全概率公式及其應用論文

1、淺談全概率公式及其應用作 者：王托洛夫斯基文帥酷之健指導教師:yangjinying摘要：本文分析了全概率公式的直觀意義，介紹了使用全概率公式時 尋找完備事件組的兩種方法，并通過實例闡述了全概率公式在解決實際問題 屮的應用。關鍵字：全概率公式；完備事件組；應用；樣本空間引言：概率論的一個重要內容是研究怎樣從一些較簡單事件概率的計 算來推算較復雜事件的概率，全概率公式正好起到了這樣的作用。對一個較 復雜的事件a ,如果能找到一件伴隨事件人發(fā)生的完備事件組目，場， 而計算各個色的概率與條件概率p(ald)相對又要容易些，這是為了計算與 事件a有關的概率，可能需要是用全概率公式，本文就全概率公式及其

2、應用 做了詳細的敘述。全概率公式及直觀意義全概率公式，又稱全概公式，是指p(b)= xm)ia) /=!它實質上是一種分解式，若注意到p(ajp(bs)= p(ba)則求p(b)的問題就轉化為p(b4) + p(ba?) + p(陋) + +這里b4，ba，b九，b入兩兩互斥，注意到陋u陋uu曲= fi(ua)z=1就應有a，a2, a3, a”兩兩互斥， 且cmt于是a2, £心就成為一個完備事件組，這個完備事件組分割 了事件，從而求p(b)的問題最后歸結為找一個合適的完備事件組的問題, 因此當事件b比較復雜，直接十算p(b)比較難時，設法找一個完備事件組a2, a3,，&

3、使b =然后分別求岀p(b4),再相加，即可求出 p(b)/=,全概率公式的直觀意義是：某事件b發(fā)生的各種可能原因4 0 = 1,2,3,，斤)并且這些原因兩兩不能同時發(fā)生，如果b是由原因a,所引起的, 則b發(fā)生時，ba/必同吋發(fā)生，因而p（b）與p（baj有關（z = 1, 2 , 3,， 勵，且等于其總和£p（ba）= £p（a）p（bi4）z=1/=1全概率的“全”就是總和的含義，當然這個總和要能求出來，需已知概率 p（創(chuàng)4）0 = 1, 2, 3,，砒，通俗地說，事件b發(fā)生的可能性，就是其 諸原因4發(fā)生的可能性與4發(fā)生的條件下事件b發(fā)生的可能性的乘積之 和。二.尋找

4、完備事件組的兩種方法方法一:從第一個試驗入手，分解其樣本空間，找出完備事件組。如果所求概率的事件與前后兩個試驗有關，且這兩個試驗彼此有關聯(lián)， 第一個試驗的各個結果對第二個試驗產生影響，而問第二個試驗出現(xiàn)某結果 的概率，這些問題，即可用全概率公式求解。此時，通常將第一個試驗的樣 本空間分解成若干個互不相容的事件的和，這些事件就是所求的一個完備事 件組。例1假設有兩個同種零件：第一箱內裝50件，其屮10件一等品；第二箱 內裝30件，其屮18件一等品。現(xiàn)從兩箱屮隨意挑出一箱，然后從該箱屮隨 機取出兩個零件，試求：取出的零件均是一等品的概率p； 解引進下列事件:4二被挑出的是第i箱（心1, 2）3二取

5、出的零件是一等品有條件知p(bia)= |，p(b|a2)= |由全概率公式，知p(b) = p(ajp(b | 4) + p(a?)p(b | 4)_ 1 11322 52 5 5方法二從事件b發(fā)生的兩兩互不相容的諸原因找完備事件組。如果事件b能且只能在“原因” a，a2,入，&下發(fā)生，且人， a2,血，&兩兩互不相容，那么這些“原因” 4, a2, a3,，4 就是一個完備事件組。例2.采購員要購買10個一包的電器元件。他的采購方法是：從一包中隨機 抽查3個，如這3個原件都是好的，他才買下這一包。假定含有4個次品的 包數(shù)占30%,而其余包中各含有1個次品。求采購員拒絕購買的

6、概率。解：記£二取到的是含4個次品的包, %二取到的是含1個次品的包， 二采購員拒絕購買則%構成樣本空間的一個正劃分，且p(a)二03, p(a2)=0.7,又由古 典概型計算知p(bal)=l- = -p(b| aj = 1 一吳=丄ct30 6丿10從而由全概率公式得到23503 573p(b) = p(a)p(b|a)+ p(a2)p(b|a2) = -.- + -.-上述例題介紹了全概率公式尋找完備事件組的兩種方法，對于以上這種 簡單事件，需先找出完備事件組，然后直接應用全概率公式就可求出我們所需的結果。三、全概率公式的應用在全概率公式的應用中，主要會有四個方面的應用：賭徒輸

7、光問題、拋 擲不均勻硬幣問題、隨機分流的不變性、保險公司的索賠額模型。這些應用 不僅僅是全概率公式的簡單應用，還會與其他知識相結合，例如差分方程, 遞推計算等。這些知識的結合有效地將全概率公式得到廣泛應用。1 賭徒輸光問題 例3.設甲有賭本k41)元，其對手乙有賭本a-i>0元。每賭一次甲以概率° 贏一元，而乙以概率q = lp輸一元。假定不欠不借，賭博一直到甲乙有一 人輸光才結束。因此，兩個人中的贏者最終有賭資。元。求甲輸光的概率。 解：一般地，我們以口記甲有賭本，元而最終輸光的概率，而求此概率的關 鍵是給出下面的事件關系式，其方法稱為首步分析法，記事件a = 甲有賭本i元，

8、但最終輸光3二甲第1次賭贏于是我們有p(a | b)=p(a/+1), p(ai b) = ps-) 由上述關系式及全概率公式，我們得到a = p(4) = p(a, i b)p + p(ai二 p(4+l)p + p(4-l)q二 ppi-i + qpi-x( i)這是一個常系數(shù)二階差分方程，u滿足兩個邊界條件：p(甲有賭本0元而最終輸光=a)= 1p(甲有賭本z元而最終輸光=pa =0為解,注意到它等價于p(pj+i £) = q(pi pi_j故當p>ohp吋，由“0=1得到2pi - pl =£（纟）（p -1）z p1-纟p令i = °,再利用pa

9、 = 0可解出_ p p0-1-（%"p從而得到，當>0且"占（即ph0）時有（約-（分p而當p = q = *吋，還是由（2）式，我們有門一門=（,一1）（門一1）令心°,可得從而有門=1丄aa2. 拋擲不均勻硬幣問題例4.連續(xù)地拋擲一個很不均勻的硬幣n次，假定這次拋擲并不相互獨 立：第1次出現(xiàn)正而的概率為q,第2次后每次出現(xiàn)與前一次相同的而的概 率為0求第n次時岀現(xiàn)正面的概率，并討論ntoo時的情況。解 令4廣第門次岀現(xiàn)正面，并記欲求之概率為p（an） = pfl , h>lo 這時a曲發(fā)生與否與心發(fā)生與否是密切相關的，若九發(fā)生了，則4曲發(fā)生 的概

10、率就為色 所以，p（a曲丨觀）= 0。同理,p（a“+m）= 1_0。顯然，4, 4構成完備事件組。利用全呼公弐，我們有幾+1=ajp（aj+p（4,+114）4）二保+（1-0）（1-幾）= （20 1）幾+（1 0）由于人=a ,故由遞推計算可得pn = (20 一 1)1(20 - 1)幾_2 + (1 - 0) + (1 - 0)=(20 -1)心門 + (1 - 0)1 +(20 1) +(20 廳 + +(20 1 嚴=”(20 1尸 + * _ *(20 1)心若"1a若0 = 10 = 1,則幾=q,故 limpn = a.1 ( 1 1(2) 若0 = 0,則= -

11、4-(-1)，_1 a-,只有當a =-時，limpn才存在且等于;.2(3) 對一般0 v0vl有l(wèi)im pn/：kolim "(20 1 廣弓一*(2“-1)在解決實際問題時，如果已知的是多維隨機變量的聯(lián)合分布，條件分布 及邊緣分布，則在求某些事件的概率時仍可以使用全概率公式。3. 隨機分流的不變性例5. （poisson分布在隨機選擇下的不變性，也稱為隨機分流的不變性） 假設某段吋間里來百貨公司的顧客數(shù)服從參數(shù)為2的poisson分布，而在 百貨公司里每個顧客購買電視機的概率為p,且每個顧客是否購買電視機是 獨立的，問在這段時間內，百貨公司內購買電視機的人數(shù)為k的概率有多 大？

12、解 記x為百貨公司售出電視機的臺數(shù)，而n為這段時間內進入百貨公司的 人數(shù)，故由全概率公式知00p(x =燈=工 p(x = kn = n)p(n = n)n=08/?!p(x = kn = ri)n=()由于在已知有n二n名顧客進入百貨公司的條件下，百貨公司售出電視機 的臺數(shù)服從參數(shù)為n和p二項分布，即10n<k故nl8n=kf 刃 (勿)旳(1-刃嚴" k!(n-k)l72!k説(1-)嚴25 一 k)'(如/ky/t(l-p)r h i!eaca(1p)=(如 c»pkk即x服從參數(shù)為勿的poisson分布。4. 保險公司的索賠額模型例7.保險公司想對其索

13、賠額建立一個模型，以此期望其產品獲得好的利潤. 根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，認為具有利好風險的投保人，其索賠額的密度函數(shù) 為：.人（兀）=2幺一力，x > 0而認為具有利壞風險的投保人，其索賠額的密度函 數(shù)則為：人（兀）=丄疔，x > 0.其中索賠額以1000元人民幣為一個單位，現(xiàn) 已知指定的投保頭具有利壞風險的可能性是30 %，問這個投保人的索賠額 超過一個單位的概率有多大？解設x表示索賠額，i表示風險的指示變量.則由所給信息可知：設有 利壞風險時，1 = 1,其概率為30 %;設有利好風險時，i二0，其概率為 70 %,從而有：fxi=q(x) = 2_2x>0;（兀）=亍八，x>

14、;0那么由混合型全概率公式可得隨機變量x的密度函數(shù)為：1工fxm = fxu=o（x）p/（°）+ fxi=（x）p/=2e_2xx0.70+-e 3 x0.30）-x= 1.4嚴+0.1/而我們要求的是索賠額x > 1的概率，由密度函數(shù)與概率之間的關系可得：a"/+cor嚴8p（x > 1） = j fx x）dx = 1.4x j fi'czr+ 0.1 x e ydx.= 1.4e_2+0.1/5.此即索賠額大于一個單位的概率。在這個問題屮關鍵是要求出索賠額在不同風險下的密度函數(shù)，為此我們 必須把題設的信息數(shù)量化，設一個指示變量，從而使問題變得更容

15、易求解。三、結論概率論通過人類的社會實踐和生產活動發(fā)展起來并被廣泛應用于各個領 域，在國民經濟的生產和生活中起著重要的作用，在h常生活中，周圍的許 多事物都和概率有著千絲萬縷的聯(lián)系，就拿當今社會最熱門的金融業(yè)來說， 概率論在這門學科中發(fā)揮著無法替代的重要作用，全概率公式作為概率論中 的計算復雜事件的重要公式，它在生活中更是有著廣泛的應用。參考文獻1 魏宗舒概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程m 北京髙等教育出版社,1983,102 張麗全概率功率公式與貝葉斯公式的應用及推廣j牡丹江師范學院 學報,2005 (1)3 萌詩松，程依明概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程m北京高等教育出版 社,20044 祈紅光淺談概率統(tǒng)計在決策

16、優(yōu)化中的應用j沙洋師范高等?？茖W校 學報,2005, (5)5 崔文艷全概率公式的推廣及應用j.高等數(shù)學研究,200&11 (1)6 鄭長波生活中的概率問題舉例j沈陽師范大學學報(自然科學 版),2007,25 (4)7 張克軍.關于條件概率及其應用的教學研究j.徐州教育學院學報， 2008. 23(3)8 吳松飛.一個概率知識在經濟分析上的應用j.安徽商貿職業(yè)技術學院 學報(社會科學版),2006,039 白瑞云.我們身邊的概率問題j.商場現(xiàn)代化,2006,0110 王淑玲.概率論與數(shù)理統(tǒng)計在經濟生活中的應用j.科技信息,2009,2111 武興亮，定根宏小概率事件及其應用j.讀寫算

17、(教育教學研 究),2011,1312 葉裁亮，楊存曲.條件概率的計算公式j.商洛師范?？茖W校學 報,2002,16(4)13 桑青松.試論策略型學習者問題解決能力的培養(yǎng)j.課程.教材.教法， 2002 (9)14 金晶亮.非線性測量誤差模型的bayes估計j.南通大學學報.自然discussion on the formula of total probabilityand its applicationabstract: this paper analyzes the total probability formula of the intuitive meaning, describes the use of the formul