數(shù)列知識點(diǎn)復(fù)習(xí)總結(jié)

1、數(shù)列知識點(diǎn)復(fù)習(xí)總結(jié)20 / 24數(shù)列高考知識點(diǎn)大掃描數(shù)列基本概念值域、增減性和最值等方面的數(shù)列是一種特殊函數(shù)，對于數(shù)列這種特殊函數(shù)，著重討論它的定義域、 性質(zhì)，依據(jù)這些性質(zhì)將數(shù)列分類：依定義域分為：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列；依值域分為：有界數(shù)列和無界數(shù)列；依增減性分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。解析法（通項(xiàng)公式法及遞推關(guān)系法）數(shù)列的表示方法：列表法、圖象法、 數(shù)列通項(xiàng)：an f（n）”2、等差數(shù)列1、定義當(dāng)n N ,且n2時(shí)，總有an 1 an d,（d常），d 叫公差。2、通項(xiàng)公式ana1（n1)d1）、從函數(shù)角度看andn (印d）是n的一次函數(shù)，其圖象是以點(diǎn)（1,印）為端點(diǎn),斜率為d斜線上一

2、些孤立點(diǎn)。2）、從變形角度看anan (n1）（ d）,即可從兩個(gè)不同方向認(rèn)識同一數(shù)列，公差為相反數(shù)。又 ana1 (n 1)d,amai(m 1)d相減得 an am (n m)d ,即 an am (n m)d .n>m，則以am為第一項(xiàng),an是第n-m+1項(xiàng)，公差為d；*m，貝V am以為第一項(xiàng)時(shí)，an是第m-n+1項(xiàng)，公差為-d.3 ）、從發(fā)展的角度看 若an是等差數(shù)列，則 ap aq 2a1 (p q 2)d,aman2a1 (m n 2)d ,因此有如下命題：在等差數(shù)列中，若m n p q 2r ，則amanap aq 2a.3、前n項(xiàng)和公式由 Sna a? Lan , Sn

3、an an 1 Lai，相加得還可表示為Sn nai如 ®d,（d 0），是n的二次函數(shù)。2特別的，由a1 a2n 12an可得 S?n 1(2 n 1)an。3、等比數(shù)列2時(shí)，總有q(q 0) , q叫公比。2、 通項(xiàng)公式：an aiqn 1 amqn m,在等比數(shù)列中，若 m n p q 2r ,則am an ap aq ar2.3、前n項(xiàng)和公式：由 Snaia?Lan, qSna?a3 Lanan i ，兩式相減，al(1 q ) al anq 當(dāng) q 1 時(shí)，S,(q1)；當(dāng) q 1 時(shí)，Sn nai 。1 q 1 q關(guān)于此公式可以從以下幾方面認(rèn)識：不能忽視S 可(1 q)a

4、1 邛 成立的條件：q 1。特別是公比用字母表示時(shí)，要分類討論。1 q 1 q公式推導(dǎo)過程中，所使用的“錯(cuò)位相消法”，可以用在相減后所得式子能夠求和的情形。如，公差為d的等差數(shù)列an，Sna-ixa2x2LanXn，則 xSn2ax31nn 1a2x Lan 1x anx ，相減得Sn(1x)a-i x dx2L dxnn 1anX ，當(dāng)x1時(shí)，Sn(1x) a1xdx(1 xn1 x1)n 1San X， Snn 1ax a“x1 xdx2(1(1xn1)x)2當(dāng)x1時(shí)，Snaa： Lan na1n(n 1)d2 ；3)從函數(shù)角度看Sn是n的函數(shù)，此時(shí)q和a1是常數(shù)。4、等差與等比數(shù)列概念及

5、性質(zhì)對照表名稱等差數(shù)列等比數(shù)列定義d,(d 常)an 1anan1 q,(q常)，也也(n N*)anan 1anan 2an 1an 1 an(n N*)通項(xiàng)ana1 (n 1)dann 1aq公式am (nm)dan mmq變式：a1an (n 1)dm n pq 2rmn p q 2r性質(zhì)2amanapaq2ar -am anap aq(ar)(d 0可逆)(q1可逆)中項(xiàng)m n 2raman2 ar.m n 2ram an(ar ).單調(diào)性d 0時(shí)增ai 0,q1 或 a0,0q i增；d 0時(shí)常數(shù)列d 0時(shí)減ai0,q i 或 ai0,0q i時(shí)減；q i時(shí)常數(shù)列，q 0時(shí)擺動(dòng)數(shù)列刖

6、nai& n n2S 4(i qn)Si q11項(xiàng) 和n(nnar d,(d20)_a2,(qi qi)（推導(dǎo)方法：倒加法）（推導(dǎo)方法：錯(cuò)位相消法）sn nai (d 0)Sn n ai(q i)結(jié)論1、a*等差,公差d ，則kanb等差an等比，公比q，則kan等比，公比公差kd；子數(shù)列2q ； an 等比公比q2 ； JO等比，公比ak,ak m , ak 2m ,L , aknm,(m N )等差，jq。子數(shù)列 a2,a4,a4,L2a2n等比，公比q ;公差md;若kn等差，公差di，則akn右kn等差，公差d,則akn等比，公比為等差，公差d1 d。dq 。2、an等差,公差

7、d則an an i等差，公an等比，公比q，則ii 等比，公比一;anq差2d;an i an ai等差，公差3d.an i an an i等比3, 公比 q ;2,5 kSk , S3kS2kL等差, 公差an ianan i等比，公比 q;2k d ,且 Qk3(S2kSk）.即連續(xù)相同個(gè)數(shù)的和成等差數(shù)列。Sk , S2kSk , S3kS2k Lk等比，公比q ,（當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，qk0 )。3、an等差公差d an nam mamSmSnSm nan等比，公比q n m& m, Sm nS(m n)4、等差an共2n項(xiàng)，則Q偶Q奇(aia3 La2n i)(q i)Q偶Q奇 等差

8、an Q奇Q禺.Q偶annd,Q 奇an 1，共2n+1項(xiàng)，則an 1(中),=;Q奇n 1a" q2n)=1 qQ 偶a2a4 L a2nq.Q 奇Ca3L a】2n 15、an等差anan 1dan等比，公比qann 1agSna1ann2c 印(1 qn) Snd1 qa11anqqSnAn2 Bnan kn baniS2n 1 2n 1.Snan 1,(a0,a1).聯(lián)系1、各項(xiàng)不為0常數(shù)列，即是等差，又是等比。2、0,5 1)通項(xiàng)公式% Sn 比 1 ,(n 2) *3、an等差，公差 d， c 0,c1 ,則 ca1, Cl2L can ,即can等比公比d c .4、a

9、n等比，公比 q, an0 (a 0,a 1),logaa,logaa2,L logaan ,即log aan等差,公差logaq.5、an等差，bn等比，則an bn前n項(xiàng)和求法，利用錯(cuò)位相消法6、求和方法:公式法，倒加法，錯(cuò)位相消法，裂項(xiàng)法，累加法，累積法，等價(jià)轉(zhuǎn)化法等。5、遞推數(shù)列 表示數(shù)列中相鄰的若干項(xiàng)之間關(guān)系的式子叫數(shù)列遞推公式。作為特殊的函數(shù)，數(shù)列可用遞推 式表示。求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式常用方法：公式法、歸納法、累加法、累乘法。特別的，累加法是求形如an 1anf (n)遞推數(shù)列的基本方法，其中數(shù)列 f (n)可求前n項(xiàng)和，即an a1 (a2 a1) L(an an 1)；累乘法是求

10、形如an 1 g(n) an遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法,其中數(shù)列g(shù)(n)可求前n項(xiàng)積，即an aL ,(a 0).ai a2 an 1等差數(shù)列等差數(shù)列的概念定義式:anan 1d(d為常數(shù)，n 2, n N*)，或 a an d(n N*)遞推式:an 1and(n N*).等差中項(xiàng)：任何兩個(gè)數(shù)a, b都有且僅有個(gè)等差中項(xiàng)A A a b .2通項(xiàng)公式：ana1(n1)d ， anam(nm)d (廣義).特征:anknb ,其中k d,ba1 d.前n項(xiàng)和：Snan)n“n(n1)月一n(n 1)d n 2 .21u1 Id2特征:SnAn2plBn，其中A護(hù)da1夕注：1.等差數(shù)列的定義式和

11、遞推式、等差中項(xiàng)、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的特征、前n項(xiàng)和的特征,都可以作為一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的判定依據(jù)，但等差數(shù)列的證明必須根據(jù)定義式2.對任何數(shù)列，都有 anS1,SnSn 1 ,n 1,n 2,nN*.等差數(shù)列的性質(zhì)1.an為等差數(shù)列，則anam(nm)d (m, n N*).2.an為等差數(shù)列，且mp q(m, n, p,q N*)，則am ana p aq .3.an為等差數(shù)列，則S2n 1 an(2n 1)中間項(xiàng)項(xiàng)數(shù).4.右等差數(shù)列an共有2n 1項(xiàng)，則S奇 S偶 *中：5.S偶若等差數(shù)列an共有2n項(xiàng)，則S偶 S奇nd :S奇anan6.a若an為各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn,

12、，則amS2n 1 2m 1S2m 12n7.若an、 bn均為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別為anSn,Tn，則 FbnS2n 1T2n 18.在等差數(shù)列an中,若a mn ,anm(mn),則a m9.在等差數(shù)列an中,若Smn,Snm(mn),則Sm10.在等差數(shù)列an中,若SmSn(mn),則Smn0.nn0.(m n).11. 若an為等差數(shù)列，則 kan b仍為等差數(shù)列，其中 k和b是常數(shù)12. 若an、 bn為等差數(shù)列，則 an bn仍為等差數(shù)列.13. 若an為等差數(shù)列，則序號成等差的項(xiàng)也成等差數(shù)列，即：若an為等差數(shù)列，bn為正整數(shù)等差數(shù)列，則a»為等差數(shù)列.S1

13、4. Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則an為等差數(shù)列-為等差數(shù)列.n15. 若an為等差數(shù)列，則 an依次k項(xiàng)和仍為等差數(shù)列，即Sk,S2k Sk, S3k S2k.仍為等差數(shù)列.等比數(shù)列等比數(shù)列的概念定義式：anq(常數(shù)q 0,n2,nN*)，或q(n N*).an 1an遞推式:an 1anq( nN*).等比中項(xiàng)：兩個(gè)同號的實(shí)數(shù)a,b才有但有兩個(gè)等比中項(xiàng)G G、ab .n 1n m通項(xiàng)公式：anae,anamq(廣義).前n項(xiàng)和：當(dāng)q1 時(shí)，Snna1,當(dāng)q1 時(shí)，Sn印(1 qn)na1aqa1an 1 an(1 q n), 11 q1 q1 q1 q特征：Sn A(qn 1)(A0).注

14、：非零常數(shù)列既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列，反之亦然等比數(shù)列的性質(zhì)1. 若an為等比數(shù)列，則an amqnm(m,n N*).2. 若 an 為等比數(shù)列，且 m n p q(m, n, p,q N*)，則 amanapaq.3. 若an為等比數(shù)列，則 kan仍為等比數(shù)列，其中 k是非零常數(shù).kk4. 若an為等比數(shù)列，則當(dāng) an恒有意義時(shí) an仍為等比數(shù)列，其中 k是任意常數(shù).5. 若an、 bn為等比數(shù)列，則anbn、 色仍為等比數(shù)列.bn6. 若an為等比數(shù)列，則序號成等差的項(xiàng)也成等比數(shù)列，即：若an為等比數(shù)列，bn為正整數(shù)等差數(shù)列，則abn為等比數(shù)列7. Tn為正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)積，則an為

15、等比數(shù)列n為等比數(shù)列.8. 若Sk為等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和，且Sk 0 ,貝y an依次k項(xiàng)和仍為等比數(shù)列, 即Sk，S2k Sk，S3k S2k仍為等比數(shù)列注：等比數(shù)列各項(xiàng)積的性質(zhì)類似于等差數(shù)列各項(xiàng)和的性質(zhì)，應(yīng)用范圍較小，故未寫入等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系1. 非零常數(shù)列，也只有非零常數(shù)列，即是等差數(shù)列也是等比數(shù)列。2. 等差數(shù)列與等比數(shù)列可以相互轉(zhuǎn)化事實(shí)上，若an是等比數(shù)列，則logcan是等差數(shù)列;若an是等差數(shù)列，則 can是等比數(shù)列，其中 c是常數(shù)，且c 0,c 1.3. 等差數(shù)列和的運(yùn)算與等比數(shù)列積的運(yùn)算有類似的性質(zhì)，等差數(shù)列差的運(yùn)算與等比數(shù)列商的 運(yùn)算有類似的性質(zhì).、基本概念1、

16、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù).數(shù)列的項(xiàng)、數(shù)列的項(xiàng)數(shù)表示數(shù)列的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系的公式通項(xiàng)公式：不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式符號控制器：如（1）n、（ 1）n+1遞推公式：表示任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系的公式.有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列.遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.數(shù)列分類：遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列.擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.、等差數(shù)列：從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差.anan 1

17、d, n2且 nZ，或 an 1an d,n1且n Zana n1 d am n m d kn b1、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)是印，公差是d，則有dana1anamn 1n mana1n1d2n p q 2an ap aq性質(zhì)：若an是等差數(shù)列，則p qm n p q am 4 ap 為右an是等差數(shù)列，則am、am k、am 2k、am 3k丄構(gòu)成公差公差kd的等差數(shù)列若an、bn是等差數(shù)列，則 an+ 、 an+ bn是等差數(shù)列等差中項(xiàng)：三個(gè)數(shù)a, G, b組成的等差數(shù)列，則稱G為a與b的等差中項(xiàng)2G=a b2、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式:Snn a1an2naj2pnqn等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性

18、質(zhì):S奇 nd若項(xiàng)數(shù)為2n n，則 S2nn anan 1(1)anan 1若項(xiàng)數(shù)為2n 1 n*，則 S2n 1 2n 1an，S 奇nan SffiS奇an， S 奇(3)Sm，S2m Sm ,S3m§L是等差數(shù)列nS2m成等差數(shù)列若等差數(shù)列an,bn的前n項(xiàng)和為Sn,Tn”則屯S2n 1 bnT2n 1等差數(shù)列的求和最值問題：（二次函數(shù)的配方法；通項(xiàng)公式求臨界項(xiàng)法）ak k滿足ak 1a1若1d,，則Sn有最大值，當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值a1若1d0，則Sn有最小值，當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值0akk滿足ak 1三、等比數(shù)列：從第1、通項(xiàng)公式及其性質(zhì)2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于

19、同一個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比.若等比數(shù)列 aan的首項(xiàng)是a1，公比是q，貝unqnagn mamq空qa1anamb成等比數(shù)列，則稱G為a與b的等比中項(xiàng)是等比數(shù)列，則2n P qanap aqm n p qam a.am、am k、am 2k、am 3k丄 成公比qk的等比數(shù)列a, G,G2 ab性質(zhì)：若ana paq2、前n項(xiàng)和及其性質(zhì)nai q 1 ,(q 1)a 1 qni qnaia.q 弓 aq1 q 1 qai1 qAqn A, q 1SnqSmSn、S2n&、S3nS?n成等比數(shù)列性質(zhì)若項(xiàng)數(shù)為2n,則偶S奇Sm， S2m Sm ,S3m S2m成等比數(shù)列四、(1

20、)an與Sn的關(guān)系：S1n 1an;(檢驗(yàn)a1是否滿足an Sn Sn 1)SnSn 1 n212 3Lnn(n 1)2122232L2 n(n n1)(n 2)6132333L3n2 (nn1)24五、一些方法1、等差數(shù)列、等比數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)；前n項(xiàng)和的最大值、最小值 2、求通向公式的常見方法(1 )觀察法；待定系數(shù)法(已知是等差數(shù)列或等比數(shù)列)(2)anan 1anf(n),累加消元；-an 1f (n),累乘消兀。(3)anan1,(倒數(shù)構(gòu)造等差:-1k);an kanan 1anan1 11 a.an 1,(兩邊同除構(gòu)造等差:-1);anan1(4) ankan 1b,化為(an

21、 x) k(an 1x)構(gòu)造等比anqan 1pn r,(構(gòu)造等比數(shù)列:an xn yq an 1 x n 1 y )anqan 1nanq an 1P，化為nnl1，分-是否等1討論。pp pp3、求前n項(xiàng)和的常見方法公式法、倒序相加、錯(cuò)位相減、列項(xiàng)相消、分組求和1常見數(shù)列公式等差數(shù)列1.等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即an - an i=d ,(n>2, n N ),這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差(常用字母"d”表示)*2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：ana1 (n 1)danam(nm)d或an =pn+q (

22、p、q 是常數(shù))3.有幾種方法可以計(jì)算公差d,-ana1an amd an an 1 d=d=n1n ma b4 .等差中項(xiàng)： A a, b,成等差數(shù)列25. 等差數(shù)列的性質(zhì)：m+n=p+qam a* ap aq (m, n, p, q N )等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式6. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1)Sn亜/ (2) Snna, 四(3) Sn dn2 (a1 -)n ,當(dāng)0，是一個(gè)常數(shù)2 2 2 2項(xiàng)為零的二次式8對等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題有兩種方法：(1) 禾U用an :當(dāng)an>0, d<0,前n項(xiàng)和有最大值+可由a. >0,且a. i< 0，求得n的值+當(dāng)an<

23、0, d>0，前n項(xiàng)和有最小值.可由an < 0，且an 1 >0，求得n的值.(2) 利用Sn :由Sn dn2 (a1 d)n二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值+2 2等比數(shù)列1 等比數(shù)列：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做a等比數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母 q表示(0)，即：亠 =q (qM 0)an 12等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：ana1 qn 1(a1 q 0)，an am qn m(a1 q 0)3. an成等比數(shù)列anN ,qM 0)an m0”是數(shù)列 an成等比數(shù)列的必要非充分條件4 .既是等差又是等比數(shù)列

24、的數(shù)列：非零常數(shù)列.5 .等比中項(xiàng)：G為a與b的等比中項(xiàng)即G = ± . ab (a,b同號)6.性質(zhì)：若 m+n=p+q， am anap aq7 .判斷等比數(shù)列的方法：定義法，中項(xiàng)法，通項(xiàng)公式法8.等比數(shù)列的增減性：當(dāng)q>1, a1>0或0<q<1, a1 <0時(shí),an是遞增數(shù)列；當(dāng)q>1, ai<0,或0<q<i,印>0時(shí), an是遞減數(shù)列當(dāng)q=1時(shí),an是常數(shù)列;當(dāng)q<0時(shí), an是擺動(dòng)數(shù)列；等比數(shù)列前n項(xiàng)和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：ca1(1當(dāng)q 1時(shí)，Snn、q )或Sna1anq-1q1 q當(dāng) q=1 時(shí)，

25、Snna1當(dāng)已知a1, q, n時(shí)用公式；當(dāng)已知a1 , q, an 時(shí)，用公式類型1遞推公式為an 1 an f(n)1已知數(shù)列an滿足a1， an 12an12n n求an。解：由條件知:1 1 1 1an 1 a n2n n n(n 1) n n 1分另U令 n 1,2,3,(n 1)代入上式得(n 1)個(gè)等式累加之(a2 a1) (a3a2) (a4 a3)(a* an 1)11111(1 )(-3)(3)224所以an ah1 1n11113a1an22n2類型2遞推公式為an 1 f(n)an已知數(shù)列an滿足a1- , an 13求an 。解：由條件知an 1an，分別令1,2,3

26、,(n1)，代入上式得(n 1)個(gè)等式累乘之，即a?a3a4a1 a2 a3anan12 3an 12 3 4_2_3nana1類型3遞推公式為an 1pan q (其中p, q均為常數(shù)，(pq(p 1)0)1.已知數(shù)列 an 中，a11, an 1 2an 3，求 an.解：設(shè)遞推公式 an 1 2an3可以轉(zhuǎn)化為 an 1t 2(an t)即 am2an tt3 .故遞推公式為an 1 3 2(an 3)，令 bna.3，則 b|a134 且 bn 1an 132.所以bn是以b 4為首項(xiàng)，2bnan3為公比的等比數(shù)列，則 bn42n1 2n1,所以 an2n 13.12. 數(shù)列a n滿足

27、a1 =1, an=-an1+1 (n>2)，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式。211解：由 an=an 1 +1 (n2 )得 a n 2= (a n 1 2),而 a 1 2=1 2= 1,221數(shù)列 an 2是以1為公比，一1為首項(xiàng)的等比數(shù)列21、n 11、n 1a n 一 2( _ )- - a n =2 ( _ )2 23. 已知數(shù)列an滿足印 1，且an 1 3an 2，求a.解：設(shè) an 1 t 3( an t)，則 an 1 3an 2t t 1 ,an 1 1 3(an 1)an 1 是以1 1)為首項(xiàng)，以n 1n 1n 1 丄an 1 (a1 1) 32 3an 2 31類型4

28、遞推公式為Sn與an的關(guān)系式。(或Snf n)解法：利用&n數(shù)列知識點(diǎn)回顧第一部分：數(shù)列的基本概念1理解數(shù)列定義的四個(gè)要點(diǎn)數(shù)列中的數(shù)是按一定“次序”排列的，在這里，只強(qiáng)調(diào)有“次序”，而個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列.在數(shù)列中同一個(gè)數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn).項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n是兩個(gè)根本不同的概念.數(shù)列可以看作一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值，但函數(shù)不一定是數(shù)列.2數(shù)列的通項(xiàng)公式3 為公(n(n等比數(shù)列"規(guī)律” 因此,1) 進(jìn)行求解。2)如果組成兩一個(gè)數(shù)列 a n的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系，如果用一個(gè)公式an =

29、f (n)來表示，就把這個(gè)公式叫做數(shù)列 a.的通項(xiàng)公式。若給出數(shù)列 an的通項(xiàng)公式，則這個(gè)數(shù)列是已知的。若數(shù)列 an的前n項(xiàng)和記Si ,n 1為Sn，則Sn與an的關(guān)系是：an =。Sn Sn 1 . n 2第二部分：等差數(shù)列1. 等差數(shù)列定義的幾個(gè)特點(diǎn)：公差是從第一項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它前一項(xiàng)的差(同一常數(shù))，即d = an an 1 (n2)或d = an 1 an(n N ).要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，必須對任意n N , an an 1= d (n詢或d = an 1 a.都成立一般采用的形式為： 當(dāng)n支時(shí)，有an an 1 = d (d為常數(shù)). 當(dāng)n N時(shí)，有an 1 an = d (

30、d為常數(shù)). 當(dāng)n絲時(shí)，有an 1 an = a n an 1成立.若判斷數(shù)列 a n不是等差數(shù)列，只需有a3 a 2力2 a 1即可.2. 等差中項(xiàng)若a、A、b成等差數(shù)列，即 A= b，貝U A是a與b的等差中項(xiàng)；若 A=旦-，貝U a、A、b成等差數(shù)2 2a a a列，故a=久丄是a、A、b成等差數(shù)列，的充要條件。由于an= 口口，所以，等差數(shù)列的每一項(xiàng)都2 2是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)。3等差數(shù)列的基本性質(zhì)公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差仍為d.公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd.若 an、 bn為等差數(shù)列，則 a n &

31、#177;M與ka n + b(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列.對任何m、nN ，在等差數(shù)列 a n中有：an = a m+ (n m)d，特別地，當(dāng) m = 1時(shí)，便得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，此式較等差數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性.、一般地，如果I, k，p，m, n, r,皆為自然數(shù)，且 I + k + p +=m + n + r +（兩邊的 自然數(shù)個(gè)數(shù)相等），那么當(dāng)a n為等差數(shù)列時(shí)，有：al + ak + ap +=am+ an + ap +.公差為d的等差數(shù)列，從中取出等距離的項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，此數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd（ k為取出項(xiàng)數(shù)之差）.如果 a n是等差數(shù)列，公差為 d，那

32、么，an ， an 1，a?、ai也是等差數(shù)列，其公差為 d;在 等差數(shù)列 a n中，am i ai = am k ak = md .（其中 m、k、I N ）在等差數(shù)列中，從第一項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列末項(xiàng)除外）都是它前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng).當(dāng)公差d>0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的增大而增大；當(dāng)dv0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的減少而減??；d= 0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)等于一個(gè)常數(shù).設(shè)al，am，an為等差數(shù)列中的三項(xiàng)，且 al與am，am與an的項(xiàng)距差之比- =（工一1），則m nai ana m = 14.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn=（a1 色與Sn = na1 + 凹 d的比較2 2前n項(xiàng)和公式

33、公式適用范圍相同點(diǎn)cn(a1 an)Sn =2用于已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和末項(xiàng)都是等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式n(n 1)S n = na1 +d2用于已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差5.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn的基本性質(zhì)數(shù)列 a n為等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列 a n的前n項(xiàng)和Sn可以寫成Sn = an2 + bn的形式（其中a、 b為常數(shù)）.在等差數(shù)列 a n中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n （nS奇a）時(shí)，S偶一S奇=nd，=;當(dāng)項(xiàng)數(shù)為（2n 1） （nS偶an 1時(shí)，S 偶一S 奇=a n ,=n2dS偶n 1Sn、Tn （n為奇數(shù)），則SnTnn mSm n =(a b).n mn, 魚)均在直線 y = x +

34、(a 1 n2若數(shù)列 an為等差數(shù)列，則Sn , S2n S. , S?. S?n，仍然成等差數(shù)列，公差為若兩個(gè)等差數(shù)列 an、 bn的前n項(xiàng)和分別是在等差數(shù)列 a n中，Sn = a, Sm= b (n > m),則等差數(shù)列a n中，是n的一次函數(shù)，且點(diǎn)（n記等差數(shù)列a n的前n項(xiàng)和為Sn .若a1 >0，公差dv 0，則當(dāng)an初且an 1切時(shí)，Sn最大；若 a1 v 0，公差d >0,則當(dāng)an O且an 1為時(shí)，Sn最小.第三部分：等比數(shù)列1. 正確理解等比數(shù)列的含義an 1anq是指從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比，順序不要錯(cuò)，即q = （n N ）或q = （n絲）.an

35、an 1由定義可知，等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都不為0，因而公比q也不為0.要證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，必須對任意n N , 巴丄=q ;或= q （n支）都成立.anan 12. 等比中項(xiàng)與等差中項(xiàng)的主要區(qū)別G b2>如果G是a與b的等比中項(xiàng)，那么 =，即G = ab, G = ±- ab .所以，只要兩個(gè)同號 的數(shù)才有等 a G.比中項(xiàng)，而且等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；如果A是a與b的等差中項(xiàng)，那么等差中項(xiàng) A唯一地表示a b為A=，其中，a與b沒有同號的限制.在這里，等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)既有數(shù)量上的差異，又有限制條2 .件的不同.3. 等比數(shù)列的基本性質(zhì)公比為q的等比數(shù)列，從中取

36、出等距離的項(xiàng)， 構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，此數(shù)列仍是等比數(shù)列， 其公比為qm（ m為等距離的項(xiàng)數(shù)之差）.對任何m、nN ，在等比數(shù)列 a n中有：an = a m -q n m，特別地，當(dāng) m = 1時(shí)，便得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，此式較等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有普遍性.t + k , p，m + =m + n + r + （兩一般地，如果t , k, p，m, n，皆為自然數(shù)，且邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等），那么當(dāng)a n為等比數(shù)列時(shí)，有:若 an是公比為q的等比數(shù)列，貝y | an1、an、ka n 、1也是等比數(shù)列，其公比分別為| q |、an2q如果 an是等比數(shù)列，公比為 q，那么,a 3， a5，a2n 1

37、，是以q2為公比的等比數(shù)列.如果 an是等比數(shù)列，那么對任意在 nN，都有anan22 = anq2 >0.1、q、 q兩個(gè)等比數(shù)列各對應(yīng)項(xiàng)的積組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，且公比等于這兩個(gè)數(shù)列的公比的積.當(dāng)q> 1且a1 >0或0v qv 1且a1 v 0時(shí)，等比數(shù)列為遞增數(shù)列； 當(dāng)a1 >0且0v q v 1或a1 v 0且q> 1時(shí)，等比數(shù)列為遞減數(shù)列；當(dāng)q = 1時(shí)，等比數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng) qv 0時(shí)，等比數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列.4等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn的基本性質(zhì)如果數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，那么，它的前n項(xiàng)和公式是na1 ,當(dāng) q 1 時(shí),Sn=?。? qn）也就

38、是說，公比為q的等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式是q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值，分段的界限是在 q = 1處.因此，使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，必須要弄清公比q是可能等于1還是必不等于1，如果q可能等于1，則需分q = 1和q力進(jìn)行討論.當(dāng)已知a 1 , q, n時(shí)，用公式 Sn =-）;當(dāng)已知a 1 , q, an時(shí)，用公式 Sn = .1 q1 q若Sn是以q為公比的等比數(shù)列，則有 Sn m = Sm + qSn.若數(shù)列 an為等比數(shù)列，則Sn，S2n - S. , $3“ S?.，仍然成等比數(shù)列.若項(xiàng)數(shù)為3n的等比數(shù)列（q工1）前n項(xiàng)和與前n項(xiàng)積分別為S1與T1，次n項(xiàng)和與次n項(xiàng)積分別為S2與T2

39、，最后n項(xiàng)和與n項(xiàng)積分別為S3與T3，則S1, S2 , S3成等比數(shù)列，T1 , T2 , T3亦 數(shù)列知識點(diǎn)復(fù)習(xí)總結(jié)成等比數(shù)列.二、難點(diǎn)突破1并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式在形式上也不一定唯一已知一個(gè)數(shù)列的前 幾項(xiàng)，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式更不是唯一的.2. 等差（比）數(shù)列的定義中有兩個(gè)要點(diǎn)：一是“從第 2項(xiàng)起”，二是“每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差（比）等于同一個(gè) 常數(shù)” 這里的“從第2項(xiàng)起”是為了使每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)都確實(shí)存在，而“同一個(gè)常數(shù)”則是保證至少含有 3 項(xiàng)所以，一個(gè)數(shù)列是等差（比）數(shù)列的必要非充分條件是這個(gè)數(shù)列至少含有 3項(xiàng).3. 數(shù)列的表示方法應(yīng)注意的兩個(gè)問題： a.與

40、an是不同的，前者表示數(shù)列 a!, a?，a.， 而后者僅表示這個(gè)數(shù)列的第 n項(xiàng)；數(shù)列a!, a?，a.，與集合 a !, a?，a*,，不同，差 別有兩點(diǎn)：數(shù)列是一列有序排布的數(shù)，而集合是一個(gè)有確定范圍的整體；數(shù)列的項(xiàng)有明確的順序性，而集合的元素間沒有順序性.4注意設(shè)元的技巧時(shí)，等比數(shù)列的奇數(shù)個(gè)項(xiàng)與偶數(shù)個(gè)項(xiàng)有區(qū)別，即：對連續(xù)奇數(shù)個(gè)項(xiàng)的等比數(shù)列，若已知其積為S,則通常設(shè)，aq 2 , aq 1 , a, aq, aq2，;對連續(xù)偶數(shù)個(gè)項(xiàng)同號.的等比數(shù)列，若已知其積為 S,則通常設(shè) ，aq 3 , aq 1 , aq, aq3，.5個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的必要條件是該數(shù)列各項(xiàng)均不為0，因此，在研究等比

41、數(shù)列時(shí)，要注意an豐0,因?yàn)楫?dāng)an = 0時(shí)，雖有a： = an 1 -an 1成立，但an不是等比數(shù)列，即“ b2 = a ”是a、b、c成等比數(shù)列的必要非充分條件；對比等差數(shù)列a n, “2b = a + c”是a、b、 c成等差數(shù)列的充要條件，這一點(diǎn)同學(xué)們要分清.6 由等比數(shù)列定義知，等比數(shù)列各項(xiàng)均不為0,因此，判斷一數(shù)列是否成等比數(shù)列，首先要注意特殊情況0”等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式蘊(yùn)含著分類討論思想，需分分 q = 1和qP進(jìn)行分類討論，在具體運(yùn)用公式時(shí)，常常因考慮不周而出錯(cuò).等差數(shù)列等差數(shù)列的概念定義式：anan 1d(d為常數(shù)，n 2, n N*)，或 an 1 and(n N*)遞

42、推式：an 1and(n N*).等差中項(xiàng)：任何兩個(gè)數(shù)a, b都有且僅有一個(gè)等差中項(xiàng)A A .通項(xiàng)公式：ana1(n1)d，anam(n m)d (廣義)特征:anknb，其中kd,b a1 d .前n項(xiàng)和：Snan)nna1n(n 1)d na n(n 1)d d nand222特征:SnAn2Bn，其中Add,B a1 .n項(xiàng)和的特征,注：1.等差數(shù)列的定義式和遞推式、等差中項(xiàng)、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的特征、前都可以作為一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的判定依據(jù)，但等差數(shù)列的證明必須根據(jù)定義式2.對任何數(shù)列，都有anS1,SnSn 1 ,n 1,n 2,nN*.等差數(shù)列的性質(zhì)1.an為等差數(shù)列，則anam(n

43、m)d (m, n N*).2.an為等差數(shù)列，且mp q(m, n, p,q N*)，則am an ap aq .3.an為等差數(shù)列，則S2n 1 an(2n 1)中間項(xiàng)項(xiàng)數(shù).4.若等差數(shù)列an共有2n 1項(xiàng)，則S奇 S偶 a中，5.S偶若等差數(shù)列an共有2n項(xiàng)，則S偶 S奇nd ;二S奇anan6.a若an為各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn,，則am n 1 2m 1S2m 1 2n7.若an、 bn均為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別為anSn,Tn，則嚴(yán)bnS2n 1T2n 18.在等差數(shù)列an中，若n,an m(mn)，則am n0.9.在等差數(shù)列an中，若Smn, Sn m(

44、mn)，則(m n).10.在等差數(shù)列 an中，若SmSn(m n)，則 Sm n0.11.若an為等差數(shù)列，則kanb仍為等差數(shù)列，其中k和b是常數(shù).12.若an、 bn為等差數(shù)列，則an bn仍為等差數(shù)列.13. 若an為等差數(shù)列，則序號成等差的項(xiàng)也成等差數(shù)列，即：若an為等差數(shù)列，bn為正整數(shù)等差數(shù)列，則abn為等差數(shù)列.S14. Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則an為等差數(shù)列n為等差數(shù)列.n15. 若an為等差數(shù)列，則 an依次k項(xiàng)和仍為等差數(shù)列，即 Sk,S2k Sk,S3k S?.仍為等差數(shù)列等比數(shù)列等比數(shù)列的概念定義式：anan 1q(常數(shù)q 0,n2,nN*)，或an 1anq(n

45、 N*).遞推式:an 1anq( nN*).等比中項(xiàng)：兩個(gè)同號的實(shí)數(shù)a,b才有但有兩個(gè)等比中項(xiàng)G G、ab .通項(xiàng)公式：ann 1ae ,anamqn m(廣義).前n項(xiàng)和：當(dāng)q1 時(shí)，Snna1,當(dāng)q1 時(shí)，Sn印(1 qn)na1aqa1an 1 an(1 q n)1 q1 q1q1 q 1特征：Sn A(qn 1)(A0).注：非零常數(shù)列既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列，反之亦然等比數(shù)列的性質(zhì)1. 若an為等比數(shù)列，則an amqnm(m,n N*).2. 若 an 為等比數(shù)列，且 m n p q(m, n, p, q N*),則 amanapaq.3. 若an為等比數(shù)列，則 kan仍為等比數(shù)

46、列，其中 k是非零常數(shù).kk4. 若an為等比數(shù)列，則當(dāng) an恒有意義時(shí) an 仍為等比數(shù)列，其中 k是任意常數(shù)5若an、 bn為等比數(shù)列，則 anbn、旦仍為等比數(shù)列.bn6. 若an為等比數(shù)列，則序號成等差的項(xiàng)也成等比數(shù)列，即：若an為等比數(shù)列，bn為正整數(shù)等差數(shù)列，則ab為等比數(shù)列.n7. Tn為正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)積，則an為等比數(shù)列nTn為等比數(shù)列.8. 若Sk為等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和，且Sk 0，則an依次k項(xiàng)和仍為等比數(shù)列，即Sk,S2k Sk,S3k S2k.仍為等比數(shù)列.注：等比數(shù)列各項(xiàng)積的性質(zhì)類似于等差數(shù)列各項(xiàng)和的性質(zhì)，應(yīng)用范圍較小，故未寫入等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系1. 非零常數(shù)列，也只有非零常數(shù)列，即是等差數(shù)列也是等比數(shù)列。2. 等差數(shù)列與等比數(shù)列可以相互轉(zhuǎn)化事實(shí)上，若an是等比數(shù)列，則logcan|是等差數(shù)列;若an是等差數(shù)列，則 can是等比數(shù)列，其中 c是常數(shù)，且c 0,c 1.3. 等差數(shù)列和的運(yùn)算與等比數(shù)列積的運(yùn)算有類似的性質(zhì)，等差數(shù)列差的運(yùn)算與等比數(shù)列商的 運(yùn)算有類似的性質(zhì).數(shù)列知識點(diǎn)考綱要求內(nèi)容4要求層次ABC數(shù)列數(shù)列的概念數(shù)列的概念和表示法V等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列的概念V等比數(shù)列的概念V等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)和公式