《一元二次方程》錯(cuò)題歸因分析及有效策略

1、    一元二次方程錯(cuò)題歸因分析及有效策略    王起堯【摘 要】數(shù)學(xué)解題貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程，公式的推導(dǎo)、定理的證明以及問(wèn)題的解答，都與數(shù)學(xué)解題密不可分。面對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中出現(xiàn)的各類(lèi)錯(cuò)誤，教師及時(shí)分析錯(cuò)誤原因，采取有效的教學(xué)策略，提高學(xué)生解題能力?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)解題；錯(cuò)題分析；解題能力初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴(lài)模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。數(shù)學(xué)解題貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程，公式的推導(dǎo)、定理的證明以及問(wèn)題的解答，都與數(shù)學(xué)解題密不可分。然而，由于教學(xué)內(nèi)容的多樣性，學(xué)生學(xué)習(xí)能力存在著差異性，在數(shù)學(xué)解題中，學(xué)生經(jīng)

2、常會(huì)出現(xiàn)各類(lèi)錯(cuò)誤。筆者結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)例，通過(guò)學(xué)生在一元二次方程學(xué)習(xí)過(guò)程中，常出現(xiàn)的解題錯(cuò)誤展開(kāi)分析，及時(shí)采取有效的教學(xué)策略：一、學(xué)生基本概念理解不到位數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的一種思維形式，是運(yùn)算、推理、證明的重要依據(jù)。在教學(xué)中，教師通過(guò)一系列設(shè)問(wèn)、引導(dǎo)，概括出一元二次方程概念的本質(zhì)。然而，部分學(xué)生在實(shí)際解題中仍會(huì)出現(xiàn)不同程度的錯(cuò)誤。案例1：判斷下列方程哪些是一元二次方程：x2=5； 2x2-y+5=0；ax2+bx+c=0； 典型錯(cuò)誤：學(xué)生在解題中普遍認(rèn)識(shí)到第與第選項(xiàng)存在明顯錯(cuò)誤，不會(huì)選與。部分學(xué)生錯(cuò)選第選項(xiàng)。分析：選，究其主要原因，是學(xué)生沒(méi)有完全弄清一元二次方程的前提條件必須是整式方程，而第選項(xiàng)是分

3、式方程，它不是一元二次方程。對(duì)策：在教學(xué)一元二次方程概念時(shí)，務(wù)必對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)一元二次方程必須同時(shí)具備三個(gè)條件：一元二次方程是整式方程；只含有一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)為2。以上三個(gè)條件缺一不可。案例2：不解方程，判斷方程4x2-3x+1=2根的情況。典型錯(cuò)誤：a=4，b=-3，c=1，b2-4ac=（-3）2-4×4×1=9-16=-7<0，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。分析：部分學(xué)生沒(méi)有弄清一元二次方程4x2-3x+1=2根的判別式b2-4ac 中的a、b、c分別表示的含義，就把c用1代入計(jì)算，因而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。對(duì)策：在教學(xué)一元二次方程根的判別式時(shí)，先從概念層次復(fù)習(xí)一元二次方程

4、的一般形式，然后列舉實(shí)例，要求學(xué)生化成一元二次方程的一般形式，并分別指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)，最后給學(xué)生一一分析實(shí)例中根的判別式b2-4ac 中的a、b、c的含義。加深了學(xué)生印象，也避免學(xué)生今后犯類(lèi)似錯(cuò)誤。正確掌握數(shù)學(xué)概念及其理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)是學(xué)生糾錯(cuò)的必要前提。在教學(xué)中，部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念理解存在失誤，通常表現(xiàn)為理解不透或死記硬背，面對(duì)較難題目不懂得靈活變通。因此教師從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，在講解數(shù)學(xué)概念時(shí)，積極創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，引領(lǐng)學(xué)生找“關(guān)鍵詞”，從具體到抽象，層層遞進(jìn)，加深數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延的理解，揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，不斷強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣一來(lái)，學(xué)生就能正確、靈活地運(yùn)用

5、數(shù)學(xué)概念了。二、學(xué)生解題思路考慮不全面蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾曾提出：“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)。”在教學(xué)中，教師有目的地引導(dǎo)學(xué)生細(xì)致閱讀數(shù)學(xué)題目，學(xué)會(huì)提取題目中的有效信息，剖析題目中各種隱含的條件，在正確理解題意的基礎(chǔ)上，將所學(xué)的公式、定理與教學(xué)情境有機(jī)重組，從而形成正確的解題思路。案例3：已知關(guān)于x的方程（m-1）x2+x+3=0有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍。典型錯(cuò)誤：方程有實(shí)數(shù)根；b2-4ac=-4（m-1）×30，解得m；m-10，解得m1；m的取值范圍是m且m1。分析：從學(xué)生答題情況看，學(xué)生解題思路較全面，懂得用根的判別式去求m的取值范圍，同時(shí)也考慮到x 的二次項(xiàng)系數(shù)m-1

6、0。但學(xué)生審題時(shí)已出現(xiàn)明顯偏差：第一，題中沒(méi)有明確表示該方程是一元二次方程，因此它可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程。而學(xué)生解題思路是從一元二次方程的角度來(lái)求解；該方程如果不是一元二次方程，即m-1=0時(shí)就變成一元一次方程，也是可行的。第二，學(xué)生忽略了題目中的一個(gè)隱含條件：二次根式的被開(kāi)方數(shù)2m必須大于或等于0，而學(xué)生沒(méi)有考慮到2m0，因此解題時(shí)對(duì)m的限制不全面。對(duì)策：教學(xué)中，在學(xué)生深入理解一元二次方程根的判別式概念的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)注重解題思路的引導(dǎo)，針對(duì)判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，以精選的例題、習(xí)題為載體，引導(dǎo)學(xué)生不同角度思考問(wèn)題，感受新知是舊知的自然延伸，從而建立合理的邏輯過(guò)程，提升學(xué)生

7、對(duì)一元二次方程的解題能力。實(shí)踐證明，掌握正確的數(shù)學(xué)解題思路，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果事半功倍。教師重視數(shù)學(xué)教學(xué)中分析問(wèn)題和解決問(wèn)題時(shí)思維過(guò)程的層層揭示，學(xué)生通過(guò)自主探究，逐步學(xué)會(huì)把數(shù)學(xué)概念、定理內(nèi)化成自身獨(dú)特的知識(shí)建構(gòu)與感悟，形成一定的解題能力，做到舉一反三。三、學(xué)生知識(shí)遷移能力不夠“生活中處處有數(shù)學(xué)”。一元二次方程的應(yīng)用是我們解決實(shí)際問(wèn)題的一種有效途徑，教學(xué)中，教師根據(jù)學(xué)生學(xué)情，積極創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，將題目中隱含著的數(shù)量關(guān)系抽象成一元二次方程，不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)遷移能力。案例4：在某次同學(xué)聚會(huì)上，每?jī)扇宋找淮问?，所有人共握?5次，問(wèn)：有多少人參加這次聚會(huì)？典型錯(cuò)誤：設(shè)有x個(gè)人參加聚會(huì)，列出方程：x（

8、x-1）=15。分析：“握手問(wèn)題”是應(yīng)用題中常見(jiàn)的一種題型。學(xué)生已經(jīng)掌握一元二次方程概念、解法等基礎(chǔ)知識(shí)，但如何將這些知識(shí)充分應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中，有的學(xué)生無(wú)從下手，不能根據(jù)題意確定等量關(guān)系后列出正確的一元二次方程。對(duì)策：“握手問(wèn)題”貼近學(xué)生生活，教師分析其解題思路時(shí)，先請(qǐng)兩位同學(xué)上臺(tái)互相握手演示，大家很容易就領(lǐng)悟到甲與乙握手是相互的，甲與乙握手的同時(shí)，乙與甲也握手了，兩人相互握手算一次。接著教師請(qǐng)3位、4位、5位同學(xué)上臺(tái)演示，這樣學(xué)生就對(duì)重復(fù)握手有了更為直觀的認(rèn)識(shí)。然后教師通過(guò)問(wèn)題教學(xué)法不斷打開(kāi)學(xué)生的解題思路：先假設(shè)這次聚會(huì)有x個(gè)人，那么甲與其他人握了幾次手？學(xué)生很快得出結(jié)論：（x-1）次；每個(gè)

9、人都握了（x-1）次，則x個(gè)人總共握手多少次？學(xué)生思考后得出結(jié)論： x（x-1）次；甲與乙握手的同時(shí)，乙與甲握手了嗎？通過(guò)上述三個(gè)問(wèn)題的層層引入，學(xué)生完全理解題意。最后找出已知量、未知量，確定等量關(guān)系，列出方程：x（x-1）=15。在學(xué)生充分理解“握手問(wèn)題”實(shí)質(zhì)的基礎(chǔ)上，教師將“握手問(wèn)題”加以變式，例如：足球循環(huán)賽、互送禮物、多邊形對(duì)角線等問(wèn)題的設(shè)置，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力與數(shù)學(xué)知識(shí)遷移能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識(shí)遷移能力，有針對(duì)性地選擇趣味性與實(shí)用性較強(qiáng)的例題與習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，親身體驗(yàn)運(yùn)用一元二次方程模型解決實(shí)際問(wèn)題的樂(lè)趣。與此同時(shí)，教師應(yīng)該加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)：抽象出實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程解方程驗(yàn)證，及時(shí)捕捉學(xué)生解題中常常出現(xiàn)的錯(cuò)題，引領(lǐng)學(xué)生不斷地在糾錯(cuò)、改錯(cuò)過(guò)程中多角度類(lèi)比、演變、重組，建構(gòu)正確的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升數(shù)學(xué)思維的靈活性。總而言之，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解題錯(cuò)誤是一種正常現(xiàn)象，也是一種珍貴的教學(xué)資源。教