第11章彎曲應力

1、第十一章第十一章 彎曲應力彎曲應力材料力學材料力學11111 1 引言引言11112 2 對稱彎曲正應力對稱彎曲正應力11113 3 慣性矩與平行軸定理慣性矩與平行軸定理11114 4 對稱彎曲切應力對稱彎曲切應力11115 5 梁的強度條件梁的強度條件11116 6 梁的合理強度設計梁的合理強度設計11117 7 雙對稱截面梁的非對稱彎曲雙對稱截面梁的非對稱彎曲11118 8 彎拉彎拉( (壓壓) )組合組合11111 1 引言引言第十一章第十一章 彎曲應力彎曲應力MFS MSF 11 111 1 引言引言AxB對稱面對稱面FqMeFAyFByyyyy對稱軸對稱軸對稱彎曲對稱彎曲平面彎曲平面

2、彎曲11112 2 對稱彎曲正應力對稱彎曲正應力一、純彎曲一、純彎曲二、純彎曲時梁橫截面上的正應力二、純彎曲時梁橫截面上的正應力三、橫力彎曲時的正應力三、橫力彎曲時的正應力第十一章第十一章 彎曲應力彎曲應力FFaa一、純彎曲一、純彎曲FFFsFaM橫力彎曲橫力彎曲FF純彎曲純彎曲11 112 2 對稱彎曲正應力對稱彎曲正應力FF純彎曲實驗純彎曲實驗 2PPPaaaabbPaPP主梁墊梁(輔助梁)QMPPFsPaM一、純彎曲一、純彎曲2PPPaaaabbPaPP主梁墊梁(輔助梁)QMFF11 112 2 對稱彎曲正應力對稱彎曲正應力1.1.純彎曲試驗純彎曲試驗二、純彎曲時梁橫截面上的正應力二、純

3、彎曲時梁橫截面上的正應力11 112 2 對稱彎曲正應力對稱彎曲正應力1.1.純彎曲試驗純彎曲試驗2. 縱向線縱向線：1. 橫向線橫向線：3. 上層纖維縮短，下層纖維伸長上層纖維縮短，下層纖維伸長直線直線,相對旋轉了一個角度相對旋轉了一個角度平行的弧線，平行的弧線，距離沒有改變，垂直于橫向線距離沒有改變，垂直于橫向線11 112 2 對稱彎曲正應力對稱彎曲正應力1.1.純彎曲試驗純彎曲試驗梁內梁內橫截面橫截面變形后仍保持為變形后仍保持為平面平面，只是繞著某只是繞著某個軸個軸轉動一個角度轉動一個角度, , 仍然仍然與軸線垂直與軸線垂直彎曲彎曲平面假設平面假設縱向纖維之間縱向纖維之間沒有擠壓沒有擠

4、壓2. 縱向線：縱向線：1. 橫向線：橫向線：3. 上層纖維縮短，下層纖維伸長上層纖維縮短，下層纖維伸長直線直線相對旋轉了一個角度相對旋轉了一個角度平行的弧線，平行的弧線，距離沒有改變，垂直于橫向線距離沒有改變，垂直于橫向線11 112 2 對稱彎曲正應力對稱彎曲正應力單向受力假設單向受力假設既不伸長、也不縮短的纖維層既不伸長、也不縮短的纖維層 中性層與橫截面的交線中性層與橫截面的交線 對稱面對稱面中性層中性層橫截面橫截面橫截面對稱軸橫截面對稱軸軸線軸線中性層中性層1.1.純彎曲試驗純彎曲試驗中性軸中性軸中性軸中性軸11 112 2 對稱彎曲正應力對稱彎曲正應力變形幾何關系變形幾何關系l l

5、y 中性層的曲率半徑中性層的曲率半徑mmxnndxybboo ddd y對于指定的橫截面對于指定的橫截面=常量常量(a)dbbooMMmnnmaaxzyyb bbbbbb （ oo oooo oo （2 2、公式推導、公式推導11 112 2 對稱彎曲正應力對稱彎曲正應力物理關系物理關系 y (a) E yE (b)橫截面上一點的正應力與該點到橫截面上一點的正應力與該點到中性軸的距離成正比中性軸的距離成正比b. 沿沿橫截面的高度，按線性規(guī)律變化；橫截面的高度，按線性規(guī)律變化； a. 在在中性軸上為零中性軸上為零比例極限范圍內比例極限范圍內:Myzx11 112 2 對稱彎曲正應力對稱彎曲正應力

6、靜力關系靜力關系 yE (b)MyzdAxyzM橫截面上的應力構成橫截面上的應力構成空間平行力系空間平行力系xF(d)(c)d0 xAEFy AZM中性軸必須通過橫截面的形心中性軸必須通過橫截面的形心 zEIM 1d0Ay A A Ad0Ay AdM AAyEMd2 zIE dAcy AyAMyzx11 112 2 對稱彎曲正應力對稱彎曲正應力02dzAIyA為截面對為截面對z軸的慣性矩軸的慣性矩 1梁的中性層變形后的曲率，梁的中性層變形后的曲率，zEI梁的彎曲剛度梁的彎曲剛度反映了梁抵抗反映了梁抵抗彎曲彎曲變形的能力變形的能力在純彎曲時，梁的軸線被彎曲成在純彎曲時，梁的軸線被彎曲成靜力關系靜

7、力關系 zEIM 1梁的軸線變形后的曲率梁的軸線變形后的曲率圓弧圓弧11 112 2 對稱彎曲正應力對稱彎曲正應力 zIMy 靜力關系靜力關系 zEIM 111 112 2 對稱彎曲正應力對稱彎曲正應力靜力關系靜力關系 zIMy M該截面的彎矩該截面的彎矩所求點到該截面所求點到該截面中性軸中性軸的距離的距離y該截面對該截面對中性軸中性軸的慣性矩的慣性矩zI11 112 2 對稱彎曲正應力對稱彎曲正應力符號判斷法：符號判斷法：1.直接代入直接代入M和和 y代數(shù)代數(shù)值值 2. 代入代入M和和 y絕對絕對值，再根據(jù)梁段的變形情況判斷符號值，再根據(jù)梁段的變形情況判斷符號 公式討論公式討論 zIMy 1

8、1 112 2 對稱彎曲正應力對稱彎曲正應力上下上下邊緣同時達到最大值邊緣同時達到最大值：A.兩個對稱軸的橫截面兩個對稱軸的橫截面(如如矩形矩形、圓形圓形等等)zIMymaxmax maxyIWzz maxmaxct 最大應力最大應力 zIMy 抗彎截面系數(shù)抗彎截面系數(shù) 11 112 2 對稱彎曲正應力對稱彎曲正應力最大應力最大應力 zWM max 其中：其中： maxyIWzz 反映了梁抵抗反映了梁抵抗彎曲彎曲破壞的能力破壞的能力11 112 2 對稱彎曲正應力對稱彎曲正應力A.兩個對稱軸的橫截面兩個對稱軸的橫截面: zWM max B.一個對稱軸（縱向對稱軸）的橫截面一個對稱軸（縱向對稱軸

9、）的橫截面maxmaxct 最大應力最大應力y2003030zC170cz13961zIMymaxmax 5.6 純彎曲梁的正應力純彎曲梁的正應力三、橫力彎曲時的正應力三、橫力彎曲時的正應力可按可按純彎曲純彎曲的正應力公式計算的正應力公式計算橫力彎曲橫力彎曲時的正應力時的正應力橫力彎曲橫力彎曲A.A.變形后，變形后，橫截面將發(fā)生翹曲橫截面將發(fā)生翹曲，不再保持為平面，不再保持為平面B.B.縱向纖維之間還可能會發(fā)生縱向纖維之間還可能會發(fā)生擠壓擠壓精確的分析表明精確的分析表明當梁的跨長當梁的跨長l l與橫截面的高度與橫截面的高度h h之比大于之比大于5 5時時5.6 純彎曲梁的正應力純彎曲梁的正應力

10、三、橫力彎曲時的正應力三、橫力彎曲時的正應力最大正應力：最大正應力：彎曲正應力：彎曲正應力： zIMy zWM max 5.6 純彎曲梁的正應力純彎曲梁的正應力11113 3 慣性矩與平行軸定理慣性矩與平行軸定理一、一、簡單截面的慣性矩簡單截面的慣性矩二、組合公式二、組合公式三、三、平行軸定理平行軸定理第十一章第十一章 彎曲應力彎曲應力b/2b/2h/2h/2zyC例例2 求圖示矩形對通過其形心且與邊平行的求圖示矩形對通過其形心且與邊平行的z、y軸的慣性矩軸的慣性矩Iz、IydydAy解：平行于解：平行于z軸取微面積：軸取微面積：同理：同理：ybAdd 2dzAIy A 2/2/2)d(hhy

11、by312zbhI 123hbIy 2dzAIy AmaxyIWzz 62bh 123bh 2h11 113 3 慣性矩與平行軸定理慣性矩與平行軸定理一、一、簡單截面的慣性矩簡單截面的慣性矩2dyAIzA例例3 求圖示圓對過圓心的任意正交直徑軸的慣性矩求圖示圓對過圓心的任意正交直徑軸的慣性矩Iz、Iy 。zydO解：解：324dI p2dAAzyII4p264zyIdII 222d ,d ,dzPyAAAIy A IA IzA323D 2DmaxyIWzz 644D 11 113 3 慣性矩與平行軸定理慣性矩與平行軸定理zyII22(+)dAzyA二、二、組合公式組合公式2 dyAIzA2 d

12、zAIyA122yyyIII 1z12zzIIIzyO11 113 3 慣性矩與平行軸定理慣性矩與平行軸定理1222 d dyAAIzAzAczcycO三、三、平行軸定理平行軸定理OzyCdAzCyCabyzzCyC2dzAIyA ACCAyayad)2(22 ACACAAyAyaAadd2d222CzzIIa A2CyyIIb A同理：20CCCzAAAAAyAyAIddd，已知：已知： ，形心在形心在zOy坐標系下的坐標坐標系下的坐標(a，b)，求求Iz、IyCCzyII、 ACAyad)(211 113 3 慣性矩與平行軸定理慣性矩與平行軸定理czzIIcyyII 在在平面圖形對所有相互

13、平面圖形對所有相互平行平行的坐標軸的慣性矩中，的坐標軸的慣性矩中，以對以對形心軸形心軸的慣性矩為的慣性矩為最小最小。2 CyyIIb A2 CzzIIa AOzyCdAzCyCabyzzCyC三、三、平行軸定理平行軸定理11 113 3 慣性矩與平行軸定理慣性矩與平行軸定理例例1 試求圖示矩形截面梁試求圖示矩形截面梁1-1截面上的截面上的D與與E點的正應力點的正應力yz6010030DEmkN 811M464123310512101006012m m bhIzkN8RA FkN12 RBF1 mABC1.5 m1 mF=20kN1111 113 3 慣性矩與平行軸定理慣性矩與平行軸定理zDDI

14、yM11 zEEIyM11 MPa 801051050108633 63105108 31030 MPa 48 例例1 試求圖示矩形截面梁試求圖示矩形截面梁1-1截面上的截面上的D與與E點的正應力點的正應力mkN 811Myz6010030DEkN8RA FkN12RB F1 mABC1.5 m1 mF=20kN1111 113 3 慣性矩與平行軸定理慣性矩與平行軸定理例例1 試求圖示矩形截面梁試求圖示矩形截面梁1-1截面上的截面上的D與與E點的正應力點的正應力zDDIyM11 zEEIyM11 MPa 801051050108633 MPa481051030108633 （壓）（壓）（拉）（

15、拉）mkN 811Myz6010030DEkN8RA FkN12 RBF1 mABC1.5 m1 mF=20kN1111 113 3 慣性矩與平行軸定理慣性矩與平行軸定理 q=10kN/m B A F=20kN D C 200 200 30 30 2m3m1m30kN10kN10 20 M(kNm) yzcyC mm 5157 30200302001003020021530200.Cy462323mm 10160 557302001220030 557302001230200.zCI 24.1MPaMPa 57210206tzCBBI.上.4MPa25MPa515710206czCBBI.下2

16、6.2MPaMPa515710106tzCCCI.下12.1MPaMPa57210106czCCCI.上B截面：截面： C截面：截面：例例 4 求求 M+max , M-min, 并求各自的最大拉應力和最大壓應力并求各自的最大拉應力和最大壓應力mkN10maxMmkN20maxM11 113 3 慣性矩與平行軸定理慣性矩與平行軸定理11114 4 對稱彎曲切應力對稱彎曲切應力橫力彎曲橫力彎曲另一些梁則是因另一些梁則是因切應力切應力達到剪切強度極限而破壞達到剪切強度極限而破壞橫截面上既有橫截面上既有正應力正應力、又有、又有切應力切應力實踐表明實踐表明有些梁是因有些梁是因正應力正應力達到拉伸或壓縮

17、強度極限而破壞達到拉伸或壓縮強度極限而破壞跨度小、截面高的木梁跨度小、截面高的木梁第十一章第十一章 彎曲應力彎曲應力一、橫力彎曲梁橫截面上的切應力一、橫力彎曲梁橫截面上的切應力z1 1對橫截面對橫截面中性軸平行線上中性軸平行線上的切應力作以下假設的切應力作以下假設1)各點切應力的作用線各點切應力的作用線平行平行或或交于一點交于一點2)各點切應力沿剪力各點切應力沿剪力FS的分量的分量 y均相等均相等 m y f m yfmmf fyFSO y y11 114 4 對稱彎曲切應力對稱彎曲切應力一、橫力彎曲梁橫截面上的切應力一、橫力彎曲梁橫截面上的切應力z1 1對橫截面對橫截面中性軸平行線上中性軸平

18、行線上的切應力作以下假設的切應力作以下假設1)各點切應力的作用線各點切應力的作用線平行平行或或交于一點交于一點2)各點切應力沿剪力各點切應力沿剪力FS的分量的分量 y均相等均相等mmyFSy11 114 4 對稱彎曲切應力對稱彎曲切應力e2e1xx一、橫力彎曲梁橫截面上的切應力一、橫力彎曲梁橫截面上的切應力 1deyA 2 2橫截面上切應力的計算公式：橫截面上切應力的計算公式：e11111yz22dxbyyx xdxM+dMMFSFSn11mn2m mnmmy :0 xF 1d)d(eyA xbd 0 x x zIM x x zIMMdd y y11 +d 11 114 4 對稱彎曲切應力對稱

19、彎曲切應力一、橫力彎曲梁橫截面上的切應力一、橫力彎曲梁橫截面上的切應力2 2橫截面上切應力的計算公式：橫截面上切應力的計算公式：e11111yzdxbyx xn11mn2m mmy 1ddd1eyzAxMbIx x s( )zzF SI bxMdd 1deyAx xSF( )zSs( )zyzF SI b y y 1deyA 1d)d(eyA xbd 0 x x zIM x x zIMMdd 11 114 4 對稱彎曲切應力對稱彎曲切應力一、橫力彎曲梁橫截面上的切應力一、橫力彎曲梁橫截面上的切應力3 3關于切應力公式的說明關于切應力公式的說明1) 求出的是距中性軸求出的是距中性軸 y處沿處沿

20、剪力剪力FS方向的切應力分量方向的切應力分量 y2)由于橫截面周邊與由于橫截面周邊與y軸夾角軸夾角 m最大，因此該處切應力最大最大，因此該處切應力最大z m y m ymmf fyFsO yS( )zyzF SI by處平行于中性軸線以外面積處平行于中性軸線以外面積對對z軸的軸的靜矩靜矩；( )zS：y處截面的有效寬度處截面的有效寬度：b mmym cos 11 114 4 對稱彎曲切應力對稱彎曲切應力二、應用二、應用Oyzbh矩形截面梁：矩形截面梁：yO = man 5 . 1max y2)求距中性軸求距中性軸y處的切應力處的切應力 y：S( )zyzF SI b( )zCSy)2(byh

21、)2(212yhh )2/(2122yh 123bhIz 22S36( /2)yFhybhSmax31.52FbhFS1) 矩形截面上各點的切應力均平行于矩形截面上各點的切應力均平行于FS11 114 4 對稱彎曲切應力對稱彎曲切應力5-4 5-4 彎曲剪應力彎曲剪應力橫截面的翹曲變形橫截面的翹曲變形yxPP max工字形截面梁工字形截面梁 腹板中腹板中 的分布規(guī)律的分布規(guī)律2222824SzFbdhHhyI d沿腹板的高度按沿腹板的高度按二次拋物線二次拋物線規(guī)律分布規(guī)律分布yzyFSbdhH( )SzzF SI b2222824SzFbdhHhyI d max和和 min2hy時，時，22m

22、in88SzFbHbhI d0y時，時，22max88SzFbHhbdI dmaxminminbd 當當 時，時，minmaxSFdh腹板中的切應力近似地均勻分布腹板中的切應力近似地均勻分布腹板中的剪力占截面上的總剪力腹板中的剪力占截面上的總剪力FS的的( (0.950.97) )%工字形截面梁工字形截面梁yzyFSbdhH翼緣中的切應力翼緣中的切應力分布比較復雜分布比較復雜byzQdhHmaxminmin y y y y i i i i( )SzyzF SI bFSi T切應力流切應力流 工字形截面梁工字形截面梁例例2 2 試求圖示矩形截面梁試求圖示矩形截面梁1-11-1截面上的截面上的D與

23、與E點的切應力點的切應力解：解：S18 kNF463m 105 12bhIz0E22S()24zFhyIS() zzF SI bMPa 281.Dyz6010030DEkN8RAFkN12RBF1 mABC1.5 m1 mF=20kN1111 114 4 對稱彎曲切應力對稱彎曲切應力11115 5 梁的強度條件梁的強度條件一、正應力強度條件一、正應力強度條件二、切應力強度條件二、切應力強度條件max 第十一章第十一章 彎曲應力彎曲應力一、正應力強度條件一、正應力強度條件1.對于對于抗拉抗拉和和抗抗壓壓強度強度相等相等的材料的材料(如低碳鋼如低碳鋼)2.對于對于抗拉抗拉和和抗壓抗壓強度強度不相等

24、不相等的材料的材料(如鑄鐵）如鑄鐵）maxmaxtt maxcc max 許用拉壓應力許用拉壓應力115 梁的強度條件梁的強度條件maxM等直梁：等直梁：maxMmax)(Mmax)( M等直梁：等直梁：中性軸中性軸是是對稱軸對稱軸中性軸中性軸不是不是對稱軸對稱軸一、正應力強度條件一、正應力強度條件maxMmax)(Mmax)( M（A）通常：）通常： （B）單對稱軸梁）單對稱軸梁（脆性材料）：（脆性材料）：等直梁：等直梁：危險截面：危險截面：115 梁的強度條件梁的強度條件例例3 鑄鐵梁的受載情況以及截面尺寸如圖所示。鑄鐵材料的許用鑄鐵梁的受載情況以及截面尺寸如圖所示。鑄鐵材料的許用解：解：

25、 CBMM ,mm 1391 ymm 61mm 1392002y試按正應力強度條件校核梁的強度試按正應力強度條件校核梁的強度拉應力拉應力 ，許用壓應力許用壓應力MPa 40 tl MPa 100 cy kN30 QBFkN10 RDFMmkN 20mkN 102mABC3m1mDkN20 FkN10qC2001703030zy1z2y1y45mm 10403zI危險截面危險截面 maxmaxct ct 115 梁的強度條件梁的強度條件解：解： MPa 3302max.IyMzBB MPa 0691max.IyM zBB B截面截面C截面截面 MPa 5341max.IyMzCCt MPa 21

26、52max.IyMzCCc tc MPa MPa 5 .340 .69maxmax tc tc kN30 QBFkN10 RDF2mABC3m1mDkN20 FkN10qC2001703030zy1z2y1yMmkN 20mkN 10115 梁的強度條件梁的強度條件解：解： 5.討論討論 (1)若梁的載荷不變，將若梁的載荷不變，將T形橫截面形橫截面倒置倒置(成成形橫截面形橫截面)， 是否合理？是否合理？ 因此因此:倒置不合理倒置不合理 MPa MPa 5 .340 .69maxmax tc MPa MPa 5 .340 .69maxmax ct t kN30 QBFkN10 RDF2mABC3

27、m1mDkN20 FkN10qC2001703030zy1z2y1y115 梁的強度條件梁的強度條件二、彎曲切應力強度條件二、彎曲切應力強度條件梁的最大切應力：梁的最大切應力：1.1.切切應力強度條件應力強度條件S,maxmaxzzF SI bmax 材料的許用切應力材料的許用切應力 maxSF中性軸上中性軸上等直梁：等直梁：危險截面危險截面115 梁的強度條件梁的強度條件例例5 由兩根槽鋼組成的外伸梁如圖所示由兩根槽鋼組成的外伸梁如圖所示, ,已知已知 =100MPa, , =170MPa。試選擇槽鋼型號試選擇槽鋼型號解：解：mkN 240maxM按正應力強度條件選擇截面按正應力強度條件選擇

28、截面kN160 RAFkN160 RBFmax100 kNSFMmkN60mkN240mkN60FSkN60kN100kN100kN60yz3 m3m1mABCDE1mkN602 FkN2001 F2FmaxmaxzWM3max1412cm MWz3370621412cmcm zW No.36c3746cm zW maxmax 115 梁的強度條件梁的強度條件例例5由兩根槽鋼組成的外伸梁如圖所示由兩根槽鋼組成的外伸梁如圖所示, ,已知已知 =100MPa,17,17MPa試選擇槽鋼型號試選擇槽鋼型號解：解：校核切應力強度校核切應力強度4cm 13400zI24,max145 10ziCiiSA

29、 ymax,maxmax12.9 MPa szzFSI bmaxmax2SSFFz16100133601A*2A*max,maxmaxSzzFSI b工字形截面：工字形截面：,maxzzISkN160 RAFkN160 RBFyz3 m3m1mABCDE1mkN602 FkN2001 F2F115 梁的強度條件梁的強度條件11116 6 梁的合理強度設計maxmax zWM1彎曲正應力是控制梁強度的主要因素；彎曲正應力是控制梁強度的主要因素；2提高梁強度的措施；提高梁強度的措施；1)采用合理的截面形狀，提高抗彎截面系數(shù)采用合理的截面形狀，提高抗彎截面系數(shù)Wz2)采用等強度梁或變截面梁采用等強度梁或變截面梁3)改善梁的受力條件，降低改善梁的受力條件，降低Mmax第十一章第十一章 彎曲應力彎曲應力一、梁的合理截面形狀1面積面積A不變，