2022年銳角三角函數(shù)單元復(fù)習(xí)與鞏固

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載銳角三角函數(shù)單元復(fù)習(xí)與鞏固一、目標(biāo)與策略明確學(xué)習(xí)目標(biāo)及主要的學(xué)習(xí)方法是提高學(xué)習(xí)效率的首要條件，要做到心中有數(shù)！學(xué)習(xí)目標(biāo)：明白銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確應(yīng)用sina 、cosa、tana 表示直角三角形中兩邊的比；記憶30°、 45°、60°的正弦、余弦和正切的函數(shù)值，并會(huì)由一個(gè)特別角的三角函數(shù)值說(shuō)出這個(gè)角；能夠正確地使用運(yùn)算器，由已知銳角求出它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角；懂得直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會(huì)用解直角三角形的有關(guān)學(xué)問(wèn)解

2、決簡(jiǎn)潔的實(shí)際問(wèn)題；通過(guò)銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步熟悉函數(shù)，體會(huì)函數(shù)的變化與對(duì)應(yīng)的思想，通過(guò)解直角三角的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，并結(jié)合實(shí)際問(wèn)題對(duì)微積分的思想有所感受重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的概念和直角三角形的解法 難點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的概念復(fù)習(xí)策略：本章由銳角三角函數(shù)和解直角三角形兩節(jié)構(gòu)成；銳角三角函數(shù)以相像三角形為基礎(chǔ)進(jìn)行學(xué)習(xí)，解直角三角形以銳角三角函數(shù)和勾股定理為基礎(chǔ)進(jìn)行學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中不斷地綜合直角三角形的有關(guān)學(xué)問(wèn)；二、學(xué)習(xí)與應(yīng)用“凡事預(yù)就立，不預(yù)就廢” ；科學(xué)地預(yù)習(xí)才能使我們上課聽(tīng)講更有目的性和針對(duì)學(xué)問(wèn)框圖通過(guò)學(xué)問(wèn)框圖，先對(duì)本單元學(xué)問(wèn)要點(diǎn)有一個(gè)總體熟悉；學(xué)問(wèn)要點(diǎn)梳理仔

3、細(xì)閱讀、懂得教材，嘗試把以下學(xué)問(wèn)要點(diǎn)內(nèi)容補(bǔ)充完整，如有其它補(bǔ)充可填在右欄空白處；具體內(nèi)容請(qǐng)參看網(wǎng)校資源id ： #tbjx6#302229學(xué)問(wèn)點(diǎn)一：銳角三角函數(shù)（一）正弦、余弦、正切的定義如右圖、在 rtabc 中， c=900，假如銳角 a 確定：bc（ 1）sina=，這個(gè)比叫做 a 的a（ 2）cosa=，這個(gè)比叫做 a 的cba（ 3）tana=，這個(gè)比叫做 a 的 要點(diǎn)詮釋：（ 1 ）正弦、余弦、正切是在一個(gè)直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段的，它只是一個(gè)，其大小只與銳角的有關(guān)，而與所在直角三角形的大小無(wú)關(guān)（ 2）sina 、cosa、tana 是一個(gè)整體符號(hào)，即表示a 四個(gè)三角函

4、數(shù)值，書(shū)寫(xiě)時(shí)習(xí)慣上省略符號(hào)“” ，但不能寫(xiě)成 sin ·a ，對(duì)于用三個(gè)大寫(xiě)字母表示一個(gè)角時(shí)，其三角 函數(shù)中符號(hào)“”不能省略，應(yīng)寫(xiě)成sin bac ，而不能寫(xiě)出 sinbac （ 3）sin2a 表示 sina 2，而不能寫(xiě)成sina 2（ 4）三角函數(shù)有時(shí)仍可以表示成sin,cos等（二） 銳角三角函數(shù)的定義銳角 a 的正弦、余弦、正切都叫做 a 的銳角三角函數(shù) 要點(diǎn)詮釋：對(duì)于銳角 a 的每一個(gè)確定的值， sina 有唯獨(dú)確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以 sina 是 a 的函數(shù)同樣， cosa、tana 也是 a 的函數(shù)，其中 a 是自變量， sina 、cosa、tana 分別是對(duì)應(yīng)的函

5、數(shù) 其中自變量 a 的取值范疇是 °< a<°，函數(shù)值的取值范疇是 <sina<， <cosa<， tana> （三）銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：余角三角函數(shù)關(guān)系： “正余互化公式”如 a+ b=90°， 那么：sina=cos； cosa=sin；同角三角函數(shù)關(guān)系： sin2a cos2 a=；= sin acosa（四） 30 、45 、60 角的三角函數(shù)值 a30°45°60°sinacosatanaa60 °kc ak2k30°3 kb2k要點(diǎn)詮釋：45 °c

6、kb30o、45o、60o角的三角函數(shù)值和解30o、60o 直角三角形和解 45o 直角三角形為本章重中之重，是幾何運(yùn)算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數(shù)值記嫻熟學(xué)問(wèn)點(diǎn)二：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形 解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：角角關(guān)系：兩銳角互余，即a+ b=°；2邊邊關(guān)系：勾股定理，即ab；2邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即sin a. ,cos a. , tan a.sin b. ,cos b. , tan b.要點(diǎn)詮釋：解直角三角形，可能顯現(xiàn)的情形歸納起來(lái)只有以下兩種情形：（ 1）已知兩條邊（始

7、終角邊和一斜邊；兩直角邊）；（ 2）已知一條邊和一個(gè)銳角（始終角邊和一銳角；斜邊和一銳角）這兩種情形的共同之處：有一條邊因此，直角三角形可解的條件是：至少已知學(xué)問(wèn)點(diǎn)三：解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的學(xué)問(wèn)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān) 鍵（一）解這類問(wèn)題的一般過(guò)程是：（ 1）弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念， 然后依據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型（ 2）將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的問(wèn)題（ 3）依據(jù)直角三角形（或通過(guò)作垂線構(gòu)造直

8、角三角形）元素（邊、角）之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形（ 4）得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問(wèn)題的解（二）常見(jiàn)應(yīng)用問(wèn)題：（ 1）坡度： i1: mh ltan； 坡角：（ 2）方位角：（ 3）仰角與俯角：經(jīng)典例題自主學(xué)習(xí)仔細(xì)分析、解答以下例題，嘗試總結(jié)提升各類型題目的規(guī)律和技巧，然后完成舉一反三；如有其它補(bǔ)充可填在右欄空白處；更多出色請(qǐng)參看網(wǎng)校資源id ：#jdlt0#302229類型一：銳角三角函數(shù)本專題主要包括銳角三角函數(shù)的意義、銳角三角函數(shù)關(guān)系及銳角三角函數(shù)的增減 性和特別角三角函數(shù)值，都是中考中的熱點(diǎn)明確直角三角形中正弦、余弦、正切的 意義，熟記 30°

9、、45°、60°角的三角函數(shù)值是基礎(chǔ)，通過(guò)運(yùn)算器運(yùn)算知道正弦、正切隨角度增大而增大，余弦隨角度增大而減小例 1 在 rtabc 中， acb=9°0sinabc（）， cd ab 于點(diǎn) d，已知 ac5 ， bc=2，那么a 53b 23c 25d 552思路點(diǎn)撥： 由于 abc 在 rt abc 和 rt bcd 中，又已知 ac 和 bc，故只要求出ab 或 cd 即可解析：解法 1：解法 2：總結(jié)升華：例 2 運(yùn)算：（ 1） sin 45o cos60osin30o；o（ 2）銳角 a 滿意 2sin a15 3 ，就 a=解析：總結(jié)升華：例 3 已知為銳角

10、，sin3，求 tan5思路點(diǎn)撥： 作始終角三角形，使為其一銳角，把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，借助勾股定理，表示出第三邊，再利用三角函數(shù)定義便可求出，或利用sin2cos21 求出 cos，再利用解析： 解法 1：解法 2：總結(jié)升華：tansin cos，即可求出類型二：解直角三角形解直角三角形是中考的重要內(nèi)容之一，直角三角形的邊角關(guān)系的學(xué)問(wèn)是解直角三角形的基礎(chǔ)解直角三角形時(shí)，留意三角函數(shù)的挑選使用，防止運(yùn)算麻煩，化非直角三角形為直角三角形問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)例 4已知：如下列圖，在 abc 中， c=90°，點(diǎn) d 在 bc 上， bd=4 ， ad=bc ，3cosadc5求：（1）d

11、c 的長(zhǎng)；（ 2）sinb 的值思路點(diǎn)撥： 題中給出了兩個(gè)直角三角形，dc 和 sin b 可分別在 rtacd 和 rt abc中求得，由 ad=bc ，圖中 cd=bc - bd ，因此可列方程求出cd 解析：總結(jié)升華：舉一反三【變式 1】如下列圖，在梯形 abcd 中， ad bc，ca 平分 bcd，de ac，交 bc的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e， b2e （ 1）求證： ab=dc ；（ 2）如 tan b2 ， ab5 ，求邊 bc 的長(zhǎng)思路點(diǎn)撥： 要證 ab=dc ，只需證明abc=bcd 由 ac de，ad bc，可得四邊 形 adec為 平 行 四 邊 形 ， 所 以 e= dac 由

12、 ca平 分 bcd ， 可 得 bcd=2 bca=2 e，所以 b= bcd，問(wèn)題得證，由（ 1）可知 ad=cd=5 ，過(guò)點(diǎn) a 作 af bc，在 rtabf ，可求得 bf=1 ，所以 bc解析：25 【變式 2】已知：如下列圖， p 是正方形 abcd 內(nèi)一點(diǎn)，在正方形 abcd 外有一點(diǎn) e，滿意 abe= cbp， be=bp （ 1）求證： cpb aeb ；（ 2）求證： pb be；（ 3）pa：pb=1 ：2， apb=13°5 ，求 cospae 的值思路點(diǎn)撥：（1）在 cpb 和 aeb 中，pbc= abe ，bp=be ，要證 cpbc aeb ， 只

13、要 bc=ab 即可，而四邊形 abcd 恰好是正方形， 所以得證（ 2）只要證 pbe=90°，而 abc=9°0 ，即證出（3）要求 cospae 的值，需判定 pae 所在的三角形是否是 直角三角形，因此需連結(jié)pe，借助（ 1）（ 2），求出 pbe= 90o ，而 apb=13°5 ，因此 ape=90° 解析：類型三：利用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題直角三角形應(yīng)用特別廣泛，是中考的重要內(nèi)容之一近年來(lái)，各地中考試題為表達(dá)新課標(biāo)理念，設(shè)計(jì)了很多面目新奇、創(chuàng)意豐富的新型考題運(yùn)用解直角三角形的學(xué)問(wèn)解決與生活、生產(chǎn)相關(guān)的應(yīng)用題是近幾年中考的熱點(diǎn)雖然解直角三角的應(yīng)

14、用題題型千變?nèi)f化，但設(shè)法查找或構(gòu)造出可解的直角三角形是解題的關(guān)鍵例 5 如下列圖，在一個(gè)坡角為15°的斜坡上有一棵樹(shù)，高為ab ，當(dāng)太陽(yáng)光與水平線成 50°角時(shí)，測(cè)得該樹(shù)在斜坡的樹(shù)影bc 的長(zhǎng)為 7 m，求樹(shù)高（精確到 0.1m）思路點(diǎn)撥： 樹(shù)所在直線垂直于地面，因此需延長(zhǎng)ab 交水平線于一點(diǎn) d，就 ad cd ，在 rt bcd 中，bc=7m ， bcd=1°5 ，所以求出 cd 、bd而在 rtacd 中， acd=5°0 ，利用 tan解析：總結(jié)升華：acdad求出 ad ，所以 ab=ad - bd 即可求出cd舉一反三：【變式 1】高為 1

15、2.6 米的教學(xué)樓 ed 前有一棵大樹(shù) ab （如下列圖） （ 1）某一時(shí)刻測(cè)得大樹(shù)ab 、教學(xué)樓 ed 在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)分別是bc=2.4 米，df=7.2 米，求大樹(shù) ab 的高度（ 2）用皮尺、高為h 米的測(cè)角儀，請(qǐng)你設(shè)計(jì)另一種測(cè)量大樹(shù)ab 高度的方案，要求：在下圖中，畫(huà)出你設(shè)計(jì)的測(cè)量方案示意圖，并將應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)在圖上（長(zhǎng)度用字母 m、n 表示，角度用希臘字母、表示）；依據(jù)你所畫(huà)的示意圖和標(biāo)注的數(shù)據(jù)，運(yùn)算大樹(shù)ab 的高度（用字母表示） 思路點(diǎn)撥： 此題主要考查解直角三角形的有關(guān)學(xué)問(wèn)，并且讓同學(xué)依據(jù)所供應(yīng)的信息設(shè)計(jì)測(cè)量方案 解析：總結(jié)升華：【變式 2】2021 年 6 月以來(lái)某省普降大雨，時(shí)

16、有山體滑坡災(zāi)難發(fā)生北峰學(xué)校教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)土坡，坡上面是一塊平地，如下列圖，af bc，斜坡 ab 長(zhǎng) 30米，坡角 abc=6°5為了防止滑坡，保證安全，學(xué)校打算對(duì)該土坡進(jìn)行改造，經(jīng)過(guò)地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過(guò)45°時(shí)，可以確保山體不滑坡（ 1）求坡頂與地面的距離ad 等于多少米？（精確到0.1 米）（ 2）為確保安全， 學(xué)校方案改造時(shí)保持坡腳b 不動(dòng)，坡頂 a 沿 af 削進(jìn)到 e 點(diǎn)處， 求 ae 至少是多少米？（精確到0.1 米）解析：類型四：銳角三角形函數(shù)與斜三角形例 6 數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小敏、小穎分別畫(huà)出了abc 和 def，數(shù)據(jù)如下列圖，假如把小敏畫(huà)的三角形

17、面積記作s abc ，小穎畫(huà)的三角形面積記作s def，那么（）a s abcs defb. s abcs defc. s abcs defd. 不能確定解析：總結(jié)升華：舉一反三：【變式 1】已知如下列圖，（ 1）當(dāng) abc 為銳角三角形時(shí)， ab 為最長(zhǎng)邊，三邊分別為a、b、c，試判定a2b2 與 c2 的大小關(guān)系用 a、b、c，表示出 cosb（ 2）當(dāng) abc 為鈍角三角形時(shí)， c 為鈍角，判定a222b 與 c 的大小關(guān)系？用 a、b、c 表示 cosb思路點(diǎn)撥： 解此類問(wèn)題需作高線構(gòu)造直角三角形，通過(guò)觀看發(fā)覺(jué)構(gòu)造的兩直角三角形有一條公共邊，借助它列方程，設(shè)cd=x ，就在圖（ 1）中

18、 bdax ，圖（ 2）中222bdax ， 就 圖 （ 1 ） 方 程 為 bx22c ax 圖 （ 2 ） 方 程 為222bxc ax ，先求出 x ，再進(jìn)一步求 cosb 解析：三、總結(jié)與測(cè)評(píng)要想學(xué)習(xí)成果好，總結(jié)測(cè)評(píng)少不了！課后復(fù)習(xí)是學(xué)習(xí)不行或缺的環(huán)節(jié)，它可以幫忙我們鞏固學(xué)習(xí)成效，補(bǔ)償學(xué)問(wèn)缺漏，提高學(xué)習(xí)才能；總結(jié)規(guī)律和方法強(qiáng)化所學(xué)仔細(xì)回憶總結(jié)本部分內(nèi)容的規(guī)律和方法，嫻熟把握技能技巧；相關(guān)內(nèi)容請(qǐng)參看網(wǎng)校資源id ：#tbjx10#302229 ；（一） 解直角三角形的常見(jiàn)類型及解法三角形類型已知和解法已知條件解法步驟由 tan aa求 a，b兩直角邊（ a，b） b=90° a

19、，22cab兩邊rt abc由sin aa求 a，c斜邊，始終角邊（如c，a） b=90° a，22bca銳角、鄰邊 b=90° a，b一始終角邊（如 a， b）ab tan a ， ccosa邊和一銳角銳角、對(duì)邊 b=90° a，一（如 a， a）角ca， b sin aa tan a b=90° a，斜邊、銳角（如 c， a）（二）用解直角三角形的學(xué)問(wèn)解決實(shí)際問(wèn)題的基本方法是：ac sin a ， bccos a把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題（解直角三角形），就是要舍去實(shí)際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形（點(diǎn)、線、角等）以及圖形之間的大小或位置關(guān)系借助生活常識(shí)以及課本中一些概念（如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等）的意義，也有助于把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角三角形再求解（三）銳角三角函數(shù)的應(yīng)用用相像三角形邊的比的運(yùn)算具有一般性，適用于全部外形的三角形，而三角函數(shù)的運(yùn)算是在直角三角形中解決問(wèn)題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過(guò)程簡(jiǎn)潔；如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函數(shù)值相等進(jìn)行代換很簡(jiǎn)潔： sin1bdsinabcbcabc bc2bdab 21 sin2adsinbacacab ac2ad ab