第二章2求導(dǎo)法則,隱函數(shù)求導(dǎo),高階導(dǎo)數(shù),微分

1、二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 3.3 導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則 第三章第三章 1. 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) )(c0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx21

2、1x )(arctan x211x )cot(arcx211x一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 定理定理1 如果函數(shù)如果函數(shù)u =u(x) 及及v =v(x)均在點(diǎn)均在點(diǎn) x 可導(dǎo)可導(dǎo)，則函數(shù)則函數(shù)u =u(x) 及及v =v(x)的和、差、積、商的和、差、積、商 (除分母為除分母為 0 的點(diǎn)外的點(diǎn)外) 都在點(diǎn)都在點(diǎn) x 可導(dǎo)可導(dǎo)，且，且 , )()( )()() 1 (xvxuxvxu, )()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu),( )(xucxuc（c 為常數(shù)），為常數(shù)），,)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu. 0)(xv下面證明

3、（下面證明（2） 證證: 設(shè)設(shè), )()()(xvxuxf則有則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結(jié)論成立故結(jié)論成立.),()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv注意注意: )(wvuwvuwvuwvu公式公式 (1)，(2)可以推廣到可以推廣到有限個(gè)有限個(gè)的情形的情形. 如如 ,)(wvuwvu例例1. 解解:xsin4, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx

4、1(21)1sin1xy1cos4)1sin43(1cos21sin2727 )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin,sec)(tan2xx證證: : .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc類似可證類似可證:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx例例2.求證求證（八）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（八）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 在點(diǎn)在點(diǎn) x 可導(dǎo)可導(dǎo),定理定理)(xgu )(ufy 在點(diǎn)在點(diǎn))(xgu 可導(dǎo)，可導(dǎo)， 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) fy )

5、(xg而且而且).()(xgufyxux在點(diǎn)在點(diǎn) x 可導(dǎo)可導(dǎo),30)21 (xy課本課本118頁(yè)例頁(yè)例6 求函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：解：設(shè)設(shè),30uy ,21xu則由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則則由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 )(30uy)21 (x292960230uu29)21 (60 x解：解：設(shè)設(shè),sin,lnxuuy由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則xysinln課本課本118頁(yè)例頁(yè)例7 求函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). )(lnuy)(sinxxucos1xxxcotcossin1推廣：復(fù)合函數(shù)法則推廣：復(fù)合函數(shù)法則可推廣到可推廣到多個(gè)中間變量多個(gè)中間變量的情形的情形.例如例如,)(, )(, )(x

6、vvuufyxydd)()()(xvufuyddvuddxvdd關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).)cos(ln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xey 解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題. 求下列導(dǎo)數(shù)求下列導(dǎo)數(shù):.)()2(;)() 1 (xxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2) 1, 0(,)()3(aaax)()(lnaxxeaaxeln)ln(axxaaln解解: 練習(xí)練習(xí): 設(shè)設(shè),)(xfffy .,)(yxf求求可導(dǎo)可導(dǎo)其

7、中其中思考思考: 若若)(uf 存在存在 ，如何求，如何求)cos(lnxef的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf這兩個(gè)記號(hào)含義不同這兩個(gè)記號(hào)含義不同例例 設(shè)設(shè), )1(ln2xxy.y求解解: y112xx 11212xx2112x112xx1122xxx課本習(xí)題選講課本習(xí)題選講 21題（題（139頁(yè)）頁(yè)）)1 (log2xya（8）解解 )1 (log2xyaaxxln)1 (22)lg(22axxy（21）解解 y10ln)(122axx)(22axx10ln)(122axx22211 (ax )(22ax10ln)(122ax

8、x)1 (22axx10ln)(122axx2222axxax22lgaxe )( xf定理定理2. 在在y 的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)單調(diào)可導(dǎo), 證證: 在在 x 處給增量處給增量由由反函數(shù)的單調(diào)性反函數(shù)的單調(diào)性知知 且由反函數(shù)的連續(xù)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知 因此因此,)()(1的反函數(shù)的反函數(shù)為為設(shè)設(shè)yfxxfy)(1yf0 )(1yf且且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx時(shí)必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf1111（九）反函數(shù)的求導(dǎo)法則（九）反函數(shù)的求導(dǎo)法則 )(1yf1解解: 1) 設(shè)設(shè),arcsin xy 則則,sin

9、yx ,2,2y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x類似可求得類似可求得 )(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用利用, 0cosy則則（十）反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（十）反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 2) 設(shè)設(shè), )1,0(aaayx則則),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特別當(dāng)特別當(dāng)ea時(shí)時(shí),（十

10、一）隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)（十一）隱函數(shù)導(dǎo)數(shù) 第三章第三章 若由方程若由方程0),(yxf可確定可確定 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù) ，則，則 稱此函數(shù)稱此函數(shù) y 為為隱函數(shù)隱函數(shù) .由由)(xfy 表示的函數(shù)表示的函數(shù) ，稱為稱為顯函數(shù)顯函數(shù) .隱函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法: 確定確定 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù)并且可導(dǎo)，并且可導(dǎo)， 設(shè)方程設(shè)方程f(x, y)=0利用利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式可以求出隱函數(shù)可以求出隱函數(shù) y 對(duì)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 具體求法：具體求法：含有含有導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)y解含導(dǎo)數(shù)解含導(dǎo)數(shù) 的方程得的方程得y遇到遇到 y 時(shí)利用時(shí)利用 0),(yxf對(duì)方程對(duì)方程兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于 x

11、 求導(dǎo)求導(dǎo)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，先對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，先對(duì) y 求導(dǎo)，再對(duì)求導(dǎo)，再對(duì) x 求導(dǎo)，得到求導(dǎo)，得到 的方程，的方程，注：注：隱函數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果中可以含有隱函數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果中可以含有 y . 例例1. 求由方程求由方程03275xxyy)(xyy 在在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).0ddxxy解解: 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo))32(dd75xxyyx得得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因因 x = 0 時(shí)時(shí) y = 0 , 故故210ddxxy0確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù)例例2. 求橢圓求橢圓191622yx在點(diǎn)在點(diǎn))323,2(處的切線方程處的切線

12、方程.解解: 橢圓方程兩邊對(duì)橢圓方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切線方程為故切線方程為323y43)2( x即即03843 yx) 1, 0(aaayx的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) . 解解: 兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù) ，化為隱函數(shù)形式化為隱函數(shù)形式（取對(duì)數(shù)法取對(duì)數(shù)法）例例3. 求求axylnln兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)ayyln1aaayxxln)(即即ayyln（十六）綜合雜例（十六）綜合雜例 例例26 xyyxarctanln22確定確定y 是是 x 的函數(shù)，求的函數(shù)，求.y解：解： xyyxarctan)ln(2122)(2122yx x2()2yy 21

13、1xyxy22yxyyx222yxx2xyxy于是得于是得 .yxyxy,2, 42121, 110,20, 1)(2xxxxxxxxxf).(xf 求求解解 )(xf,2,2121,210, 20, 1xxxxx在在2, 1, 0 x處根據(jù)處根據(jù) 3.2例例9的結(jié)果有：的結(jié)果有：),0(f , 2) 1 ( f不存在，不存在，)2(f 例例27 從而有從而有 2,2121,210, 20, 1)(xxxxxxf由此可見：導(dǎo)函數(shù)的定義域由此可見：導(dǎo)函數(shù)的定義域不超過不超過函數(shù)定義域函數(shù)定義域.課本課本128頁(yè)頁(yè) 例例28 已知函數(shù)已知函數(shù) f (u)可導(dǎo)，求可導(dǎo)，求 ,)(, )(lnnaxf

14、xf,)(naxf其中其中a為常數(shù)為常數(shù).解：解： )(lnxf)(lnxf )(lnx)(ln1xfx)(naxf)(naxf)(nax)()(1nnaxfaxn)(naxf1)(naxfn)(axf例例29 求導(dǎo)求導(dǎo) 解解)(2xfey )(2xfey )(2xf )(2xf)(2xfe)(xf 2) 有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)yln兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)yybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb baxaxxbbaybalnxaxb二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則二

15、、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念 第三章第三章 3.4 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) )(tss 速度速度即即sv加速度加速度,ddtsv tvadd),dd(ddtst即即)( sa引例：引例：變速直線運(yùn)動(dòng)變速直線運(yùn)動(dòng)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念 定義定義 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù))(xfy可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則稱稱或或,dd22xy即即)( yy或或)dd(dddd22xyxxy)(xf的的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) , 記作記作y )(xf 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為類似地類似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù) ,(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為

16、 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) ,依次類推依次類推 ,分別記作分別記作,y ,)4(y)(,ny或或,dd33xy,dd44xynnxydd,二階導(dǎo)數(shù)以及二階導(dǎo)數(shù)以上二階導(dǎo)數(shù)以及二階導(dǎo)數(shù)以上的導(dǎo)數(shù)稱為的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) ,解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann233xa,2210nnxaxaxaay求求.)(ny例例1 設(shè)設(shè)依次類推依次類推 , 可得可得nnany!)(nx)1 ( 解解:! ) 1( n例例2 設(shè)設(shè), )1(lnxy求求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n,例例3 設(shè)設(shè),sin xy 求

17、求.)(ny解解: xycos)2sin(x)2cos( xy)22sin(x)22sin(x)22cos( xy)23sin(x一般地一般地 ,xxnsin()(sin)(類似可證類似可證:)2nxxncos()(cos)()2n二、微分運(yùn)算法則二、微分運(yùn)算法則三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用四、微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用一、微分的概念一、微分的概念 3.5 函數(shù)的微分函數(shù)的微分 第三章第三章 引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少問此薄片面積改變了多少? 設(shè)薄片邊長(zhǎng)為設(shè)薄片邊長(zhǎng)為 x

18、 , 面積為面積為 a , 則則,2xa 0 xx面積的增量為面積的增量為220)(xxxa20)(2xxxxx 020 xa xx 02)( x關(guān)于關(guān)于x 的的線性主部線性主部高階無窮小高階無窮小0 x時(shí)為時(shí)為故故xxa02稱為稱為函數(shù)在函數(shù)在 的微分的微分0 x當(dāng)當(dāng) x 在在0 x取取得增量得增量x時(shí)時(shí),0 x變到變到,0 xx邊長(zhǎng)由邊長(zhǎng)由其其一、微分的概念一、微分的概念的的微分微分,定義定義3.3 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 的的增量增量可表示為可表示為0 x)()(00 xfxxfy( a 為為不依賴于不依賴于x 的常數(shù)的常數(shù))則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xfy 而而 稱為稱為xa在在)

19、(xf0 x點(diǎn)記作記作yd,df或即即xayd定理定理: 函數(shù)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微的可微的充要條件充要條件是是0 x處可導(dǎo)，在點(diǎn)0)(xxfy , )(0 xfa且)0()(xxoxa即即xxfy)(d0在點(diǎn)在點(diǎn)0 x可微可微,證證: “必要性必要性” 已知已知)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微可微 ,0 x則則)()(00 xfxxfy)( xoxa)(limlim00 xxoaxyxxa故故axf)(0)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 的可導(dǎo)的可導(dǎo),0 x且且“充分性充分性”已知已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 線性

20、主部 即即xxfy)(d0在點(diǎn)在點(diǎn) 的可導(dǎo)的可導(dǎo),0 x)0)(0時(shí) xf則則說明說明: :0)(0 xf時(shí)時(shí) ,xxfy)(d0),()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00當(dāng)當(dāng)xyxfx00lim)(11所以所以0 x時(shí)時(shí)yyd很小時(shí)很小時(shí), 有近似公式有近似公式xyyd與與是是等價(jià)無窮小等價(jià)無窮小, 故當(dāng)故當(dāng)微分的幾何意義微分的幾何意義xxfy)(d0 xtan當(dāng)當(dāng) 很小時(shí)很小時(shí),xyyd時(shí)，當(dāng)xy 則有則有xxfyd)(d從而從而)(ddxfxy導(dǎo)數(shù)也叫作導(dǎo)數(shù)也叫作微商微商切線縱坐標(biāo)的增量切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分自變量的微分,為稱 x記作記作xdxyxd記記x

21、x0 xyo)(xfy 0 xyyd設(shè)設(shè) u(x) , v(x) 均可微均可微 , 則則)(d. 1vu )(d. 2uc(c 為常數(shù)為常數(shù))(d. 3vu)0()(d. 4vvu分別可微分別可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分為的微分為xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式的微分形式的不變性不變性. 5. 復(fù)合函數(shù)的微分復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)vudd ucdvuuvdd 2ddvvuuv二、二、 微分運(yùn)算法則微分運(yùn)算法則 若參數(shù)方程若參數(shù)方程)()(tytx可確定一個(gè)可確定一個(gè) y 與與 x 之間的之間的)(, )(tt可導(dǎo)可導(dǎo), 且且,0 )(

22、)(22tt則則0)( t時(shí)，有時(shí)，有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t時(shí)時(shí), 有有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此時(shí)看成此時(shí)看成 x 是是 y 的函數(shù)的函數(shù) )函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系,（十四）由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（十四）由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例例1. 設(shè)由方程設(shè)由方程) 10(1sin 222yytttx確定函數(shù)確定函數(shù), )(xyy 求求.ddxy解解: 方程組兩邊對(duì)方程組兩邊對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo) , 得得故故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxt

23、yddtxdd若上述參數(shù)方程中若上述參數(shù)方程中)(, )(tt二階可導(dǎo)二階可導(dǎo),22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且且,0)( t則由它確定的函數(shù)則由它確定的函數(shù))(xfy 可求二階導(dǎo)數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù) .利用新的參數(shù)方程利用新的參數(shù)方程,可得可得2. 設(shè)設(shè))(xyy 由方程由方程eyxey確定確定 , , )0(y解解: 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得0yxyyey再對(duì)再對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得2yey yxey)(02 y當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí), 1y

24、故由故由 得得ey1)0(再代入再代入 得得21)0(ey 求求. )0(y （八）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（八）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 在點(diǎn)在點(diǎn) x 可導(dǎo)可導(dǎo),定理定理)(xgu )(ufy 在點(diǎn)在點(diǎn))(xgu 可導(dǎo)，可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) fy )(xg而且而且)()(xgufyxux在點(diǎn)在點(diǎn) x 可導(dǎo)可導(dǎo),證證:)(ufy 在點(diǎn)在點(diǎn) u 可導(dǎo)可導(dǎo),故故)(lim0ufuyu,)(uuufy（當(dāng)（當(dāng) 時(shí)時(shí) )0u0故有故有)0(,)(xxuxuufxy所以，所以，,)(ufuy lim0 xxuxuuf)(xyyx0lim)()(xguf第三章課本習(xí)題選講第三章課本習(xí)題選講求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)1 習(xí)題習(xí)題2

25、9（2）xxy)(ln)(lnxxy )(lnlnxxexxelnln)lnln(xxxxelnln xxln(lnxln1xx)(ln)1xxln(ln)ln1x2 習(xí)題習(xí)題29（3）xxeexxexexy22)()()()(22xxeexxexexy解解解解)()(ln22xxxex)ln(2ln2xxexx)1ln2(2ln2xxxxexx)1ln2(2xxxx)1ln2(12xxx)()(lnxeexxex)ln(lnxeexxex)1ln(lnxexeexxxexxexxxxex) 1ln()()()()(22xxeexxexexy)1ln2(12xxx22xexxexxxxex)

26、1ln(1xee3 習(xí)題習(xí)題29（4）,)()(xfxeefy 可導(dǎo)可導(dǎo)其中其中)(xf)()(xfxxeeefy)()()(xfeefxfxxfy1arcsinxfy1arcsinx1arcsinxf1arcsin2111x21x解解4 習(xí)題習(xí)題29（5）解解32 設(shè)設(shè)axxf 2)(，其中為，其中為a常數(shù)，求常數(shù)，求)(xf 解解axxf2)(axaxxaax,2,2)(xf, 2ln2ax, 2ln2xaax ax 當(dāng)當(dāng)x = a 時(shí)，時(shí)，axlimaxax12ttt12lim02lnaxlimaxxa12ttt12lim02ln所以函數(shù)在點(diǎn)所以函數(shù)在點(diǎn)x=a不可導(dǎo)不可導(dǎo).課本課本34

27、設(shè)設(shè)1,1, 1)(2xbaxxxxf 在點(diǎn)在點(diǎn) x =1處可導(dǎo)，處可導(dǎo)， 求求 a, b的值的值.解解 由于函數(shù)在由于函數(shù)在 x =1 連續(xù)，所以連續(xù)，所以babaxx)(lim10) 1 (f 又由于函數(shù)在點(diǎn)又由于函數(shù)在點(diǎn) x =1處可導(dǎo)，所以處可導(dǎo)，所以10lim1xbaxx101lim21xxx2) 1(lim1xx210lim1xbaxx12)2(lim1xaxax1) 1)(2(lim1xxax. 2a, 02 a課本課本36 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)在點(diǎn) x =a 處可導(dǎo)，證明：處可導(dǎo)，證明：)()()()(limafaafaxxfaafxaxaxxfaafxax)()(limaxafa

28、afaxfaafxax)()()()(limaxafxfaax)()(limaxafaxax)()(lim)()(afaaf證明：證明：,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求求.y1y2y提示提示: 分別用分別用對(duì)數(shù)微分法對(duì)數(shù)微分法求求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx補(bǔ)例補(bǔ)例1 設(shè)設(shè)補(bǔ)例補(bǔ)例2. 求求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx補(bǔ)例補(bǔ)例3 設(shè)設(shè)),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxl

29、n1axaaaxaln求求.yaaxln補(bǔ)例補(bǔ)例4 求求解解: :,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo). ,1111ln411arctan21222xxxy補(bǔ)例補(bǔ)例5 設(shè)設(shè).y求求,)11ln() 11ln(411arctan21222xxxy解解: : y22)1(1121x21xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x23

30、1)2(1xxx補(bǔ)例補(bǔ)例6 設(shè)設(shè), )()()(xaxxf其中其中)(x在在ax 因因)()()()(xaxxxf故故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正確解法正確解法:)(af 時(shí)時(shí), 下列做法是否正確下列做法是否正確?在求在求處連續(xù)處連續(xù),),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求求解解: 方法方法1 利用導(dǎo)數(shù)定義利用導(dǎo)數(shù)定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求導(dǎo)公式利用求導(dǎo)公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(x

31、xx!99)0(f補(bǔ)例補(bǔ)例7 設(shè)設(shè) yxxxx2sec12csc41232,2tan2cotxxy解：解：2csc2xx2sec2x2121)121(23x補(bǔ)例補(bǔ)例9 設(shè)設(shè),)(xfffy 解解:)(fy)(xff)(f )(xf)(xf 其中其中)(xf可導(dǎo)可導(dǎo), 求求.y求求.y補(bǔ)例補(bǔ)例8 設(shè)設(shè)若參數(shù)方程若參數(shù)方程)()(tytx可確定一個(gè)可確定一個(gè) y 與與 x 之間的之間的)(, )(tt可導(dǎo)可導(dǎo), 且且,0 )( )(22tt則則0)( t時(shí)時(shí), 有有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t時(shí)時(shí), 有有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此時(shí)看成此時(shí)看成 x 是是 y 的函數(shù)的函數(shù) )函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系,（十四）由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（十四）由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例例1. 設(shè)由方程設(shè)由方程) 10(1sin 222yytttx確定函數(shù)確定函數(shù), )(xyy