第二節(jié)第二類曲線積分

1、第二節(jié)一、對坐標的曲線積分的概念一、對坐標的曲線積分的概念 與性質(zhì)與性質(zhì)二、二、 對坐標的曲線積分的計算法對坐標的曲線積分的計算法 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 第二類（對坐標）曲線積分 第十一章 一、一、 第二類（對坐標）曲線積分的概念與性質(zhì)第二類（對坐標）曲線積分的概念與性質(zhì)1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點受如下變力作用在 xoy 平面內(nèi)從點 A 沿光滑曲線弧 L 移動到點 B, ABLxy求移cosABFW “分割” “近似”“求和” “取極限”常力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxF

2、1kMkMABxy1) 分割分割 “大化小大化小”.2) 近似近似 “常代變常代變”L把L分成 n 個小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk則有kkkkyQxP),(),(kk所做的功為,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1則用有向線段 kkMM1kkMM1上任取一點在kykx3) 求和求和 “近似和近似和”4) “取極限取極限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中 為 n 個小弧段的 最大長度)2. 定義定義. 設(shè) L 為xoy 平面內(nèi)從

3、 A 到B 的一條有向光滑有向光滑弧弧,若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點, 都存在,在有向曲線弧 L 上對坐標的曲線積分坐標的曲線積分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分第二類曲線積分. 其中, ),(yxPL 稱為積分弧段積分弧段 或 積分曲線積分曲線 .稱為被積函數(shù)被積函數(shù) , 在L 上定義了一個向量函數(shù)極限),(, ),(),(yxQyxPyxF記作),(yxF),(yxQLxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若 為空間曲線弧 , 記稱為

4、對 x 的曲線積分;稱為對 y 的曲線積分.若記, 對坐標的曲線積分也可寫作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 類似地, （1）所謂“對坐標的曲線積分”，有兩個特征： 積分和是在有向曲線弧L上作出的； 積分和中的微元素是有向小弧段所對應(yīng)的關(guān)于 坐標x和y 的增量。說明：說明：即被積表達式中的微分是關(guān)于坐標x和y的微分。（2）當P (x , y) , Q (x , y)在有向光滑曲線弧L上連續(xù)，第二類曲線積分都存在。 Lx

5、dyxP),(iniiixP 10),(lim3. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 若 L 可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 則LyyxQxyxPd ),(d ),(LyyxQxyxPd ),(d ),(則 定積分是第二類曲線積分的特例.說明說明: : 對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向方向 ! 第一類曲線積分中的不等式保號性質(zhì)在此不成立 Lxdyxf),(,),(lim10iniiixf 1 iiixxx 可正可負?？烧韶?。在中二、對坐標的曲線積分的計算法二、對坐標的曲線積分的計

6、算法定理定理:),(, ),(yxQyxP設(shè)在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為)()(tytx,:t則曲線積分存在, 且有LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ連續(xù),即動點從 L 的起點A沿 L 的方向運動到終點B時，對應(yīng)參數(shù)設(shè)分點證明：根據(jù)定義ix,it),(ii點,i由于1iiixxx)()(1iittiit)(LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(, )(limiit)(niiiP10)(, )(limiit)()(tLxyxPd),(niiiixP10),(lim對應(yīng)參數(shù)連續(xù)所以)(t因為L 為光滑弧 ,同理可

7、證LyyxQd),(tttQd )(),()(t計算的理解與應(yīng)用,)( )()( )(,),(),() 1 ( dd dd dd ttytyttxtxyyxQxyxPL只要將計算 :,，即計算定積分不一定小于，與起點、終點對應(yīng)的參數(shù)上下限取代入上式LttttQtttPd)( )(),()( )(),(即可（2） 如果 L 的方程為,:),(baxxy則LyyxQxyxPd),(d),(xxxQxxPbad )(,)(,)(x（3） 如果 L 的方程為,:),(dcyyx則LyyxQxyxPd),(d),(dcydyyQyyyP),()(),(（4）對空間光滑曲線弧 :類似有zzyxRyzyxQ

8、xzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx,)()(:)5(xzxy ax起點起點 A， bx終點終點 B,)(xdxdy,)(xdxdzRdzQdyPdxbaxxxP)(),(,)()(),(,xxxxQdxxxxxR)()(),(,例例1. 計算,dLxyx其中L 為沿拋物線xy 2解法解法1 取 x 為參數(shù), 則OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112x

9、yxy 解法解法2 取 y 為參數(shù), 則11:,:2yyxL54d2114yy從點xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx例例2. 計算其中 L 為,:, 0aaxyyBAoaa x(1) 半徑為 a 圓心在原點的 上半圓周, 方向為逆時針方向;(2) 從點 A ( a , 0 )沿 x 軸到點 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的參數(shù)方程為,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程為xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00則則 特點

10、：路徑不同積分結(jié)果不同.yxo例例3. 計算,dd22yxxyxL其中L為(1) 拋物線 ; 10:,:2xxyL(2) 拋物線 ;10:,:2yyxL(3) 有向折線 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式y(tǒng)yy222yy d5104(3) 原式y(tǒng)xxyxOAdd22102d)002(xxx1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210d)102(yy11特點：特點：路徑不同而積分結(jié)果相同路徑不同而積分結(jié)果相同.解解 直線段直線段AB的方程是的方程是;123zyx 化為參數(shù)方程得化為參數(shù)方程得.

11、01,2,3變到從ttztytx例例 4 計算計算其中,3223ydzxdyzydxx從點從點A（3，2，1）到點）到點B（0，0，0的直線段的直線段AB。是是所以所以ydzxdyzydxx2233012232)3(2)2(33)3(dtttttt01387dtt487例例5. 設(shè)在力場作用下, 質(zhì)點由沿移動到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB解解: (1)zzyxxydddttkR2022d)(2) AB 的參數(shù)方程：kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20dBAzyx試求力場對質(zhì)點所作的功.;,sin,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk 222

12、k其中為),(zxyFsFWdsFWdozyx例例6. 求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,2122zyxyx從 z 軸正向看為順時針方向.解解: 計算的關(guān)鍵是計算的關(guān)鍵是取 的參數(shù)方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(cos)sin)(cos2(tt 2起點終點兩類曲線積分的區(qū)別兩類曲線積分的區(qū)別：共同點：共同點：和式的極限，和式的極限均要求兩個 無關(guān)性（與曲線的分法和點的取法無關(guān)）注意：注意：兩者計算時對積分上下限的要求不同點：不同點：和式中乘積項的一個因子不同，一個是 小弧段的

13、弧長，也即對弧長求和，與曲線定向 無關(guān)；另一個是小弧段在坐標軸上的投影，即 小弧段對應(yīng)有向弦的坐標，因而是對坐標求 和，與曲線定向有關(guān)。三、三、 兩類曲線積分之間的聯(lián)系兩類曲線積分之間的聯(lián)系 1、 兩類曲線積分之間的聯(lián)系公式為:LLsQPyQxPd)coscos(ddbaBAtytxLBAL、對應(yīng)參數(shù)為、終點的起點有向曲線弧設(shè)說明 )()(:) 1 (:該曲線弧L上的一動點的切向量: )( ),( ttt處切線向量的方向角上為、),(yxL方向與參數(shù) t 增大時動點移動的走向一致切向量的方向余弦：22( )cos ( ) ( )ttt22( )cos ( ) ( )ttt由對坐標的曲線積分計算

14、公式:d( )dxtt22cos( )( ) dtttcosdsd( )dytt22cos( )( ) dtttcosdsddLPxQy所以(coscos)dLPQs)(),(ttT 為動點 ( x , y ) 處的一個切向量類似地, 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯(lián)系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令tAsAtd, ),(RQPA )d,d,(ddzyxs )cos,cos,(cost sA d sA dstAd記 A 在 t 上的投影為有向曲線弧某動點的單位切向量有向曲線元二者夾角為 例例7. 設(shè),max22QPM曲線段 L 的長度為s, 證明),(, ),(yxQyxP續(xù)

15、,sMyQxPLdd證證:LyQxPddsQPLdcoscos設(shè)sMsQPLdcoscos說明說明: 上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連 )cos,(cos, ),(tQPAstALdsALdcos例例8. .將積分yyxQxyxPLd),(d),(化為對弧長的積分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到從解：解：oyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圓周解：解： RdzQdyPdx)3,2, 1()3

16、 ()2(112222tttt)(),(),(tttT )3,2, 1(2tt 其中，其中，32,:tztytx 相應(yīng)于相應(yīng)于 t 從從 1 變到變到 0 的一段曲線弧的一段曲線弧例例9：將將化為第一類曲線積分化為第一類曲線積分注意注意 的方向是對應(yīng)于的方向是對應(yīng)于 t 從從 1變到變到 0 ， 故與故與 方向一致的切向量為方向一致的切向量為)3,2, 1(941122yxyx RdzQdyPdx sdRQP)coscoscos(229411(yxP229412yxxQsdyxyR)941322sdyxyRxQP22941321. 定義kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQx

17、yxPd),(d),(2. 性質(zhì)(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)3. 計算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對有向光滑弧 對有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(zzyxRyzyx

18、QxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 兩類曲線積分的聯(lián)系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 對空間有向光滑弧 : F原點 O 的距離成正比,思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)一個質(zhì)點在),(yxM處受恒指向原點,)0,(aA沿橢圓此質(zhì)點由點12222byax沿逆時針移動到, ),0(bB),(yxMxyo)0 ,(aA), 0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t, ),(yxOM F 的大小與M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. ),(yxkFF),(xyk -思考思考: 若題中F 的方向 改為與OM 垂直且與 y 軸夾銳角,則 )0