三角形內(nèi)有關(guān)角的三角函數(shù)恒等式的證明(20211125090728)

1、三角形內(nèi)有關(guān)角的三角函數(shù)恒等式的證明張思明課型和教學(xué)模式：習(xí)題課，“ 導(dǎo)學(xué)探索，自主解決” 模式教學(xué)目的：（1）掌握利用三角形條件進(jìn)行角的三角函數(shù)恒等式證明的主要方法，使學(xué)生熟悉三角變換的一些常用方法和技巧（如定向變形，和積互換等）。（2）通過自主的發(fā)現(xiàn)探索，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散、創(chuàng)造的思維習(xí)慣和思維能力，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合、特殊一般轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。并利用此題材做學(xué)法指導(dǎo)。（3）通過個(gè)人自學(xué)、小組討論、互相啟發(fā)、合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生自主與協(xié)作相結(jié)合的學(xué)習(xí)能力和敢于創(chuàng)新，不斷探索的科學(xué)精神。教學(xué)對(duì)象：高一（5）班教學(xué)設(shè)計(jì)：一引題：（ a，b 環(huán)節(jié)）11 復(fù)習(xí)提問：在三角形條件下，你能說出哪些有關(guān)角的三角恒等式？

2、擬答：，這些結(jié)果是誘導(dǎo)公式，的特殊情況。12 今天開始的學(xué)習(xí)任務(wù)是解決這類問題：在三角形條件下，有關(guān)角的三角恒等式的證明。學(xué)習(xí)策略是先分若干個(gè)學(xué)習(xí)小組（四人一組），分頭在課本p233-p238 ，p261-266 的例題和習(xí)題中，找出有三角形條件的所有三角恒等式。13 備考：期待找出有關(guān)abc 內(nèi)角 a、b、c 的三角恒等式有：（1）p233 ：例題 10：sina+sinb+sinc=4cosa/2cosb/2cosc/2 (2)p238: 習(xí)題十七第6 題： sina+sinb-sinc=4sina/2sinb/2cosc/2. (3) cosa+cosb+cosc=1+4sina/2si

3、nb/2sinc/2. (4) sin2a+sin2b+sin2c=4sinasinbsinc. (5)cos2a+cos2b+cos2c=-1-4cosacosbcosc. (6)p264: 復(fù)參題三第22 題： tga+tgb+tgc = tgatgbtgc. (7)也許有學(xué)生會(huì)找出:p264- （23）但無妨。14 請(qǐng)各組學(xué)生分工合作完成以上恒等式的證明：提示：建議先自學(xué)例題10，注意題目之間的聯(lián)系，以減少證明的重復(fù)勞動(dòng)。二第一層次的問題解決（c，d 環(huán)節(jié)）21 讓一個(gè)組上黑板，請(qǐng)學(xué)生自主地挑出有“ 代表性 ” 的 3 題（不超過3 題）書寫證明過程。然后請(qǐng)其他某一個(gè)組評(píng)判或給出不同的證

4、法。證法備考：（ 1）左到右：化積 - 提取 - 化積。（2）左到右：化積- 提取- 化積 sin(a+b)/2=cosc/2 (3) 左到右：化積 -留“1”提取 -化積（4）左到右：化積-提取 - 化積 sin2c=sin2(a+b) (5) 左到右：（6）左到右： tga+tgb=tg(a+b)(1-tgatgb) (7) 左到右：通分后利用（4）的結(jié)果22 教師注意記錄學(xué)生的“ 選擇 ” ，問：為什么認(rèn)為你們的選擇有代表性？體現(xiàn)學(xué)法的 “ 暗導(dǎo) ” 。選擇的出發(fā)點(diǎn)可以多種多樣，如從品種、不同的證法、邏輯源頭等考慮。23 另一組學(xué)生判定結(jié)果或給出其他解法，（解法可能多樣。）也可對(duì)前一組學(xué)

5、生所選擇書寫的“ 例題 ” 的“ 代表性 ” 進(jìn)行評(píng)價(jià)。教師記錄之。注意學(xué)生的書寫中的問題（不當(dāng)?shù)奶降?）。24 其他證法備考：1如右到左用積化和差，（略）2利用已做的習(xí)題：先一般后特殊 3幾何直觀：左式右式由此得證（ 4）圖 1 4用/2-a/2 ，/2-b/2 ，/2-c/2 代換 a，b，c（仍保持三個(gè)角之和為）可速由 （4）推出（1）；由（5）推出（ 2）三探索發(fā)現(xiàn)練習(xí)（回朔與e 環(huán)節(jié)）31 請(qǐng)學(xué)生以小組為單位通過觀察、聯(lián)想、對(duì)比、猜想、發(fā)現(xiàn)解決以下幾項(xiàng)任務(wù)（1）找出更多的三角恒等式。（2）用發(fā)散的方式尋求更多的結(jié)果?？梢宰灾骺隙ǖ慕Y(jié)論記為“ 定理 ” ，還不能肯定的結(jié)論暫記為“ 猜

6、想 ”32 小組活動(dòng) 10 分鐘后，組代表上前表述“ 發(fā)現(xiàn) ” ，交流結(jié)果。33 教師注意記錄學(xué)生的發(fā)現(xiàn)結(jié)果，挖掘“ 再發(fā)現(xiàn) ” 的潛力。34 結(jié)果的 “ 予儲(chǔ) ”（1）結(jié)果一般化：如對(duì) cos, tg 亦有類似結(jié)果 （2）變維發(fā)散三角形變四邊形，如對(duì)四邊形abcd 有，sina+sinb+sinc+sind=4sin(a+b)/2*cos(a-b)/2+cos(c-d)/2 =4sin(a+b)/2*cos(a+c-b-d)/4*cos(a+d-b-c)/4 =sin(a+b)/2*sin(b+c)/2*sin(c+a)/2 兩邊換成 cos 亦正確進(jìn)一步可探索四邊形abcd 是平行四邊形或

7、是圓內(nèi)接四邊形時(shí)的相應(yīng)結(jié)論。（3）逆序發(fā)散：如對(duì)（ 6），原等式成立，能推出a+b+c=嗎？舉反例可知不行，可推出a+b+c=k，k 是整數(shù)。（4）變形式發(fā)散：再如對(duì)偶聯(lián)想：上面的式子該成cos 怎樣？ （5）批判式的發(fā)散：等式的反面是不等式，可以思考在三角形條件下有哪些三角函數(shù)的不等式？如對(duì)銳角三角形abc ，有 sina+sinb+sinccosa+cosb+cosc sinasinbsinccosacosbcosc。對(duì)一般三角形tga+tgb+tgc=ctga+ctgb+ctgc 恒不成立 特別注意記錄 “ 意外 ” 。35 評(píng)論與小結(jié)：請(qǐng)學(xué)生評(píng)述本課解決的問題、自認(rèn)為用到的重要方法和得到重要結(jié)果、并做小結(jié)。教師記錄補(bǔ)充（與學(xué)生互補(bǔ)之）-重點(diǎn)是學(xué)法和思維方法：怎樣復(fù)習(xí)，怎樣提高做題的效率，怎樣學(xué)會(huì)“ 舉一反三 ” ，怎樣用發(fā)散思維的方式提出問題 。36 作業(yè)： a 類：閱讀 p257-p261 b 類：（ 1）選擇學(xué)生課上提出的三個(gè)結(jié)果，給出證明或證偽。（2）改寫或重寫本章的小結(jié)（參看p257-p261 ），補(bǔ)充在本章的學(xué)習(xí)過程中你認(rèn)為重要的方法、技巧和自