專題2：待定系數(shù)法應(yīng)用探討

1、初中學(xué)習(xí)資料整理總結(jié)專題 2：待定系數(shù)法應(yīng)用探討一 . 待定系數(shù)法在代數(shù)式變型中的應(yīng)用： 在應(yīng)用待定系數(shù)法解有關(guān)代數(shù)式變型的問(wèn)題中，根據(jù)右式與左式多項(xiàng)式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等的原理列出方程（組），解出方程（組）即可求得答案。典型例題：例：（ 2011 云南玉溪3 分） 若 x 26xk 是完全平方式，則k =【】A 9B 9C ±9D±3【答案】 A ?！究键c(diǎn)】 待定系數(shù)法思想的應(yīng)用?！痉治觥?設(shè) x26xk= x+A26x k=x 22AxA 2 ， 則 x 22A=6A=32。故選 A。A=kk=9練習(xí)題：1.（ 2012 江蘇南通3 分）已知 x2 16x k 是完全平方

2、式，則常數(shù) k 等于【】A 64B 48C 32D 162.（ 2012貴州黔東南4 分） 二次三項(xiàng)式 x2 kx+9 是一個(gè)完全平方式，則k 的值是。3.（ 2011江蘇連云港3 分）計(jì)算 (x 2) 2 的結(jié)果為 x2 x 4，則 “”中的數(shù)為【】A2B 2C 4D 44.（ 2011湖北荊州3 分）將代數(shù)式 x 24x 1化成 (xp) 2q 的形式為【】A. (x2) 23B. (x2)24C. (x2)25D. (x4)24二 . 待定系數(shù)法在分式求值中的應(yīng)用： 在一類分式求值問(wèn)題中，已知一比例式求另一分式的值，可設(shè)定待定參數(shù)，把相關(guān)變量用它表示，代入所求分式，從而使問(wèn)題獲解。典型例

3、題：例：（ 2012 四川涼山4 分） 已知 b5 ，則 ab 的值是【】a13ab2394A B CD3249【答案】 D。【考點(diǎn)】 比例的性質(zhì)。【分析】 b5 ，設(shè)a13b5ab ，得，ak ，則 b=5k ， a=13k，把 a， b 的值代入13ab1a b =13k5k=8k=4 。故選 D。a b13k5k18k9練習(xí)題：1.（ 2012北京市5分）已知ab0 ，求代數(shù)式5a2b的值。=3(a 2b)2(a+2b)(a 2b)2.（ 2011四川巴中 3 分）若ab2 ，則 b =。2a3a三 . 待定系數(shù)法在因式分解中的應(yīng)用： 在因式分解問(wèn)題中，除正常應(yīng)用提取公因式法、應(yīng)用公式法

4、、十字相乘法、分組分解法等解題外還可應(yīng)用待定系數(shù)法求解，特別對(duì)于三項(xiàng)以上多項(xiàng)式的分解有很大作用（如：x3 6x2+11x 6， 3x 25xy2y2x9y4 ，目前這類考題很少，但不失為一種有效的解題方法） 。典型例題：例 1：（ 2012 湖北黃石3 分） 分解因式：x 2x2 ?！敬鸢浮浚?x 1）（ x 2）。【考點(diǎn)】 因式分解?！痉治觥?設(shè) x2x2xAxB， xAxBx 2AAB=1A= 1A=2B x A B ，解得或，AB= 2B=2B= 1 x2x2=x1x2 。注：本題實(shí)際用十字相乘法解題更容易，但作為一種解法介紹于此。例 2：分解因式：3x 25xy2y 2x9y 4。【答

5、案】 3x y4x 2y 1 。【考點(diǎn)】 因式分解。【分析】 3x25xy2y 23xyx2y ，可設(shè)3x 25xy2y 2x9y43x yax2yb 。 3xy ax2yb3x 25xy2y2a3bx(2ab)yab ， 3x25xy2y 2x9y43x 25xy2y 2a3bx(2ab)y ab 。2a 3b=1比較兩邊系數(shù)，得2a 。b=9ab=4聯(lián)立，得a=4， b= 1。代入式適合。 3x25xy2y 23xy 4 x 2y 1 。練習(xí)題：1.（ 2012四川南充3 分） 分解因式： x24x 12=。2.（ 2012 山東濰坊3 分） 分解因式： x3 4x2 12x=。3.（ 2

6、011貴州黔東南4 分）分解因式： x 22x8。四 . 待定系數(shù)法在求函數(shù)解析式中的應(yīng)用： 待定系數(shù)法是解決求函數(shù)解析式問(wèn)題的常用方法，求函數(shù)解析式是初中階段待定系數(shù)法的一個(gè)主要用途。確定直線或曲線方程就是要確定方程中x 的系數(shù)與常數(shù)，我們常常先設(shè)它們?yōu)槲粗獢?shù)， 根據(jù)點(diǎn)在曲線上， 點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系， 將已知的條件代入方程，求出待定的系數(shù)與常數(shù)。這是平面解析幾何的重要內(nèi)容，是求曲線方程的有效方法。初中階段主要有正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)這幾類函數(shù)，前面三種分別可設(shè)y=kx ，y=kx+b ， yk的形式x(其中 k、 b 為待定系數(shù)，且k 0)。而二次函數(shù)可以根據(jù)題目所給

7、條件的不同，設(shè)成一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a 、b、 c 為待定系數(shù) )，頂點(diǎn)式2、x1、 x2 為y=a (x h) +k(a、 k、 h 為待定系數(shù) )，交點(diǎn)式 y=a (x x1)(x x2)( a待定系數(shù) )三類形式。根據(jù)題意 (可以是語(yǔ)句形式，也可以是圖象形式)，確定出 a、 b、c、k、 x1、x2 等待定系數(shù)，求出函數(shù)解析式。典型例題：例 1：（ 2012 江蘇南通3 分） 無(wú)論 a 取什么實(shí)數(shù)，點(diǎn)P(a1， 2a 3)都在直線l 上， Q(m， n)是直線 l 上的2點(diǎn)，則 (2m n 3) 的值等于【考點(diǎn)】 待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，求代數(shù)式的值?！痉治觥?由

8、于 a 不論為何值此點(diǎn)均在直線l 上，令 a=0，則 P1（ 1， 3）；再令 a=1，則 P2（ 0， 1）。設(shè)直線 l 的解析式為y=kx+b （ k0），kb 3k21，解得。bb13直線 l 的解析式為： y=2x 1。 Q（ m，n）是直線 l 上的點(diǎn)， 2m 1=n ，即 2m n=1 。 (2m n 3)2=（ 1+3 ） 2=16。例 2：（ 2012 山東聊城 7 分） 如圖，直線 AB 與 x 軸交于點(diǎn) A （ 1， 0），與 y 軸交于點(diǎn) B（ 0， 2）（ 1）求直線 AB 的解析式；（ 2）若直線AB 上的點(diǎn) C 在第一象限，且SBOC =2，求點(diǎn) C 的坐標(biāo)【答案】

9、 解：（ 1）設(shè)直線AB 的解析式為y=kx+b ，直線 AB 過(guò)點(diǎn) A （ 1， 0）、點(diǎn) B （0， 2），kb 0k22，解得。b=b=2直線 AB 的解析式為y=2x 2。（ 2）設(shè)點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ x， y）， SBOC =2， 1 ?2?x=2，解得 x=2。2 y=2×2 2=2。點(diǎn) C 的坐標(biāo)是（ 2， 2）。【考點(diǎn)】 待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥浚?1）設(shè)直線 AB 的解析式為 y=kx+b ，將點(diǎn) A （ 1，0）、點(diǎn)方程組，從而得到 AB 的解析式。（2）設(shè)點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ x， y），根據(jù)三角形面積公式以及B（ 0， 2）分別代入解析式

10、即可組成SBOC =2 求出 C 的橫坐標(biāo)，再代入直線即可求出y 的值，從而得到其坐標(biāo)。例 3：（2012 湖南岳陽(yáng)8 分）游泳池常需進(jìn)行換水清洗，圖中的折線表示的是游泳池?fù)Q水清洗過(guò)程“排水清洗灌水”中水量 y（ m3）與時(shí)間t（ min ）之間的函數(shù)關(guān)系式（ 1）根據(jù)圖中提供的信息，求整個(gè)換水清洗過(guò)程水量y（ m3 ）與時(shí)間t（ min ）的函數(shù)解析式；（ 2）問(wèn)：排水、清洗、灌水各花多少時(shí)間？4【答案】 解：（ 1）排水階段：設(shè)解析式為：y=kt+b ，圖象經(jīng)過(guò)（0， 1500），（ 25， 1000），b=1500k=20，解得：。排水階段解析式為：y= 20t+1500。25k+b=1

11、000b=1500清洗階段： y=0 。灌水階段：設(shè)解析式為：y=at+c ，圖象經(jīng)過(guò)（195， 1000），（95， 0），195a+c=1000 ，解得：a=10。灌水階段解析式為： y=10t 950。95a+c=0b= 950（ 2）排水階段解析式為： y= 20t+1500 ，令 y=0 ，即 0= 20t+1500，解得： t=75 。排水時(shí)間為 75 分鐘。清洗時(shí)間為： 95 75=20（分鐘），根據(jù)圖象可以得出游泳池蓄水量為1500 m3， 1500=10t 950，解得： t=245 。故灌水所用時(shí)間為：245 95=150（分鐘）?！究键c(diǎn)】 一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，直線

12、上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥浚?1）根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法分別得出排水階段解析式，以及清洗階段：y=0 和灌水階段解析式即可。（2）根據(jù)（ 1）中所求解析式，即可得出圖象與x 軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出答案。例 4：（ 2012 湖南婁底3 分） 已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1， 2），則它的解析式是【】1221A yB yC yD y2xxxx【答案】 B?！究键c(diǎn)】 待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。k【分析】 設(shè)反比例函數(shù)圖象設(shè)解析式為y，x5將點(diǎn)（ 1， 2）代入 yk 得， k= 1×2= 2。則函數(shù)解析式為 y2 。故選 B。xx例 5：（

13、2012 江蘇連云港 12 分） 如圖，拋物線y x2 bx c 與 x 軸交于 A 、 B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C，點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) D 為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E 在拋物線上，點(diǎn) F 在 x 軸上，四邊形 OCEF 為矩形 ，且 OF 2， EF 3，(1) 求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；(2) 求 ABD 的面積；(3) 將 AOC 繞點(diǎn) C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°，點(diǎn) A 對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) G，問(wèn)點(diǎn) G 是否在該拋物線上？請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】 解： (1) 四邊形 OCEF 為矩形， OF 2，EF 3，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (0， 3) ，點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 (2， 3)把 x 0， y

14、3； x2， y 3 分別代入 y x2 bx c，得c=3b=2，解得。4+2b+c=3c=3拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y x2 2x 3。(2) y x2 2x 3 (x1)2 4，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(1 ，4) 。 ABD 中 AB 邊的高為 4。令 y 0，得 x2 2x 3 0，解得 x1 1， x2 3。AB 3 ( 1) 4。1 ABD 的面積×4×4 8。(3)如圖， AOC 繞點(diǎn) C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°，CO 落在 CE 所在的直線上，由（ 1） (2) 可知 OA 1， OC=3，點(diǎn) A 對(duì)應(yīng)點(diǎn) G 的坐標(biāo)為 (3， 2)。2當(dāng) x 3 時(shí)，

15、 y 3 2×3 3 02，【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，矩形的性質(zhì)，曲線圖上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解一元二次方程，二次函數(shù)的6性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)?！痉治觥?(1) 在矩形 OCEF 中，已知 OF、 EF 的長(zhǎng)，先表示出 C、E 的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定該函數(shù)的解析式。(2) 根據(jù) (1)的函數(shù)解析式求出A 、B、 D 三點(diǎn)的坐標(biāo)，以AB 為底、 D 點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為高，可求出 ABD 的面積。(3) 根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件求出點(diǎn) A 對(duì)應(yīng)點(diǎn) G 的坐標(biāo)，然后將點(diǎn) G 的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中直接進(jìn)行判定即可。例 6：（ 2012 江蘇無(wú)錫2 分） 若拋物線 y=ax 2+bx+c 的頂

16、點(diǎn)是 A （ 2， 1），且經(jīng)過(guò)點(diǎn) B（ 1， 0），則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為【答案】 y= x2+4x 3。【考點(diǎn)】 待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥?拋物線 y=ax2+bx+c 的頂點(diǎn)是 A （ 2， 1），可設(shè)拋物線的解析式為y=a（ x 2） 2+1。22又拋物線 y=a（ x 2） +1 經(jīng)過(guò)點(diǎn) B（ 1， 0），（ 1， 0）滿足 y=a（ x 2） +1。將點(diǎn) B（ 1， 0）代入 y=a（ x 2）2 得， 0=a（1 2） 2 即 a= 1。拋物線的函數(shù)關(guān)系式為22y= （ x 2） +1，即 y= x +4x 3。例 7：（ 2012 浙江寧波12 分） 如

17、圖，二次函數(shù) y=ax 2+bx+c 的圖象交 x 軸于 A （ 1， 0）， B（ 2，0），交 y軸于 C（0， 2），過(guò) A ， C 畫直線（ 1）求二次函數(shù)的解析式；（ 2）點(diǎn) P 在 x 軸正半軸上，且PA=PC，求 OP 的長(zhǎng)；（ 3）點(diǎn) M 在二次函數(shù)圖象上，以 M 為圓心的圓與直線 AC 相切，切點(diǎn)為 H 若 M 在 y 軸右側(cè)，且 CHM AOC （點(diǎn) C 與點(diǎn) A 對(duì)應(yīng)），求點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若 M 的半徑為 45 ，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)5【答案】 解：（ 1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象交x 軸于 A （ 1，0）， B（ 2， 0）7設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：y=a（

18、x+1）（x 2），將 x=0 ， y= 2 代入，得 2=a（0+1 ）（ 0 2），解得 a=1。拋物線的解析式為 y= （ x+1 ）（ x 2），即 y=x 2 x 2。（ 2）設(shè) OP=x ，則 PC=PA=x+1 ，在 Rt POC 中，由勾股定理，得222x +2=（ x+1） ，解得， x= 3，即 OP= 3。22（ 3） CHM AOC ， MCH= CAO 。（i ）如圖 1，當(dāng) H 在點(diǎn) C 下方時(shí)， MCH= CAO ， CM x 軸， yM = 2。 x2 x 2= 2，解得 x1=0（舍去）， x2=1。 M （ 1， 2）。（ ii ）如圖 2，當(dāng) H 在點(diǎn) C

19、 上方時(shí)， MCH= CAO ， PA=PC。由（ 2）得， M為直線 CP 與拋物線的另一交點(diǎn)，設(shè)直線 CM的解析式為 y=kx 2，把P（3， 0）的坐標(biāo)代入，得3k 2=0 ，解得 k=4 。223 y= 4 x2。3由 4 x 2=x2 x 2，解得 x1=0 （舍去）， x2= 7 。33此時(shí) y= 472=10。339 M（ 7，10 ）。3 9在 x 軸上取一點(diǎn)D ，如圖 3，過(guò)點(diǎn) D 作 DE AC 于點(diǎn) E，使 DE= 45 ，5在 Rt AOC 中， AC=AO 2 +CO 2 = 12 +22 = 5 。 COA= DEA=90° ， OAC= EAD ， AE

20、D AOC ，45AD =DE，即 AD=5，解得 AD=2 。AC OC52D（1，0）或 D（ 3，0）。8過(guò)點(diǎn) D 作 DM AC ，交拋物線于M ，如圖則直線 DM 的解析式為：y= 2x+2 或 y= 2x 6。當(dāng) 2x 6=x2 x 2 時(shí)，即 x2+x+4=0 ，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，當(dāng) 2x+2=x 2 x 2 時(shí)，即 x2+x 4=0 ，解得 x11 17 ， x 21+ 17。22點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（117 ，17）或（1+1717 ）。23+2，3【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理，平行的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程?！?/p>

21、分析】（ 1）根據(jù)與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)A 、B 的坐標(biāo)，故設(shè)出交點(diǎn)式解析式，然后把點(diǎn)C 的坐標(biāo)代入計(jì)算求出 a 的值，即可得到二次函數(shù)解析式。（ 2）設(shè) OP=x ，然后表示出 PC、 PA 的長(zhǎng)度，在 RtPOC 中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。（ 3）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得 MCH= CAO ，然后分（ i ）點(diǎn) H 在點(diǎn) C 下方時(shí)，利用同位角相等，兩直線平行判定 CM x 軸，從而得到點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)與點(diǎn) C 的縱坐標(biāo)相同，是 -2，代入拋物線解析式計(jì)算即可； （ ii ）點(diǎn) H 在點(diǎn) C 上方時(shí)，根據(jù)（ 2）的結(jié)論，點(diǎn) M 為直線 PC 與拋物線的另一交點(diǎn)，求出直線 PC

22、 的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)M 的坐標(biāo)。在 x 軸上取一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn) D 作 DE AC 于點(diǎn) E，可以證明 AED 和 AOC 相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到AD 的長(zhǎng)度， 然后分點(diǎn)D 在點(diǎn) A 的左邊與右邊兩種情況求出OD的長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn)D 的坐標(biāo)，再作直線DM AC ，然后求出直線DM 的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)M 的坐標(biāo)。練習(xí)題：1. （ 2012 上海市 10 分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，當(dāng)生產(chǎn)數(shù)量至少為10 噸，但不超過(guò)50 噸時(shí)，每噸的成本y（萬(wàn)元 /噸）與生產(chǎn)數(shù)量x（噸）的函數(shù)關(guān)系式如圖所示（ 1）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，

23、并寫出它的定義域；（ 2）當(dāng)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本為 280 萬(wàn)元時(shí)，求該產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量（注：總成本 =每噸的成本 ×生產(chǎn)數(shù)量）92. （ 2012 山東菏澤7 分） 如圖，一次函數(shù)y=2 x 2 的圖象分別與 x 軸、 y 軸交于點(diǎn) A 、B，以線段 AB3為邊在第一象限內(nèi)作等腰RtABC ， BAC=90° 求過(guò) B、 C 兩點(diǎn)直線的解析式3. （2012 甘肅蘭州 4 分）近視眼鏡的度數(shù) y(度 )與鏡片焦距 x(m) 成反比例， 已知 400 度近視眼鏡鏡片的焦距為 0.25m，則 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為【】A y= 400B y= 1C y= 100D y=1x

24、4xx400x4. （ 2012 廣東佛山8 分） (1)任選以下三個(gè)條件中的一個(gè)，求二次函數(shù)y=ax 2 bx c 的解析式； y 隨 x 變化的部分?jǐn)?shù)值規(guī)律如下表：x 10123y03430有序數(shù)對(duì)（ 1，0），（ 1， 4），（ 3，0）滿足 y=ax 2 bx c；已知函數(shù) y=ax2 bxc 的圖象的一部分（如圖） (2) 直接寫出二次函數(shù) y=ax2 bx c 的三個(gè)性質(zhì)105. （ 2012 山東萊蕪 12 分）如圖， 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (2， 1)的拋物線 y ax2 bx c(a 0)與 y 軸交于點(diǎn) C(0，3)，與 x 軸交于 A 、B 兩點(diǎn)(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)拋物

25、線的對(duì)稱軸與直線 BC 交于點(diǎn) D，連接 AC 、 AD ，求 ACD 的面積；(3)點(diǎn) E 為直線 BC 上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)得以 D、 E、 F 為頂點(diǎn)的三角形與 BCOE 作 y 軸 的平行線EF，與拋物線交于點(diǎn)F問(wèn)是否存在點(diǎn)E，使相似？若存在，求點(diǎn)E 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由6. （2012 山東濰坊11 分）如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A( 2，O)、B(2 ，0)、C(0 ， l) 三點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) O 的直線 y=kx 與拋物線交于 M 、 N 兩點(diǎn)分別過(guò)點(diǎn)C、 D(0 ， 2)作平行于x 軸的直線 l1 、 l2 (1) 求拋物線對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的解析式；(2) 求證以 ON 為

26、直徑的圓與直線 l1 相切；(3) 求線段 MN 的長(zhǎng) ( 用 k 表示 )，并證明M 、N 兩點(diǎn)到直線l2 的距離之和等于線段MN 的長(zhǎng)五 . 待定系數(shù)法在求解規(guī)律性問(wèn)題中的應(yīng)用： 近幾年中考數(shù)學(xué)中常會(huì)出現(xiàn)一種尋找規(guī)律的題型，其中有一類實(shí)際是高中數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列或二階等差數(shù)列，由于初中沒(méi)有學(xué)習(xí)它們的通項(xiàng)公式和遞推法求二階等差數(shù)列的通項(xiàng)，因此中考學(xué)生在確定數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)有一定的困難。對(duì)于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1n1 ddna1d (其中 a1 為首項(xiàng)， d 為公差， n 為正整數(shù) )，若將 n 看成自變量，an 看成函數(shù)，則 an 是關(guān)于 n 的一次函數(shù)；若一列數(shù)a1,a2 , an滿足 an

27、an 1knb(其中 k,b 為常數(shù) )，則這列數(shù)是二階11等差數(shù)列， 即每一后項(xiàng)減去前項(xiàng)得到一新的數(shù)列，這一新數(shù)列是等差數(shù)列。它的通項(xiàng) anan2bnc 是關(guān)于 n 的二次函數(shù)。前面，我們講過(guò)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此我們可以用待定系數(shù)法來(lái)確定等差數(shù)列和二階等差數(shù)列的通項(xiàng)。典型例題：例 1：（ 2012 湖北孝感 3 分） 2008 年北京成功舉辦了一屆舉世矚目的奧運(yùn)會(huì)，今年的奧運(yùn)會(huì)將在英國(guó)倫敦舉行，奧運(yùn)會(huì)的年份與屆數(shù)如下表所示：年份1896190019042012屆數(shù)123n表中 n 的值等于【答案】 30?！究键c(diǎn)】 分類歸納（數(shù)字的變化類），待定系數(shù)法。【分析

28、】 尋找規(guī)律：設(shè)奧運(yùn)會(huì)的屆數(shù)為x，年份為y，二者之間的關(guān)系為y=kx+b 。將（ 1， 1896），（ 2， 1900）代入，得k+b=1896，解得k=4。2k+b=1900b=1892 y=4x+1892 。檢驗(yàn)：（ 3，1904 ）符合。奧運(yùn)會(huì)的屆數(shù)與年份之間的關(guān)系為y=4x+1892 。當(dāng) y=2012 時(shí)， 2012=4x+1892 ，解得 x=30 。 n=30 。例 2：（ 2012 山西省 3 分） 如圖，是由形狀相同的正六邊形和正三角形鑲嵌而成的一組有規(guī)律的圖案，則第 n 個(gè)圖案中陰影小三角形的個(gè)數(shù)是【答案】 4n 2。【考點(diǎn)】 分類歸納（圖形的變化類） ，待定系數(shù)法?！痉治?/p>

29、】 由圖可知：第一個(gè)圖案有陰影小三角形2 個(gè)，第二圖案有陰影小三角形6 個(gè)，第三個(gè)圖案有陰影小三角形10 個(gè)， ，即形成數(shù)對(duì)（ 1，2），（ 2，6），（ 3， 10）， 。設(shè)陰影小三角形的個(gè)數(shù)與圖案的次序之間的關(guān)系為y=kx+b ，k+b=2k=4將（ 1， 2），（ 2， 6）代入，得，解得。2k+b=6b= 2 y=4x 2 。檢驗(yàn)：（ 3，10）符合。 陰影小三角形的個(gè)數(shù)與圖案的次序之間的關(guān)系為y=4x 2 。12當(dāng) x= n 時(shí)， y=4n 2 。第 n 個(gè)圖案中陰影小三角形的個(gè)數(shù)是4n 2 。例 3：（ 2012 湖南永州 3 分） 我們把按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，如1，3

30、， 9， 19， 33， 就是一個(gè)數(shù)列，如果一個(gè)數(shù)列從第二個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)與它前一個(gè)數(shù)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)等差數(shù)列的公差如2， 4， 6， 8， 10 就是一個(gè)等差數(shù)列，它的公差為2如果一個(gè)數(shù)列的后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，則稱這個(gè)數(shù)列為二階等差數(shù)列例如數(shù)列 1， 3， 9， 19， 33，它的后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差組成的新數(shù)列是2， 6， 10， 14，這是一個(gè)公差為 4 的等差數(shù)列，所以，數(shù)列1， 3， 9， 19， 33，是一個(gè)二階等差數(shù)列那么，請(qǐng)問(wèn)二階等差數(shù)列1，3， 7， 13， 的第五個(gè)數(shù)應(yīng)是【答案】 21?！究键c(diǎn)】 新

31、定義，分類歸納（數(shù)字的變化類），待定系數(shù)法?！痉治觥?由已知，二階等差數(shù)列 1， 3， 7，13， 與次序之間形成數(shù)對(duì)（ 1， 1），（ 2， 3），（ 3， 7），（ 4， 13） 。設(shè)二階等差數(shù)列與次序之間的關(guān)系為y=ax 2 +bx+c ，a+b+c=1a=1將（ 1， 1），（ 2， 3），（ 3， 7）代入，得4a+2b+c=3 ，解得b=1 。9a+3b+c=7c=1 y=x 2 x+1 。檢驗(yàn)：（ 4，13）符合。二階等差數(shù)列 與次序之間的關(guān)系為 y=x 2 x+1 。當(dāng) x= 5 時(shí)， y=21 。13二階等差數(shù)列1，3， 7， 13，的第五個(gè)數(shù)應(yīng)是21。練習(xí)題：1. （ 20

32、12 山東濟(jì)寧 6 分） 問(wèn)題情境：用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放，則第2012 個(gè)圖共有多少枚棋子？建立模型：有些規(guī)律問(wèn)題可以借助函數(shù)思想來(lái)探討，具體步驟：第一步，確定變量；第二步：在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象；第三步：根據(jù)函數(shù)圖象猜想并求出函數(shù)關(guān)系式；第四步：把另外的某一點(diǎn)代入驗(yàn)證，若成立，則用這個(gè)關(guān)系式去求解解決問(wèn)題：根據(jù)以上步驟，請(qǐng)你解答“問(wèn)題情境 ”142.（ 2012 江蘇宿遷3 分）按照如圖所示的方法排列黑色小正方形地磚，則第14 個(gè)圖案中黑色小正方形地磚的塊數(shù)是.3.（ 2012 廣西桂林3 分）下圖是在正方形網(wǎng)格中按規(guī)律填成的陰影，根據(jù)此規(guī)律，則第n 個(gè)圖中陰影部分小

33、正方形的個(gè)數(shù)是4.（ 2012 青海省 2 分） 觀察下列一組圖形：它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第n 個(gè)圖形中共有個(gè)5.（ 2012 浙江寧波6 分）用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：15（ 1）第 5 個(gè)圖形有多少黑色棋子？（ 2）第幾個(gè)圖形有 2013 顆黑色棋子？請(qǐng)說(shuō)明理由六 . 待定系數(shù)法在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用： 在幾何問(wèn)題中，常有一些比例問(wèn)題（如相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，平行線截線段成比例，銳角三角函數(shù)等），對(duì)于這類問(wèn)題應(yīng)用消除待定系數(shù)法，通過(guò)設(shè)定待定參數(shù)，把相關(guān)變量用它表示，代入所求，從而使問(wèn)題獲解。典型例題：例 1：（2012 江蘇南京2 分）如圖，菱形紙片ABCD 中

34、， A=60 0，將紙片折疊，點(diǎn)A 、D 分別落在A、D處，且 AD經(jīng)過(guò) B， EF 為折痕，當(dāng)DF CD 時(shí)， CF 的值為【】FD31323131A.B.C.D.2668【答案】 A ?！究键c(diǎn)】 翻折變換（折疊問(wèn)題），菱形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥?延長(zhǎng) DC 與 AD，交于點(diǎn)M，在菱形紙片ABCD 中， A=60°， DCB= A=60°， AB CD。 D=180°- A=120°。根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得 ADF= D=120°， FDM=180°-ADF=60。°

35、DF CD ， DFM=90°， M=90°- FDM=30°。16 BCM=180° - BCD=120° ， CBM=180° - BCM- M=30°。 CBM= M 。 BC=CM 。設(shè) CF=x ， DF=DF=y， 則 BC=CM=CD=CF+DF=x+y 。 FM=CM+CF=2x+y ，在 Rt DFM中， tan M=tan30°= D Fy3 ， x3-1 y 。FM2x y32 CFx3-1。故選 A。FDy2例 2：（ 2012 江蘇揚(yáng)州 3 分）如圖，將矩形 ABCD 沿 CE 折疊，點(diǎn)

36、B 恰好落在邊 AD 的 F 處，如果 AB BC那么 tan DCF 的值是【答案】5 。2【考點(diǎn)】 翻折變換 (折疊問(wèn)題 )，翻折對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥?四邊形 ABCD 是矩形， AB CD ， D 90°，將 矩形 ABCD 沿 CE 折疊，點(diǎn) B 恰好落在邊 AD 的 F 處， CF BC ， AB2， CD2。設(shè) CD 2x， CF 3x ，BC3CF3 DF=CF2CD2DF5x55x 。 tan DCF =。CD2x2例 3：（ 2012 貴州銅仁10 分） 如圖，定義：在直角三角形ABC 中，銳角 的鄰邊與對(duì)邊的比叫做角角 的鄰

37、邊AC ，根據(jù)上述角的余切定義，解下列問(wèn)題：余切，記作 ctan ，即 ctan =角 的對(duì)邊 BC（ 1） ctan30 °=；（ 2）如圖，已知tanA= 3 ，其中 A 為銳角，試求 ctanA 的值42，3的17例 4：（ 2012 江蘇鎮(zhèn)江 11 分） 等邊 ABC 的邊長(zhǎng)為 2， P 是 BC 邊上的任一點(diǎn)（與 B 、C 不重合），連接 AP ，以 AP 為邊向兩側(cè)作等邊 APD 和等邊 APE，分別與邊 AB 、 AC 交于點(diǎn) M 、 N（如圖 1）。（ 1）求證： AM=AN ；（ 2）設(shè) BP=x 。若， BM= 3 ，求 x 的值；8記四邊形ADPE 與 ABC

38、重疊部分的面積為S，求 S 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式以及S 的最小值；連接 DE ，分別與邊AB 、AC 交于點(diǎn) G、H（如圖 2），當(dāng) x 取何值時(shí)，BAD=15 0？并判斷此時(shí)以DG 、GH、 HE 這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由。【答案】 解：（ 1）證明：ABC 、 APD 和 APE 都是等邊三角形， AD=AP ， DAP= BAC=60 0， ADM= APN=60 0。 DAM= PAN 。 ADM APN （ ASA ）， AM=AN 。（ 2）易證 BPM CAP， BMBP ，CPCA1833x， AC=2 ，CP=2 x，8，即 4x28x+3=

39、0 。 BN=2x28解得 x=1 或 x= 3 。22四邊形 AMPN 的面積即為四邊形ADPE 與 ABC 重疊部分的面積。 ADM APN ， S ADMSAPN。 S四邊形 AMPNS APMS ANPS APMS ADMSADP。如圖，過(guò)點(diǎn) P 作 PS AB于點(diǎn) S，過(guò)點(diǎn)D 作 DTAP 于點(diǎn) T，則點(diǎn) T 是 AP 的中點(diǎn)。在 RtBPS 中， P=600， BP=x ，PS=BPsin60 0=3 x， BS=BPcos600= 1 x。22 AB=2 ， AS=AB BC=2 1 x。21232222+2。AP AS PS2 xx=x2x+422SADP1AP DT1AP3 AP=3AP2。2224 SS四邊形AMPNS ADP3 AP23 x2 2x+43 x1 2 + 3 3 0 < x < 2 。4444當(dāng) x=1 時(shí)， S 的最小值為3 3 。4連接 PG，設(shè) DE 交 AP 于點(diǎn) O。若 BAD=15 0，00 DAP =60 ， PAG =45 。 AD=DP=AP=PE=EA 。四邊形 ADPE 是菱形。 DO 垂直平分 AP 。 GP=AG 。 APG = PAG =45 0。 PGA =90 0