全國高考數(shù)學(xué)大題集一

1、笫19題圖2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（安徽卷）19.（本小題滿分12分）如圖，曲線g的方程為尸=2.心（）.以原點(diǎn)為圓心.以t（t > 0）為半徑的圓分別與曲線g和y軸的正半軸相交于點(diǎn)a與點(diǎn)3直線與兀軸相交于點(diǎn)c.（i ）求點(diǎn)a的橫坐標(biāo)q與點(diǎn)c的橫坐標(biāo) c的關(guān)系式（ii）設(shè)曲線g上點(diǎn)d的橫坐標(biāo)為d + 2, 求證：直線cd的斜率為定值.20.（本小題滿分13分）生物學(xué)試驗(yàn)中，經(jīng)常以果蠅作為試驗(yàn)對(duì)彖.-個(gè)關(guān)有6只果蠅的籠子里，不慎混入了兩只蒼蠅（此吋籠內(nèi)共有8只蠅子，6只果蠅和2只蒼蠅），只好把籠子打開一個(gè)小孔，讓蠅子一 只一只地往外飛，直到兩只蒼蠅都飛出，再關(guān)閉小孔.以

2、67;表示籠內(nèi)還剩下的果蠅的只數(shù). （i）寫出§的分布列（不要求寫出計(jì)算過程）;（ii）求數(shù)學(xué)期望eg ；（iii）求概率p（g 2 e§）21.（本小題滿分14分）某國采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度.公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為以后每年 交納的數(shù)目均比上一年增加d （d>0）,因此，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目q,勾 是一個(gè)公差 為d的等差數(shù)列與此同時(shí)，國家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利這 就是說，如果固定年利率為r（r>0）,那么，在第川年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?（1 +廠）心，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)椋? +廠）心，以人表示到第&

3、quot;年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額.（i）寫出7；與為（心2）的遞推關(guān)系式;（ii）求證：tn =4- bn,其中人是一個(gè)等比數(shù)列，場是一個(gè)等差數(shù)列.2x19.解：（i ）由題意知，石）. 因?yàn)閛a=t,所以/+2g =尸.由于r>0,故有f = j/+2a.（1）由點(diǎn)b（0, r）, c（c,0）的坐標(biāo)知，直線bc的方程為- + - = 1.又因點(diǎn)a在直線bc上,故有- + = 1, c t將(1)代入上式，得-+ . v 6/=1,解得c = d + 2 + j2(d + 2).c jd(a + 2)j2(ci + 2)(ii) 因?yàn)閐(a + 2j2(a + 2),所以直線cd的斜率

4、為k 二 j2(q + 2)=j2(a + 2)_ _ _ 加+2) 一d + 2- cq + 2- (q + 2 + j2(a + 2) -j2(a + 2)所以直線cd的斜率為定值.20.解：(i ) g的分布列為：(iii)所求的概率為p(歹2 磚)= p$2) = 5 + 4 + 3 + 2 + l 15282821.解：(i )我們有7；:=7；_1(l + r)4-aw(n2).(ii) 7；=q,對(duì)心 2反復(fù)使用上述關(guān)系式，得§ =町_(1+廠)+陽=tn_2(l+r)2 +務(wù)_(1 +廠)+ 色=q(l + 廠)"1 +6?2(1 + 廠)" +d

5、”_i(l + 廠)+ 色，(1 + 廠)町=q (1 + r)n + 色(1 + 曠 + % (1 + 廠尸 + 色(1 + r)一，得 =馬(1 + r)n +4(1 + 曠 + (1 + r)n2 + (1 + 廠)_ 陽=(1+廠)"一1 廠+ 4(1 +廠)"一.rhn“a.r + d z1 v d a.r + d小 田 人 a+r / q n即幾= (1 + rf一一n一一l 如果記4 = '( +r,rr rr,則tn =4+ b.其中4是以空二$1+廠為首項(xiàng)，以 r r廣1 +廠0為公比的等比數(shù)列；bn是以-歲乞一？為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.2007

6、年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）18.（本小題共23分）某屮學(xué)號(hào)召學(xué)生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會(huì)公益活動(dòng) （以下簡稱活動(dòng)）.該校合唱團(tuán)共有100名學(xué)生，他們參加活 動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示.（i）求合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)；（ii）從合唱團(tuán)中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好 相等的概率.（in）從合唱團(tuán)小任選兩名學(xué)生，用§表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量§的分布列及數(shù)學(xué)期望eg.19.（本小題共13分）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為2廠，短半軸長為八 此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底ab是半橢圓的短軸，上ji 端點(diǎn)在橢

7、圓上，記cd = 2x,梯形面積為s.（i）求面積s以兀為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（ii）求面積s的最大值.20.已知集合4 = 坷，s ,絞伙22）,其中a1,2, k)f rtl a中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：s = (g, b)a g a, be a, q + dwa, t = (a, b) a g a, be a, e a.其中（a, b）是有序數(shù)對(duì)，集合s和t中的元素個(gè)數(shù)分別為加和.若對(duì)于任意的owa，總有-。纟人，則稱集合a具有性質(zhì)p.（i）檢驗(yàn)集合0,123與-1,2,3是否具有性質(zhì)p并對(duì)其中具有性質(zhì)p的集合，寫出相應(yīng)的集合s和（ii）對(duì)任何具有性質(zhì)p的集合a ,證明：i

8、twkd ；2（iii）判斷加和刃的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.18.（共 13 分）解：由圖可知，參加活動(dòng)1次、2次和3次的學(xué)生人數(shù)分別為10、50和40.（i）該合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)為1x10 + 2x50 + 3x40 = = 2.3 .100 100（ii ）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率為皤+爲(wèi)+曦=41° 醯 99（ill）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，記“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加2次活動(dòng)” 為事件a , “這兩人中一人參加2次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件b “這兩人中一 人參加2次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件c.易知陀= l)

9、= p(a) + p(b)p(g = 2) = p(c)歹的分布列:012p4199509989941caqog 的數(shù)學(xué)期望：e = ox +lx + 2x =-.999999 319.(共 13 分)解：（i）依題意，以ab的中點(diǎn)。為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（如圖*則點(diǎn)c的橫坐標(biāo) 為兀.點(diǎn)c的縱坐標(biāo)y滿足方程+差= l(y20)r 4r解得 y = 2a/r2 -x2 (0 <x<r)s =*(2x + 2r) 2r2 -x2=2(兀 +廠)y/r2 -x2 , 其定義域?yàn)閤0 <x< r.(il) ib f(x) = 4(x4-r)2(r2 x2),0<x<r

10、,貝!j ff(x) = 8(x4-r)2(r-2x).令 = 0 ,得 x = * 廠.因?yàn)楫?dāng)0<兀< 尹,fm > 0 :當(dāng)y<x<r吋，f（x） < 0 ,所以丄”是/（兀）的最2i 2丿大值.因此,當(dāng)"”時(shí)，s也取得最大值，最大值為即梯形面積s的最大值為婕廠20.（共 13 分）（i）解：集合0,123不具有性質(zhì)p.集合-1,2,3具有性質(zhì)p ,其相應(yīng)的集合s和t是s = （-1,3）,（3,-1）,卩=-1）,（2,3）.（ii）證明：首先，由a中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)（q.,。丿）共有/個(gè).因?yàn)閛ea,所以（q, aj®t（i =

11、 l,2, k）；又因?yàn)楫?dāng)ciea時(shí)，時(shí)，,所以當(dāng)（q, ajwt時(shí),（cij, q 論 t i,（j = , , 2k .從而,集合t中元素的個(gè)數(shù)最多為丄伙2_切=“伙t）,即 亦“伙-1）.2 2 2（iii）解：m=n，證明如下：（1）對(duì)于（a, b）ws ,根據(jù)定義，ae a , b e a t ra + be a,從而（a + h, b）wt. 如果（a, b）與（c, ）是s的不同元素，那么a = c與b = d中至少有一個(gè)不成立，從而 a + b = c + d與b = d中也至少有一個(gè)不成立.故（a + b,歷與（c + 也）也是t的不同元素.可見，s中元素的個(gè)數(shù)不多于t中元素

12、的個(gè)數(shù)，即m n ,（2）對(duì)于（a, b）wt,根據(jù)定義，7 g a , be at 且 a-bwa,從而（a_b, b）es .如 果（a,方）與（c, d）是t的不同元素，那么a = c與方=d中至少有一個(gè)不成立，從而 a-h = c-d與h = d中也不至少有一個(gè)不成立，故（ab, b）與（c-d, ）也是s的不同元素.可見，t中元素的個(gè)數(shù)不多于s中元素的個(gè)數(shù)，即ns,由（1） （2）可知，m=n.2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（福建卷）1f1-10120.（本小題滿分12分）如圖，已知點(diǎn)f（l,0）, 直線/：x = -l, p為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過p作直線 /的

13、垂線，垂足為點(diǎn)q,且qpqf = fp fq.(i )求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡c的方程；(ii)過點(diǎn)f的直線交軌跡c于a, b兩點(diǎn),交直線/于點(diǎn)m,已知ma=af,mb = a2bf,求人+入的值；21(本小題滿分12分)等差數(shù)列色的前“項(xiàng)和為s，+ s3 =9 + 30.(i )求數(shù)列an的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和sn ；(ii)設(shè)仇二gwn*),求證：數(shù)列/?”中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列. n22(本小題滿分14分)己知函數(shù)/(x) = ev-kx, xgr(i )若k = s試確定函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;(ii) 若k>0,且對(duì)于任意xer , /佃)>0恒成立，試確定實(shí)數(shù)r的取值

14、范圍；n(iii) 設(shè)函數(shù) f(x) = f(x) + /(-x),求證：f(1)f(2)f(/?)>(em+1+2)2(/2 gn*).20.解法一：(i)設(shè)點(diǎn) p(x, y),則(2(-1, y),由 qp qf = fp fq 彳料 (x + l,0)af-(y，) (-2, y),化簡得 c:y2=4x.(ii)設(shè)直線ab的方程為：x = my + l(m0).( 2)設(shè)yj, b(x2, %),又m -l i m)= ay聯(lián)立方程組,消去兀得：x = my + i,y2 -4my-4 = 0,a = (-4m)2+12>0,故x + >2 = 4m 必旳=一4由ma

15、 = af, mb = bf得:2力+=-入，整理得: ma) = 1 .人+入=2 m+ bi兒丿=_2_2a±a=_2-1±=o.m yx y2m -4解法二：(i)由 qp qf = fp fq 得:fq(pq+pf)=o,.(pqpf)(pq + pf) = o,.pq-pfu：pq = pf所以點(diǎn)p的軌跡c是拋物線，由題意，軌跡c的方程為：y2=4x.(ii)由已知ma =人af , mb =入bf，得人希v 0 ma 2 af貝j ：=mb 希 bf過點(diǎn)人b分別作準(zhǔn)線/的垂線，垂足分別為人，bmaa4, af則冇:=mb bb、bf由得:a af af=,即入+

16、希=0 z bf bf21解：(i)由已知得坷二血+ 1'.d = 2,3 嗎+3 = 9 + 3 血故a” =2h-1 + a/2, sn = 7t(/z+ a/2).c(ii)由(i)得»=二=丹+近n假設(shè)數(shù)列心中存在三項(xiàng)乞，bq, br ( p, q,廠互不相等)成等比數(shù)列，則tt = bpbf.即(q + 邁y =(/7 + /2)(r + /2).(q2 -pr) + (2q-p r)v2 =0p, q, r gnq - pr - 0,2q- p-r = 0,""=pr,(p-r)2 =09p = r.與pr矛盾. 所以數(shù)列$屮任意不同的三項(xiàng)都不

17、可能成等比數(shù)列.22.解:(i )由k = e/(x) = ev-ex,所以/f(x) = ex-e.由f(x) > 0得x>1,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1, + 8),由f(x) < 0得兀v 1,故/(x)的單調(diào)遞減區(qū)i'可是(-00,1) (ii)由/(|-x|) = /(|x|)可知州)是偶函數(shù).于是/(h)> 0對(duì)任意xer成立等價(jià)于/(x)> 0對(duì)任意x $ 0成立由 fx) = e-k = 0 得 x = nk. 當(dāng) k e (0,1時(shí)，ff(x) = e-k>-k ()(x > 0).此時(shí)/(x)在0, + oo)上單調(diào)遞增

18、. 故f(x) 2 /(0) = 1>0,符合題意. 當(dāng)k g(l, + oo)時(shí)，ink >0 .當(dāng)x變化時(shí)廣(兀)，/(兀)的變化情況如下表：x(oank)nk(in k, + oc)0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在0, + 8)上，/(%) 2 /(in k) = k-kxk.依題意，k-khk>0 ,又 £>1,. lvrve.綜合，得，實(shí)數(shù)r的取值范圍是0 vkve.(ill)f(x) = /(兀)+ f(-x) = e* + e f, f(xj)f(x2) =+e«z)+e-(-v.2)+2>e“z +2 ,. f(l)f(n

19、)>e,h1+2,f(2)f(n-l)>ert+,+2f(/?)f(l)>ew+1 + 2.由此得,f(1)f(2)f(n)2 =f(l)f(n)f(2)f(n-l) f(n)f(l)j >(ert+, +2)”n故 f f(2) f(n) > (eh+1 + 2)6 /?gn*.2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)數(shù)學(xué)(理科)20. (木小題滿分14分)已知a是實(shí)數(shù),函f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-1,1±有零點(diǎn),求a的取值范 圍.21. (本小題滿分14分)已知函數(shù)/(x) = x2+x-l, a, 0是方

20、程f(x) = 0的兩個(gè)根(q>0 ),廣(尢)是/(q的導(dǎo)數(shù)，設(shè)嗎=1,色+ =q廠5 = 12 )心)(1) 求a, 0的值；(2) 證明：對(duì)任意的正整數(shù)兀，都有5>a；(3) 記仇=ln殂二©= 1,2,),求數(shù)列$的前項(xiàng)和s“5-a20.(本題滿分14分)已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)/(兀) = 2o?+2x-3-°，如果函數(shù)y = f(x)在區(qū)間卜1, 1上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析1：函數(shù)y = jx)在區(qū)間卜1, 1上有零點(diǎn)，即方程/(x) = 2or24-2x-3-67=0在卜1, 1上 有解，a=0時(shí)，不符合題意，所以aho,方程f(x)=o在卜1

21、, 1上有解<=>0或”妙(-1)丫()"-3-j7-3-77 a = 4 + 8a(3 + d)l0。15*5或*-或"5 <=> a<-或-gl-1.1、a所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是土也或821.2解析2：并0時(shí)，不符合題意，所以aho,又f(x) = 2cvc2+2x-3-a = 0 在1, 1上有解, 0(2” _% = 3_2兀在卜1 , 1上有解 o丄二蘭二在卜1, 1上有解，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)尸芒二1卜1, 1上的值域；設(shè)t=3-2x, x a 3 - 2x3-2x1 (t x0 i 7e-l, 1,則 2x = 3八 tel/5/y

22、= -.2= _(/ + 一6),2 t2 t設(shè)g（r）= r+?.gu）= lz,蟲1,“）時(shí),g'（r）vo,此函數(shù)g（t）單調(diào)遞減，蟲（77,5吋，g'（r）>0, tr此函數(shù)g（t）單調(diào)遞增，y的取值范圍是0-3,1, /（jc） = 2o?+2x-3-d=0在卜1, 1± 有解 o 丄丘"_3,1 oani 或 asa221.（本題滿分14分）己知函數(shù)/（x） = x2+x-l, 0,0是方程/（x）=0的兩個(gè)根（a > 0）, fx）是f（x）的導(dǎo)數(shù)；設(shè)4=1,= an（n“2）f（%）（1）求a,0的值；（2）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n

23、,都有>a；（3）記乞=ln冬二2 （n=l,2,）,求數(shù)列bj的前n項(xiàng)和s.。_ a解析：（1） /（兀）=兀2+尢_1,久0是方程f（x）二0的兩個(gè)根（«>/?）,0 =-1-亦22.丄色（2匕+1） +丄（2山+ 1） 亠(2) fx) = 2x+l一瓷f2誌°5丄（2色+ 1）+-1,q=l,有基本不等式可知心逅二1>0 （當(dāng)且僅當(dāng)°嚴(yán)亙乜42atl +1 222時(shí)取等號(hào)），： >_ >0 同，樣為 _，a >_ =a （0=1,2,）,（3）%_0=%_0_心：）©；_0）=a+1+，而。+0=-1,即a+i

24、=0, 2% +1 2% +1，同理12色+1s” =2(2"-1) in 廿逅2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（海南、寧夏）20.如圖，面積為s的正方形abcd中有一個(gè)不規(guī)則的圖形m,可按下面方法估計(jì)m的 血積：在正方形abcd中隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn)，若/?個(gè)點(diǎn)中有加個(gè)點(diǎn)落入m中，則m的面積的估計(jì)值為-s,假設(shè)正方形abcd的邊長為2, m的面積為1,并向正方形abcd中 n隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，以x表示落入m屮的點(diǎn)的數(shù)目.（i）求x的均值ex :（ii）求用以上方法估計(jì)m的面積時(shí)，m的面積的估計(jì)值與實(shí)際值之差在區(qū)間(-0.03,0.03)內(nèi)的概率.附表：p(k) = y cooo

25、o x 0-25； x 0.75,000° z /=0k2424242525742575p(k)0.04030.04230.95700.959021.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù) /(x) = ln(x+a)+x2(i) 若當(dāng)x = -l時(shí)，/(x)取得極值，求q的值，并討論/(兀)的單調(diào)性；(ii) 若/(兀)存在極值，求q的取值范圍，并證明所有極值之和大于ln£.2( 20.解：每個(gè)點(diǎn)落入m屮的概率均為p = -.依題意知xb 10000,-4i4丿(i ) ex=10000x丄= 2500.4(ii)依題意所求概率為 p -0.03 <x4-l< 0.03|

26、,( 10000 丿(vp -0.03 <x 4 1 <0.03 = p(2425 v x v 2575)i10000丿2574=e c；豳 x025*075igf=242625742425=e c爲(wèi) x 0.25*0.751 嘰x 0.25x 0.75咖tz=2426f=0=0.9570 - 0.0423 = 0.9147 .21.解：13(i ) f(x)=+ 2x,依題意有廣(一 1) = 0, a = -.x + a2'當(dāng)-*從而廣=2虻+弓+ 1 =(2" + 1)(； + 1) . /的定義域?yàn)閤 h2fm > 0 ；當(dāng)1 vxv 時(shí),2f(x)

27、<0:當(dāng)兀吋,2x2 + 2ax +1x + a若a =忑,xe(-5/2, + 8),(岳_1尸x + >/2p,_a(1 ),+ °°單調(diào)增加，在區(qū)問1 2丿1 2丿<2丿從而，/(兀)分別在區(qū)i'可單調(diào)減少.(ii) /(%)的定義域?yàn)?一0+8), f(x)=方程2兀2 + 2仮+1 = 0的判別式a = 42-8.(i)若<(),即y/2<a<y/2t在/(兀)的定義域內(nèi)f(x) > 0,故/(兀)的極值.(ii)若 = 0,則 a y/2 或 a = 5/2 .當(dāng) x = 時(shí)，/(兀)=0 > 當(dāng) x w

28、/2> > + °° 時(shí)，fx) > 0 ,所以 f (x)22丿i 2 丿無極值.若cl = _近,xw(屈+8),廣(無)=(屈¥)20, /(兀)也無極值.x_(2(iii)若a>0 ,即a>邁或a<邁，則2x2 + 2ax+ 1 =(有兩個(gè)不同的實(shí)根-a - jo1 _2-a + jo1 _2xi 9 xj 1 2 - 2當(dāng)a<-yf2時(shí)，占va, x2<-a,從而廣(x)有/(尢)的定義域內(nèi)沒有零點(diǎn)，故于(勸無 極值.當(dāng)a>/2時(shí)，xx>-af x2 >-a , fx)在/(兀)的定義域內(nèi)

29、有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由根值 判別方法知/(x)在x = xe x = x2収得極值.綜上，/(x)存在極值時(shí)，d的取值范圉為(返+8)./(%)的極值z和為/(%() + /(x2 ) = ln(xj +g) +彳 +ln(兀2 + tz) + x22 = in + tz2 -1 > 1 - in 2 = in .2 22007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷)19.在平面直角坐標(biāo)系兀0：中，過定點(diǎn)c(0, p)作直線與拋物線x2=2py (p>0)相交于a, b兩點(diǎn).(i) 若點(diǎn)n是點(diǎn)c關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值；(ii) 是否存在垂直于y軸的直線/,使得/被以a

30、c為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出/的方程；若不存在，說明理由.(此題不要求在答題卡上畫圖)20.(本小題滿分13分)已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)/(%)=丄/+2處，go) = 3/lnx+/?,其中a >0.設(shè)兩 2曲線y = fm，y = g(x)有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同.(i)用d表示b,并求的最大值；(ii)求證：/(x)mg(x) (x>0).21.(本小題滿分14分)已知加，斤為正整數(shù)，(i) 用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)兀>一1時(shí)，(1+兀)'"21 +皿；求證1m、，nm + 3>z 、加(ii)對(duì)于刃26,己知1i n + 3

31、 丿/ 、lm 'm<k n + 3 丿,2丿求證m = 12n；于是 s'abn = s'bcn + sacn(iii)求出滿足等式3 +4 +(m + 2)" = (h + 3)z/,的所有正整數(shù)19.解法1： ( i )依題意，點(diǎn)n的坐標(biāo)為7v(ft-p),可設(shè)a(勺刃)，bg %)，直線ab的方程為kx與x2=2 p聯(lián)立得$ =2 py消去y得y= x2 -2pkx-2p2 =0 由韋達(dá)定理得兀+x> = 2pk ,=p -x2 = pj(x +x2)2 -4xx2=pj4p2q+8p2 = 2ps+2 ,.當(dāng) £ = 0 時(shí)，(

32、s初qmin = 2邁p1 (ii) 假設(shè)滿足條件的直線/存在，其方程為y = q，4c的屮點(diǎn)為o', /與ac為直徑的圓相交于點(diǎn)p, q, pq的屮點(diǎn)為h,則。°點(diǎn)的坐標(biāo)為佇，號(hào)10卩| = * 14q = * jx： +(h -“)，= + jy； +,o7/|= a_=*|2a_x_p|,_y axy】+a(p-a),:.pqf =(2ph)2 =4 a-£2)ya(p-a) phf = ofpf -orhf =(yf + p2)(2a-y- p)2令a £ = 0,得a = £,此ipq = p為定值，故滿足條件的直線i存在,其方程為y

33、=左, 即拋物線的通徑所在的直線.解法2： ( i )前同解法1,再由弦長公式得ab = jl + 以卜-x2 = j + z?j(x +兀2)2 _4x$2 = j1 +疋j4"咲2 +8/7?=2pll + k2 *a/2 +2 ,又rti點(diǎn)到直線的距離公式得d從而 ssbn =丄ab = -*2屛1 + /血+2 2卩,=2p2 j/+2 ,22j1 +疋* 當(dāng) r = 0 時(shí)，(s的qnin = 2迥p(ii )假設(shè)滿足條件的直線/存在，其方程為y =則以ac為直徑的圓的方稈為(x-0)(x-x1)-(-p)(j->'1) = 0,將直線方程)：=6/代入得兀2

34、 _兀兀+ (d_#)(q_n)=0,則 a=彳-4(6f_p)(a_必)二 4 a-、£ 12)設(shè)直線/與以ac為直徑的圓的交點(diǎn)為p(馮，)，0(勺，)，則有|2| = |-4| = j4 a * yl+a(p-a) =2j a-y y,+a(p-a).令a 2 = 0,得a =牛 此ipq = p為定值，故滿足條件的直線i存在，其方程為y =左, 即拋物線的通徑所在的直線.20.解：(i )設(shè)y = f(x)與y = g(x)(x > 0)在公共點(diǎn)(兀°, %)處的切線相同.t 廣(兀)=x + 2ag©)由題意 /(x0) = g(x0), fx =

35、gx.*兀：+ lax = 3a2 in x0 +b,xq + 2a =,由 a：。+ 2a迂得:x)= a 或x0 = -3a (舍去).即有 b =丄夕十 2a2 - 3a2 lna = -a2-3a2 in a .2 2令h(t) = -t2-3t2 lnr(z>0),則 w) = 2r(l-31nr)于是2i當(dāng) r(l-31nr)>0,即 ov/vq 時(shí)，ht) > 0 ；當(dāng) r(l-31nr)<0,即 時(shí)，hf(t) < 0.( 1、0,歷為增函數(shù)，在(1 "+8< /為減函數(shù),故h(t)在(丄)3 2 于是/2在(0,+8)的最大值為/

36、? k.，丿2(ii)設(shè) f(x) = f(x)-g(x) =x2+2ax:-3a2 lnx-/?(x>0),則 f3 “ + 2-竺二 d(2)(x>0).xx故f(勸在(0, a)為減函數(shù)，在(0 + 8)為增函數(shù), 于是函數(shù) f(x)在(0, + oo)上的最小值是 f(a) = f(x0) = f(x0) - g(x0) = 0 .故當(dāng)無0時(shí),有/o)-g(x) $0，即當(dāng)乂0時(shí),f(x) g(x).21.解法1： ( i )證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：(i)當(dāng)m = 1時(shí)，原不等式成立；當(dāng)m = 2吋，左邊=1 + 2兀+，右邊= 1 + 2兀,因?yàn)閤20,所以左邊三右邊，原不

37、等式成立;(ii)假設(shè)當(dāng)m = k時(shí)，不等式成立，即(1 +兀ml + fcr,則當(dāng)m = k +1時(shí),兀一1,l + x0,于是在不等式(1+"上1 +尬兩邊同乘以1 +兀得(l+x/(l + x)$(l + a%)(l + x) = l + (£ + l)x+ax?三 1 + (比 + 1)兀，所以(1 +兀)小m1 +伙+ 1)兀.即當(dāng)m = k +1時(shí)，不等式也成立.綜合(i ) (ii )知，對(duì)一切正整數(shù)加，不等式都成立.(ii)證：當(dāng)兀$6, mwn時(shí)，由(i )得1 + 、加丄>0,/4 nmz、z ! 于是1 mw1 11- 1(斤+ 3丿<1(

38、n + 3)1< n + 3)3 + 3 丿m = 12( 1 、n(2、n'n '” 11+1-+1<一 +i + 3 丿72 +3丿< + 3丿2(2丿(iii)解：由(ii)知，當(dāng)n6時(shí),勺+ 2、n+(比+1 (刃+ 3丿w + 3丿+即3"+4+ +g + 2)” s + 3)"即當(dāng)n6時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù).故只需要討論n = 1,2,3,4,5的情形：當(dāng)斤=1吋，3工4,等式不成立；當(dāng)n = 2時(shí)，32 +42 =52,等式成立；當(dāng)斤=3時(shí)，33+43+53 =63,等式成立；當(dāng) 時(shí)，34+44+54 + 64為偶數(shù)，而

39、7°為奇數(shù)，故34+44 +54 +64 74,等式不成 立；當(dāng)n = 5時(shí)，同斤=4的情形可分析出，等式不成立.綜上，所求的只有n = 2,3.解法2： ( i )證：當(dāng)兀=0或加=1吋，原不等式中等號(hào)顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) x>-,且 xho 時(shí)，m三 2, (1 + x),r, > 14- ivx.（i）當(dāng)m = 2時(shí)，左邊= 1 + 2x + f,右邊= 1 + 2%,因?yàn)閤ho,所以%2 >0,即左邊 右邊，不等式成立；（ii）假設(shè)當(dāng)m = k伙$2）時(shí)，不等式成立,即（1 +兀）">1 + &,則當(dāng)加=« +

40、1時(shí)，因?yàn)閤>- ,所以1 +兀>0.又因?yàn)樨o, k2,所以kx2>0.于是在不等式(1 +兀)“ > 1 +尬兩邊同乘以1 + x得(1 + x)k (! + x)> (1 + 也)(1 + 兀)=1 + (比 + 1)兀 +> 1 + (£ + )兀，所以（l + x）x+1 >l + （zr + l）x.即當(dāng)m = k + 時(shí)，不等式也成立.綜上所述，所證不等式成立.（ii）證：當(dāng) 6, mwn 時(shí),( 1 、” 1” 1 、11<k 72 + 3 丿2<斤+ 3丿(2丿而由（i ）,<1in（iii）解：假設(shè)存在

41、正整數(shù)詳6使等式3®+4®+（%+2嚴(yán)=（他+3）®成立,即有丫 4、 衛(wèi)。+3丿1.又由（ii）可得廠3、了（）+3 丿'4、 了（）+3 丿%+2、嚴(yán)）+ 3丿% (+ 1-+h-丄/ i、坷<2,° + +丄=1 一丄v1,與式矛盾.2 故當(dāng)n三6時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù) 下同解法1.2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）19.(本小題滿分12分)如圖4,某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)p和居民區(qū)0的公路，點(diǎn)p所在2的山坡面與山腳所在水平面&所成的二面角為0 (0 <&<90 ),且

42、sin& = ，點(diǎn)p到平5面&的距離ph = 0.4 (km).沿山腳原有一段筆直的公路可供利用.從點(diǎn)0到山腳修 路的造價(jià)為d萬元/km,原有公路改建費(fèi)用為纟萬元/km.當(dāng)山坡上公路長度為/km2(1w/w2 )時(shí)，其造價(jià)為(廠+1加萬元.已知04丄ab, pb丄a3, ab = 1.5(km),oa = y/3(km).(i) 在上求一點(diǎn)d,使沿折線pda0修建公路的總造價(jià)最??；(ii) 對(duì)于(i)中得到的點(diǎn)d,在da±求一點(diǎn)e,使沿折線pde0修建公路的總造價(jià)最 小.(iii) 在ab±是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)d', e ,使沿折線pde。修建公路的

43、總造價(jià)小于 (ii) 'i1得到的最小總造價(jià)，證明你的結(jié)論.20. (本小題滿分12分)己知雙曲線x2-/=2的左、右焦點(diǎn)分別為片，鬥，過點(diǎn)打的動(dòng)直線與雙曲線相交于 a, b兩點(diǎn).(i) 若動(dòng)點(diǎn)m滿足fim = fiaflb-fo (其中0為坐標(biāo)原點(diǎn))，求點(diǎn)m的軌跡方程；(ii) 在x軸上是否存在定點(diǎn)c,使cacb為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)c的坐標(biāo)；若不存 在，請(qǐng)說明理由.21. (本小題滿分13分)已知&(%, bn) ( hg n* )是曲線y = ex ±的點(diǎn),=a , s“是數(shù)列a”的前項(xiàng)和， 且滿足 s：=3%+s：, % ho,刃=2,3,4,.(i)證明：數(shù)

44、列 血 (“w2)是常數(shù)數(shù)列；i仇(ii) 確定d的取值集合m,使aem時(shí)，數(shù)列色是單調(diào)遞增數(shù)列;(iii) 證明：當(dāng)aem時(shí)，弦(nwn*)的斜率隨單調(diào)遞增.(1)2q +竺+同1 4丿(16 )19.解：(i)如圖，ph ± a , hb ua , pb 丄 ab ,由三垂線定理逆定理知，ab丄hb ,所以apbh是山坡與&所成二面角的平面角，則zpbh=0,pb =ph=1.設(shè) bd = x(km), 0 w x w 1.5 .則phpdzh+pb? =2+1 el,2.記總造價(jià)為/；(勸萬元,據(jù)題設(shè)有 /；(x) = (pd2+1 + ad + ao)ci =(兀2

45、x h卜24當(dāng)兀丄 即bd = l(km)時(shí)，總造價(jià)/；(兀)最小.(ii)設(shè)ae = y(km), owyw扌，總造價(jià)為乙(y)萬元，根據(jù)題設(shè)有£(y)=加+1 +則 f2(y) =1-a2/由 (y) = o，得 y = i.當(dāng) ye (0,1)時(shí)，(<0, f2(y)在(0,1)內(nèi)是減函數(shù);當(dāng)平(1,斗時(shí),i 4丿(5 z>(y)>0, f2(y)在1,-內(nèi)是增函數(shù).< 4丿故當(dāng)y = l,即ae = (km)時(shí)總造價(jià)/；(歹)最小，且最小總造價(jià)為二d萬元.16(iii)解法一：不存在這樣的點(diǎn)d', e，.事實(shí)上，在ab上任取不同的兩點(diǎn)d'

46、;, e .為使總造價(jià)最小，e顯然不能位于d'與b之3 間.故可設(shè) f 位于 d 與 4 z間，且 bd' = x,(km), ae = x(km), 0 x. + y2 ,總造價(jià)為s萬元，則s十-號(hào)+阿二守+打類似于、(h)討論知, 彳還l丄，jy2+3_k 三,當(dāng)且僅當(dāng)x 丄，y=l同時(shí)成立時(shí)，上述兩個(gè)不1216122|4 門等式等號(hào)同吋成立，此吋b dz = -(km), ae = l(km), s取得最小值印點(diǎn)d, e'分 416 別與點(diǎn)d, e重合，所以不存在這樣的點(diǎn)d, e，,使沿折線pdfef0修建公路的總造價(jià) 小于（ii）屮得到的最小總造價(jià).解法二：同解

47、法一得s =心+ jjj2 +3- +i 12 v 124）=西一+ a+*+3-必）+ （血 +3 + yja +詈a x 2_ y）（j y； + 3 + 牙）a + a4lo67=a .16當(dāng)且僅當(dāng)x=-且3（ jy； + 3 _ y j（ jy； + 3 +廿）,即x冷,% =1同時(shí)成立時(shí),s取得最小值 a,以上同解法一.1620.解：由條件知百（2,0）,鬥（2,0）,設(shè)心,刃），bg %） 解法一：(i)設(shè) a7(x, y),貝ij 則 fm =(x+2, y), fa = (xy +2,刃),好3 =(勺+2, %)比0 = (2,0)，由 fxm = fa + f.b+fo得兀

48、 + 2 =西 + 兀2 +6,即+ x2 = x - 4,于是心中點(diǎn)坐標(biāo)為號(hào)，另2當(dāng)不與兀軸垂直時(shí)，丄=2二丄，即必_”二二（州_禺）. x -x2兀一4 _2 x-8x-8又因?yàn)閍, b兩點(diǎn)在雙曲線上，所以彳一y；=2,忙一址=2,兩式相減得（旺一兀2）（西+召）=（刃一）（刃+x）即（西一花）（兀一4） = （/ 一）丿 將h 一 = 壬 3 -無）代入上式，化簡得（x6）2 y2 = 4 一 x-8 一當(dāng)與x軸垂直時(shí)，西=吃=2,求得m（8,0）,也滿足上述方程. 所以點(diǎn)m的軌跡方程是（x-6）2-j2=4.（ii）假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)c（m,0）,使c4cb為常數(shù)當(dāng)ab不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線ab的方程是y = k(x-2)伙h ±1).代入 2 _ b = 2 有(_ 上 2)兀2 + 4k2x _(4疋 + 2) = 0 .則x,兀2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以西+兀