第3章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)(2)

1、 如圖如圖3.1所示，機(jī)器人所示，機(jī)器人的末端執(zhí)行器（手爪）的的末端執(zhí)行器（手爪）的姿態(tài)（方向）由姿態(tài)（方向）由 n、o、a 三個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量描述，其坐三個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量描述，其坐標(biāo)位置由平移矢量標(biāo)位置由平移矢量 p 描述，描述，這就構(gòu)成了式（這就構(gòu)成了式（3.2）中的）中的變換矩陣變換矩陣 T。 由于由于 n、o、a 三個(gè)旋三個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量是正交矢量，所以轉(zhuǎn)矢量是正交矢量，所以有有n = oa圖3.1 末端執(zhí)行器的描述 xxxxyyyzzzzy圖圖3.2 3.2 歐拉角歐拉角0 ).Rxxxxyyyzzzzy圖3.3 基于基坐標(biāo)的歐拉角0圖圖3.4 搖擺、俯仰和偏搖擺、俯仰和偏 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角圖圖3.5 機(jī)械手

2、的末端執(zhí)行器的搖機(jī)械手的末端執(zhí)行器的搖擺、俯仰和偏擺、俯仰和偏 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)變換矩陣（3.15）一、一、齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo) 在選定的直角坐標(biāo)系在選定的直角坐標(biāo)系A(chǔ)A中中, ,空空間任一點(diǎn)間任一點(diǎn)P P的位置可用的位置可用3 31 1的位置矢的位置矢量量A Ap p表示表示, ,其左上標(biāo)代表選定的參考其左上標(biāo)代表選定的參考坐標(biāo)系坐標(biāo)系: :機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體位姿描述和齊次變換剛體位姿描述和齊次變換 式中式中P PX X,P,PY Y,P,PZ Z是點(diǎn)是點(diǎn)P P在坐標(biāo)系在坐標(biāo)系A(chǔ)A中的中的三個(gè)位置坐標(biāo)分量三個(gè)位置坐標(biāo)分量, ,如圖如圖2-12-1所示。如用所示。如用四個(gè)數(shù)組成的四個(gè)數(shù)組成的(4

3、(41)1)列陣表示列陣表示三維空間三維空間直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系A(chǔ)A中點(diǎn)中點(diǎn)p,p,則列陣則列陣 P Px x P Py y P Pz z 11T T稱為三維空間點(diǎn)稱為三維空間點(diǎn)P P的齊次坐標(biāo)的齊次坐標(biāo) 必須注意必須注意, ,齊次坐標(biāo)的表示不是唯一的。我們將其各元素齊次坐標(biāo)的表示不是唯一的。我們將其各元素同乘一非零因子同乘一非零因子w w后后, ,仍然代表同一點(diǎn)仍然代表同一點(diǎn)P,P,即即式中：式中：a=w px; b=w py; c=w pz二、齊次變換二、齊次變換 剛體的運(yùn)動(dòng)是由轉(zhuǎn)動(dòng)和平移組成的。為了能用同一矩陣剛體的運(yùn)動(dòng)是由轉(zhuǎn)動(dòng)和平移組成的。為了能用同一矩陣表示轉(zhuǎn)動(dòng)和平移，有必要引表示轉(zhuǎn)

4、動(dòng)和平移，有必要引(4(44)4)的齊次坐標(biāo)變換矩陣。的齊次坐標(biāo)變換矩陣。 齊次坐標(biāo)變換：純平移、繞一個(gè)軸的純旋轉(zhuǎn)、平移與旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)變換：純平移、繞一個(gè)軸的純旋轉(zhuǎn)、平移與旋轉(zhuǎn)的結(jié)合。的結(jié)合。cos0sin010sin0cos)y,R（1000cossin0sin-cos)z,R （comsin0sincos0001)R(x,三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣: : 定義定義1 1：如果所有的變換都是相對(duì)于固定坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸如果所有的變換都是相對(duì)于固定坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，則依次旋轉(zhuǎn)或平移，則依次左乘左乘，稱為絕對(duì)變換。，稱為絕對(duì)變換。定義定義2 2：如果動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于自身坐標(biāo)系的當(dāng)前坐

5、標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)：如果動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于自身坐標(biāo)系的當(dāng)前坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，則齊次變換為依次或平移，則齊次變換為依次右乘右乘，稱為相對(duì)變換。，稱為相對(duì)變換。 ),(),(),RR44xRzRy（1000701030014100)R(Z,90 )90 R(y, 7) , 3 ,Trans(4Too 為機(jī)器人的每一個(gè)連桿建立一個(gè)坐標(biāo)系，并用齊次變換來(lái)描述這些為機(jī)器人的每一個(gè)連桿建立一個(gè)坐標(biāo)系，并用齊次變換來(lái)描述這些坐標(biāo)系間的相對(duì)關(guān)系，也叫坐標(biāo)系間的相對(duì)關(guān)系，也叫相對(duì)位姿相對(duì)位姿。通常把描述一個(gè)連桿坐標(biāo)系與。通常把描述一個(gè)連桿坐標(biāo)系與下一個(gè)連桿坐標(biāo)系間相對(duì)關(guān)系的齊次變換矩陣叫做下一個(gè)連桿坐標(biāo)系間相對(duì)關(guān)系的齊次變換

6、矩陣叫做A A變換矩陣或變換矩陣或A A矩陣矩陣。如果如果A Al l矩陣表示第一個(gè)連桿坐標(biāo)系相對(duì)于固定坐標(biāo)系的位姿，矩陣表示第一個(gè)連桿坐標(biāo)系相對(duì)于固定坐標(biāo)系的位姿，A A2 2矩陣表矩陣表示第二個(gè)連抨坐標(biāo)系相對(duì)于第一個(gè)連桿坐標(biāo)系的位姿，那么第二個(gè)連示第二個(gè)連抨坐標(biāo)系相對(duì)于第一個(gè)連桿坐標(biāo)系的位姿，那么第二個(gè)連桿坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)系中的位姿可用桿坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)系中的位姿可用A A1 1和和A A2 2的乘積來(lái)表示：的乘積來(lái)表示：機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 T2=A1A2同理，若同理，若A3矩陣表示第三個(gè)連桿坐標(biāo)系相對(duì)于第二個(gè)連桿坐標(biāo)系的矩陣表示第三個(gè)連桿坐標(biāo)系相對(duì)于第二個(gè)連桿坐

7、標(biāo)系的位姿，則有位姿，則有T3=AlA2A3如此類推，對(duì)于六連桿機(jī)器人，有下列如此類推，對(duì)于六連桿機(jī)器人，有下列T6矩陣矩陣T6=AlA2A3A4A5A6 此式右邊表示了從固定參考系到手部坐此式右邊表示了從固定參考系到手部坐標(biāo)系的各連桿坐標(biāo)系之間的變換矩陣的連乘標(biāo)系的各連桿坐標(biāo)系之間的變換矩陣的連乘,左邊左邊T6表示這些變換矩表示這些變換矩陣的乘積陣的乘積,也就是手部坐標(biāo)系相對(duì)于固定參考系的位姿也就是手部坐標(biāo)系相對(duì)于固定參考系的位姿,我們稱為機(jī)器我們稱為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。計(jì)算結(jié)果人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。計(jì)算結(jié)果T6是一個(gè)如下的是一個(gè)如下的(44)矩陣：矩陣：式中，前三列表示手部的姿態(tài)，第四列表示手部的位

8、置。式中，前三列表示手部的姿態(tài)，第四列表示手部的位置。3.5 位置的確定位置的確定 ( Specification of Position ) 1 0 0 px 0 1 0 py T6 = 0 0 1 pz （3.16） 0 0 0 1 變變換換矩矩陣陣zaCzyxBAorn圖3.6 圓柱坐標(biāo)注意：圓柱坐標(biāo)只能繞注意：圓柱坐標(biāo)只能繞 z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)aonzyx圖圖3.7 球坐標(biāo)球坐標(biāo) T圖圖 3.8 連桿的長(zhǎng)度與扭轉(zhuǎn)角連桿的長(zhǎng)度與扭轉(zhuǎn)角圖圖3.9 連桿參數(shù)連桿參數(shù)xn-1表表3.2 連桿參數(shù)連桿參數(shù)圖圖3.10 棱型關(guān)節(jié)的連桿參數(shù)棱型關(guān)節(jié)的連桿參數(shù)an-1 根據(jù)上述模式用下列根據(jù)上述模式用下

9、列旋轉(zhuǎn)和位移旋轉(zhuǎn)和位移我們可以建立相鄰的我們可以建立相鄰的n-1和和n坐標(biāo)系之間的關(guān)系：坐標(biāo)系之間的關(guān)系： 繞繞 zn-1 旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度n 沿沿 zn-1 位移一個(gè)距離位移一個(gè)距離 dn 沿著被旋轉(zhuǎn)的沿著被旋轉(zhuǎn)的 xn-1 即即 xn 位移位移 an 繞繞 xn 旋轉(zhuǎn)的扭轉(zhuǎn)角為旋轉(zhuǎn)的扭轉(zhuǎn)角為n 這四個(gè)齊次變換的積為這四個(gè)齊次變換的積為A矩陣，即矩陣，即 An= Rot(z,) Trans(0,0,d) Trans(a,0,0) Rot(x,) （3.41） cos -sin 0 0 1 0 0 a 1 0 0 0 sin cos 0 0 0 1 0 0 0 cos -sin 0 A

10、n = 0 0 1 0 0 0 1 d 0 sin cos 0 （3.42） 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 cos -sincos sinsin acos sin coscos -cossin asin An = 0 sin cos d （3.43） 0 0 0 10zA1A2A3A4A5A60EX0T61T62T63T64T65T6圖圖3.11 機(jī)械手的坐標(biāo)變換圖機(jī)械手的坐標(biāo)變換圖 機(jī)械手的末端相對(duì)于基坐標(biāo)系（用機(jī)械手的末端相對(duì)于基坐標(biāo)系（用T6表示）用下式給出表示）用下式給出 T6 = A1 A2 A3 A4 A5 A6 （3.46） 如果機(jī)械手用如果機(jī)械手用變換矩陣變換矩陣Z與參考坐標(biāo)系相聯(lián)系，機(jī)械手末端執(zhí)與參考坐標(biāo)系相聯(lián)系，機(jī)械手末端執(zhí) 行器用行器用E來(lái)描述，末端執(zhí)行器的位置和方向相對(duì)參考坐標(biāo)系用來(lái)描述，末端執(zhí)行器的位置和方向相對(duì)參考坐標(biāo)系用X來(lái)來(lái) 描述，如圖描述，如圖3.11所示有所示有X = Z T6 E （3.47） 由此可以得到由此可以得到T6的表達(dá)式的表達(dá)式T6 = Z-1 X