shù)服從多數(shù)少數(shù)服從多數(shù)”的原則。的原則。11111011110100011110001001000000FCBA寫真值表寫真值表用最小項(xiàng)寫表達(dá)式用最小項(xiàng)寫表達(dá)式 輸出為輸出為1的輸入組合項(xiàng)：的輸入組合項(xiàng)：011、101、110、111 輸入為輸入為1的用原變量表示，輸入為的用原變量表示，輸入為0的用反變量表示的用反變量表示則有：則有：ABC、ABC、ABC、ABC所以：所以：FABC+ABC+ABC+ABC邏輯圖邏輯圖（以最小項(xiàng)表達(dá)式為例）（以最小項(xiàng)表達(dá)式為例）FABC+ABC+ABC+ABC畫邏輯圖時(shí)，應(yīng)遵守畫邏輯圖時(shí)，應(yīng)遵守“先括號(hào)，然后乘，最

31、后加先括號(hào)，然后乘，最后加”的運(yùn)的運(yùn)算優(yōu)先次序算優(yōu)先次序波形圖波形圖用最大項(xiàng)寫表達(dá)式用最大項(xiàng)寫表達(dá)式 輸出為輸出為0的輸入組合項(xiàng)：的輸入組合項(xiàng)：000、001、010、100 輸入為輸入為0的用原變量表示，輸入為的用原變量表示，輸入為1的用反變量表示的用反變量表示則有：則有：A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C所以：所以：F(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)例：設(shè)計(jì)一個(gè)奇較驗(yàn)電路（假設(shè)輸入例：設(shè)計(jì)一個(gè)奇較驗(yàn)電路（假設(shè)輸入端有端有4位代碼）。要求輸入用位代碼）。要求輸入用A、B、C、D表示，輸出用表示，輸出用F表示。表示。輸入端的取值選擇只有輸入端的取值選擇只有0

32、、1兩種。兩種。輸出端用輸出端用“0”表示輸入有偶數(shù)個(gè)表示輸入有偶數(shù)個(gè)1； 用用“1”表示輸入有奇數(shù)個(gè)表示輸入有奇數(shù)個(gè)1；ABCDF00000000110010100110010010101001100011111000110010101001011111000110111110111110函數(shù)表達(dá)式：函數(shù)表達(dá)式：DABCDCABCDBADCBABCDADCBADCBADCBAF 1最小項(xiàng)表達(dá)式最小項(xiàng)表達(dá)式 )()()( )()()(1DCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBAF最大項(xiàng)表達(dá)式最大項(xiàng)表達(dá)式 練習(xí)練習(xí):設(shè)計(jì)一位全加器，要求寫出真值表，最小項(xiàng)表達(dá)式，設(shè)計(jì)一位全加

33、器，要求寫出真值表，最小項(xiàng)表達(dá)式，最大項(xiàng)表達(dá)式，并將最大項(xiàng)表達(dá)式，并將S的最小項(xiàng)表達(dá)式化簡。的最小項(xiàng)表達(dá)式化簡。 真值表1111101011011011000101110100101010000000SCOBACI最小項(xiàng)表達(dá)式：最小項(xiàng)表達(dá)式：IIIIS C AB C AB C AB C AB 最大項(xiàng)表達(dá)式：最大項(xiàng)表達(dá)式：()() ()()IIIISCAB CABCAB CABOIIIICC AB C AB C AB C AB ()() ()()OIIIICCAB CABCAB CAB2.3 2.3 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法一、卡諾圖一、卡諾圖 由真值表按一定規(guī)則畫出的方格圖

34、。由真值表按一定規(guī)則畫出的方格圖。變量取值：兩兩相鄰，首尾相鄰。（按循環(huán)碼排列）變量取值：兩兩相鄰，首尾相鄰。（按循環(huán)碼排列）特點(diǎn)特點(diǎn)（1）幾何相鄰）幾何相鄰邏輯相鄰邏輯相鄰便于化簡便于化簡（2）對(duì)于變量數(shù)）對(duì)于變量數(shù)n5的邏輯函數(shù)，復(fù)雜少用。的邏輯函數(shù)，復(fù)雜少用。二、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)二、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)1、給出真值表、給出真值表在對(duì)應(yīng)變量取值組合的每一個(gè)小方格中，函數(shù)值為在對(duì)應(yīng)變量取值組合的每一個(gè)小方格中，函數(shù)值為“1”的填的填“1”，為，為“0”填填“0”。ABCD00000001001000110100010101100111100010011010101111001101111

35、01111ABCD00000001001100100110011101010100110011011111111010101011100110008421碼碼循環(huán)碼循環(huán)碼e.g.或或2、給出最小項(xiàng)表達(dá)式、給出最小項(xiàng)表達(dá)式 在對(duì)應(yīng)于函數(shù)的每一個(gè)最小項(xiàng)的小方格中填在對(duì)應(yīng)于函數(shù)的每一個(gè)最小項(xiàng)的小方格中填“1”，其它填，其它填“0”。e.g. Y(A,B,C,D)=(0,3,5,6,9,10,12,15)0格可為空格可為空3、給出非標(biāo)準(zhǔn)形式、給出非標(biāo)準(zhǔn)形式（1）配項(xiàng)）配項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式填圖填圖（繁瑣）（繁瑣）（2）觀察法）觀察法e.g.CBABY )DC)(BA(Y D CB AABDCBAY

36、4、給出其它形式表達(dá)式、給出其它形式表達(dá)式 先變換先變換與或式與或式填圖填圖e.g. 三、卡諾圖的性質(zhì)和運(yùn)算三、卡諾圖的性質(zhì)和運(yùn)算1、全、全“0”格對(duì)應(yīng)格對(duì)應(yīng)Y=02、全、全“1”格對(duì)應(yīng)格對(duì)應(yīng)Y=13、卡諾圖相加、相乘、異或、卡諾圖相加、相乘、異或?qū)?yīng)格相加、相乘、異或。對(duì)應(yīng)格相加、相乘、異或。 + =4、卡諾圖反演、卡諾圖反演“1”格格“0”格格“0”格格“1”格格四、用卡諾圖合并最小項(xiàng)的規(guī)律四、用卡諾圖合并最小項(xiàng)的規(guī)律 2個(gè)相鄰個(gè)相鄰1格可合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，消去格可合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，消去1個(gè)有個(gè)有01變化的變量，保留無變化的變量；變化的變量，保留無變化的變量； 4個(gè)相鄰個(gè)相鄰1格可合并成一

37、個(gè)乘積項(xiàng)，消去格可合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，消去2個(gè)有個(gè)有01變化的變量，保留無變化的變量；變化的變量，保留無變化的變量； 8個(gè)相鄰個(gè)相鄰1格可合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，消去格可合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，消去3個(gè)有個(gè)有01變化的變量，保留無變化的變量；變化的變量，保留無變化的變量； 2i個(gè)相鄰個(gè)相鄰1格可合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，消去格可合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，消去i個(gè)有個(gè)有01變化的變量，保留無變化的變量。變化的變量，保留無變化的變量。ABAAB 五、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)五、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)1、簡化原則、簡化原則（1）圈盡量大；）圈盡量大；變量數(shù)少變量數(shù)少（2）圈數(shù)盡量少；）圈數(shù)盡量少；乘積項(xiàng)少乘積項(xiàng)少（3）每一個(gè)）每一個(gè)“

38、1”格都被圈到，沒有格都被圈到，沒有“0”格被圈；格被圈；（4）全部是必要項(xiàng)，沒有多余項(xiàng)。）全部是必要項(xiàng)，沒有多余項(xiàng)。 必要項(xiàng)：對(duì)應(yīng)圈中至少有一個(gè)必要項(xiàng)：對(duì)應(yīng)圈中至少有一個(gè)“1”格只被圈一次。格只被圈一次。有新有新“1”格格 多余項(xiàng)：對(duì)應(yīng)圈中的每一個(gè)多余項(xiàng)：對(duì)應(yīng)圈中的每一個(gè)“1”格都被圈格都被圈2次或次或2次以上。次以上。2、化簡步驟、化簡步驟（1）畫卡諾圖。）畫卡諾圖。（2）按簡化原則化簡函數(shù)。）按簡化原則化簡函數(shù)。先圈只有一種圈法的圈先圈只有一種圈法的圈（3）檢查是否全部）檢查是否全部“1”格被圈，沒有格被圈，沒有“0”格被圈。格被圈。（4）寫出相應(yīng)的簡化式。）寫出相應(yīng)的簡化式。e.g.1

39、 Y(A,B,C,D)=(0,2,5,6,7,9,10,14,15)解解第一步：填寫第一步：填寫卡諾圖（為了敘述方便，這里填寫最小項(xiàng)的編號(hào)，平?？ㄖZ圖（為了敘述方便，這里填寫最小項(xiàng)的編號(hào)，平常應(yīng)該在對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)方格中填應(yīng)該在對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)方格中填1 1） 。第二步：第二步：畫畫包包圍圈。圍圈。第三步第三步：化：化簡簡包圍圈。包圍圈。F A,B,C,D = CD+BC+ABD+ABD+ABCD000111100001ABCD 11101 11 1 1 1 1 1 1CDBCABDABDABCDEg2. 化簡函數(shù)：化簡函數(shù)：1011010010110100ABCD卡諾圖為：卡諾圖為：11111111用三

40、個(gè)圈覆蓋：用三個(gè)圈覆蓋：最簡與或式為：最簡與或式為：1可重復(fù)使用可重復(fù)使用要圈兩個(gè)要圈兩個(gè)1(1)DCABBADBCDACDCBABADCBAF )()(DABBADCF1011010010110100ABCD1010110100ABCY=AB+AB+BC+BC111111卡諾圖如右卡諾圖如右;圈黑圈，得：圈黑圈，得：Y=AB+BC+CA圈籃圈，得：圈籃圈，得：Y=AB+BC+CAY(A,B,C,D)=m1+m5+m6+m7+m11+m12+m13+m1511111111顯然，紫圈是多余的。顯然，紫圈是多余的。避免畫多余圈的方法：避免畫多余圈的方法：1.畫完圈后注意檢查；畫完圈后注意檢查；2.

41、先圈只有一種方法可圈的先圈只有一種方法可圈的1。(2)(3) 當(dāng)最簡式不唯一時(shí)，畫圈的方法也不唯一當(dāng)最簡式不唯一時(shí)，畫圈的方法也不唯一(4)Y=AD+BCD+ABC+ACD+A BD1011010010110100ABCD1011010010110100ABCD1111111111=AB+BC+B DY=ACD+CD+AD+AB+ABC111111111111這種情況可通過這種情況可通過圈圈0求求Y來解決：來解決：Y=ADY=A+D(5)（6）F=(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+D)F為或與式，可先對(duì)為或與式，可先對(duì)F求對(duì)偶式求對(duì)偶式F即即F=AB

42、CD+ABCD+ABCD+ABCD+AD畫出畫出F的卡諾圖的卡諾圖1011010010110100ABCD11111111F=AD+ADF=(F)=(A+D)(A+D)=AD+ADe.g.3 DBCADCBAC B AD C BACABD C AY DBACABDBACBAYe.g.4 Y(A,B,C,D)=(0,2,5,6,7,8,9,10,11,14,15)注：每一項(xiàng)都是必要項(xiàng)構(gòu)成的函數(shù)表達(dá)式不一定最簡！注：每一項(xiàng)都是必要項(xiàng)構(gòu)成的函數(shù)表達(dá)式不一定最簡！?),(ge131110875320D)C,B,Y(A, 5 .圈圈“1” 與或式與或式或與式；或與式；反函數(shù)圈反函數(shù)圈“1” 與或式，再求

43、非與或式，再求非或與式；或與式；直接圈直接圈“0”格格或與式?；蚺c式。最大項(xiàng)概念最大項(xiàng)概念DCACBDABADBYBCBDABADBY)()(CBADCBDBYl對(duì)于輸入變量的每一組取值組合，邏輯函數(shù)都有確定的對(duì)于輸入變量的每一組取值組合，邏輯函數(shù)都有確定的值，則這類邏輯函數(shù)稱為值，則這類邏輯函數(shù)稱為完全描述的邏輯函數(shù)完全描述的邏輯函數(shù)。l 對(duì)于輸入變量的某些取值組合，邏輯函數(shù)值不確定（可對(duì)于輸入變量的某些取值組合，邏輯函數(shù)值不確定（可以為以為1，也可以為，也可以為0），這類邏輯函數(shù)稱為），這類邏輯函數(shù)稱為非完全描述的邏非完全描述的邏輯函數(shù)輯函數(shù)。l 對(duì)應(yīng)輸出函數(shù)值沒有確定值的最小項(xiàng)（最大值）

44、稱為對(duì)應(yīng)輸出函數(shù)值沒有確定值的最小項(xiàng)（最大值）稱為無無關(guān)項(xiàng)，任意項(xiàng)或約束項(xiàng)關(guān)項(xiàng)，任意項(xiàng)或約束項(xiàng)。函數(shù)值。函數(shù)值可以為可以為1，也可以為，也可以為0（記（記為為或或）。六、六、 具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡無關(guān)項(xiàng)：無關(guān)項(xiàng)：在一個(gè)邏輯函數(shù)中，變量的某些取值組合不會(huì)在一個(gè)邏輯函數(shù)中，變量的某些取值組合不會(huì)出現(xiàn)出現(xiàn)（約束項(xiàng)）（約束項(xiàng)）；或者函數(shù)在變量的某些取值組合時(shí)，；或者函數(shù)在變量的某些取值組合時(shí)，輸出可以是輸出可以是“0”，也可以時(shí)，也可以時(shí)“1”（任意項(xiàng)）。（任意項(xiàng)）。 有些教材不區(qū)分約束項(xiàng)和任意項(xiàng)，統(tǒng)稱為任意項(xiàng)、約有些教材不區(qū)分約束項(xiàng)和任意項(xiàng)，統(tǒng)稱為任意項(xiàng)、約束項(xiàng)、

45、隨意項(xiàng)。束項(xiàng)、隨意項(xiàng)。 含無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)含無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)非完全描述的邏輯函數(shù)。非完全描述的邏輯函數(shù)。 無關(guān)項(xiàng)的表示：無關(guān)項(xiàng)的表示：d()； ()；AB+AC=0；d=AB+AC。 無關(guān)項(xiàng)在化簡時(shí)取無關(guān)項(xiàng)在化簡時(shí)取“0”還是還是“1”依據(jù)對(duì)化簡是否依據(jù)對(duì)化簡是否有利。有利。（一）無關(guān)項(xiàng)（一）無關(guān)項(xiàng)無關(guān)項(xiàng)是無關(guān)項(xiàng)是約束項(xiàng)約束項(xiàng)和和任意項(xiàng)任意項(xiàng)的總稱。的總稱。 1、約束項(xiàng)、約束項(xiàng)：是最小項(xiàng)，若使該最小項(xiàng)的是最小項(xiàng)，若使該最小項(xiàng)的值為值為1 1的輸入變量取值不允許輸入，則稱的輸入變量取值不允許輸入，則稱該最小項(xiàng)為約束項(xiàng)。該最小項(xiàng)為約束項(xiàng)。 例如，例如，四舍五入函數(shù)四舍五入函數(shù)用用A,B,C,DA,

46、B,C,D組成的組成的四位二進(jìn)制數(shù)表示四位二進(jìn)制數(shù)表示1 1位十進(jìn)制數(shù)，當(dāng)該數(shù)大于位十進(jìn)制數(shù)，當(dāng)該數(shù)大于4 4時(shí)輸出為時(shí)輸出為1 1。 A B C D Y 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 真值表為：真值表為：10101111六個(gè)值不允許輸入。將六個(gè)值不允許輸入。將m10m15稱為約束項(xiàng)。在真值表和卡諾圖中都稱為約束項(xiàng)。在真值表和卡諾圖中

47、都用用 表示。表示。在函數(shù)式中約束項(xiàng)的表示方法：在函數(shù)式中約束項(xiàng)的表示方法：m10+m11+m12+m13+m14+m15=0也可用求和符號(hào)表示上式：也可用求和符號(hào)表示上式： 0)1510(m將將約束項(xiàng)約束項(xiàng)之和等于之和等于0稱為稱為約束約束條件條件因此四舍五入函數(shù)可表示為因此四舍五入函數(shù)可表示為(,)(5 9)(10 15)Y A B C Dmd 把這類邏輯函數(shù)稱為有把這類邏輯函數(shù)稱為有約束約束的邏輯函數(shù)的邏輯函數(shù)。1011010010110100ABCD11111 2.任意項(xiàng)任意項(xiàng)：是最小項(xiàng)，若使其值為：是最小項(xiàng)，若使其值為1的變量取值輸入時(shí)，函的變量取值輸入時(shí)，函數(shù)值可為數(shù)值可為0，也可

48、為，也可為1，則稱該最小項(xiàng)為任意項(xiàng)。，則稱該最小項(xiàng)為任意項(xiàng)。 任意項(xiàng)很少遇到，這里不作討論。任意項(xiàng)很少遇到，這里不作討論。（二）約束項(xiàng)在化簡中的應(yīng)用（二）約束項(xiàng)在化簡中的應(yīng)用約束項(xiàng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值可為約束項(xiàng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值可為0，也，也可為可為1。原則是將函數(shù)化到最簡。原則是將函數(shù)化到最簡。1011010010110100ABCD11111 YABDBC解填寫卡諾圖，畫包圍圈，化簡。解填寫卡諾圖，畫包圍圈，化簡?；喗Y(jié)果為：化簡結(jié)果為：FBD AC BD經(jīng)比較，合理利用任意項(xiàng)，確實(shí)能使邏輯函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)經(jīng)比較，合理利用任意項(xiàng)，確實(shí)能使邏輯函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)一步化簡。一步化簡。00011110(a) 不利用任意項(xiàng)不利用任意項(xiàng)1100011