《等比數(shù)列前n項和》教學(xué)設(shè)計

1、課題：等比數(shù)列的前n 項和一、教材分析本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)（必修 5）（北師大版）第一章第三節(jié)第一課時。從在教材中的地位與作用來：看等比數(shù)列的前 n 項和是數(shù)列這一章中的一個重要內(nèi)容， 它不僅在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，如儲蓄、分期付款的有關(guān)計算等等，而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、學(xué)情分析從學(xué)生的思維特點(diǎn)看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前 n 項和從公式的形成、特點(diǎn)等方面進(jìn)行類比， 這是積極因素，應(yīng)因勢利導(dǎo)。不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前 n 項和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)

2、的不同， 這對學(xué)生的思維是一個突破，另外，對于 q = 1 這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。 教學(xué)對象是剛進(jìn)入高中的學(xué)生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因， 思維盡管活躍、 敏捷，卻缺乏冷靜、 深刻，因此片面、不嚴(yán)謹(jǐn)。三、設(shè)計思想本節(jié)課采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，讓學(xué)生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，深入探討。讓學(xué)生在“活動”中學(xué)習(xí)，在“主動”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。設(shè)計思路如下：創(chuàng)設(shè)情境觀察實(shí)驗探尋特例深入思考簡單應(yīng)用布疑激趣建立模型提出猜想證明

3、猜想總結(jié)評估四、教學(xué)目標(biāo)1、掌握等比數(shù)列的前 n 項和公式，能用等比數(shù)列的前 n 項和公式解決相關(guān)問題。2、通過等比數(shù)列的前 n 項和公式的推導(dǎo)過程，體會錯位相減法以及分類討論的思想方法。3、通過對等比數(shù)列的學(xué)習(xí)，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，逐步認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值，發(fā)展數(shù)學(xué)的理性思維。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握等比數(shù)列的前 n 項和公式，能用等比數(shù)列的前 n 項和公式解決相關(guān)問題。難點(diǎn)：錯位相減法以及分類討論的思想方法的掌握。六、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)回顧1 、（提問）等比數(shù)列的定義？通項公式？性質(zhì)？2 、（提問）等差數(shù)列前 n 項和公式是什么？（二）創(chuàng)設(shè)問題情景引例：“一個窮人到富人那里去借錢

4、 , 原以為富人不愿意，哪知富人一口答應(yīng)了下來 , 但提出了如下條件：在 30 天中，富人第一天借給窮人 1萬元 , 第二天借給窮人 2 萬元 , 以后每天所借的錢數(shù)都比上一天多 1 萬; 但借錢第一天 , 窮人還 1 分錢 , 第二天還 2 分錢 , 以后每天所還的錢數(shù)都是上一天的兩倍 ,30 天后互不相欠 . 窮人聽后覺得挺劃算 , 本想定下來 , 但又想到此富人是吝嗇出了名的 , 怕上當(dāng)受騙 , 所以很為難?！闭堅谧耐瑢W(xué)思考討論一下 , 窮人能否向富人借錢 ? 設(shè)計一個學(xué)生比較感愛好的實(shí)際問題，吸引學(xué)生注重力，使其馬上進(jìn)入到研究者的角色中來！啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地觀察問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

5、學(xué)生直覺認(rèn)為窮人可以向富人借錢，教師引導(dǎo)學(xué)生自主探求，得出：窮人 30 天借到的錢： S30'1230(1 30)30465 （萬元）2窮人需要還的錢： S30122 2229? 直覺先行 , 思辨引路 , 在矛盾沖突中引發(fā)學(xué)生積極的思維!教師緊接著把如何求 S301 22 2229？的問題讓學(xué)生探究：S301 2222 29若用公比 2 乘以上面等式的兩邊，得到2S30222229230 若式減去式，可以消去相同的項，得到：S302301 1073741823( 分) 1073( 萬元 ) 465 （萬元）答案 : 窮人不能向富人借錢（三）引導(dǎo)學(xué)生用“特例到一般”的研究方法，猜想數(shù)學(xué)

6、規(guī)律。提出問題 : 如何推導(dǎo)等比數(shù)列前 n 項和公式？（學(xué)生很自然地模仿以上方法推導(dǎo)）學(xué)生 A： Sna1a1qa1q 2a1q n 2a1 q n 1 (1)qSna1qa1q 2a1q n 1a1 q n (2)（1）- （2）有 (1 q) Sna1a1 q nna1 ,q1Sna1 (1 qn ) a1an q,q11q1q學(xué)生 B：sna1a1 qa1 q n 2a1q n 1a1q a1a1qa1qn 2a1qsn 1a1q snana1qsnan qsnqsna1anqs na 1a n q ( q 1 )1q推導(dǎo)等比數(shù)列前n 項和 Sn 的公式，引導(dǎo)學(xué)生類比前面的特例完成以上推

7、導(dǎo)課本上的推導(dǎo)方法后，教師：還有沒有其他推導(dǎo)方法？（經(jīng)過幾分鐘的思考，有學(xué)生舉手發(fā)言）學(xué)生 C：a2a3a na2a3anq即a1a2a n 1qa2an 1a1sna1qs na1a n q( q 1)s na n1q。 “特例類比猜想”是一種常用的科學(xué)的研究思路！教師讓學(xué)生進(jìn)行各種嘗試， 探尋公式的推導(dǎo)的方法， 同時抓住機(jī)會或創(chuàng)設(shè)問題情景調(diào)動了學(xué)生參與問題討論的積極性， 培養(yǎng)學(xué)生的探究能力， 發(fā)揮了組織者、推進(jìn)者和指導(dǎo)者的作用，而學(xué)生卻是實(shí)實(shí)在在的主體活動者、成為發(fā)現(xiàn)者、創(chuàng)造者！讓學(xué)生享受成功的喜悅！ 【基礎(chǔ)知識形成性練習(xí)】1 在公比為 q 的等比數(shù)列 an 中(1) 若21，則 S；a1

8、,qn_33（2）若 a12, q2, n8，則 Sn_；（3）若 a18, q2, an1 ，則 Sn_；22判斷正誤：（ ）111n1+（） 112422n（2)124 8( 2)n 11 (12n)12（3) 1222232n1(12n )12(4)c1c2cn 1cnc(1cn )( 四) 新知應(yīng)用1-c例 1、求等比數(shù)列 1,1,1,1 ,的前 8 項的和24816變式 1：求等比數(shù)列 1,1,1,1 ,的第 6 項到第 10 項的和24816例 2、求數(shù)列 1aa 2a3an 1(a 0) 的前 n 項和。變式 2：求1111的值xx2x3xn 例 1 例 2 教師板演示范，強(qiáng)調(diào)解

9、題的規(guī)范。變式1，變式 2 學(xué)生分析解法，學(xué)生不會時要分析出不會做的癥結(jié)所在， 然后再由學(xué)生板演出解題過程。 （五）課堂小結(jié)等差數(shù)列等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)方法公式應(yīng)用 由學(xué)生完成課堂總結(jié)，教師完善，點(diǎn)評 （六）布置作業(yè)六、教學(xué)反思本節(jié)課授課對象為實(shí)驗班的學(xué)生， 學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好。 所以采用了探究教學(xué)的方式，大部分內(nèi)容由學(xué)生自行探究討論完成。 教學(xué)設(shè)計從學(xué)生的角度出發(fā)，采用“教師設(shè)計問題與活動引導(dǎo)”與“學(xué)生積極主動探究”相結(jié)合的方法分成五個步驟層次分明（ 1）創(chuàng)設(shè)問題情景、布疑激趣（ 2）啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地觀察問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型（ 3）探尋特例、提出猜想（ 4）數(shù)學(xué)應(yīng)用（ 5）知識評估。學(xué)生在未經(jīng)預(yù)習(xí)

10、不知等比數(shù)列求和公式和證明方法的前提下，在教師預(yù)設(shè)的思路中，一步步發(fā)現(xiàn)了公式并推導(dǎo)了公式，感受到了創(chuàng)造的快樂， 激發(fā)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好， 教學(xué)的知識目標(biāo)、 能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實(shí)。導(dǎo)學(xué)案 : 等比數(shù)列的前 n 項和班級 _姓名 _【知能目標(biāo)】1. 掌握等比數(shù)列的前 n 項和公式的推導(dǎo)方法 - 錯位相減法，并能用其思想方法求某類特殊數(shù)列的前 n 項和 .2. 掌握等比數(shù)列前 n 項和公式以及性質(zhì)， 并能應(yīng)用公式解決有關(guān)等比數(shù)列前n 項的問題.在應(yīng)用時，特別要注意q和 q1這兩種情況.=13. 能夠利用等比數(shù)列的前 n 項和公式解決有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題 .【重難點(diǎn)】重點(diǎn)：掌握等比數(shù)列的求

11、和公式， 會用等比數(shù)列前n 項和公式解決有關(guān)問題.難點(diǎn)：錯位相減法以及分類討論的思想方法的掌握 .【學(xué)習(xí)過程 】一、復(fù)習(xí)回顧1、等比數(shù)列的定義？通項公式？性質(zhì)？2、等差數(shù)列前n 項和公式是什么？二、情境導(dǎo)入引例：“一個窮人到富人那里去借錢 , 原以為富人不愿意，哪知富人一口答應(yīng)了下來 , 但提出了如下條件：在 30 天中，富人第一天借給窮人 1萬元 , 第二天借給窮人 2 萬元 , 以后每天所借的錢數(shù)都比上一天多 1 萬; 但借錢第一天 , 窮人還 1 分錢 , 第二天還 2 分錢 , 以后每天所還的錢數(shù)都是上一天的兩倍 ,30 天后互不相欠 . 窮人聽后覺得挺劃算 , 本想定下來 , 但又想

12、到此富人是吝嗇出了名的 , 怕上當(dāng)受騙 , 所以很為難?！闭堅谧耐瑢W(xué)思考討論一下 , 窮人能否向富人借錢 ?三、自主探究推導(dǎo)：等比數(shù)列的前n 項和公式方法 1（主要重點(diǎn)方法：錯位相減法）方法 2（提取公因式法）方法 3（等比定理法）四、辨析練習(xí)1 在公比為 q 的等比數(shù)列 an 中(1) 若a12,q1，則 S_；（ 2）若 a2, q 2, n8 ，則33n1S；（ ）若8, q1，則n_3a12, an2Sn_；2判斷正誤：（1）11+1n112+（ ）2n42（2) 1248( 2)n 11(12n)12（3) 1222232n1(12n )12(4)c1c2cn 1cnc(1 cn)

13、1-c五、新知應(yīng)用例 1、求等比數(shù)列1 ,1,1, 1 ,2 4816的前 8 項的和變式 1：求等比數(shù)列 1,1,1,1 , 的第 6 項到第 10 項的和24816例 2、求數(shù)列 1aa 2a3an 1(a0) 的前 n 項和。變式 2：求1111的值xx2x3xn六、課時小結(jié)（由學(xué)生完成課堂總結(jié)，教師完善，點(diǎn)評）七、自測自評1、在等比數(shù)列 2n中，前n項和 S=（）n(A) 2n -1(B) 2n-2(C)2n+1-1(D) 2n+1-22、在等比數(shù)列 an中，公比 q=2，且前 5 項和為 1，那么前 5 項和等于(A) 31(B)33(C)35(D) 37、數(shù)列n2項和為 Sn，則2

14、00931中，前nS _4、在等比數(shù)列 an中：（ 1）已知 a12,S326, 求 q 和 a3 ；（ 2）已知 q=1，S53 7，求 a1 與 a428思考題： 求和 x+2x 2 +3x 3 +nx n .評等比數(shù)列的前n 項和這節(jié)課聽了張老師的課，留下了年輕、干練，課堂教學(xué)條理清晰，教學(xué)設(shè)計新穎，具有扎實(shí)的教學(xué)基本功和良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的印象。 下面我談?wù)劼犃诉@節(jié)課的感受：1、回憶舊知引入新課，創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)興趣。通過回憶舊知，類比等差數(shù)列的學(xué)習(xí)思路引入課題，簡潔自然。緊接著創(chuàng)設(shè)“窮人向富人借錢”的問題情境，吸引學(xué)生注意力，激發(fā)學(xué)生解決問題、探究新知的興趣。2、采用探究式課堂教學(xué)模式。在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，讓學(xué)生通過個人、小組、 集體等多種解難釋疑的嘗試活動，深入探尋公式的推導(dǎo)方法。讓學(xué)生在活動中學(xué)習(xí)，在主動中發(fā)展，在合作中增知，在探究中創(chuàng)新。充分體現(xiàn)了課改的新理念，恰到好處的發(fā)揮了老師的主導(dǎo)作用，突出了學(xué)生的主體地位。3、注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透和引導(dǎo)。整節(jié)課滲透類比、化歸、分類討論、整體變換和特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法， 為學(xué)生以后學(xué)習(xí)新知、 探索新知打下了堅實(shí)的基礎(chǔ)。4、課堂教學(xué)重點(diǎn)突出，難點(diǎn)突破方