高二培優(yōu)班數(shù)學(xué)測試題2015—1—24

1、高二培優(yōu)班數(shù)學(xué)測試題 20151241已知復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在坐標(biāo)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在 （ ）A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限2已知，則的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D.3將函數(shù)圖像上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度，再把圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的圖像的解析式為（ ）A. B. C. D.4“”是“函數(shù)存在零點(diǎn)”的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件5若空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體體積為（ ）A. B. C. D.86下列四個(gè)判斷：某校高三（1）班的人和高三（2）班的

2、人數(shù)分別是，某次測試數(shù)學(xué)平均分分別是，則這兩個(gè)班的數(shù)學(xué)平均分為；從總體中抽取的樣本則回歸直線必過點(diǎn)；已知服從正態(tài)分布,且,則其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)7將5名學(xué)生分到三個(gè)宿舍，每個(gè)宿舍至少1人至多2人，其中學(xué)生甲不到宿舍的不同分法有（ ）A.18種 B.36種 C.48種 D.60種8已知點(diǎn)是圓：內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（ ）A.一定是負(fù)數(shù) B.一定等于0 C.一定是正數(shù) D.可能為正數(shù)也可能為負(fù)數(shù)9等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. B. C. D.10如圖，在等腰梯形中，,且,設(shè),以為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的離心率為，以

3、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓的離心率為，設(shè)=則的大致圖像是（ ） 11曲線=(0x)與坐標(biāo)軸所圍成的圖形面積是_.12執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為2，則輸出的值是 .13觀察下面兩個(gè)推理過程及結(jié)論：若銳角滿足,以角分別為內(nèi)角構(gòu)造一個(gè)三角形，依據(jù)正弦定理和余弦定理可得到等式：,若銳角滿足，則，以角分別為內(nèi)角構(gòu)造一個(gè)三角形，依據(jù)正弦定理和余弦定理可以得到的等式：.則：若銳角滿足，類比上面推理方法，可以得到的一個(gè)等式是_.14在平面直角坐標(biāo)系下中，直線的參數(shù)方程是 (參數(shù)).圓的參數(shù)方程為(參數(shù))則圓的圓心到直線的距離為 _.15設(shè)若不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，則的取值集合是_.16南昌市為增強(qiáng)市民的交通

4、安全意識，面向全市征召“小紅帽”志愿者在部分交通路口協(xié)助交警維持交通，把符合條件的1000名志愿者按年齡分組：第1組、第2組、第3組、第4組、第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示：（1）若從第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取12名志愿者在五一節(jié)這天到廣場協(xié)助交警維持交通，應(yīng)從第3、4、5組各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的條件下，南昌市決定在這12名志愿者中隨機(jī)抽取3名志愿者到學(xué)校宣講交通安全知識，若表示抽出的3名志愿者中第3組的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.17已知向量，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域：（2）銳角中，分別為角的對邊，若，求邊.18右表是一個(gè)由正數(shù)組成的數(shù)表，數(shù)表中各行依次成等差數(shù)

5、列，各列依次成等比數(shù)列，且公比都相等，已知（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和。19如圖已知：菱形所在平面與直角梯形所在平面互相垂直，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn). （1）求證：平面平面;（2）點(diǎn)在直線上，且/平面，求平面與平面所成角的余弦值。20已知橢圓C：的離心率等于，點(diǎn)P在橢圓上。（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，是否存在定直線：，使得與的交點(diǎn)總在直線上？若存在，求出一個(gè)滿足條件的值；若不存在，說明理由.21已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性：（2）若函數(shù)的圖像上存在不同兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，使得在點(diǎn)處的切線與直線平行或重合，則說函數(shù)是“中

6、值平衡函數(shù)”，切線叫做函數(shù)的“中值平衡切線”。試判斷函數(shù)是否是“中值平衡函數(shù)”？若是，判斷函數(shù)的“中值平衡切線”的條數(shù)；若不是，說明理由.試卷第5頁，總6頁本卷由【在線組卷網(wǎng)】自動(dòng)生成，請仔細(xì)校對后使用，答案僅供參考。參考答案1A【解析】試題分析：因?yàn)?，?fù)數(shù)所對應(yīng)的的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以在在第一象限.考點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)的運(yùn)算；2.復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系.2A【解析】試題分析：設(shè)函數(shù)，是減函數(shù)，容易得出，又知，所以.考點(diǎn)：1.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；2.對數(shù)式的計(jì)算.3B【解析】試題分析：將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度，得到,橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，得 ，故選B.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像的平移.4A【解析】試題

7、分析：函數(shù)存在零點(diǎn)，則有解，即有解，所以，所以“”是“函數(shù)存在零點(diǎn)”的充分不必要條件.考點(diǎn)：1.函數(shù)零點(diǎn)問題；2.充分必要條件.5C【解析】試題分析：通過三視圖可以看出幾何圖形如圖：，故選C.考點(diǎn)：三視圖.6B【解析】試題分析：的平均分為，所以錯(cuò)；必過（3,3.5）；對，故選B.考點(diǎn)：1.平均數(shù)；2.回歸方程；3.正態(tài)分布.7D【解析】試題分析：當(dāng)甲一人住一個(gè)寢室時(shí)有：種，當(dāng)甲和另一人住一起時(shí)有：，所以有種.考點(diǎn)：排列組合.8A【解析】試題分析：令，又因?yàn)樾∮?，所以必定是負(fù)數(shù).考點(diǎn)：1.三角函數(shù)式的化簡；2.三角函數(shù)最值.9C【解析】試題分析：通過求導(dǎo)易知，.所以；，可求出，得出.考點(diǎn)：等差

8、數(shù)列的性質(zhì).10D【解析】試題分析：以為軸建系，設(shè)雙曲線為，設(shè)，則代入雙曲線有，當(dāng)時(shí)，易知D選項(xiàng)正確，故選D. 考點(diǎn)：1.建立直角坐標(biāo)系；2.雙曲線.113【解析】試題分析：.考點(diǎn)：積分求面積.124【解析】試題分析：,因此答案是4.考點(diǎn)：程序框圖.13.【解析】試題分析：根據(jù)提示，容易得出 .考點(diǎn)：類比推理法.14【解析】試題分析：化參數(shù)方程為普通方程，直線：；圓：.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得：.考點(diǎn)：1.參數(shù)方程與普通方程的互換；2.點(diǎn)到直線的距離公式.15或【解析】試題分析：，所以最大值為3，從而，解出.考點(diǎn)：1.恒成立問題；2.基本不等式.16（1）第3組6人，第4組4人，第5組2人；（

9、2）分布列詳見解析，.【解析】試題分析：(1)先通過頻率分步直方圖求出每一組中的總?cè)藬?shù),再用分層抽樣求出每組中所需抽取的人數(shù)；(2)先分別求出每種情況的概率，再列分布列，利用分布列求期望.試題解析：（1）由題意可知，第3組的人數(shù)為，第4組的人數(shù)為，第5組的人數(shù)為。 3分所以利用分層抽樣在名志愿者中抽取名志愿者，每組抽取的人數(shù)為：第3組，第4組，第5組 6分（2）的所有可能取值為0,1,2,3， 10分所以，的分布列為：所以的數(shù)學(xué)期望 12分考點(diǎn)：1.分層抽樣；2.分布列；3.數(shù)學(xué)期望.17（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）先利用倍角公式、兩角差的正弦公式將解析式化簡，將已知代入，求值域；

10、（2）先通過第一問的解析式求出，再通過湊角求出，用余弦定理求邊.試題解析：（1），所以， 3分即， 4分當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是； 6分（2）由，得，又，所以， 8分因此, 9分由余弦定理，得， 11分所以：。 12分考點(diǎn)：1.三角函數(shù)式的化簡；2.降冪公式；3.余弦定理.18（1）；（2）為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，.【解析】試題分析：（1）通過讀表得到表達(dá)式，利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式將表達(dá)式展開，求出，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）將第一問的結(jié)論代入，先用分組求和法，將式子分成兩組，再用錯(cuò)位相減法求第一部分，第二部分用并項(xiàng)法求和.試題解析：（1）設(shè)第一行依次組成的等差數(shù)列的公差是，等比數(shù)列的公比

11、是，則， 2分， 4分解得：，所以：； 6分（2）， 8分記，則，兩式相減得:,所以, 10分所以為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，。 12分考點(diǎn)：1.等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.分組求和法；3.錯(cuò)位相減法；4.并項(xiàng)法.19(1)證明詳見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）先證，由面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，所以，由勾股定理證，所以由線面垂直的判定定理得平面，所以面面垂直的判定定理得平面平面；（2）首先建立空間直角坐標(biāo)系，再寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，由共面向量定理，得，所以求出，得出點(diǎn)的坐標(biāo)是:，由（1）得平面的法向量是，根據(jù)條件得平面的法向量是，所以.試題解析：（1）證明：在菱形中，因?yàn)?，所以是等邊三角形，又是線段

12、的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，所以?2分在直角梯形中，得到：，從而，所以， 4分所以平面，又平面，所以平面平面； 6分（2）由（1）平面，如圖，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則， 7分設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則共面，所以存在實(shí)數(shù)使得：，得到:.即點(diǎn)的坐標(biāo)是:, 8分由（1）知道：平面的法向量是，設(shè)平面的法向量是，則：， 9分令，則，即，所以， 11分即平面與平面所成角的余弦值是. 12分考點(diǎn)：1.面面垂直的判定定理；2.線面平行的判定定理；3.面面垂直的判定定理；4.向量法.20（1）；（2）存在，.【解析】試題分析：（1）由，點(diǎn)代入橢圓方程，二者聯(lián)立可以解出；（2）以的存在性

13、分兩種情況：不存在，直線:,易證符合題意；存在時(shí)，設(shè)直線:，用直線方程和橢圓方程聯(lián)立方程組，消參得一元二次方程，利用韋達(dá)定理得，又因?yàn)楣簿€，有，由得，得出，由于成立，所以點(diǎn)在直線上，綜上:存在定直線:,使得與的交點(diǎn)總在直線上,的值是.試題解析：（1）由， 2分又點(diǎn)在橢圓上， 4分所以橢圓方程是：； 5分（2）當(dāng)垂直軸時(shí)，則的方程是：，的方程是：，交點(diǎn)的坐標(biāo)是：，猜測:存在常數(shù),即直線的方程是:使得與的交點(diǎn)總在直線上, 6分證明：設(shè)的方程是，點(diǎn)，將的方程代入橢圓的方程得到：，即：， 7分從而：， 8分因?yàn)椋?，共線所以：， 9分又，要證明共線，即要證明， 10分即證明：，即：，即：因?yàn)椋撼闪ⅲ?1

14、2分所以點(diǎn)在直線上。綜上:存在定直線:,使得與的交點(diǎn)總在直線上,的值是. 13分考點(diǎn)：1.橢圓的離心率；2.韋達(dá)定理；3.分類討論法解題.21（1）函數(shù)的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”且函數(shù)的“中值平衡切線”有無數(shù)條，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是“中值平衡函數(shù)”.【解析】試題分析：(1)對進(jìn)行討論，求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0或小于0，求單調(diào)遞增或遞減區(qū)間；（2）先假設(shè)它是“中值平衡函數(shù)”， 設(shè)出兩點(diǎn)，討論和的情況，看是否符合題意.試題解析：（1） 1分當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)； 2分當(dāng)即時(shí),由得到或， 4分所以：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是； 5分當(dāng)即時(shí)，由得到：，所以:

15、當(dāng)時(shí),函數(shù)的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是； 7分（2）若函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，則存在（）使得即，即，（*） 4分當(dāng)時(shí)，（*）對任意的都成立，所以函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，且函數(shù)的“中值平衡切線”有無數(shù)條； 8分當(dāng)時(shí)，設(shè)，則方程在區(qū)間上有解， 10分記函數(shù)，則， 12分所以當(dāng)時(shí)，即方程在區(qū)間上無解，即函數(shù)不是“中值平衡函數(shù)”. 14分考點(diǎn)：1.求切線的斜率；2.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；3.分類討論思想.0124參考答案A A B A C B D A C D113 124 13.14 15或16（1）第3組6人，第4組4人，第5組2人；（2）的所有可能取值為0,1,2,3， 10分所以，的分布列為：所以的數(shù)學(xué)期望 12分17 （1）；（2）.18（1）；（2）為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，.19(1)證明詳見解析；（2）.20.（1）由， 2分又點(diǎn)在橢圓上， 4分所以橢圓方程是：； 5分（2）當(dāng)垂直軸時(shí)，則的方程是：，的方程是：，交點(diǎn)的坐標(biāo)是：，猜測:存在常數(shù),即直線的方程是:使得與的交點(diǎn)總在直線上, 6分證明：設(shè)的方程是，點(diǎn)，將的方程代入橢圓的方程得到：，即：， 7分從而：， 8分因?yàn)椋?，共線所以：， 9分又，要證明共線，即要證明， 10分即證明：，即：，即：因?yàn)椋撼闪ⅲ?12分所以點(diǎn)在直線上。21.