淺析圓錐曲線及其性質(zhì)

1、淺析圓錐曲線及其性質(zhì) 羅國浩 深圳市桂園中學(xué) 摘要:圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓，通過直角坐標(biāo)系，他們與二次方程對應(yīng)，所以，圓錐曲線又叫做二次曲線。圓錐曲線是平面解析幾何的主要內(nèi)容之一，在解析幾何中有非常重要的地位，在日常生活和科學(xué)技術(shù)上有著廣泛的應(yīng)用。這里對圓錐曲線的定義、性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程及圖像.進(jìn)行分析和概括。關(guān)鍵詞：圓錐曲線 性質(zhì) 焦點(diǎn) 準(zhǔn)線 切線 焦半徑公元前4世紀(jì)古希臘著名學(xué)者梅內(nèi)克繆斯在解決 “倍立方問題”的過程中他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線取頂角為銳角、直角、鈍角的三種不同的直圓錐，用垂直于直圓錐的一條母線的平面去截它們，就得到三種不同的截線，即現(xiàn)在所說的橢圓、拋物線、雙曲線經(jīng)過了約二

2、百年的時(shí)間，圓錐曲線的研究取得了重大突破，其中研究成就最突出的是古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(公元前262到公元前190)其巨著圓錐曲線與歐幾里得的幾何原本同被譽(yù)為古代希臘幾何的登峰造極之作圓錐曲線幾乎將圓錐曲線性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡直到16世紀(jì)，有兩件事促使了人們對圓錐曲線作進(jìn)一步研究一是德國天文學(xué)家開普勒揭示出行星按圓錐曲線軌道環(huán)繞太陽運(yùn)行的事實(shí)二是伽利略得出物體斜拋運(yùn)動(dòng)的軌道是拋物線這使人們對圓錐曲線的實(shí)際意義有了更深的認(rèn)識17世紀(jì)解析幾何的創(chuàng)立為圓錐曲線的研究帶來了生機(jī)作為點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的圓錐曲線，在引入坐標(biāo)后顯示出一個(gè)更明顯的特征，它是二次方程的圖像，即它又被命名為二次曲線到了18世紀(jì)，歐拉發(fā)表了分析

3、引論，這是解析幾何發(fā)展史上的一部重要著作，也是圓錐曲線研究的經(jīng)典之作在這部著作中，歐拉給出了現(xiàn)代形式下圓錐曲線的系統(tǒng)闡述.一.圓錐曲線的定義圓錐曲線的定義有幾何直觀上的定義和數(shù)量關(guān)系上的定義.如果用一個(gè)不經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面去截兩邊可以無限延伸的圓錐面，那么由于截面與軸的夾角不同，他們的交線可能就是橢圓(包括圓)、雙曲線或者是拋物線，由于曲線在圓錐面上，所以我們把橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線.我們用表示圓錐的軸與截面所成的角(圖1-1)，記圓錐的半頂角為,當(dāng)時(shí)，即平面與軸垂直時(shí)，則得到的截線是圓（特殊的橢圓），當(dāng)時(shí)，則得到的截線是橢圓，當(dāng)時(shí)，則得到的截線是拋物線，當(dāng)時(shí)，則得到的截線是雙曲線

4、.圖1-1除以上定義外，橢圓、雙曲線和拋物線還有各自的定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做焦點(diǎn).平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差等于定長的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做焦點(diǎn).平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的軌跡叫做拋物線，這個(gè)定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，這條定直線叫做準(zhǔn)線.除圓以外，圓錐曲線有統(tǒng)一的定義：平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離之比是一個(gè)常數(shù)（通常用表示），那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線，這個(gè)定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，這條定直線叫做準(zhǔn)線，這個(gè)常數(shù)叫做圓錐曲線的離心率.當(dāng)e<1時(shí)，軌跡是橢圓;當(dāng)時(shí)，軌跡是拋物線;當(dāng)e>1時(shí)，軌跡是雙曲

5、線.2. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖像 .圓1. 橢圓的定義：第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.第二定義：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比等于常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)叫做橢圓的離心率.2. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖像：標(biāo)準(zhǔn)方程中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上圖形范圍頂點(diǎn)對稱軸軸、軸；長軸長，短軸長；焦點(diǎn)在長軸上軸、軸；長軸長，短軸長；焦點(diǎn)在長軸上焦點(diǎn)焦距離心率準(zhǔn)線參數(shù)方程與普通方程的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 .雙曲線1. 曲線定義第一定義：平面內(nèi)

6、到兩定點(diǎn)、的距離之差的絕對值等于定長（小于點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。說明：（）是雙曲線；若 ，軌跡是以、為端點(diǎn)的射線； 若 時(shí)無軌跡。設(shè)是雙曲線上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線右邊一支上，則，； 若M在雙曲線的左支上，則，故，這是與橢圓不同的地方。 第二定義：平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線L的距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線，定點(diǎn)叫焦點(diǎn)，定直線叫相應(yīng)的準(zhǔn)線。2. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及圖像：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)頂點(diǎn) 對稱軸實(shí)軸，虛軸，實(shí)軸在軸上，實(shí)軸，虛軸，實(shí)軸在軸上，離心率準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線間距離為準(zhǔn)線間距離為漸近線方程3、幾個(gè)概念 等軸雙曲線：實(shí)、虛軸相等的雙曲線。等軸雙曲線的漸近線為，離心率為. 共軸雙曲線：以已

7、知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸的雙曲線叫原雙曲線的共軸雙曲線，例：的共軸雙曲線是. 雙曲線及其共軸雙曲線有共同的漸近線。但有共同的漸近線的兩雙曲線，不一定共軸雙曲線. 雙曲線和它的共軸雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓周上. .拋物線 1、拋物線定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，定直線為拋物線的準(zhǔn)線.注： 定義可歸結(jié)為“一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為；一定點(diǎn)（即焦點(diǎn)）；一定直線（即準(zhǔn)線）；一定值1（即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比1）. 定義中的隱含條件：焦點(diǎn)不在準(zhǔn)線上。若在上，拋物線退化為過且垂直于的一條直線. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)與一定

8、點(diǎn)和定直線的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)時(shí)，表示橢圓；當(dāng)時(shí)，表示雙曲線；當(dāng)時(shí)，表示拋物線. 拋物線定義建立了拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題中常將拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)距離（稱焦半徑）與動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線距離互化，與拋物線的定義聯(lián)系起來，通過這種轉(zhuǎn)化使問題簡單化.2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖像：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形xOFPyOFPyxOFPyxOFPyx焦點(diǎn)在軸上，開口向右焦點(diǎn)在軸上，開口向左焦點(diǎn)在軸上，開口向上焦點(diǎn)在軸上，開口向下準(zhǔn) 線焦 點(diǎn)對稱軸軸軸焦半徑頂 點(diǎn)離心率通 徑焦點(diǎn)弦（為焦點(diǎn)弦的傾斜角,當(dāng)時(shí)，為通徑）三. 圓錐曲線的性質(zhì)1.圓錐曲線的基本性質(zhì)在高中課本當(dāng)中就對圓錐曲線的性質(zhì)進(jìn)行了

9、簡單的介紹，它在高中的教學(xué)和高考中都有很重的地位，是高中平面解析幾何中不可或缺的一部分并且本文后面定理的證明都利用到了圓錐曲線的基本性質(zhì)，可以這樣說，圓錐曲線的其它性質(zhì)都是建立在基本性質(zhì)之上所以有必要對其進(jìn)行一下總結(jié)建立表格如下：橢圓雙曲線拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程圖形范圍或?qū)ΨQ性關(guān)于軸/軸對抽關(guān)于原點(diǎn)中心對稱關(guān)于軸/軸對抽關(guān)于原點(diǎn)中心對稱關(guān)于軸頂點(diǎn)離心率漸近線無無準(zhǔn)線焦點(diǎn)過曲線上點(diǎn)的切線方程2.圓錐曲線的直徑Ox圖3.1-1y我們知道，圓的弦有一個(gè)重要的性質(zhì)圓的一組平行的弦的中點(diǎn)的軌跡是圓的直徑，這個(gè)性質(zhì)對于圓錐曲線是否還適用呢？先來探求橢圓的一組平行弦的中點(diǎn)的軌跡：如果弦垂直于對稱軸，很明顯弦的中點(diǎn)都

10、在軸上.現(xiàn)在考慮一般的情形：設(shè)橢圓的方程為. 又設(shè)一組平行弦的斜率是定值，那么這組平行弦的直線系方程是 這里是參數(shù). 若 是平行弦中的任意一條（圖3.1-1），它的方程是. (3.1.2)設(shè)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，顯然它是(3.1.1)和(3.1.2)所組成方程組的解，把(3.1.2)代入(3.1.1)得就是 (3.1.3)方程(3.1.3)的兩個(gè)根是，由方程的根與系數(shù)的關(guān)系，可知 假定是弦的中點(diǎn)，則，所以 (3.1.4) 又點(diǎn)在弦上，所以 ，就是 (3.1.5)方程(3.1.4)與(3.1.5)是用參數(shù)表示所求軌跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)和，若軌跡上任意點(diǎn)的坐標(biāo)為,則得所求軌跡的參數(shù)方程是消去參數(shù),得

11、所求軌跡的普通方程是 這是一條直線（從幾何意義說，只是這條直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)之間的一段）.它的斜率是，并且經(jīng)過橢圓的中心。同樣，我們可以求得雙曲線中斜率為的平行弦的中點(diǎn)的軌跡是斜率為，并且經(jīng)過雙曲線中心的直線 拋物線中的斜率為的平行弦的中點(diǎn)的軌跡是平行于拋物線的對稱軸的直線 綜上所述可知：圓錐曲線的平行弦的中點(diǎn)的軌跡是一條直線，這條直線叫做圓錐曲線的直徑. 3.圓錐曲線的切線方程和切點(diǎn)弦方程.一般二次曲線的切線方程. 設(shè)是二次曲線 上的一點(diǎn)， 則過點(diǎn)的切線方程為所以，橢圓上一點(diǎn)的切線方程是； 雙曲線上一點(diǎn)的切線方程是； 拋物線上一點(diǎn)的切線方程是。 從圓錐曲線外一點(diǎn)向圓錐曲線引兩條切線（如果存

12、在），那么經(jīng)過兩切點(diǎn)的圓錐曲線的弦叫做切點(diǎn)弦. 我們來求切點(diǎn)弦的方程：設(shè)橢圓方程為，經(jīng)過橢圓外一點(diǎn)引橢圓的兩條切線，為兩個(gè)切點(diǎn)，則經(jīng)過的切線方程分別為 和.因?yàn)樗鼈兌纪ㄟ^這一點(diǎn)，所以 (3.2.1) (3.2.2) 現(xiàn)在設(shè)想一直線方程是 (3.2.3)由(3.2.1) 、(3.2.2)可知，兩點(diǎn)都在方程(3.2.3) 所表示的直線上，但經(jīng)過只能引一條直線，因此所求切點(diǎn)弦的方程就是.同理雙曲線和拋物線外一點(diǎn)的切點(diǎn)弦的方程分別是 4.與焦點(diǎn)弦相關(guān)的幾條性質(zhì) 定理2.4.1 設(shè)為離心率是的圓錐曲線的焦點(diǎn)弦，且弦長，則中點(diǎn)到焦點(diǎn)相應(yīng)準(zhǔn)線的距離證明: 不妨以橢圓為例加以證明（雙曲線和拋物線同理可證）設(shè)橢

13、圓方程為，其右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，為過且中點(diǎn)為的焦點(diǎn)弦若分別過作直線的垂線段 由定義4知 即 所以到的距離為定理2.4.2 設(shè)為過圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)的一條弦，為到其相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，為圓錐曲線的離心率，則證明: 以雙曲線為例進(jìn)行證明（橢圓和拋物線證明同理）設(shè)弦傾斜角為，過作于，過作于，過作于，則由定義得同理 所以 定理2.4.3 圓錐曲線的離心率為，為過焦點(diǎn)而不垂直于曲線的對稱軸的弦，且線段的中垂線交曲線的過焦點(diǎn)的對稱軸于，則 證明:設(shè)圓錐曲線的焦點(diǎn)為，的中垂線為（如圖），過作垂直準(zhǔn)線于，過作垂直于準(zhǔn)線于，作垂直于， 則于是有 而 所以 所以 本文從圓錐曲線的定義入手.在圓錐曲線定義的基礎(chǔ)上，從四個(gè)方面對圓錐曲線的性質(zhì)進(jìn)行了介紹，由圓的基本性質(zhì)引出與焦點(diǎn)弦有關(guān)的性質(zhì)等.并對這些性質(zhì)進(jìn)行了證明.有了這些定義和性質(zhì)后，可以對解有關(guān)圓錐曲線的題目起到很大的幫助，特別是教師對這個(gè)進(jìn)行研究之后，從而在教學(xué)中做到有的放矢，為更好促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)達(dá)成起到關(guān)鍵作用。參考文獻(xiàn)1 周