專題五解析幾何的知識點整理歸納

1、專題五解析幾何知識點歸納1. 直線的傾斜角與斜率直線的傾斜角的范圍：0,)直線的傾斜角與斜率關(guān)系: ktan(其中)2規(guī)律：當(dāng)(0,)時 ， k0, 傾斜角越大，斜率越大，反之亦成立2當(dāng)(, )時 ， k0, 傾斜角越大，斜率越大，反之亦成立2當(dāng)0 時，斜率 k0 ，當(dāng)時，沒有斜率2y1y2 (其中 x1 x2 )過 P1 (x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 兩點的直線斜率公式：kx1x22. 直線的方程的幾種形式名稱方程形式適用的直線（局限性）點斜式y(tǒng)y0k( xx0 )ykxb不表示垂直于 x 軸的直線斜截式兩點式y(tǒng)y1xx1不表示垂直于 x ， y 軸的直線y1y2x1

2、x2截距式xy1不表示垂直于 x ， y 軸與過原點的直線ab一般式Ax ByC0（ A2B20 ）直線方程最終都可以化為一般式特別提示： 過點 P（ a,0) 的直線可設(shè)為xamy即xmya(其中 m1 ) , 這樣設(shè)可避免k對斜率是否存在的討論。3. 兩直線的位置關(guān)系 :（1）利用斜率判斷設(shè)直線 l1: y k1xb1和直線 l2 : y k2 x b2 ,l1 / l 2k1k2且 b1 b2 注：當(dāng)兩直線都沒用斜率時也有l(wèi)1 / l2l1 l2k1k21注：當(dāng)一條直線沒有斜率， 而另一條直線斜率為0 時，也有 l1 l 2（2）利用一般式方程的系數(shù)判斷設(shè)直線 l1: A1 xB1 yC

3、10和直線 l2 : A2 xB2 y C20l1 / l 2A1B1C1(A2 B2 C2 0)注：當(dāng) A2B2C 2 0 時另外考慮A2B2C2l1 l2A1 A2B1B20 ( 不需要討論）4. 距離公式：點到點的距離：點 1(x1 , y1 )到點 P2(x2的距離d( x1 x2 )2( y1 y2 )2P, y2 )點到直線的距離：點P (x0 , y0 ) 到直線 l : AxByC| Ax0 By0C |0 距離 dA2B2平行線間的距離 : 設(shè) l1 : AxByC10, l 2 : AxByC20則 d| C1C2 |A2B25. 圓的方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ( x a)

4、 2( yb)2r 2 (r0)其中圓心 C( a,b) , 半徑 r（2）圓的一般方程：x2y2DxEyF0(其中 D 2E 24F0)x2y2Dx Ey F 0(xD2( yE2D 2E 24F)422圓心 C(D , E ), 半徑 rD 2E 24F222（3）直線與圓的位置關(guān)系代數(shù)法 （把直線方程代入圓的方程，位置關(guān)系幾何法 ( 利用弦心距 d與半徑 r 的大小 ）消去 x 或 y , 利用 判斷 ）相 離dr0相 切dr0相 交dr0弦 長r 2d 2( l ) 2其中 l 指弦長l1k2( x1x2 )24x1 x22注：研究直線與圓的位置關(guān)系，常用幾何法 圓上一點 P(x0,

5、y0 ) 引圓 C 的切線有且只有一條，當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為xx0當(dāng)切線斜率存在時，切線方程為yy01(xx0 )kCP 圓外一點 P(x0, y0 ) 引圓 C 的切線有兩條，可先設(shè)切線方程為y y0k (xx0 )然后利用圓心C到切線的距離 d 等于半徑 r(易忽略了斜率不存在的那條） 設(shè) A( x1 , y1), B( x2 , y2 ), 則以 AB 為直徑的圓的方程為:(x x1 )( x x2 ) ( y y1)( y y2 ) 0證明：設(shè) M ( x, y) 為所求圓上的任意一點，AM(xx1, yy1 ) ， BM(xx2 , y y2 )由AM BM0 易得： (

6、x x1 )( xx2 )( yy1 )( yy2 ) 0 即為所求圓的方程。（4）圓與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形幾何法公切線條數(shù)Rrd外 離Rrd R r4外 切相 交內(nèi)切內(nèi)含重要知識： 設(shè)圓 C1 : x2圓 C2 : x2當(dāng)兩圓相交時，公共弦ddRr3Rr2dR r d R rddR - r1ddR - r0y 2D1 x E1 y F10 -，Ny2D 2 x E2 y F20-MMN所在的直線方程求法：將兩圓方程相減， 即 - 消去 x2 , y2 項，得:Ax By C0 -,此方程就是公共弦 MN所在的直線的方程，下面解釋原因：設(shè) M ( x1, y1), N ( x2 , y2

7、) 顯然 M , N 符合方程Ax1By1C0即：By2C0Ax2由兩點 M,N 確定的直線有且只有一條，方程表示的就是一條直線，故公共弦AB所在的直線的方程就是AxByC06. 橢圓的定義及其性質(zhì)定義：M| MF1 | MF 2 |2a(其中 2a| F1F2 |2c)F1F2標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)：A2B 2F2aacb圖形cF2B1b B 2A1 F1OA2B 1F1A1標(biāo)準(zhǔn)方程x2y21(ab0)y 2x21(ab0)a2b2a2b2焦點F (c,0),F (c,0)焦距| F F | 2cF (0, c), F(0, c) 焦距 | F F | 2c12121212A1(a,0), A2

8、(a,0)B1(a,0), B2 (a,0)A1( a,0), A2 (a,0)B1 (a,0), B2 (a,0)頂點長軸 | A1A2 | 2a,短軸 | B1B2 | 2b長軸 | A1A2 |2a ,短軸 | B1B2 | 2b范圍a x a, b y bb x b, a y a性 對稱性關(guān)于 x軸 , y軸 及原點 O對稱質(zhì)a, b, ca2b2c2的關(guān)系c( 0,1)e離心率aba2c22離心率0，橢圓越圓，離心率1，橢圓越扁aa21 e通徑過焦點且與長軸垂直的弦長即通徑長d 2 b2a橢圓的性質(zhì)要點 ：六點（ 4 個頂點 +2 個焦點）、兩線（ 2 條對稱軸）、兩形（橢圓上任意一

9、點與兩焦點構(gòu)成的三角形，原點、焦點與短軸頂點構(gòu)成的三角形)焦半徑公式 :設(shè) M (x0 , yx2y21(ab0) 上的任意一點 ,0) 為橢圓b2a2則 | MF1 | a ex0 ,|MF2 |a - ex0（左加右減）2|MF1|( x0 c)2y02(x0 c)2b2 (1x02 )推導(dǎo)過程：a( c x0a)2| ac x0 | a ex（0a x0 a)aa7. 雙曲線的定義及其性質(zhì)定義：M| MF1 | MF 2 |2a(其中 2a| F1F2 |2c)F1F2標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)：B 2F2cA2cba圖形aFB1 Ob B2A2F2F1 A11A1B1F 1標(biāo)準(zhǔn)方程焦點頂點性范圍

10、質(zhì)x2y21(a 0,b 0)a2b2F1 ( c,0),F2 (c,0) 焦距 | F1F2 | 2cA1 ( a,0), A2 (a,0)虛軸端點 B1 ( a,0), B2 (a,0)實軸 | A1A2 |2a ,虛軸 | B1B2 | 2bxa或 xa, y Ry 2x21(a 0,b 0)a2b2F1 (0, c), F2 (0, c) 焦距 | F1 F2 |2cA1 ( a,0), A2 (a,0)虛軸端點 B1 ( a,0), B2 ( a,0)實軸 | A A | 2a,虛軸 | B B | 2b1212x R, ya或 ya,對稱性a, b, c的關(guān)系離心率漸近線通徑關(guān)于

11、x軸 , y軸 及原點 O對稱c2a2b2ec(1, )bc 2a 2e2 1離心率越大，b 越大即張口越大aaa2ayb xya xab過焦點且與實軸垂直的弦長即通徑長db22a雙曲線的性質(zhì)要點 ：(1)六點（ 2 個頂點 +2 個焦點 +2 個虛軸端點）、四線（ 2 條對稱軸 +2條漸近線）、兩形（雙曲線上任意一點與兩焦點構(gòu)成的三角形，原點、實軸頂點與虛軸端點構(gòu)成的三角形)(2)與 雙曲線 x2y2 1共漸近線的雙曲線可設(shè)為x2y2(0)a2b2a2b 2(3)在雙曲線中，焦點到漸近線的距離bcbcbdb2ca28. 拋物線的定義及其性質(zhì)定義：M'dMlF|MF |d 定點 F 叫

12、做拋物的焦點，定直線l 叫做拋物的準(zhǔn)線準(zhǔn)線 l標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì) :M'MMM'FM'圖形OFFOMOOMFM'標(biāo)準(zhǔn)方程y22(0)y22 px( p 0)x22 py( p0)22 py( p0)px px焦點F ( p ,0)F (p ,0)F (0, p)F (0,p )2222準(zhǔn)線方程xpxppyp22y22范圍x 0, y Rx 0, y Ry 0, x Ry 0, x R對稱性關(guān)于 x 軸對稱關(guān)于 y 軸對稱頂點原點 (0,0)離心率e1通徑過焦點且與對稱軸垂直的弦長即通徑長d2p拋物線的性質(zhì)特點： （ 1）標(biāo)準(zhǔn)方程中，一次項定焦點，一次項系數(shù)符號定開

13、口;（2）焦點的非零坐標(biāo)是一次項系數(shù)的1/4,準(zhǔn)線方程中的數(shù)是一次項系數(shù)的-1/4;(3)|MF|=d利用此結(jié)論， 可實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離之間相互轉(zhuǎn)化.(4) 拋物線y22(0)的焦點弦AB性質(zhì)：設(shè)A(x , y ), B( x, y)px p1122| AB | | AF | | BF | ( x1ppx2pA'A) ( x2) x1p222x1 x2， y1y224p圓心以 AB 為直徑的圓與準(zhǔn)線相切F112| AF | BF |pB'B9. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為相交、相切、相離判斷方法：設(shè)直線 l : Ax By C

14、0( A2B20), 圓錐曲線 C : f ( x, y) 0,由 AxByC 0,即f ( x, y)0將直線 l 方程與圓錐曲線C的方程聯(lián)立 , 消去 y 得關(guān)于 x的一元二次方程ax 2bx c0( 當(dāng)然，也可以消去 x 得關(guān)于 y的一元二次方程),通過一元二次方程的解的情況判斷直線l 與圓錐曲線 C 的位置關(guān)系，見下表：方程 ax2bx c0 的解位置關(guān)系a若曲線是雙曲線，有1 個解 , 直線與漸近線平行01 個解 , 直線與對稱軸平行相交若曲線是拋物線，有0兩個不相等的解相交a00兩個相等的解相切0無實數(shù)解相離圓錐曲線的弦長公式若直線 l 的斜率存在，不妨設(shè)直線方程為：ykxb ,

15、圓錐曲線 C : f ( x, y)0,聯(lián)立方程組ykxm ，消去 y 得關(guān)于 x的一元二次方程ax 2bxc0 ，f (x, y)0設(shè)直線 l 與曲線 C 的交點 A(x1, y1 ) ,B( x2 , y2 ) , 則 x1, x2 是方程 ax 2bxc0 的兩根，記b24ac（1）由韋達定定理可得：x1x2b ,x1 x2caa（2）弦長 | AB |1k2| x1x2 |1k 2( x1x2 )24 x1 x21k2| a |若消去 x ，得關(guān)于 y的一元二次方程ay2byc0則|AB| 11| y1y2 |k 2121k 2( y1y2 ) 4 y1 y211k 2| a |10.

16、 解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：直線 l1,l 2 的傾斜角互補k1 k2 0OP OQ O為原點)OP OQ0x x2y y20（其中 P( x1, y1 ), Q (x2 , y2 ) )(11在 ABC中, 給出 BAC 900 ,等于己知 AB AC 0在 ABC中, 給出 BAC為銳角 , 等于己知 AB AC 0在 ABC中, 給出 BAC為鈍角 , 等于己知 AB AC 0給出MAMBMP ，等于己知 MP 是AMB 的平分線MAMB在平行四邊形ABCD 中，給出 ( ABAD) ( ABAD)0 ，等于已知 ABCD 是菱形 ;在平行四邊形ABCD 中，給出 | AB

17、AD| |ABAD |，等于已知 ABCD 是矩形 ;2OB22ABC 的外心（三角形外接圓的在ABC 中，給出 OAOC ，等于已知 O 是圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；在ABC 中，給出 OAOBOC0 ，等于已知 O 是ABC 的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點） ；在ABC 中，給出 OA OBOB OCOC OA ，等于已知 O 是ABC 的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；在ABC 中，給出 OPOA( ABAC)(R ) 等于已知AP 通過 ABC 的|AB |AC|內(nèi)心；(11)在ABC 中，給出 AD1ABAC,等于已知 D 為 BC 邊的

18、中點 ;2知識贈送以下資料英語萬能作文 (模板型）Along with the advance of the society more and more problems arebrought to our attention, one of which is that.隨著社會的不斷發(fā)展，出現(xiàn)了越來越多的問題，其中之一便是_。As to whether it is a blessing or a curse, however, people take different attitudes.然而，對于此類問題，人們持不同的看法。 (Hold different attitudes持不同的看

19、;Come up with different attitudes 有不同的看法 )As society develops, people are attaching much importance to.隨著社會的發(fā)展，人們開始關(guān)注.People are attaching more and more importance to the interview during job hunting求職的過程中，人們慢慢意識到面試的重要性。Asto whether itis worthwhile., there is a long-runningcontroversial debate. It i

20、s quite natural that people from different backgrounds may have divergent attitudes towards it.關(guān)于是否值得 _的問題，一直以來爭論不休。當(dāng)然，不同的人對此可能持不同的觀點。In the process ofmodern urban development, we often findourselves in a dilemma.在都市的發(fā)展中，我們往往會陷入困境。Recently the phenomenon has aroused wide concern, some peopleare in a

21、larm that.最近，這種現(xiàn)象引起了人們的廣泛關(guān)注，有人開始擔(dān)心_。The human race has entered a completely new stage in its history, with the increasingly rapid economic globalization and urbanization, more problems are brought to our attention.人類進入了一個歷史的嶄新的階段，經(jīng)濟全球化、都市化的速度不斷加快，隨之給我們帶來了很多問題。. plays such an important role that it u

22、ndeniably becomes thebiggest concern of the present world, there comes a question, is it a blessing or a curse?"_顯得非常重要而成為當(dāng)今世界所關(guān)注的最大的問題，這是無可厚非的。不過，問題是："我們該如何抉擇 ?"Now we are entering a new era, full of opportunities and challenges, 現(xiàn)在我們正在進入一個充滿機會和挑戰(zhàn)的新時代。People from different background

23、s would put different interpretations on the same case.不同行業(yè)的人對同一種問題的解釋不盡相同。The controversial issue is often brought into public focus. Peoplefrom different backgrounds hold different attitudes towards the issue.這中極具爭議性的話題往往很受社會的關(guān)注。不同的人對此問題的看法也不盡相同。When asked ., some people think. while some prefer.說

24、到 _，有人認為 _，而另一些人則認為 _。Just as the saying goes: "so many people, so many minds". It is quite understandable that views on this issue vary from person to person.俗話說， ""。不同的人對此有不同的看法是可以理解的。To this issue, different people come up with various attitudes.對于這個問題，不同的人持不同的觀點。There is a go

25、od side and a bad side to everything, it goes withoutsaying that.萬事萬物都有其兩面性，所以，勿庸置疑，_。When it comes to ., most people believe that ., but other peopleregard .as .提到 _問題，很多人認為 _，不過，一些人則認為_是_.When faced with., quite a few people claim that ., but otherpeople think as.提到 _問題，僅少數(shù)人認為 _，但另一些人則認為_。There is

26、 a public controversy nowadays over the issue of . Therewho criticize .argue that ., they believe that .,but people who favor .,on the other hand, argue that.目前，_問題爭議較大。批判 _的人認為 _，他們認為_，不過，另一方面，贊同_的人則認為 _。Some people are of the opinion that. 有些人認為 _。Many people claim that.很多人認為 _。A majority of 絕大多數(shù)A

27、 large number of 很多人Some people contend that . has proved to bring many advantages (disadvantages)有些人認為 _有很多有利之處 (不利之處 )。Those who argue for .say that .economic development of thecities.覺得 _的人認為， _ 城市的經(jīng)濟發(fā)展。Some people advocate that .有些人在堅持認為 _。They hold that . 他們認為 _。People, who advocate that ., hav

28、e their sound reasons (grounds)堅持認為 _的人也有其說法 (依據(jù) )。Those who have already benefited from practicing it sing high praiseof it.那些從中受益的人對此大家褒獎。Those who strongly approve of . have cogent reasons for it.強烈認同 _的人有很多原因 。Many people would claim that.有人會認為 _。People who support . give some or all of the foll

29、owing reasons.那些支持 _觀點的人列出了如下原因：_。But others hold the view that .但是，另外一些人則認為_。觀點的用詞： Attitude, opinion, 與其搭配的動詞以及詞組：Take,have, come up with，set forth, put forward 等。But on the other hand, there are also quite a few people who strongly advocate that.,.不過，另一方面，也有少部分人堅持認為_。But people who are ., on the

30、other hand , maintain that.不過，另一方面， _的人認為 _。However, there are a large number of people who hold a different view concerning this case.然而，很多人對此有不同的看法。問題用詞： Issue, phenomenon，后接介詞 , on, over 等。However, some others argue that.然而，另一些人則認為_。However, there are also some others who contend that.然而，也有人認為 _。

31、But other people set forth completely totally different argument concerning this case.不過，對于此，另一些人則持完全不同的觀點。Some people examine this issue from another angle.有的人用另一角度來看這一問題。On the other hand, there are also many opponents who strongly .另一方面，也有很多反對的人，他們認為_。According to my personality and fondness, I w

32、ould prefer . ratherthan.根據(jù)我的個性以及興趣， 我選擇 _而不會選擇 _。Personally, I side with the latter (former) opinion.就我個人而言，我支持后者(前者 )_。Personally, I am in favor of the former point of view.就我個人而言，我較同意前一種看法。To my point of view 我認為Tomymind,theadvantagesfaroverweighthedrawbacks(disadvantages, shortcomings)我認為，優(yōu)點勝過缺點

33、。For my part, I stand on side of the latter opinion that.就我而言，我較贊同后一種觀點_。As far as I am concerned, I am inclined to be on the side of the latter view.在我看來，我較同意后一種觀點。After a thorough consideration, for my part, I am in favor of thelatter view that.經(jīng)過深思熟慮，我較支持后一種看法，亦即_。If asked to make a decision, I w

34、ould prefer.如果真的需要作出選擇，我寧愿_。展現(xiàn)問題篇問題的常用詞： question, problem, issueRecently, the issue of . has been brought into public focus.近來， _的問題引起了社會的廣泛關(guān)注。Now we are entering a brand new era full of opportunities and innovations, and great changes have taken place in people attitudes towards some traditional practice.現(xiàn)在我們進入了一個充滿機遇和創(chuàng)新的嶄新時代，很多人對某些傳統(tǒng)的看法也發(fā)生了很大改變。Recently the issue of whether or not . has been in the limelight andhas aroused wide concern in the public.近來，是否 _的問題已經(jīng)非常明確而且引起了社會的廣泛關(guān)注。The issue whether it is good or not to . has aroused a heateddiscussion all over the c