高二數(shù)學(xué)隨機(jī)變量的數(shù)字特征;正態(tài)分布人教實(shí)驗(yàn)版(B)知識(shí)精講)

1、高二數(shù)學(xué)隨機(jī)變量的數(shù)字特征；正態(tài)分布高二數(shù)學(xué)隨機(jī)變量的數(shù)字特征；正態(tài)分布人教實(shí)驗(yàn)版（人教實(shí)驗(yàn)版（B B）【本講教育信息本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：2.3 隨機(jī)變量的數(shù)字特征2.4 正態(tài)分布二. 教學(xué)目的1、能夠求出隨機(jī)變量的分布列，并利用分布列求出隨機(jī)變量的均值和方差，能解決簡單實(shí)際問題。2、掌握正態(tài)分布的性質(zhì)，能夠計(jì)算有關(guān)概率值；了解假設(shè)檢驗(yàn)的思想。三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)利用分布列求出隨機(jī)變量的均值和方差；正態(tài)分布的性質(zhì)。四. 知識(shí)分析1、離散型隨機(jī)變量的均值一般地，若離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn則稱為隨機(jī)變量 X 的均值或數(shù)學(xué)期望它反映了離1122nn

2、E(X)x px px p散型隨機(jī)變量取值的平均水平。若 X 為隨機(jī)變量，Y = aX + b（其中 a , b 為常數(shù)） ，則 Y 也是隨機(jī)變量，且有E（aX + b）= aE（X） + b若 X B （ n , p ） ，則 E（X） = np期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均。E（X）是一個(gè)實(shí)數(shù)，由 X 的分布列惟一確定即作為隨機(jī)變量 X 是可變的，可取不同值，而 E（X）是不變的，它描述 X 取值的平均狀態(tài) 直接給出了 E（X）的求法，即隨機(jī)變量取1122nnE(X)x px px p值與相應(yīng)概率值分別相乘后相加2、離散型隨機(jī)變量的方差設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為Xx1

3、x2xixnPp1p2pipn則xiE（X）2描述了 xi （i = 1,2,n）相對(duì)于均值 E（X）的偏離程度而n2iii 1D(X)xE(X)p為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量 X 與其均值 E（X）的偏離程度，我們稱 D（X）為隨機(jī)變量 X 的方差，其算術(shù)平均根為隨機(jī)變量 X 的標(biāo)準(zhǔn)差。記作()D X()X隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離均值的平均程度越小。設(shè) X 為離散型隨機(jī)變量，則 （1）D（aX + b）a2D（X）（2）若 X 服從二點(diǎn)分布，則 D（X） = p （1p）（3）若 X B（n，p） ，則 D（

4、X） = np（1p） 3、正態(tài)分布我們稱，xR（其中是參數(shù)，且）為222)x(e21)x(f, 0, 正態(tài)變量 X 的概率密度函數(shù)，其圖象叫做正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線。期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布常記為。若 X，則 X 的均值與方差分別為：2( ,)N 2( ,)N 。參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)。是衡量隨機(jī)2(),()E XD X 變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)正態(tài)曲線的性質(zhì)：（1）曲線在 x 軸上方，與 x 軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱；x （3）曲線在處達(dá)到峰值；x 12（4）當(dāng)一定時(shí)，曲線隨著的變化沿 x 軸平移；（5）當(dāng)一定時(shí)，曲線形

5、狀由確定，越小，曲線越瘦高。 當(dāng)時(shí)的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。0,1 一般來說，正態(tài)變量的取值在內(nèi)的概率是 68.3%，在內(nèi)(,) (2 ,2 ) 的概率是 95.4%，在內(nèi)的概率是 99.7%。(3 ,3 ) 【典型例題典型例題】例 1、某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率 p = 0.6（1）求投籃一次時(shí)命中次數(shù) X 的均值和方差；（2）求重復(fù) 5 次投籃時(shí)，命中次數(shù) Y 的均值與方差。分析：分析：（1）為兩點(diǎn)分布的均值和方差（2）為二項(xiàng)分布的均值和方差?？衫霉角蠼?。解析：解析：（1）投籃一次時(shí)命中次數(shù) X 的分布列為：X01P0.40.6 則E(X)0 0.4 1 0.60.6 22D(X)(00.6

6、)0.4(1 0.6)0.60.24 （2）由題意，重復(fù) 5 次投籃時(shí)，命中次數(shù) Y 服從二項(xiàng)分布，即 YB（5，0.6） 于是，有E(Y)5 0.63,D(Y)5 0.6 0.41.2 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：（1）投籃一次有兩個(gè)結(jié)果：命中與未命中，因此 X 服從兩點(diǎn)分布，用兩點(diǎn)分布的均值及方差公式；（2）投籃、射擊、抽樣（大量）等問題，都是 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其隨機(jī)變量 YB（n , p） ，利用二項(xiàng)分布的均值、方差公式即可。例 2、甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等而兩個(gè)保護(hù)區(qū)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為：甲保護(hù)區(qū)：X0123P0.30.

7、30.20.2乙保護(hù)區(qū)：Y012P0.10.50.4試評(píng)定兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平。解析：解析：甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù) X 的數(shù)學(xué)期望和方差為E(X)0 0.3 1 0.32 0.23 0.21.3 2222D(X)(0 1.3)0.3(1 1.3)0.3(2 1.3)0.3(3 1.3)0.31.21乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù) Y 的數(shù)學(xué)期望和方差為E(Y)0 0.1 1 0.52 0.41.3 222D(X)(0 1.3)0.1 (1 1.3)0.5(2 1.3)0.40.41因?yàn)?，所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均E(X)E(Y)D(X)D(Y)次數(shù)是相同的，但乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)

8、定，而甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：解決實(shí)際問題，要充分理解隨機(jī)變量在實(shí)際問題中表示的意義，然后利用均值和方差的實(shí)際意義解決例 3、若隨機(jī)事件 A 在 1 次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 P（0p1） ，用隨機(jī)變量 X 表示 A 在 1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)（l）求方差 D（X）的最大值；（2）求的最大值。2D(X) 1E(X)分析：分析：本題是最值問題，需要先將 D（X） ，及表示出來，利用函數(shù)知識(shí)解2D(X) 1E(X)決解析：解析：隨機(jī)變量 X 的所有可能取值為 0 ，1 ，并且有 P（X= l）= p , P（X = 0）= lp從而pp1)p1 (0)X(E)p1 (pp)p1 ()p

9、1 ()p0()X(D22（i）41)21p(41)41pp(pp)p1 (p)X(D222當(dāng)時(shí)，D（X）取得最大值，最大值為。，1p021p 41（2）)p1p2(2p1)pp(2)X(E1)X(D22，1p022p1p2當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“=” 。p1p2 22p 因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值。22p )X(E1)X(D2222 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：本題將方差知識(shí)與函數(shù)聯(lián)系起來，因此在求解過程中可以利用函數(shù)的性質(zhì)及使用研究函數(shù)的方法例 4、 （2003 年遼寧 20，天津理 20） A 、B 兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官?，每?duì)三名隊(duì)員， A 隊(duì)隊(duì)員是 A 1、A2、A3 ，B 隊(duì)隊(duì)員是 B1、B2、B3，

10、按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對(duì)陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下：對(duì)陣隊(duì)員A 隊(duì)隊(duì)員勝的概率A 隊(duì)隊(duì)員負(fù)的概率A1對(duì) B12313A2對(duì) B22535A3對(duì) B32535現(xiàn)按表中對(duì)陣方式出場，每場勝隊(duì)得 1 分，負(fù)隊(duì)得 0 分設(shè) A 隊(duì)、B 隊(duì)最后所得總分分別為、（I）求的概率分布列。、（II）求。EE ，分析：分析：此題中的、不服從特殊分布，用定義求均值。解析：（I）、的可能取值分別為 3，2，1，0P（=3）758525232P（=2），7528525332525231535332P（=1）52525331535231535232P（=0）253535331根據(jù)題意知，所以3253)0(P)3(P52) 1

11、(P)2(P7528)2(P) 1(P758)3(P)0(P，（II）15222530521752827583E因?yàn)?，所?1523E3E點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：本題中第（I）問是第（）問的基礎(chǔ)，在利用定義求均值時(shí)，必先求分布列。例 5、已知某車間正常生產(chǎn)的某種零件的尺寸滿足正態(tài)分布 N（27.45，0.05 2） ，質(zhì)量檢驗(yàn)員隨機(jī)抽查了 10 個(gè)零件，測量得到它們的尺寸如下： 27.34，27.49，27.55，27.23，27.40，27.46，27.38，27.58，27.54，27.68請你根據(jù)正態(tài)分布的小概率事件，幫助質(zhì)量檢驗(yàn)員確定哪些應(yīng)該判定為非正常狀態(tài)下生產(chǎn)的。分析：分析：利用正態(tài)變量在區(qū)間

12、內(nèi)的取值的概率為 99.7%來判斷。(3 ,3 ) 解析：解析：根據(jù)小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生的思想，我們對(duì)落在區(qū)間（27.4530.05，27.45 +30.05）之外的零件尺寸做出拒絕接受零件是正常狀態(tài)下生產(chǎn)的假設(shè)，有兩個(gè)尺寸為 27.23 和 27.68 的零件，不符合落在區(qū)間（27.4530.05，27.45+30.05）內(nèi)這一條件，判斷它們就是非正常狀態(tài)下生產(chǎn)的。點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：本題是正態(tài)分布應(yīng)用中假設(shè)檢驗(yàn)的一個(gè)實(shí)例，依據(jù)的準(zhǔn)則是正態(tài)總體在區(qū)間外的取值的概率僅有 0.3%來判斷個(gè)別零件是在非正常狀態(tài)下生產(chǎn)的。(3 ,3 ) 【模擬試題模擬試題】一、選擇題（每小題 5 分，共 6

13、0 分） 1、甲、乙兩人獨(dú)立地解決同一問題，甲解決這個(gè)問題的概率是，乙解決這個(gè)問題的1P概率是，那么其中至少有 1 人解決這個(gè)問題的概率是（ ）2PA、B、21PP 21PP C、D、21PP1)P1)(P1 (121 2、如圖所示，1、2、3 表示 3 種開關(guān)，若在某段時(shí)間內(nèi)它們正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.7，那么此系統(tǒng)的可靠性是（ ）A、0.504B、0.994C、0.496D、0.06 3、甲、乙兩人同時(shí)獨(dú)立解答一道數(shù)學(xué)題，甲解出的概率為 0.4，乙解出的概率為 0.5，則該題能被解出的概率為（ ）A、0.9B、0.2C、0.7D、0.1 4、兩射手彼此獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊，

14、設(shè)甲射中的概率 P（A）=0.8，乙射中的概率P（B）=0.9，則目標(biāo)被擊中的概率為（ ）A、1.7B、1C、0.72D、0.98 5、一整數(shù)等可能在 1，2，10 中取值，以 X 記除得盡這一整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，那么 E（X）等于（ ）A、2.6B、2.5C、2.7D、2.8 6、從 5 個(gè)數(shù) 1，2，3，4，5 中任取 3 個(gè)數(shù)，X 表示中最大的一321xxx、321xxx、個(gè)，則 X 的分布列為（ ）A、X12345P5151515151B、X345P101103106C、X12345P00101103106D、X345P101104105 7、設(shè)隨機(jī)變量 XB（n，P） ，且 E（X）

15、=1.6，D（X）=1.28，則（ ）A、n=8，P=0.2B、n=4，P=0.4C、n=5，P=0.32D、n=7，P=0.45 8、口袋中有 5 只球，編號(hào)為 1，2，3，4，5，從中任取 3 球，以 X 表示取出的球的最大號(hào)碼，則 E（X）的值是（ ）A、4B、4.5C、4.75D、5 9、設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件 A 和 B 都不發(fā)生的概率為，A 發(fā)生 B 不發(fā)生的概率與 B 發(fā)生 A 不91發(fā)生的概率相同，則事件 A 發(fā)生的概率 P（A）是（ ）A、B、C、D、921813132 10、一次測驗(yàn)中共有 4 個(gè)選擇題，每個(gè)選擇題均有 4 個(gè)備選答案，其中只有一個(gè)答案是正確的，某生隨機(jī)地就每小題各

16、選一個(gè)答案，則其恰好選中 3 個(gè)正確答案的概率為（ ）A、B、C、D、411616432561 11、先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子（它們的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù) 1、2、3、4、5、6） ，骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為 X、Y，則的概率為（ ）1XYlog2A、B、C、D、6136512121 12、設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)的圖象，且，)x(f8)10 x(2e81)x(f則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是（ ）A、10 與 8B、10 與 2C、8 與 10D、2 與 10二、填空題（每小題 4 分，共 16 分） 13、若 10 把鑰匙中只有 2 把能打開某鎖，則從中任取 2 把能

17、將該鎖打開的概率為_。 14、一個(gè)袋子里裝有大小相同的 3 個(gè)紅球和 2 個(gè)黃球，從中同時(shí)取出 2 個(gè)，則其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是_（用數(shù)字作答） 15、拋擲兩枚骰子，當(dāng)至少有一個(gè) 1 點(diǎn)或一個(gè) 2 點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，否則稱試驗(yàn)失敗，則在 20 次試驗(yàn)中成功次數(shù) X 的期望是_。 16、四個(gè)人打橋牌，則你手中有 5 張黑桃，而另 8 張黑桃全在你的同伴手中的概率_。三、解答題（共 74 分） 17、 （12 分）一副撲克牌有紅桃、黑桃、梅花、方塊 4 種花色，每種 13 張，共 52 張，從這一副洗好的牌中任取 4 張，求 4 張中至少有 3 張黑桃的概率。 18、 （12 分）從

18、 1，2，n 這 n 個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)，求其中一個(gè)小于 k，另一個(gè)大于 k 的概率（） 。nk1 19、 （12 分）對(duì)某種藥物的療效進(jìn)行研究，假定藥物對(duì)某種疾病的治愈率，現(xiàn)在8 . 0P010 個(gè)患此病的病人中同時(shí)服用此藥，求其中至少有 6 個(gè)病人治愈的概率。0P 20、 （12 分）某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中 10 環(huán)、9 環(huán)、8 環(huán)、7 環(huán)的概率分別為0.21，0.23，0.25，0.28，計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中：（1）射中 10 環(huán)或 7 環(huán)的概率；（2）不夠 7 環(huán)的概率。 21、 （13 分）甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為與，投中得 1 分，投不中2152得 0 分。（1

19、）甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求兩人得分之和 X 的數(shù)學(xué)期望；（2）甲、乙兩人在罰球線各投球兩次，求這四次投球中至少一次命中的概率。 22、 （13 分）9 粒種子分種在甲、乙、丙 3 個(gè)坑內(nèi)，每坑 3 粒，每粒種子發(fā)芽的概率為0.5。若一個(gè)坑內(nèi)至少有 1 粒種子發(fā)芽，則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種；若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個(gè)坑需要補(bǔ)種。（1）求甲坑不需要補(bǔ)種的概率；（2）求 3 個(gè)坑中恰有 1 個(gè)坑不需要補(bǔ)種的概率；（3）求有坑需要補(bǔ)種的概率。 （精確到 0.001）【試題答案試題答案】一、選擇題 1、D2、B3、C4、D5、C6、B 7、A8、B9、D10、C11、C12、B二、填空題 13、

20、14、1.215、16、4517910071026三、解答題 17、解析：至少有 3 張黑桃包括兩種情況：“恰好有 3 張黑桃”與“4 張全是黑桃” ，用這兩種情況的取法總數(shù)除以 52 張牌中任取 4 張牌的取法總數(shù)即可。從 52 張牌中任取 4 張，有種取法，即，4 張牌中至少有 3 張黑桃的取法有452C452Cn 。因此，取 4 張牌中至少有 3 張黑桃的概率是。413139313CCC452413139313CCCCP 18、解：2nC)kn)(1k(P 19、解：假定病人服用該藥或者治愈（事件 A）或者沒有治愈（事件） ，A由題意，2 . 08 . 01)A(P8 . 0)A(P，至

21、少有 6 人治愈可分為 10 人中 6 人愈，10 人中 7 人愈，10 人中 8 人愈，10 人中 9 人愈，10 人全愈五種情況：)10(P)9(P)8(P)7(P)6(PP10101010100.9101010199102881037710466108 . 0C2 . 08 . 0C2 . 08 . 0C2 . 08 . 0C2 . 08 . 0C7答：至少有 6 人治愈的概率為 0.97。 20、解析：（1）設(shè)“射中 10 環(huán)”為事件 A， “射中 7 環(huán)”為事件 B，由于在一次射擊中，A 與 B 不可能同時(shí)發(fā)生，故 A 與 B 是互斥事件。 “射中 10 環(huán)或 7 環(huán)”的事件為 A+B，故P（A+B）=P（A）+P（B）=0.21+0.28=0.49。射中 10 環(huán)或 7 環(huán)的概率為 0.49。（2）不夠 7 環(huán)從正面考慮有以下幾種情況：射中 6 環(huán)、5 環(huán)、4 環(huán)、3 環(huán)、2 環(huán)、1 環(huán)、0 環(huán)，但由于這些概率都未知，故不能直接入手，可考慮從反面入手，不夠 7 環(huán)的反面是大于等于 7 環(huán)，即 7 環(huán)、8 環(huán)、9 環(huán)、10 環(huán)，由于此兩事件必有一個(gè)發(fā)生，另一個(gè)不發(fā)生，故是對(duì)立事件，可用對(duì)立事件的方法處理。設(shè)“不夠 7