歐拉法改進歐拉法斐波那契法原理及流程圖

1、1歐拉法求微分方程方法說明Euler法是解常微分方程初值問題必最簡單的數(shù)值方法，其具體做法是，將區(qū)間 a , b進行N等分:f I ' J二，步長打.并將式寫成等價的積分形f Jr"W十方二yM十L 3 G肌幼也()再對式右端積分用矩形公式計算，那么有広+甸P何+晰懐丿呦+RCO在式右端取 m，舍去余項。那么得片二兀十劃工“升作為'1的近似值在式右端取1 -,舍去余項，那么得?2 = ?1 + ? ( ? ?1 )I ?作為的近似值.一般地，在式右端取 S:舍去余項，那么得兒十L兒+俗亠)用二0丄少-1作為11-的近似值.式為 法計算公式.我們知道微分方程* '

2、;的解是平面上的一族積分曲線，這族曲線中過點'的積分曲線就是初值問題式的解.歐拉法的幾何意義是，過點引斜率為''-：的積分曲線的切線， 此切線與直線工二"的交點為'，再過點引以丿二為斜率 的切線與直線的交點為 二，依此類推，從出發(fā)，作以為斜率的切線，此切線與直線二交點為于是 便得到過點的一條折線，見圖.過i的積分曲線那么用此 折線來代替.因此，這種方法亦稱 折線法.例：用歐拉法求微分方程y' =y-2x, y(0) =1,h =0.1,區(qū)間為o,l y歐拉法流程圖如下n=1+n歐拉法程序如下:clear;clc;x1=0;x2=1;h=;x0=

3、0;y0=1;N=(x2-x1)/h;% 要計算的次數(shù)x(1)=x0;y(1)=y0;for n=1:Nx(n+1)=x(n)+h;y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n);endX=xY=y2改良歐拉法求微分方程方法說明由于歐拉法采用矩形公式計算積分產(chǎn)生較大截斷誤差.改良法又稱改良折線法是采取梯形公式來計算式右端積分，那么有- 在式右端取丁="，舍去余項，那么得h二丹+才/心如+CX »】將門作為 '丄的近似值.在式右端再取二1-，舍去余項，那么得h丹二乃二了佃仍+了兀必】將宀作為，的近似值.一般地，在式右端取匚，舍去余項.那么得畑=兒+=

4、0JR PA7-1將“作為"的近似值.式為改良法計算公式流程圖如下:例：用改良歐拉法求微分方程 y二y-2x, y(0) =1,h = 0.1,區(qū)間為o,l y改良歐拉法程序如下：clear;clc;x1=0;x2=1;h=；x0=0;y0=1;p(1)=0；N=(x2-x1)/h;x(1)=x0;y(1)=y0;for n=1:Nx(n+1)=x (n )+h;y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n);p(n+1)=y(n)+h*(y(n+1)-2*x(n)/y(n+1);y(n+1)=(y(n+1)+p(n+1)/2;endX=xY=y3 斐波那契法求極值方

5、法說明斐波那契法原理類似于黃金分割法， 只是搜索區(qū)間的縮短率不再采 用黃金分割數(shù)。如下圖，只要在 a,b 內(nèi)取兩點 x1,x2, 并計算出 f(x1),f(x2), 通過比擬，可將區(qū)間 a,b 縮短為 a,x2 或 x1,b 。因為 新的區(qū)間內(nèi)包含一個已經(jīng)計算過函數(shù)值的點， 所以再從其中取一個試點， 又可將這個新區(qū)間再縮短一次， 不斷地重復這個過程， 直至最終的區(qū)間 長度縮短到滿足預先給定的精確度為止?，F(xiàn)在的問題是，怎樣選取試點，在保證同樣精確度的情況下使得計算f(x)函數(shù)值的次數(shù)最少在計算函數(shù)值的次數(shù)一定的情況下，最初區(qū)間與最終區(qū)間的長度之比可作為取點方式優(yōu)劣的一個標準。計算n次函數(shù)值，如何

6、取點使最終區(qū)間最小或者最終區(qū)間長度為1計算n次函數(shù)值，初始區(qū)間最多為多長為此，引入Fibo nacci數(shù)列：Fo =Fi = 1Fn = Fn- 1 + Fn- 2 , n?2jr01234.567»9101I235«B 213455-設L.衷示試點個圾為最終區(qū)間長度為1時的原始區(qū)間心石 fr的域大叮能氏度*現(xiàn)在找出Ltl的-個上界.垃撩初的兩個試點為站利 2且心 < 心.如果極小點位于心內(nèi)I那么至多還有挖-2個試蟲，因 此叭.壯莖人如果極小點位于心川內(nèi)，那么包松撫衣內(nèi)還可以冇 n 1個試點，兇此“一心w打一i -囚為fJn = ba=仆一叭+ x a “】+ j所以J* w 厶-1 + L*.工 *顯然，不計算函數(shù)值或只計算一次函數(shù)值不能使區(qū)間縮小，故有Ll = Lj = L因此，如果原始區(qū)IhJ長度滿足遞推關系：厶二厶+ L十,n>2*S =打=I，那么厶是最人原始區(qū)問的K度*這正楚匕述FilrwH數(shù)列應満足的關系假設廉始區(qū)間為“門,耍求最終的區(qū)間氏度小于等于ee>0,那么 有由此町以確疋試點的個數(shù)心試點個數(shù)科確定Z片，區(qū)間縮短片的長度 與縮紺詢的長度之比即藝間縮短率依次為F F.3 21可廠'寸歹亍R有Ff* n - I * »1 - 21r rF + ft =